ارایه الگوریتمی برای مدل کنترل موجودی (R,Q) با تابع تقاضای احتمالی و متاثر از مقدار کمبود

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشیار دانشکده مهندسی گروه مهندسی صنایع دانشگاه بوعلی سینا

2 دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی صنایع دانشگاه بوعلی سینا

3 استادیار دانشکده مهندسی گروه مهندسی صنایع دانشگاه بوعلی سینا

4 استادیار دانشکده مهندسی گروه مهندسی صنایع دانشگاه آزاد اسلامی، واحد کرج

چکیده

  در این تحقیق سیستم سفارش‌های مستمر با اضافه کردن محدودیت تاثیرپذیری تقاضا از متوسط درصد کمبود بررسی شده که در آن بین افزایش مقدار کمبود و تعداد دفعات رخ دادن آن با کاهش تقاضا و انصراف مشتریان رابطه مستقیم وجود دارد. هدف از محدودیت فوق، مدل ​ سازی هزینه‌های مرتبط با کسر اعتبار سازمان در فضای رقابتی است. در این تحقیق، ابتدا مدل ریاضی مساله مورد بررسی ارایه و سپس با توجه به پیچیدگی آن با دو الگوریتم فراابتکاری ژنتیک و انجماد تدریجی حل گردیده است. با توجه به اهمیت اجزا و پارامترها در عملکرد الگوریتم‌های فراابتکاری، اجزا و پارامترهای الگوریتم‌های ارایه شده براساس نتایج آزمایش‌ها صورت گرفته تنظیم شده است. در انتها با استفاده از تجزیه و تحلیل آزمایش‌ها صورت گرفته، نشان داده شده است که در این نوع مساله، الگوریتم انجماد تدریجی نتایج بهتری را ارایه می‌نماید.  

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Proposing an Algorithm for R&Q Inventory Control Model with Stochastic Demand Influenced by Shortage

نویسندگان [English]

  • Parviz Fattahi 1
  • Ehsan Torkaman 2
  • Amirsaman Kheirkhah 3
  • Mehdi Fatholla 4
1 Associate Professor, Faculty of Engineering, Bu Ali Sina University
2 Master Student of Industrial Engineering, Bu Ali Sina University
3 Assistant Professor, Faculty of Engineering, Bu Ali Sina University
4 Assistant Professor, Islamic Azad University, Karaj Branch
چکیده [English]

In this article, the continuous-review inventory control system has been studied. A new constraint of demand dependent on the average percent of product shortage has been added to the problem. It means that the average demand has a direct relationship with shortage in a period. This constraint, which is related to the costs of credit loss of the organization due to product shortage, has been considered in the inventory model. In this paper, the mathematical model of this problem has been presented and then, two heuristic approaches based on the genetic and simulated annealing algorithms are developed. Computational results indicate that the simulated annealing algorithm can provide better results compare to the genetic algorithm.
 

کلیدواژه‌ها [English]

  • Inventory control
  • Continuous-review inventory control
  • Genetic Algorithm
  • Simulated Annealing Algorithm

1-  مقدمه

سیستم سفارش‌های مستمر یکی از سیاست‍های متداول و پرکاربرد در مباحث کنترل موجودی است در این روش برای هر کالا عددی به عنوان نقطه سفارش[1] (R) در نظر گرفته و موجودی کالا به صورت مستمر بررسی می‍شود. هنگامی که مقدار موجودی کالا به نقطه سفارش رسید، برای آن کالا به مقدار معینی سفارش برابر با حجم سفارش[2] (Q) صادر می‍شود. در این سیستم، هدف حداقل کردن هزینه‍های موجودی با تعیین مقادیر بهینه نقطه سفارش و حجم سفارش تحت شرایط مساله است. از شرایط مساله می‌توان به هزینه‌های نگهداری، سفارش‌دهی، مواجه با کمبود، فروش از دست رفته و یا محدودیت انبار، تقاضای احتمالی، فاصله زمانی تحویل احتمالی، کالاهای فاسد شدنی و... اشاره کرد.

در این تحقیق، سیستم متداول سفارش‌هایی مستمر با تقاضای احتمالی و تابع توزیع نرمال تحت شرایط متاثر بودن تقاضا از متوسط درصد کمبود کالا بررسی می‌شود. هدف از این شرایط، مدل کردن هزینه‌های مرتبط با کسر اعتبار سازمان در زمان مواجه با کمبود می‌باشد. در سیستم‍های معمول کنترل موجودی برای تقاضاهایی که با کمبود مواجه می‍شوند، یکی از حالات زیر در نظر گرفته می‍شود:

کل تقاضاها در مدت زمان فقدان موجودی، منتظر می‍مانند و به محض دریافت موجودی به آنها پاسخ داده می‍شود (پس افت).

حالت دوم تقاضاها در مدت زمان فقدان موجودی، منتظر نمی‍مانند (فروش از دست رفته)

حالت سوم، حالتی ترکیبی از هر دو حالت بالاست، بدین ترتیب که درصدی از تقاضا به صورت تقاضای پس‍افت در سیستم منتظر می‍ماند. برای مثال، مونتگومری و همکاران[3] (1973)، رزنبرگ[4] (1979) و پارک[5] (1982) به بررسی مدل‌هایی پرداختند که کسر ثابتی از تقاضاها در زمان کمبود به صورت سفارش‌هایی عقب افتاده در سیستم باقی می‍ماند.

برخی از محققان نیز مساله کنترل موجودی با سفارش‌هایی عقب‌افتاده جزئی را با رویکرد اصطلاحاً مشتری ناشکیبا[6] مدل نموده‍اند. در این رویکرد زمانی که تقاضایی با کمبود مواجه می‍شود، کسری از تقاضا، که وابسته به شرایط مساله در زمان رخ دادن کمبود است، به صورت سفارش‌هایی عقب افتاده در سیستم باقی می‍ماند. برای مثال، لی و ناهمیاس[7] (1993) به برسی مدل کنترل موجودی‍ای پرداختند که در آن حداکثر زمان قابل انتظار از دید مشتریان مشخص و ثابت بوده است. پاپاکریستوز و اسکوری[8] (2000) به بررسی سیستم سفارش‌هایی مستمری با تقاضای مشخص و وابسته به زمان، نرخ ثابت فساد با افق برنامه‍ریزی محدود برای کالاهای فسادپذیر پرداختند. آنها مدل خود را برای شرایطی که کسری از سفارش‌هایی عقب افتاده در سیستم باقی بماند، توسعه دادند. در مطالعه آنها، این کسر برابر با تابع نمایی منفی‍ای از مدت زمان انتظار استد. سپس آنها مدل خود را برای شرایط تخفیف کلی نیز توسعه دادند. از دیگر مقالاتی که به بررسی سفارش‌هایی عقب افتاده جزیی با رویکرد مشتری ناشکیبا پرداخته‍اند، می‍توان به مقالات چو و چن[9] (2002)، ونگ[10] (2002) و سن‌جوزه و همکاران[11] (2005) اشاره کرد.

