بهبود پایش آماری فرآیند به مشخصه کیفی به صورت پروفایل چندجمله ای در فاز 2

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 استادیار گروه مهندسی صنایع دانشگاه شاهد

2 دانشجوی دکتری رشته مهندسی صنایع دانشگاه تربیت مدرس

3 کارشناس مهندسی صنایع، دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران شمال

چکیده

  پایش پروفایل یکی از موضوع های نوین تحقیقاتی در حوزه کنترل فرآیند آماری است که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته است. پروفایل رابطه بین یک متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل را توصیف می‏کند. این رابطه که معمولا با استفاده از یک رابطه رگرسیونی مدل می‏شود می‏تواند خطی ساده، خطی چندگانه، چند جمله‏ای و در مواردی غیر خطی باشد. تاکنون روشهایی برای پایش پروفایل ‌ های چند جمله‏ای توسعه داده شده است که بهترین آنها روش چند جمله‏ای متعامد است. از جمله نقاط ضعف روش مذکور تعداد زیاد نمودارهای کنترل می‏باشد که به صورت همزمان استفاده می‏شوند. در این مقاله روشی جدید بر اساس روش چندجمله‏ای متعامد پیشنهاد شده که در آن تنها از دو نمودار کنترل برای پایش یک پروفایل چند جمله‏ای از درجه k استفاده می‏شود. یافته­های شبیه‏سازی و تحلیل منحنی متوسط طول دنباله نشان می‏دهد که روش پیشنهادی در مقایسه با روش موجود عملکرد بهتری دارد. همچنین استفاده از آن در عمل بسیار آسان‏تر است .      

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Improving Statistical Process Monitoring of Quality Characteristic with Polynomial Profile in Phase II

نویسندگان [English]

  • Amirhossein Amiri 1
  • Mona Ayoubi 2
  • Seyyed Amirsadjad Haji Seyyed Razi Alaghband 3
1 Assistant Professor, Faculty of Engineering, Shahed University
2 Ph.D. student in Industrial Engineering, Tarbiat Modares University
3 B.Sc. in Industrial Engineering, Islamic Azad University, North Tehran Branch
چکیده [English]

Profile monitoring is a new research subject in Statistical Process Control which has been recently considered by many researchers. Profile describes the relationship between a response variable and one or more independent variables. This relationship is often modeled using regression which can be simple linear, multiple linear, polynomial or sometimes nonlinear. To monitor polynomial profiles, some methods have been developed, the best of which is the orthogonal polynomial approach. One of the disadvantages of this method is the large number of control charts which are simultaneously used. In this paper, a new approach has been proposed based on orthogonal polynomial approach, in which only two control charts are used to monitor a kth-order polynomial profile. Simulation findings and average run length (ARL) curve analysis imply better performance of the proposed approach compared to the existing approach. Also, using the proposed approach is much easier in practice.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Average run length
  • Exponentially weighted moving average control chart
  • Orthogonal polynomial profile
  • Statistical process control