در همه مقالات فوق نرخ سفارش‌هایی عقب افتاده جزئی، ثابت یا تنها وابسته به مدت زمان انتظار است، در حالی که این نرخ می‍تواند وابسته به طول دوره کمبود نیز باشد. برای مثال، شرایطی را در نظر بگیرید که مدت زمان انتظار طولانی، اما نسبت به طول دوره کمبود حائز اهمیت نباشد. در چنین شرایطی، مشتریان همچنان در سیستم باقی خواهند ماند. محققین زیر مساله سفارش‌های عقب افتاده جزئی را با توجه به عامل فوق بررسی کرده‍اند.

یو[12] (2005) به بررسی سیستم بهینه سفارش‍دهی‍ با تقاضای فصلی پرداخته است. در مطالعه او احتمال این که مشتری‍ای کالایی را به صورت سفارش‌های عقب‍افتاده خریداری کند وابسته به فاصله زمانی بین دو فصل و مدت زمان انتظار مشتری است. سان جوزه و همکاران[13] (2007) سیستم کنترل موجودی با تقاضای ثابت در طول افق نامحدود و تقاضای پس‍افت جزئی را بررسی نمودند، آنها فرض نمودند درصدی از مشتریان که مایل به انتظار نیستند متناسب با طول دوره کمبود و مدت زمان انتظار است و براساس فرضیات فوق سیاست بهینه سفارش را تعیین کردند.

کریشنامورتی و آرتلیژو[14] (2006) سیستم سفارش‌های مستمری ارائه کردند که در آن تقاضاهای مواجه با کمبود از سیستم خارج شده و پس از مدتی تصادفی دوباره به سیستم باز می‍گردد و در صورت عدم برآورده شدن تقاضا مجدداً فرآیند فوق تکرار می‍شود.

در این تحقیق، تاثیر میزان کمبود بر تقاضا به‌طور مستقیم مورد بررسی قرار می‌گیرد که در تحقیقات پیشین این اثر مستقیم و مدل یکپارچه بررسی نشده است. هدف از این تاثیر مستقیم، مدل‍سازی هزینه‌های مرتبط با کسر اعتبار سازمان در فضای رقابتی می‍باشد. سازمان‌دهی سایر بخش‌های این مقاله به صورت ذیل می‌باشد. مساله مورد بررسی در بخش دوم ارایه و مدل‌سازی شده است. بخش سوم به ارایه الگوریتم پیشنهادی می‌پردازد. بخش چهارم به معرفی آزمایش‌های انجام شده و تحلیل آنها می‌پردازد و نتایج تحقیق در بخش پنجم آورده شده است.

 

2-  تعریف مساله و مدلسازی

مدل موجودی سفارش‌های مستمر در این تحقیق بر پایه مدل عمومی سفارش‌های مستمر ارایه شده در کتب موجودی سیلور و همکاران[15] (1998) بوده و تنها تغیر موجود، متاثر بودن تابع تقاضا از متوسط درصد کمبود کالاست. متوسط درصد کمبود به‌صورت متوسط نسبت تقاضاهایی که با کمبود مواجه شده‌اند، تعریف می‌گردد. برای این منظور کافی است میزان متوسط کمبود را در هر دوره سفارش‌گذاری تعیین و بر میزان سفارش مربوطه تقسیم کرد. عدد به دست آمده نشان‌دهنده متوسط درصد کمبود خواهد بود.

در این تحقیق، مسأله تعیین مقادیر نقطه سفارش دهی و میزان سفارش در سیستم سفارش‌های مستمر با هدف حداکثر نمودن سود بررسی می شود که در آن فاصله زمانی تحویل ثابت و مشخص بوده و تابع تقاضا احتمالی و متأثر از درصد کمبود کالاست. کمبود کالا موجب می‌گردد که تعدادی از مشتریان با کمبود مواجه شده و تاثیر منفی آن موجب کاهش تقاضای مشتریان می‌گردد. به عبارتی، در صورتی که مشتری بداند در صورت سفارش به یک فروشنده، با احتمال زیادی سفارش او به موقع تحویل داده نخواهد شد، سعی می‌نماید که فروشندگان دیگری را انتخاب و به آنها سفارش دهد. احتمال کمبود برای یک فروشنده به کاهش سفارش به او و سفارش به سایرین منجر خواهد شد و به علت احتمال کمبود، تقاضای برای کالای او کاهش می‌یابد. ‌فرضیات ذیل در این تحقیق در نظر گرفته شده است:

تغییر تقاضا به کندی رخ میدهد. به همین برای، مقدار تقاضای بهدست آمده براساس مقادیرR و Q تقریبا ثابت فرض میشود.

افق برنامه‍ریزی نامحدود فرض شده است.

فاصله زمانی تحویل ثابت است و برابر با یک واحد زمان فرض شده است. به عبارتی، همه‍متغیرها بر حسب فاصله زمانی تحویل ارائه شده‍اند (مانند هزینه‍ نگهداری، مقدار تقاضا...).

کلیه تقاضاهای مواجه شده با کمبود به صورت تقاضای پسافت در سیستم باقی می‍مانند و در نخستین فرصت ممکن برآورده میشوند.

هزینه مواجه با کمبود خطی و براساس متوسط مقدار کمبود در هر دوره محاسبه می‍گردد.

هزینه سفارش‍دهی ثابت بوده، حجم سفارش در آن تاثیری ندارد.

تابع تقاضا احتمالی بوده، از توزیع نرمال با میانگین µ و انحراف معیار  پیروی می‍کند.

 با توجه به متاثر بودن تقاضا از متوسط درصد کمبود کالا، حداکثر مقدار تقاضا در شرایطی رخ می‍دهد که درصد کمبود کالا کمتر از مقدار از پیش مشخص شده‍ پارامتر j باشد، این مقدار تقاضا با MAXµ نشان داده می‍شود و در صورتی که متوسط درصد کمبود کالا بیشتر از پارامتر مشخص j باشد تقاضا تا اندازهای کاهش پیدا میکند که متوسط درصد کمبود کالا کمتر یا مساوی مقدار مشخص j شود. معادله (1) نشان‌دهنده این محدودیت و نحوه تاثیر‌گذاری آن بر تقاضاست. همان‌طور که در قسمت‌های قبلی در تعریف متوسط درصد کمبود شرح داده شد، متوسط درصد کمبود به صورت متوسط نسبت تعداد تقاضاهایی که با کمبود مواجه می‌شوند، محاسبه می‌گردد. یک دوره زمانی از چند دوره سفارش‌گذاری تشکیل شده است و با توجه به اینکه در یک دوره سفارش‌گذاری تنها در انتهای دوره احتمال کمبود وجود دارد، این نسبت از طریق رابطه زیر قابل محاسبه است.

 

                                                  (1)

 

که در آن  بیانگر مقدار مورد انتظار کمبود در یک دوره است و از طریق معادله (2) محاسبه می‌شود:.

 

 

 

در معادله بالا  نشان‌دهنده نقطه سفارش و  نشان‍دهنده تابع تقاضا در واحد زمان ست در این تحقیق، واحد زمان برابر با فاصله زمانی تحویل فرض شده است. لذا در صورتی که تابع توزیع نرمال را به صورت معادله (3) در نظر بگیریم، مقدار  مطابق با معادله (4) محاسبه خواهد شد. بر این اساس، رابطه (1) به رابطه (5) تبدیل خواهد شد.

 

(3)                        

(4)     (5)                       

در رابطه بالا µ نشان‌دهنده متوسط مقدار تقاضا و  نشان‌دهنده انحراف معیار تقاضاست. بیشترین مقدار µ ممکنی که رابطه بالا را ارضاع نماید نشان‍دهنده متوسط تقاضا به ازای مقادیر R و Q مشخص است. مقدار MAXµ نشان‌دهنده حداکثر میزان تقاضا در صورت عدم وجود کمبود است و یا به عبارتی، حداکثر سهم شرکت از بازار محصولات را نشان می‍دهد. مقدار µ می‍تواند بین مقادیر MAXµ و 0 باشد که این معادله در رابطه (6) نمایش داده شده است:

 

 (6)                                   

 

هرچه مقدار "حجم سفارش" یا Q بیشتر باشد تعداد دفعاتی که سیستم با کمبود مواجه می‍شود کمتر شده، فاصله زمانی بین دو سیکل افزایش می یابد و کمبودها با فاصله زمانی بیشتری رخ می‍دهند. این موضوع، باعث جلب اعتماد مشتریان و افزایش تقاضا می‍گردد. برای مثال، در نقطه مشخصی که مقادیر در معادله (5) صدق می‍کنند، با افزایش مقدار Q، مقدار  می‍تواند افزایش یابد که در صورت ثابت فرض کردن R، این تغییر با افزایش µ و  (افزایش تقاضا) همراه است.

با افزایش نقطه "سفارش دهی" یا R، احتمال مواجه شدن با کمبود و تعداد مورد انتظار کالاهای مواجه با کمبود به ازای تقاضای فعلی(µ) کاهش یافته، این امر باعث افزایش رضایت مشتریان و تقاضا می‍گردد. سپس با افزایش تقاضا یا µ مقدار   مجددا افزایش می‍یابد. طبق رابطه فوق افزایش تقاضا تا حدی رخ می‍دهد که مقادیر جدید R , Q , µ در رابطه فوق صدق کنند.

پارامتر j را می‍توان حداکثر درصد کمبود قابل قبول از نظر مشتریان دانست. به عبارتی دیگر، هرچه مقدار این پارامتر کمتر باشد، بازار رقابتی‍تر و هزینه‍های مواجه با کمبود بیشتر است. مقدار این پارامتر را می‍توان از داده‍های موجود و اطلاعات گذشته شرکت مشخص نمود.

با کاهش تقاضا، یا ریزش مشتریان، طبیعتاً مقدار انحراف معیار تقاضا نیز کاهش پیدا میکند.در صورتی که MAXµ را مجموع میانگین تقاضای n مشتری در نظر بگیریم با کاهش این مشتریان،انحراف معیار توزیع مجموع تقاضاهای این مشتریان نیز به صورت معادله (7) تغییر میکند.

 

(7)                                  

در رابطه بالا، فرض بر آن است که تقاضای کل عبارت است از مجموع n متغیر مستقل (با فرض هم توزیع بودن) که در صورت کاهش این متغیرها، واریانس مجموع آنها نیز به همان نسبت کاهش پیدا می‍کند.

هدف اصلی این مساله، انتخاب مقادیرR  ، Q به گونه ای است که تابع سود یا بیشینه گردد.. این تابع در معادله (8) نشان داده شده است:

 

(8)        

 

که در آن TICr,qمجموع هزینههای موجودی است و از جمع مقادیر هزینه​های سفارش​دهی، هزینه​های نگهداری و هزینه​های کمبود به دست می آید و در معادله (9) نشان داده شده است.

 

(9)       

TOCr,q،THCr,qو TSCr,q

 

به‌ترتیب نشان‌دهنده مجموع هزینههای سفارشدهی، مجموع هزینههای نگهداری و مجموع هزینههای کمبود بوده و در معادلات (10) تا (12) نشان داده شده​اند.

 

(10)                               

(11)                                

(12)                           

 

در معادلات فوق S، h، C، ،  به‌ترتیب نشان‍دهنده هزینه مواجه با کمبود به ازای هر واحد در زمان، هزینه نگهداری به ازای هر واحد در زمان، هزینه ثابت سفارش‍دهی، قیمت فروش کالا و قیمت تمام‍شده کالا هستند.

همچنین، نشان‍دهنده سطح موجودی بوده و با تقریب ارائه شده توسط لائوا و لائو[16] (2002) بر اساس معادلات (13) تا (15) محاسبه خواهد شد.

 

(13)                               

(14)                        

         (15)

 

همان‌طور که در معادله (5) نشان داده  شده است محدوده متغیر  به دو متغیر ،  وابسته بوده و  باید بیشترین مقدار ممکن را اختیار کند، از آنجا که امکان ساده‍سازی معادله (5) به نحوی که  را بر اساس دو متغیر دیگر بیان شود، وجود ندارد، به‌عبارتی، امکان محاسبه تغیرات متغیر  نسبت به دو متغیر ،  به صورت کلی (نه به صورت نقطه‌ای) و نمایش آن به صورت معادله وجود نداشته و نقاط بهینه محلی تابع سود لزوماً محدود نبوده، که بتوان بعد از محاسبه، آنها را مقایسه نمود و بهترین نقطه را به عنوان جواب بهینه انتخاب کرد، برای محاسبه نقطه بهینه تابع  از الگوریتم‌های ابتکاری استفاده شده و فضای جستجو نیز به اعداد صحیح محدود شده است. همچنین، در واقعیت نیز مقادیر ،  بیانگر تعداد یا حجمی از کالا بوده و معمولا دارای مقادیر صحیح هستند و در صورت اعشاری بودن این مقادیر می‌توان با تغییر واحد، این مقادیر را به عدد صحیح تبدیل کرد.

در ذیل برای تشریح مساله مورد نظر یک مثال ارائه می‌گردد. فرض کنید در این مثال، هزینه ثابت سفارش‍دهی برابر با 1000، حداکثر تقاضا 100، حداکثر انحراف معیار 25، هزینه نگهداری به ازای هر کالا در واحد زمان 300، هزینه مواجه با کمبود به ازای هر کالا در واحد زمان 400، حداکثر درصد کمبود مجاز برای مشتریان 0.00001 و تفاوت قیمت فروش با قیمت تمام شده 500 واحد پولی باشد. این مساله دارای چندین نقطه بهینه محلی است که در زیر 2 نقطه​ آن نشان داده شده​ است.

 

 

 

 

شکل تابع سود مثال فوق به ازای مقادیر سود بیشتر از صفر از دو زاویه مختلف در شکل 1 نشان داده شده است. همان‌طور که در این شکل مشاهده می‌شود، یال موجود به صورت دندانه‍دار بوده، نشان‍دهنده نقاط بهینه محلی در مثال فوق است. همچنین، تغییرات تقاضا به ازای تغییرات R و Q در شکل 2 نمایش داده شده است.