1- مقدمه

در بسیاری از موارد کیفیت یک محصول یا عملکرد یک فرآیند به وسیله رابطه رگرسیونی خطی یا غیر خطی میان متغیر پاسخ با یک یا چند متغیر مستقل توصیف می شود. در زمینه پایش پروفایل‌ها در فاز 1 و 2  تحقیقات زیادی انجام شده است. از جمله تحقیقات انجام گرفته در زمینه پایش پروفایل‌های خطی ساده می توان به مقالات کنگ و آلباین(2000)، کیم و همکاران(2003)، گوپتا و همکاران(2006)، نورالسناء و امیری(1386)، زو و همکاران(2006)، ژنگ و همکاران (2009)، سقایی و همکاران(2009)، در فاز 2 و محمود و وودال(2004) و محمود و همکاران (2007)،  در فاز 1 اشاره کرد. دو مقاله وودال و همکاران (2004) و وودال (2007) مروری بر تحقیقات انجام شده در حوزه پایش پروفایل‌ها هستند. مقالاتی نظیر جین و شی(1999)، واکر و رایت(2002)، ویلیامز و همکاران(2007) و دینگ و همکاران(2006) در رابطه با پایش پروفایل‌های غیرخطی هستند و مقالاتی نظیر نورالسناء و همکاران (2009)، نورالسناء و همکاران (2010)  و ایوزیان و همکاران (2010)پایش پروفایل‌های چند متغیره را بررسی کرده‏اند. پایش پروفایل‌های خطی چندگانه در فاز 1 و 2 به ترتیب توسط محمود (2008) و زو و همکاران (2007) بررسی شده است. کاظم زاده و همکاران (2008) سه روش برای پایش پروفایل‌های چندجمله‏ای در فاز 1 پیشنهاد کردند. همچنین کاظم زاده و همکاران (2009)، روشی مبتنی بر پروفایل‌های چندجمله‏ای متعامد برای پایش پروفایل‌های چندجمله‏ای از درجه k در فاز 2 پیشنهاد دادند. در روش پیشنهادی، برآورد کننده‏های پارامترهای رگرسیون از یکدیگر مستقل و با استفاده از نمودارهای کنترل مجزا کنترل می شوند. هرچه درجه رابطه چند جمله‏ای بزرگتر باشد تعداد نمودارهای کنترل بیشتر شده و این محدودیت، استفاده از روش پیشنهادی را در عمل مشکل می سازد. روش پیشنهادی در این مقاله از تعداد نمودارهای کنترل کمتری برای پایش پروفایل‌های چند جمله‏ای استفاده می‏کند. همچنین عملکرد روش پیشنهادی در مقایسه با روش موجود بهتر شده که این موضوع با استفاده از مطالعات شبیه سازی و مقایسه متوسط طول دنباله اثبات شده است. تمرکز مقاله روی فاز 2 پایش پروفایل‌های چند جمله‏ای است. ساختار مقاله بدین صورت است که در بخش 2 روش چند جمله‏ای متعامد برای پایش پروفایل چندجمله‏ای از درجه k مرور می‏شود. در بخش 3 روش پیشنهادی ارائه می‏گردد. نتایج حاصل از شبیه‏سازی و مقایسات عملکرد روش پیشنهادی و روش موجود در بخش 4 ذکر می شوند و در بخش 5 نتیجه‏گیری ارائه خواهد شد.

 

2- روش رگرسیون چندجمله‏ای متعامد[1]

همان‌گونه که در مقدمه ذکر شد، کاظم زاده و همکاران(2009) روش رگرسیون چندجمله‏ای متعامد را برای پایش پروفایل‌های چندجمله‏ای در فاز 2 توسعه دادند که در ادامه با جزئیات توضیح داده می‏شود. این روش، بهترین عملکرد را در پایش پروفایل‌های چندجمله‏ای در فاز 2 از خود نشان داده است. در این روش فرض بر این است که مقادیر دارای فواصل یکسانی هستند.

 

 

مدل اصلی و مدل تغییر فرم یافته پروفایل چندجمله‏ای در فاز 2 به صورت زیر است:

 

 

در فاز 2 و تحت شرایط کنترل آماری مدل‏های زیر حاصل می‏شوند:

 

 

 

در رابطه (4)،  چندجمله‏ای متعامد از رتبه است و به گونه‏ای تعریف می‏شود که رابطه زیر برقرار باشد:

 

 

بنابر این، مدل هر پروفایل به  تبدیل می شود که در آن ماتریس  به صورت زیر است:

 

 

 از آنجایی که ستون های ماتریس  متعامد هستند، آنگاه:

 

 

  به صورت زیر محاسبه می شود:

 

 

برآوردکننده به روش حداقل مربعات  (ضرایب پارامترهای رگرسیون چندجمله ای متعامد در پروفایل‌های مختلف) به صورت زیر محاسبه می شود:

 

 

ارزش انتظاری و واریانس  به صورت زیر محاسبه می شود:

 

 

 

با جایگزین کردن رابطه(4) در رابطه(10) داریم:

 

 

 

در نتیجه:

 

 

 

از آنجایی که ها دارای توزیع نرمال هستندها نیز دارای توزیع نرمال هستند. از طرف دیگر،ها یک ترکیب خطی ازها هستند. در نتیجهنیز دارای توزیع نرمال است، بنابراین:

 

 

 

اکنون با مستقل شدن پارامترهای مدل رگرسیون، می‏توان از نمودارهای کنترل تک متغیره [2]EWMA برای پایش ضرایب استفاده کرد. برای پایش پارامترهای مدل جدید آماره EWMA زیر پیشنهاد می شود:

 

 

 

در این رابطه  ثابت هموارسازی و است و حدود کنترل بالا و پایین نمودار به صورت زیر است:

 

 

 

در رابطه بالا، به گونه‏ای انتخاب می‏گردد تا [3]ARL تحت کنترل مشخصی به دست آید.

برای پایش پراکندگی خطاها آماره زیر استفاده می‌شود:

 

 

 

در این رابطه  ثابت هموارسازی و است و حد کنترل بالای نمودار به صورت زیر است:

 

 

در این رابطه به گونه‏ای انتخاب می‏شود تا ARL تحت کنترل مشخصی به دست آید. همچنین  به صورت زیر محاسبه می شود:

 

 

 

 

استفاده از روش مذکور زمانی پیشنهاد می‌شود که رتبه پروفایل یا رگرسیون چندجمله‌ای خیلی بزرگ نباشد. بزرگ بودن رتبه پروفایل باعث می‌شود که تعداد زیادی نمودار کنترل در هر لحظه برای پایش فرآیند استفاده شود و کار کردن با تعداد زیادی نمودار کنترل می‏تواند دردسر ساز باشد (کاظم زاده و همکاران، 2009).

2-1- روابط میان پارامترهای مدل اصلی و تغییر فرم یافته در یک پروفایل چندجمله‌ای درجه 2

با در نظر گرفتن پروفایل چندجمله‌ای درجه 2 مدل‌های اصلی و تغییر فرم یافته به صورت زیر هستند:

 

 

 

 

چندجمله‌ای‌های متعامدزمانی که سطوح فاصله مساوی داشته باشند، به آسانی تعریف می‌شوند (مونتگومری و همکاران، 2001). سه چندجمله‌ای متعامد اول را در رابطه (23) جایگذاری کرده تا رابطه (24) به صورت زیر به دست آید:

 

 

 

 

 

 

در رابطه فوق فاصله بین سطوح و ها ثابت‌هایی هستند که به گونه‏ای انتخاب می‏شوند تا چندجمله‏ای‌ها مقادیر صحیح بگیرند(مونتگومری و همکاران، 2001). در ادامه، ضرایب 1، و را در روابط (22) و (24) مساوی یکدیگر قرار می دهیم، درنتیجه:

 

 

 

 

اکنون پارامترهای رگرسیون در رابطه(24) بر حسب پارامترهای رگرسیون در رابطه (22) با استفاده از رابطه (25) به صورت زیر بدست می‏آید:

 

 

 


3- روش پیشنهادی

با استفاده از روش رگرسیون چندجمله‌ای متعامد، شرط استقلال میان پارامترهای مدل رگرسیون برقرار خواهد شد. بنابراین، به منظور پایش یک پروفایل چندجمله‏ای متعامد درجه  در روش پیشنهادی کاظم زاده و همکاران(2009)، باید  نمودار کنترل مجزا برای پایش میانگین (پایش جداگانه )و یک نمودار کنترل به منظور پایش واریانس خطاها به کار گرفته شود. در نتیجه، اگر بزرگ شود، تعداد نمودارهای کنترل مورد نیاز افزایش می یابد و مشکلاتی از قبیل عدم وجود رابطه یک به یک بین پارامترهای مدل اصلی و تغییر فرم یافته و همچنین دشواری استفاده از تعداد زیادی از نمودارهای کنترل را به دنبال خواهد داشت.

روش پیشنهادی در این مقاله از تعداد نمودارهای کنترل کمتری برای پایش میانگین استفاده می‌کند؛ بدین صورت که به جای پایش پارامترهای  فقط پارامتر را پایش می‏کند، زیرا  تابعی از پارامترهای مدل اصلی است و هر تغییری در پارامترهای مدل اصلی روی  تأثیر می‏گذارد، لذا می‌توان با یک نمودار کنترل به جای نمودار کنترل میانگین فرآیند را پایش کرد.