 

 

 

شکل1- تابع سود مثال فوق به ازای مقادیر سود بیشتر از صفر.

 

 

 

شکل2- تغییرات تقاضا به ازای تغییرات نقطه سفارش و حجم سفارش

همان‌طور که در شکل2 مشاهده می‌گردد، میانگین تقاضا نسبت به تغییرات "نقطه سفارش" حساس بوده، با افزایش مقدار "نقطه سفارش"میانگین تقاضا تا رسیدن به حداکثر مقدار خود افزایش مییابد، اما میانگین تقاضا نسبت به "حجم سفارش" چندان حساس نبوده، با افزایش "حجم سفارش" مقدار کمی افزایش پیدا میکند.

 

3- ارائه الگوریتم پیشنهادی

3-1 الگوریتم ژنتیک

الگوریتم ژنتیک یک متدولوژی عمومی برای جستجو در فضاهای جواب گسسته، مطابق با روش به‌کار گرفته شده در فرآیندهای طبیعی انتخاب در سیستمهای بیولوژیکی است. الگوریتم ژنتیک جزئی از محاسبات تکاملی است که خود جزئی از هوش مصنوعی است. ویژگیهای خاص این الگوریتم باعث میشود که نتوانیم آن را یک جستجوگر تصادفی ساده قلمداد کنیم. در واقع، ایده اولیه این روش از نظریه تکاملی داروین الهام گرفته شده است و کارکرد آن بر اساس ژنتیک طبیعی استوار است. الگوریتم ژنتیک در حل بسیاری از مسایل بهینه‌سازی عملکرد خوبی از خود نشان داده و در این تحقیق نیز به‌عنوان یکی از الگوریتم‌های ابتکاری، به‌کار گرفته شده است(فتاحی، 1388).

در هر الگوریتم، پارامترها و اجزایی وجود دارند که بر کیفیت الگوریتم تاثیر بسزایی دارند، لذا در ذیل پارامترهای موثر بر الگوریتم ژنتیک پیشنهادی برای مساله مورد نظر بررسی می‌گردند.

 

3-1-1 جمعیت اولیه

در این تحقیق چندین نقطه بهینه محلی جزو جمعیت اولیه خواهند بود. در این مرحله چندین بار نقاط تصادفی (R و Q های تصادفی) انتخاب می‍گردد و سپس هر بار یکی از پارامتر‍‍های R یا Q انتخاب شده (مثلا Q) و با افزایش (یا کاهش) یکنواخت آن در راستای حداکثر کردن تابع هدف به مقدار جدیدی برای این پارامتر رسیده می‌شود. سپس همین کار را با پارامتر دیگر (مثلا R و با مقدار جدید به دست  آمده Q) انجام داده، چرخه بالا را تا جایی که تغییر در یک پارامتر باعث بهبود تابع هدف نشود، تکرار می‍کنیم. نقطه R و Q به دست آمده یکی از نقاط مورد نظر ما برای جمعیت اولیه است. به صورت خلاصه این الگوریتم در شکل 3 نمایش داده شده است.

 

3-1-2 ساختار نمایش

برای معرفی ساختار نمایش کروموزوم از کدگذاری باینری استفاده می‍گردد. در این روش، نیمی از ژن‍های کروموزوم، نشان‌دهنده مقدار متغیر R و نیمه دیگر نشان‌دهنده متغیر Q هستند. طول هر کروموزوم یا تعداد ژن‍های آن با توجه به مساله متفاوت استد و در هر مساله حداکثر مقدار هر یک از متغیر‍ها تا A برابر حداکثر مقدار متوسط تقاضا در نظر گرفته شده است. بنابراین، طول هر کروموزوم برابر با دو برابر تعداد ژن‍های لازم برای نمایش A برابر تقاضاست.

 

قدم1- انتخاب نقطه تصادفی ،

قدم2- ثابت نگهداشتن و افزایش (یا کاهش)  مادامی که به بهبود تابع هدف منجر می‌شود

قدم3- ثابت نگهداشتن  و افزایش (یا کاهش)  مادامی که به بهبود تابع هدف منجر می‌شود

قدم4- تکرار قدم های 2 و 3 تا زمانی که نقاط ، تغییر نکنند.

قدم5- مراحل فوق را به اندازه جمعیت تکرار کنید.

شکل3- الگوریتم ابداعی برای ایجاد جمعیت اولیه

برای مثال، اگر در یک مساله A برابر با 3 و حداکثر تقاضا 100 فرض شود، تعداد ژن های لازم برای نشان دادن هر یک از متغیرهای ،  برابر با 9 عدد است و لذا طول کروموزوم برابر با 18 خواهد بود.

èتعداد ژن های لازم=9

 

مقدار پارامتر A بیان‍کننده حداکثر مقدار متغیرهای R , Q است. با افزایش مقدار A فضای جستجو برای متغیرهای فوق و زمان لازم برای حل مساله افزایش می‍یابد. در صورتی که مقادیر،  به ترتیب 25 و 127 باشد، کروموزوم مثال فوق مطابق شکل (4) خواهد بود.

 

R

Q

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

                                   

شکل4- ساختار کروموزوم برای الگوریتم پیشنهادی

 

3-1-3 عملگر تقاطع

عملگرهای تقاطع متعددی برای جمعیت فوق می‍توان تعریف کرد. در زیر چهار عملگر متفاوت ارائه و مورد مقایسه شده‌اند. این عملگرها در زیر شرح داده شده‍اند.

عملگر تقاطع تک نقطه‍ای: در این‍جا عملگر تقاطع از نقطه اتصال دو متغیر برای تقاطع عمل می‍کند و یا به عبارتی، مقادیر R و Q در تولید فرزندان بین دو والد تعویض می‍شوند.

عملگر تقاطع دو نقطه‍ای: در این عملگر یکی از نقاط در محدوده‍ میانی ژن‍های R و دیگری در محدوده‍ی میانی ژن‍های Q به صورت تصادفی انتخاب می‍گردد و عمل تقاطع انجام می‍شود. نقطه اول به صورت تصادفی در نیمه‍ اول کرموزوم و نقطه‍ دوم نیز به صورت تصادفی در نیمه دوم کروموزوم انتخاب می‍گردد .

عملگر تقاطع چهار نقطه‍ای: این عملگر از هر قسمت کروموزوم (کروموزوم‍ها دارای دو بخش به طول مساوی و به‍ترتیب بیان‍کننده نقطه سفارش‍دهی و حجم سفارش هستند) دو نقطه تصادفی انتخاب کرده، عمل تقاطع بین نقاط انجام می‍گیرد. نقطه‍های اول و دوم به صورت تصادفی در نیمه اول، و نقطه‍های سوم و چهارم در نیمه دوم انتخاب می‍گردد.

در عملگر تقاطعی یکنواخت، ژنها به صورت تصادفی از والد1 یا والد2 انتخاب میشوند.

 

3-1-4 عملگر جهش

در این مقاله، احتمال جهش بیان‍کننده احتمال رخ دادن جهش در هر کروموزوم است. بدین ترتیب، با داشتن طول هر کروموزوم احتمال جهش برای ژن‌های آن محاسبه شده، ژن‍های کروموزوم با احتمال به دست آمده متمم می‍شوند. برای مثال، در صورتی که احتمال جهش یک کروموزوم به طول 20 را 20% در نظر بگیریم، احتمال جهش هر ژن آن به صورت زیر محاسبه می‍شود:

 

احتمال رخ ندادن جهش در کروموزوم 

 

احتمال رخ دادن جهش در هر ژن کروموزوم به طول:

20:

 

علت استفاده از روش فوق، متغیر بودن طول کروموزوم‍هاست، در صورتی که احتمال جهش برای هر ژن از پیش تعیین شده و طول کروموزوم کوتاه باشد، ممکن است الگوریتم در بهینه محلی گرفتار شود و در مواقعی که طول کروموزوم بلند باشد، الگوریتم را تبدیل به جستجو'گر تصادفی می‍کند. برای مثال، در صورتی که طول کروموزوم 50 و احتمال جهش هر ژن 0.03 در نظر گرفته شود احتمال جهش نکردن کروموزوم برابر با 0.21 و در صورتی که طول کروموزوم 10 باشد، این احتمال برابر با 0.73 درصد است.

 

3-1-5 عملگر انتخاب

در این تحقیق، به علت اختلاف زیاد بین مقادیر برازندگی برای انتخاب کروموزومها از روش رتبهبندی خطی استفاده شده است. در حالتی که اختلاف بین مقادیر برازندگی یک جمعیت زیاد باشد، معمولاً از روش رتبه‌بندی برای انتخاب استفاده می‌شود. در این حالات، روش رتبه‌بندی موجب می‌گردد که از همگرایی بیش از حد سریع الگوریتم جلوگیری کند. در روش رتبه‌بندی خطی، افراد جمعیت برحسب برازندگی‏شان به ترتیب از 1 تا N (تعداد جمعیت) رتبه‏بندی می‏شوند. نرخ انتظار هر فرد هم به جای بستگی به برازندگی مطلق، به رتبه‏ آن فرد بستگی دارد. پس از رتبه‌بندی افراد جمعیت، هر عضو با احتمالی برابر با نسبت رتبه آن عضو به مجموعه رتبه‌های کل جمعیت انتخاب می‌گردد.

 

3-1-6 تنظیم پارامتر‍های الگوریتم ژنتیک

به منظور بهینه‍سازی پارامترهای الگوریتم ژنتیک، مقدار پارامترهای این الگوریتم را ‍متغیر فرض کرده و توسط رویه تکرای مقادیر آنها مورد ارزیابی قرار گرفته است (فتاحی، 1388). در محاسبات فوق، معیار ارزیابی پارامترها، تعداد نقاط جستجو شده در الگوریتم ژنتیک تا رسیدن به نقطه بهینه فرض شده است. برای این منظور، الگوریتم زنتیک برای هر حالت پارامترها، 20 بار اجرا و متوسط نقاط جستجو شده به عنوان معیار ارزیابی پارامترها محاسبه شده‌است. نقطه بهینه مطلق نیز برای مسایل مورد استفاده (جدول شماره1) در الگوریتم فوق به روش جستجوی نقطه به نقطه محاسبه گردیده است.

 

جدول 1 - خصوصیات مساله‌ها برای تنظیم پارامتر الگوریتم ژنتیک

شماره مساله

             

1

1000

30

0.0001

100

400

1000

500

2

100

35

0.01

100

400

1000

500

3

10000

250

0.001

100

400

1000

500

4

1000

124

0.001

58

850

5400

898

5

5485

124

0.01

650

950

500

378

6

445

21

0.0001

657

745

3215

78654

 

نتایج بهترین پارامترها برای مساله ژنتیک با عملگرهای متفاوت در جدول 2 نمایش داده شده است. در ابتدا به تحلیل کارایی عملگرهای انتخابی می‌پردازیم. براساس جدول شماره 2 مشخص شد که عملگر شماره 4 که همان عملگر یکنواخت برای ادغام است، نتایج بهتری را نسبت به بقیه به دست  آورده است. همچنین،  براساس نتایج به دست آمده، عملگرها به ترتیب ذیل دارای کارایی بهتر هستند. ابتدا عملگر یکنواخت (شماره 4) بهترین نتیجه و سپس عملگر چهار نقطه‍ای (شماره 3)، عملگر دو نقطه‍ای (شماره 2)، و عملگر تک نقطه‍ای (شماره 1) دارای کارایی بوده‌اند. به‌ همین علت در ارزیابی‌ها عملگر یکنواخت به عنوان عملگر مناسب برای ادغام انتخاب گردید.

 

جدول 2 - نتایج بهترین پارامترها برای مساله ژنتیک با عملگرهای متفاوت

شماره عملگر تقاطع

شماره مساله

اندازه جمعیت

تعداد فرزندان

پارامتر جهش

متوسط تعداد نقاط جستجو شده

1

1

28

24

0.35

25000

2

1

32

20

0.22

16610

3

1

28

12

0.28

15710

4

1

52

40

0.23

11250

1

2

32

24

0.39

23500

2

2

44

28

0.38

20850

3

2

16

8

0.43

6500

4

2

12

8

0.36

5700

1

3

48

40

0.25

40000

2

3

28

24

0.34

41000

3

3

20

8

0.31

8000

4

3

12

8

0.43

8000

1

4

24

20

0.33

34920

2

4

16

8

0.48

20180

3

4

16

12

0.26

19812

4

4

24

16

0.46

15920

1

5

24

16

0.37

16160

2

5

32

28

0.29

8260

3

5

20

12

0.38

9156

4

5

16

8

0.58

5544

1

6

20

16

0.37

4496

2

6

36

28

0.43

2520

3

6

28

24

0.19

1224

4

6

24

16

0.25

848

 

سپس برای تنظیم سایر پارامترها، شش مساله مورد بررسی با هر شش حالت این پارامترها حل گردیده و کمترین مجموع تعداد نقاط جستجو شده برای شش مساله، معیار ارزیابی این پارامترها قرار گرفته است. نتایج در جدول 3 نمایش داده شده​اند. پارامترهای بهینه الگوریتم علاوه بر عملگر یکنواخت که برای ادغام استفاده شده بود عبارتند از: اندازه جمعیت 12، تعداد فرزندان 8، احتمال جهش 0.36

 

جدول 3 - حل 6 مساله مورد بررسی با ترکیب پارامترهای مورد مطالعه

اندازه جمعیت

تعداد فرزندان

پارامتر جهش

مجموع تعداد نقاط جستجو شده

52

40

0.23

75440

12

8

0.36

51352

12

8

0.43

58352

24

16

0.46

65424

16

8

0.58

56240

24

16

0.25

64544

 

همچنین در الگوریتم ژنتیک استفاده شده در این مساله به ازای هر چند نسل (در اینجا 50 نسل)، شعاع کوچکی از بهترین نقطه موجود فعلی به صورت نقطه به نقطه بررسی می‍شود و بهترین نقطه‍ موجود در این شعاع به جمعیت الگوریتم ژنتیک افزوده می‍شود. این امر باعث افزایش چشمگیر سرعت حل مساله می‍گردد. برای نشان دادن این موضوع، تعدادی مساله تصادفی طرح شده و میانگین زمان حل و نقاط جستجو شده برای 10 بار اجرا معیار مقایسه قرار گرفته است. زمان حل برنامه و انحراف معیار نمونه‍ها در الگوریتم جدید کوچکتر از روش قبلی است که برتری این روش را نسبت به الگوریتم عادی ژنتیک نشان می‍دهد. به منظور اثبات کوچکتر بودن مقادیر نقاط جستجو شده در الگوریتم جدید از آزمون فرض برابری میانگین‌های دو جامعه نرمال با واریانس‌های نامعلوم و نه لزوماً مساوی استفاده شده است.