برای مثال، برای پایش میانگین یک پروفایل چندجمله‏ای متعامد درجه 2 به جای کنترل پارامترهای ،و با سه نمودار کنترل مجزا می توان فقط یک نمودار کنترل برای پایش پارامتر به کار برد، زیرا با توجه به رابطه (26)،  تابعی از ،و است و کنترل  به تنهایی می‌تواند تمامی تغییرات موجود در پارامترهای مدل اصلی را تحت پوشش قرار دهد.

بنابراین، برای پایش یک پروفایل چندجمله‏ای متعامد درجه 2 با استفاده از روش کاظم زاده و همکاران(2009)، سه نمودار کنترل برای پایش میانگین و یک نمودار کنترل برای پایش واریانس فرآیند(در مجموع 4 نمودار کنترل مجزا) مورد نیاز است، ولیکن در روش پیشنهادی در این مقاله با استفاده از 2 نمودار کنترل(یک نمودار به منظور پایش میانگین با استفاده از نمودار کنترل مرتبط با پارامتر و یک نمودار به منظور کنترل واریانس خطاها) می‏توان فرآیند را کنترل کرد.

بدیهی است که استفاده از روش پیشنهادی در این مقاله به علت کاهش تعداد نمودارهای کنترل، آسانتر از روش موجود است. همچنین، روش پیشنهادی نسبت به روش موجود عملکرد بهتری خواهد داشت، زیرا با توجه به رابطه (27) با ثابت ماندن ، کاهش تعداد نمودارهای کنترل باعث افزایش خطای نوع اول تک تک نمودارها و کاهش خطای نوع دوم و در نتیجه افزایش توان نمودار  در شناسایی شیفت های موجود در فرآیند می شود.

 

 

 

 


4- مطالعات شبیه سازی: مقایسه عملکرد روش پیشنهادی و روش موجود در فاز2

برای انجام شبیه سازی‌ها در این بخش مدل تحت کنترل زیر در نظر گرفته می‏شود:

 

 

 

 

 

همچنین فرض می‏شودها دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس 1 هستند، مقادیر ثابت و متساوی الفاصله و برابر 1،2،3،4،5،6،7،8،9،10 هستند که در ابتدا به منظور کاهش اثر هم خطی چندگانه مقادیر از مقدار میانگین آنها کم و به مقادیر 5/4،5/3،5/2،5/1،5/0،5/0-،5/1-،5/2-،5/3-،5/4- تبدیل شده‏اند. در روش چندجمله‏ای متعامد، رابطه (3) به رابطه (4) تبدیل می‏شود.](در رابطه (26) مقادیر،و  را قرار دهید(مونتگومری و همکاران، 2001)[. 

 

 

مقادیر ثابت  برابر 9،7،5،3،1،1-،3-،5-،7-،9- و مقادیر ثابت  برابر با 6،2،1-،3-،4-،4-،3-،1-،2،6 هستند(مونتگومری و همکاران، 2001).

کاظم زاده و همکاران(2009)، برای تعیین حدود کنترل مقادیر  را در رابطه (16) برای سه نمودار کنترل مرتبط با ،و برابر 1/3 و مقدار  در رابطه (18) را برابر با 59/3 قرار دادند تا ARL تحت کنترل تقریباً 200 به دست آید.

در روش پیشنهادی این مقاله، مقدار  برای نمودار کنترل مرتبط با  برابر با 8845/2 و مقدار  برابر 2525/3  در نظر گرفته شد تا ARL تحت کنترل تقریباً 200 نیز برای این روش بدست آید.

همچنین ثابت هموارسازی  در هر دو روش برابر با 2/0 در نظر گرفته شده است. برای محاسبه ARL خارج از کنترل تحت شیفت‌های مختلف در عرض از مبدأ، پارامتر دوم، سوم و انحراف معیار از 50000 بار شبیه‏سازی استفاده شده است و شیفت‌های اعمال شده ضریبی از انحراف معیار هستند.