 

 

 

 

 نشان​دهنده متوسط نقاط جستجو شده در عملگر تقاطعی یکنواخت است و نشان​دهنده متوسط نقاط جستجو شده در عملگر تقاطعی یکنواختی است که به ازای هر 50 نسل شعاع کوچکی اطراف بهترین نقطه جمعیت را به صورت نقطه به نقطه جستجو می​کند پس از انجام آزمون‍ها، فرض صفر در همه نمونه‍ها در سطح معنادار 0.95 رد می‍شود. شکل‌ 5 نشان‍دهنده‍ روند همگرایی پنج عملگر فوق در دو مساله تصادفی است. همچنین، تعداد نسلها را برابر با میانگین نسل​ها تا رسیدن به جواب بهینه یعنی 611 قرار می‌دهیم.

 

 

 

شکل 5 - مقایسه روند همگرایی 5 عملگر در دو مساله تصادفی

3-2  الگوریتم انجماد تدریجی

الگوریتم انجماد تدریجی ([17]SA) یا انجماد تدریجی یک روش تصادفی بوده که از مکانیزم آماری برای یافتن جواب‍های مسایل بهینه‍سازی استفاده می‍کند. SA بر مبنای فرایند آنیلینگ شکل گرفته است. جستجوی جواب با استفاده از SA با تولید یک نقطه اولیه آغاز می‍شود و هر جواب به عنوان یک آرایش مولکولی با سطح انرژی برابر با مقدار تابع هدف برای رشته جواب متناظر در نظر گرفته می‍شود، سپس دمای اولیه الگوریتم با تابع از پیش تعریف شده‍ای کاهش داده شده و در هر دما چندین نقطه تولید و سپس ارزیابی می‍شود (فتاحی، 1388).

 

جدول4 - نتایج بهترین پارامترها برای الگوریتم انجماد تدریجی

شماره مساله

دمای اولیه

نرخ کاهش دما

تعداد نقاط پذیرش شده لازم در هر حلقه

متوسط نقاط جستجو شده

1

2149

0.06

8

1975

2

2099

0.17

9

1644

3

1800

0.18

11

1890

4

1442

0.14

9

2436

5

2306

0.18

13

1832

6

2091

0.17

12

1555

 

جواب‍های بهتر جایگزین جواب‍های قبلی شده و جواب‍های بدتر در هر مرحله با احتمال Pn جایگزین رشته جواب قبلی می‍شوند. شانس جا به جایی یک جواب خوب با یک جواب بدتر، خروج الگوریتم از بهینه محلی را تضمین می‍کند و از طرف دیگر، کاهش احتمال پذیرش جواب بدتر با کاهش دما، موجب تضمین همگرایی SA است. به همین ترتیب، الگوریتم ادامه می‍یابد تا شرایط مورد نظر برای خاتمه الگوریتم حاصل گردد(مثلا دمای الگوریتم به زیر دمای حداقل تعریف شده برسد) (فتاحی، 1388).

برای تعیین مقادیر بهینه پارامترهای الگوریتم انجماد تدریجی نیز از روش استفاده شده در تعیین مقادیر بهینه پارامترهای الگوریتم ژنتیک، استفاده شده است. نتایج به شرح جدول 4 است.

به منظور تعیین بهترین حالت، هر شش مساله با شش حالت پارامترهای فوق حل گردیده و مجموع نقاط جستجو شده برای هر پارامتر معیار ارزیابی بهترین پارامتر قرار گرفته است و نتیجتاً دمای اولیه 2099، نرخ کاهش دما 0.17، و تعداد نقاط پذیرش شده لازم در هر حلقه 9 عدد است. همچنین، در الگوریتم فوق در صورتی که بیش از 400 نقطه جستجو شود، دما کاهش می‍یابد.

برای تعیین دمای پایانی الگوریتم، مسایل را با پارامترهای فوق دمای اولیه 2099، نرخ کاهش دما 0.17، و تعداد نقاط پذیرش شده لازم در هر حلقه 9 عدد حل کرده و حداقل دمایی که الگوریتم به جواب بهینه رسیده، برابر با 1.2 به عنوان دمای پایانی الگوریتم فرض می‍شود. روند همگرایی نقاط پذیرش‍شده در الگوریتم انجماد تدریجی در شکل 6 نمایش داده شده است.

 

 

شکل 6 - نمایش روند همگرایی نقاط پذیرش‍شده در الگوریتم انجماد تدریجی

4- تجزیه و تحلیل

4-1 مقایسه دو الگوریتم ژنتیک و انجماد تدریجی

پس از تعیین پارامترهای هر یک از الگوریتم‍ها به منظور مقایسه دو الگوریتم ژنتیک و انجماد تدریجی تعدادی مساله تصادفی طرح شده و نتایج آزمایش‍ها در زیر مقایسه شده‍اند. مسایل را در سه دسته کوچک (جدول 5)، متوسط (جدول 7)، بزرگ (جدول 9) بر اساس مقدار حداکثر تقاضا تقسیم می‍کنیم:

تقاضاهای کمتر از 3000 مسایل کوچک، بین 3000 تا 20000 مسایل متوسط و از 20000 به بالا مسایل بزرگ. در هر دسته 10 مساله تصادفی طرح گردیده و پس از 10 بار حل هر مساله توسط هر دو الگوریتم، این الگوریتم‍ها براساس بهترین پاسخ، کمترین انحراف معیار و متوسط مقدار پاسخ مقایسه گردیده‍اند.

 

4-1-1 دسته اول مسایل کوچک

از نظر بهترین نقطه 90% نتایج یکسان، و 10% مواقع الگوریتم انجماد تدریجی، از نظر میانگین 40% مواقع نتایج یکسان و در 60% مواقع الگوریتم انجماد تدریجی نتایج بهتری حاصل نموده است. همچنین، از نظر تعداد نقاط جستجو شده به طور کلی الگوریتم انجماد تدریجی نقاط کمتری را مورد جستجو قرار داده و زمان حل الگوریتم بسیار کمتر از الگوریتم ژنتیک است(جدول 6). شایان ذکر است که مجموع نقاط جستجو شده در الگوریتم ژنتیک ثابت و برابر 6888 نقطه است.

جدول 5 - خصوصیات مسایل دسته اول

شماره مساله

             

1

326

730

0.00432

724

2312

5392

2142

2

1065

242

0.00471

288

381

15596

631

3

1032

41

0.00296

1680

3641

26566

4454

4

2396

99

0.0044

445

1777

28810

2307

5

1060

266

0.00437

126

434

23395

4821

6

674

116

0.00447

418

843

7805

1408

7

2826

767

0.00383

278

2104

5179

1846

8

2337

435

0.0035

548

1475

4341

1185

9

2818

193

0.00218

88

744

25998

961

10

1346

214

0.00329

64

952

14761

1050

 

شکل‌های 7 تا 9 نشان‍دهنده روند همگرایی در الگوریتم ژنتیک و انجماد تدریجی در دو مساله تصادفی در هر دسته از مسایل است، خطوط آبی نشان‍دهنده بهترین نقطه جمعیت در هر مرحله از الگوریتم ژنتیک و خطوط قرمز نشان‍دهنده بهترین نقطه در هر 8 بار جستجو در الگوریتم انجماد تدریجی است. دلیل انتخاب هر 8 بار هم مقیاس کردن دو الگوریتم انجماد تدریجی و ژنتیک است، زیرا در هر مرحله از الگوریتم ژنتیک حداقل 8 نقطه جدید به دست می‍آید (تعداد فرزندان برابر با 8 است).

 

4-1-2 دسته دوم مسایل متوسط

در ارتباط با این دسته از مسائل، از نظر بهترین نقطه 40% نتایج یکسان، و 60% مواقع الگوریتم انجماد تدریجی نتایج بهتری حاصل نموده است. همچنین، از نظر میانگین نتایج و انحراف معیار در همه‍ موارد الگوریتم انجماد تدریجی نتایج بهتری نسبت به الگوریتم ژنتیک به دست آورده است (جدول 8).

 

 

 

شکل 7 - مقایسه همگرایی الگوریتم SA و GA برای دسته اول مسایل

 

 

جدول 7 - خصوصیات مسایل دسته دوم

شماره مساله

             

1

17801

5037

0.00297

536

1683

7702

1714

2

9743

453

0.00286

284

296

5486

799

3

3612

639

0.00023

413

694

36899

3940

4

17110

4012

0.00298

785

1913

21281

2748

5

9120

1844

0.00366

754

1711

43533

1953

6

22605

4569

0.00193

1924

3092

4359

4472

7

11386

2190

0.00094

367

1148

7651

3151

8

20570

3297

0.00175

161

173

27877

905

9

10880

2252

0.00085

188

529

3044

872

10

3599

1084

0.00471

2420

4464

20271

4870

 

از نظر تعداد نقاط جستجو شده، به طور کلی الگوریتم انجماد تدریجی نقاط کمتری را مورد جستجو قرار داده است و زمان حل الگوریتم بسیار کمتر از الگوریتم ژنتیک است.

 

 

شکل 8.- مقایسه همگرایی الگوریتم SA و GA برای دسته دوم مسایل

4-1-3 دسته سوم مسایل بزرگ

در این مسایل، الگوریتم انجماد تدریجی در همه موارد نتایج بهتری نسبت به الگوریتم ژنتیک ارائه کرده، اما متوسط نقاط جستجو شده به شدت افزایش یافته و به طور متوسط 55 برابر نقاط جستجو شده در الگوریتم ژنتیک است. نتایج در جدول 10 و شکل شماره 9 نمایش داده شده است. همان طور که در این شکل مشاهده می‍شود، الگوریتم انجماد تدریجی سریعتر و یکنواخت‍تر به سمت نقطه بهینه نزدیک می‌شود.

 

جدول 9. خصوصیات مسایل دسته سوم

شماره

 مساله

             

1

27046

3055

0.00404

201

2032

41276

3497

2

126769

34204

0.00058

27

168

34390

641

3

139875

11749

0.00463

191

633

8223

581

4

26595

105

0.00327

702

3634

45448

2951

5

192952

56390

0.00151

1304

2081

13206

4136

6

78810

16119

0.00256

763

4187

15909

3920

7

162135

27013

0.00446

1519

3114

4618

3046

8

165954

22069

0.00404

1142

2123

30296

2418

9

80617

4986

0.00291

1446

2624

35274

4036

10

182365

34300

0.00109

973

2003

207

2799

 

 

شکل 9-مقایسه همگرایی الگوریتم SA و GA برای دسته سوم مسایل

 

شایان ذکر است که سرعت حل برنامه‍ها به شدت تحت تاثیر دقت مورد محاسبه و پارامترهای ورودی مساله است. در نهایت، برای نشان دادن تفاوت بین افزایش هزینه‍های کمبود و مدل فوق که در چکیده بیان شد، فرض کنید با قرار دادن هزینه‍های کمبود برابر با 200000 در مثال 1 علی‍رغم نزدیک شدن نقاط R و Q به نقاط بهینه، سود حاصله به طور کلی متفاوت بوده یا برای مثال درهمه نقاطی که با کمبود‍های بیش از 0.01% رو به رو شوند، نقاط غیرقابل قبول و مقدار سود آنها منفی است، در حالی که در مدل فوق آن نقاط نیز سودآور اما بهینه نیستند. در ضمن، از دید مدیریت پرداخت چنین هزینه‍ای برای کمبود کاملا غیرعقلانی است. در دو مدل برای نقطه‍ (R , Q) = (50،150): مدل فوق جواب   و در حالتی که هزینه کمبود مطابق فوق باشد، داریم:

 

5- نتیجهگیری

آنچه در این تحقیق بررسی شده، شرایطی است که در آن مقدار تقاضا متاثر از درصد کمبود کالاست. تحت شرایط فوق در صورت افزایش موجودی و به تبع آن افزایش هزینه‍های نگهداری و کاهش درصد کمبود کالا، انتظار می‍رود مقدار تقاضا و درآمد شرکت افزایش یابد. مساله تعیین سیاست بهینه سفارش‍دهی در راستای حداکثر نمودن سود شرکت است.

همان ‌طور که در مقدمه بیان شد، برای اعمال تاثیر هزینه‍های کمبود تاکنون مدل‍های متنوعی به وجود آمده و توسعه داده شده‍اند. در این پروژه این تاثیرپذیری به شکل دیگری مدل و بررسی شده است. هدف از این نوع مدل کردن، اعمال تاثیر هزینه‍های کمبود مرتبط با اعتبار سازمان در فضای رقابتی بر تقاضای سازمان است.

در الگوریتم ژنتیک مورد استفاده در این مقاله، به ازای هر چند نسل (در اینجا 50 نسل)، شعاع کوچکی از بهترین نقطه موجود فعلی به صورت نقطه به نقطه بررسی می‍شود و بهترین نقطه‍ موجود در این شعاع به جمعیت الگوریتم ژنتیک افزوده می‍شود. این امر باعث افزایش چشمگیر سرعت حل مساله می‍گردد. نتایج محاسباتی کارایی الگوریتم ژنتیک توسعه یافته را نشان می‌دهد.