در این بخش روش کاظم زاده و همکاران (2009)، با نام  EWMA4 و روش پیشنهادی این مقاله با نام EWMA2 نمایش داده شده‌اند.

نتایج شبیه‏سازی ها در جداول (1)،(2)،(3) و (4) که به ترتیب نمایانگر عملکرد روش‌های مورد بررسی تحت شیفت‌های مختلف در عرض از مبدأ، پارامتر دوم، پارامتر سوم و انحراف معیار رابطه (28) هستند، خلاصه می شوند.

نتایج به دست آمده در این بخش، صحت این ادعا را که روش پیشنهادی EWMA2 عملکرد بهتری نسبت به روش EWMA4 دارد، به اثبات می‌رساند. همانگونه که در این جداول مشاهده می‏شود در تمامی شیفت‌های اعمال شده در عرض از مبدا، پارامتر دوم و سوم و انحراف معیار، ARL خارج از کنترل روش پیشنهادی کمتر از روش کاظم زاده و همکاران (2009) است. تنها در شیفت 01/0 در پارامتر سوم عملکرد روش کاظم زاده و همکاران (2009)کمی بهتر است که البته به دلیل کوچک بودن شیفت این نتیجه می‌تواند ناشی از خطای شبیه سازی باشد.

 

 

جدول 1: مقایسات ARL تحت شیفت در عرض از مبدأ از  به

 

نمودار

1

9/0

8/0

7/0

6/0

5/0

4/0

3/0

2/0

1/0

34/2

60/2

97/2

47/3

21/4

42/5

61/7

64/12

00/28

44/91

EWMA4

19/2

43/2

76/2

21/3

86/3

89/4

77/6

74/10

56/22

19/73

EWMA2

 

 

جدول 2: مقایسات ARL تحت شیفت در پارامتر دوم از  به

 

نمودار

25/0

225/0

2/0

175/0

15/0

125/0

1/0

075/0

05/0

025/0

63/1

83/1

06/2

37/2

80/2

46/3

57/4

86/6

58/13

86/49

EWMA4

52/1

72/1

94/1

22/2

61/2

24/3

28/4

36/6

42/12

31/44

EWMA2

 

جدول 3: مقایسات ARL تحت شیفت در پارامتر سوم از  به

 

نمودار

1/0

09/0

08/0

07/0

06/0

05/0

04/0

03/0

02/0

01/0

00/1

00/1

00/1

00/1

00/1

01/1

15/1

72/1

77/2

61/6

EWMA4

00/1

00/1

00/1

00/1

00/1

00/1

10/1

62/1

71/2

02/7

EWMA2

 

جدول 4: مقایسات ARL تحت شیفت در انحراف معیار از  به

 

نمودار

00/2

9/1

8/1

7/1

6/1

5/1

4/1

3/1

2/1

1/1

60/1

76/1

98/1

28/2

71/2

39/3

50/4

78/6

94/12

01/40

EWMA4

51/1

65/1

85/1

12/2

51/2

08/3

07/4

01/6

96/10

86/32

EWMA2

 


5- نتیجه­ گیری

در این مقاله، روش جدیدی برای پایش پروفایل‌های چندجمله‏ای مطرح شد. در روش پیشنهادی در کنار نمودار کنترل پایش واریانس خطاها از تنها یک نمودار کنترل برای پایش پارامترهای رگرسیون استفاده می‏شود. نتایج حاصل از شبیه سازی، بیانگر این مطلب است که روش پیشنهادی عملکرد بهتری نسبت به روش موجود دارد؛ همچنین استفاده از آن به دلیل کمتر بودن تعداد نمودارهای کنترل آسانتر است.



[1] Orthogonal Polynomial Profile

[2] Exponentially Weighted Moving Average

[3] Average Run Length

نورالسناء،ر.، امیری،ا. (1386). "بهبود پایش پروفایل‌های خطی در فاز 2" ، مجله علمی و پژوهشی امیر کبیر، ج 18، شماره ب-66، 28-19.

Ding ,Y., Zeng, L., and Zhou, S. (2006). Phase I Analysis for Monitoring Nonlinear Profiles in Manufacturing Processes. Journal of Quality Technology, 38(3), 199-216.

Eyvazian, M., Noorossana, R., Saghaei, and A., Amiri, A. (2011). Phase II Monitoring of Multivariate Multiple Linear Regression Profiles. To appear in Quality and Reliability Engineering International.

Gupta, S., Montgomery, D.C., and Woodall, W.H. (2006). Performance evaluation of Two Methods for Online Monitoring of Linear Calibration Profile. International Journal of Production Research, 44(10), 1927-1942.

Jin, J., and Shi, J. (1999). Feature-preserving Data Compression of Stamping Tonnage Information Using Wavelets. Technometrics, 41(4), 327–339.

Kang, L., and Albin, S.L. (2000). On-Line Monitoring When the Process Yields a Linear Profile. Journal of Quality Technology, 32(4), 418-426.

Kazemzadeh, R.B., Noorossana, R., Amiri, A. (2008). Phase I Monitoring of Polynomial Profiles. Communications in Statistics-Theory and Methods, 37(10), 1671-1686.

Kazemzadeh, R.B.,  Noorossana, R.,  Amiri, A. (2009). Monitoring Polynomial Profiles in Quality Control Applications. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 42(7), 703-712.

Kim, K., Mahmoud, M.A., and Woodall, W.H. (2003). On the Monitoring of Linear Profiles. Journal of Quality Technology, 35(3), 317-328.

Mahmoud, M.A., and Woodall, W.H. (2004). Phase I Analysis of Linear Profiles with Calibration Applications, Technometrics, 46(4), 380-391.

Mahmoud, M.A., Parker, P.A., Woodall, W.H., and Hawkins, D.M. (2007). A Change Point Method for Linear Profile Data. Quality and Reliability Engineering International, 23(2), 247-268.

Mahmoud, M.A., (2008). Phase I Analysis of Multiple Linear Regression Profiles. Communications in Statistics- Simulation and Computation, 37(10), 2106-2130.

Montgomery, D.C., Peck, E.A., and Vining, C.G. (2001). Introduction to Linear Regression Analysis. Third Edition, John Wiley and Sons, Inc., New York.

Noorossana, R., Eyvazian, M., and Vaghefi, A. (2010). Phase II Monitoring of Multivariate Simple Linear Profiles. Computers and Industrial Engineering, 58(4), 563-570.

Noorossana, R., Eyvazian, M., Amiri, A., Mahmoud, M.A. (2010). Statistical Monitoring of Multivariate Multiple Linear Regression Profiles in Phase I with Calibration Application. Quality and Reliability Engineering International, 26(3), 291-303.

Saghaei, A., Mehrjoo, M., and Amiri, A. (2009). A CUSUM-Based Method for Monitoring Simple Linear Profiles. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 45(11), 1252-1260.

Walker, E., and Wright, S. (2002). Comparing Curves Using Additive Models.  Journal of Quality Technology, 34(1), 118-129.

Williams, J. D., Woodall, W.H., and Birch, J.B. (2007). Statistical Monitoring of Nonlinear Product and Process Quality Profiles. Quality and Reliability Engineering International, 23(8), 925-941.

Woodall, W.H., Spitzner, D.J., Montgomery, D.C., and Gupta, S. (2004). Using control Charts to Monitor Process and Product quality Profiles. Journal of Quality Technology, 36(3), 309-320.

Woodall, W.H. (2007). Current Research on Profile Monitoring. Revista Producão,  17(3), 420-425.

Zhang, J., Li, Z., and Wang, Z. (2009). Control Chart Based on Likelihood Ratio for Monitoring Linear Profiles. Computational Statistics and Data Analysis, 53(4),  1440-1448.

Zou, C., Tsung, F. and Wang, Z. (2007). Monitoring General Linear Profiles Using Multivariate Exponentially Weighted Moving Average Schemes. Technometrics, 49(4), 395-408.

Zou, C., Zhang, Y. and Wang, Z. (2006). Control Chart Based on Change-Point Model for Monitoring Linear Profiles. IIE Transactions, 38(12),1093-1103.