نتایج محاسباتی کارایی دو الگوریتم در یافتن نقاط نقطه سفارش و میزان سفارش در شرایطی که تقاضا متاثر از میزان کمبود است را نشان می‌دهد. همچنین،  نتایج اهمیت توجه به موضوع، تاثیر کمبود روی تقاضا را نشان می‌دهد. در این حالت، هزینه کمبود به صورت واقعی‌تری مدنظر قرار گرفته است و نتایج در شرایط واقعی‌تری از مساله به دست  می‌آید. در این میان نتایج مقایسه دو الگوریتم توسعه یافته نشان می‌دهد که در مجموع الگوریتم انجماد تدریجی ارایه شده نسبت به الگوریتم ژنتیک ارایه شده برای مساله مورد بررسی در این تحقیق نتایج بهتری را به دست  می‌آورد. از نظر تعداد نقاط جستجو شده نیز به طور کلی الگوریتم انجماد تدریجی نقاط کمتری را مورد جستجو قرار داده است و زمان حل الگوریتم بسیار کمتر از الگوریتم ژنتیک است.

توسعه مدل فوق برای سفارش‌های چند کالایی با توجه به محدودیت‍های حداکثر فضای کل انبار و وجود نرخ‍های متفاوت Ji که نشان‍دهنده حداکثر کمبود قابل قبول برای هر کالاست، می‍تواند زمینه‍ای برای تحقیقات آینده باشد.

 


جدول 6 - مقایسه الگوریتم ژنتیک و انجماد تدریجی، دسته مسایل کوچک

مساله

بهترین نقطه (SA)

میانگین نتایج (SA)

انحراف معیار نتایج (SA)

متوسط نقاط جستجو شده (SA)

بهترین نقطه (GA)

میانگین نتایج (GA)

انحراف معیار نتایج (GA)

1

528510

528510

0

8184

528510

528510

0

2

429821

429821

0

6778

429821

429821

0

3

5321986

5321986

0

8756

5321986

5321986

0

4

5192392

5192392

0

4950

5192392

5180414

16923

5

4965660

4965660

0

6210

4965660

4965107

1235

6

779637

779637

0

7397

779637

779637

0

7

4582078

4582076

4

3792

4579661

4568190

6667

8

2063665

2063665

0

6340

2063665

2058952

10197

9

2559745

2559745

0

4670

2559745

2559136

619

10

1333402

1333402

0

3671

1333402

1333401

1

 

جدول 8- مقایسه الگوریتم ژنتیک و انجماد تدریجی، دسته مسایل متوسط

مساله

بهترین نقطه (SA)

میانگین نتایج (SA)

انحراف معیار نتایج (SA)

متوسط نقاط جستجو شده (SA)

بهترین نقطه (GA)

میانگین نتایج (GA)

انحراف معیار نتایج (GA)

1

22721100

22721072

29

10982

22720737

22584212

138006

2

7314448

7314448

0

64440

7314448

7252451

92257

3

13094733

13094728

13

4453

13094733

13074789

17378

4

37856979

37856976

8

9088

37729920

37288161

484544

5

13645686

13645614

65

4870

13645686

13524612

144026

6

74786853

74786286

419

8616

74775807

74053724

824898

7

3324201

3324201

0

6684

33233686

33198469

56425

8

16827169

168271167

4.6

8694

16826966

16782509

50821

9

8097102

8097101

2

6276

8088147

8056587

35701

10

10312339

10312339

0

3546

10312339

10309904

4086

 

جدول 10 - مقایسه الگوریتم ژنتیک و انجماد تدریجی، دسته مسایل بزرگ

مساله

بهترین نقطه (SA)

میانگین نتایج (SA)

انحراف معیار نتایج (SA)

متوسط نقاط جستجو شده (SA)

بهترین نقطه (GA)

میانگین نتایج (GA)

انحراف معیار نتایج (GA)

1

92349732

92349732

0

3547

92345359

92314987

27110

2

78001233

78001225

6

72751

77967317

77827732

101312

3

74684965

74684965

0

18289

74220430

73392691

752118

4

76990537

76990537

0

3949

76712020

76168418

360209

5

572863505

572862077

1161

89477

566467604

562001324

4787730

6

272494047

272493967

73

32272

272016428

271342063

825129

7

339569976

339569976

0

51587

338718289

333496055

4306352

8

330545429

330545356

67

37865

328703303

326550624

2066610

9

303489430

303489424

14

10202

303487834

300083457

3221005

10

405083570

405083570

0

56643

404665770

402804935

1567234



[1] Reorder point

[2] Order quantity

[3] Montgomery, et al.

[4] Rosenberg

[5] Park

[6] Impatient customer

[7] Lee & Nahmias

[8] Papachristos & Skouri

[9] Chu & Chen

[10] Wang

[11] San-Jose, et al.

[12] You

[13] San-Jose, et al.

[14] Krishnamoorthy & Artalejo

[15] Silver, et al.

[16] Laua, A.H , Lau

[17] Simulated Annealing

 

 

 

فتاحی، پرویز. (1388). الگوریتم‌های فراابتکاری، انتشارات دانشگاه بوعلی سینا.چاپ اول

Chu, P., Chen, P.S) .2002). "A note of inventory replenishment policies for deteriorating items in an exponentially declining market", Comput .Operation. Res. 29: 1827–1842.

Krishnamoorthy, J.R., Artalejo, A) .2006). "Numerical analysis of )S,s( inventory systems with repeated attempts",Ann Oper Res 141: 67-83.

Lee, H.L., Nahmias, S) .1993). "Single-product single-location models" in: S.C. Graves, A.H.C. Rinnoy, P.H. Zipkin )Eds.(, Handbooks in Operations Research and Management Science, Logistics of Production and Inventory,. 4, North-Holland, 3–55.

Laua, A.H , Lau, H.S) .2002). "A comparison of different methods for estimating the average inventory level in a )Q,R( system with backorders, Int" J. Production Economics 79: 303-306.

Montgomery, D.C., Bazaraa M.S., Keswani A.K) .1973). "Inventory models with a mixture of backorders and lost sales", Naval Res. Logist. Quart., 20:  255–263.

Papachristos, S., Skouri, K) .2000)." An optimal replenishment policy for deteriorating items with time-varying demand and partial –exponential type – backlogging", Operation. Res. Letter, 27: 175–184.

Park, K.S) .1982). Inventory model with partial backorders", Int. J. Syst. Sci. 13:1313–1317

Rosenberg, D) .1979). A new analysis of a lot size model with partial backlogging, Naval Res. Logistic.  Quart., 26: 346-353.

San-Jose, L.A., Sicilia, L.A., Laguna, J.G) .2005). The lot size-reorder level inventory system with customers impatience functions, Comput .Indus. Eng. 49: 349-362.

San-Jose, L.A, Sicilia, J., GarcıLaguna, J).2007). An economic lot-size model with partial backlogging hinging on waiting time and shortage period, Applied Mathematical Modeling 31: 2149-2159.

Silver, E.A., Pyke, D.F., Peterson, R) .1998). Inventory Management and Production Planning and Scheduling.  New York, Wiley.

Wang, S.P) .2002). An inventory replenishment policy for deteriorating items with shortages and partial backlogging, Comput. Operation. Res., 29: 2043-2051.

You, P.S. (2005). Optimal replenishment policy for product with season pattern demand, Operation. Res. Letter., 33:  90–96.