توسعه مدل EPQ با اعمال نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه، محصول معیوب،کمبود و موجودی در جریان ساخت

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 استادیار دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه صنعتی مالک اشتر اصفهان

2 دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی صنایع، دانشگاه آزاد اسلامی واحد نجف‌آباد

چکیده

  تعیین اندازه بهینه دسته تولید، از جمله مسائلی است که همواره در مباحث برنامه­ریزی تولید مورد توجه محققان قرار گرفته، به طوری که در این زمینه تاکنون مدل‌های فراوانی ارائه شده­اند. از جمله مسائلی که کمتر مورد توجه قرار گرفته، مسأله خرابی ماشین است. بدیهی است که ماشین تولیدکننده ممکن است در زمان انجام ماشین‌کاری با خرابی­های تصادفی مواجه شود که این موضوع ضرورت به کارگیری سیاست نگهداری و تعمیرات مناسب را توجیه می‌کند. در این مقاله با در نظر گرفتن فرضیاتی، از قبیل مجاز بودن کمبود، در نظر گرفتن موجودی در جریان ساخت و امکان تولید محصولات معیوب با قابلیت دوباره­کاری و بدون قابلیت دوباره­کاری، مدل مقدار اقتصادی تولید EPQ در حالت اتخاذ سیاست نگهداری وتعمیرات پیشگیرانه بررسی شده، و با مینیمم­سازی هزینه کل سیستم، مدل جدیدی برای تعیین اندازه بهینه دسته تولید طراحی و با ارائه نمونه های عددی کاربرد آن تایید شده است.    

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Developing EPQ Model Considering Preventive Maintenance, Defective Product, Shortage and Work in Process Inventory

نویسندگان [English]

  • Akbar Nilipour Tabatabaei 1
  • Mehdi Alimohamadi 2
1 Assistant professor, Malek-e-Ashtar University of Technology, Isfahan
2 Department of Industrial Engineering, Najafabad Branch, Islamic Azad University
چکیده [English]

Determination of optimal production lot size has been always noticed by researchers and various models have been proposed in this area. Among the subjects, which has been less considered in these models is machine failure. Obviously, a machine may encounter random failures during its working period and this makes clear the need for applying an appropriate maintenance policy for the machinery. In this paper based on assumptions such as authorized shortage, work in process inventory and possibility of producing defective products with and without the ability to re-work, EPQ model has been investigated and developed to select Preventive Maintenance (PM) policy for the machinery. In addition, by minimizing system’s total cost over a period of time, a formula has been presented for determining optimal production lot size and its application has been examined using various numerical examples.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Work in process inventory
  • Shortage
  • Optimal production lot size
  • Preventive Maintenance
  • Defective product

مقدمه

مدل مقدار اقتصادی تولید EPQ یک مدل ریاضی در زمینه مدیریت موجودی در یک سیستم تولید موجودی است که به عنوان یکی از عمومی ترین مدلهای Lot-sizingدر زمینه مدیریت و کنترل موجودی‌ها در صنعت دارای کاربرد است (اوستریانگ و همکاران، 1986). این مدل را می توان توسعه‌ای از مدل مقدار اقتصادی سفارش EOQ دانست که با در نظر گرفتن نرخ تولید ثابت در مدل مقدار اقتصادی سفارش حاصل شده است (راستی و همکاران، 2011). به بیان دیگر، در صورتی که به جای خرید کالاهای مورد نیاز از تأمین کنندگان دیگر، در داخل شرکت به تولید آنها بپردازیم، غالبا از مدل مقدار اقتصادی تولید برای تعیین اندازه دسته­های بهینه تولید استفاده می­کنیم. این مدل تاکنون به منظور انطباق با بخش عملیاتی شرکت‌ها با درنظرگرفتن حالت‌های مختلفی از جمله تولید محدود شده و ظرفیتهای انبار، تولید چند سطحی، تقاضای تصادفی، تولید تک ماشینی، انجام دوباره­کاری روی محصول معیوب، در نظر گرفتن موجودی در جریان ساخت و توسعه داده شده است (ناهمیاس،1993؛ سیلور، 1981و 1998).

صرف‌نظر از سطح پذیرش قابل قبول این مدل در حوزه های صنعتی، وجود تعدادی فرضیات غیر واقعی در آن، از جمله هزینه راه اندازی، هزینه نگهداری و نرخ تقاضا که برآمده از پارامتراهای ورودی مدل هستند موجب شده است که پژوهشگران به تحقیق و بررسی بیشتر در مورد کاربردهای عملی این مدل بپردازند (جابر و همکاران،2004).

هیک و سالامه (2001) یک مدل EPQ را برای حالتی که در آن درصد کالاهای معیوب دارای توزیع یکنواخت است، توسعه داده اند. فرض‌های اصلی که در مدل آنها به کار گرفته شده است، عبارتند از : سفارش‌های عقب افتاده مجاز بوده، همه کالاهای معیوب به منظور دستیابی به کیفیت مطلوب، تحت دوباره­کاری قرار می گیرند و زمان دوباره کاری نیز در مدل در نظر گرفته شده است (هیک و سلامه،2001). چیو(2003) مدل هیک و سالامه (2001) را با الحاق این فرض توسعه داد که به جای تمامی کالاهای معیوب، تنها بخشی از آنها برای دستیابی به کیفیت مورد نظر تحت دوباره کاری قرار می­گیرند و مقادیر باقیمانده با قیمت حراج به فروش می­رسند. وی در مدل خود با در نظر گرفتن تقاضای عقب افتاده و یک نرخ تصادفی برای قطعات معیوب، ضایعات و دوباره­کاری قطعات معیوب با قابلیت دوباره­کاری، هزینه­های سیستم را کمینه کرد (چیو، 2003). شوالر (1988) درصد مشخصی از یک دسته دریافت شده را به قطعات معیوب اختصاص داد و برای تشخیص و حذف قطعات معیوب، یک عملیات بازرسی با هزینه­های ثابت و متغیر در نظر گرفت (شوالر، 1988). جمال و همکارانش (2004) مسأله مقدار اقتصادی تولید را با توجه به فرآیند دوباره­کاری برای حالت تک محصولی بررسی کردند و مقدار اقتصادی تولید را در حالت تک محصولی به دست آوردند.

در بسیاری از مدل‌ها با در نظر گرفتن سفارش‌های عقب افتاده به عنوان یک فاکتور کلیدی به مدل‌سازی پرداخته­اند. کاردناس بارون (2008، 2001) برای یک سیستم تولیدی تک مرحله­ای به صورت جبری یک مدل EPQ با در نظر گرفتن سفارش‌های عقب افتاده، یک مدل EPQ بدون در نظر گرفتن سفارش‌های عقب افتاده و همچنین، یک مدل EPQ با دوباره­کاری ارائه کرده است. وی همچنین، شیوه نوینی پیشنهاد کرده است که می‌تواند مقدار تولید بهینه و سطح سفارش‌های عقب افتاده را با در نظر گرفتن هزینه­های سفارش‌های عقب افتاده به صورت خطی و ثابت محاسبه کند(کاردناس بارون، 2010). چانگ و همکارانش (2005) مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده را با کاربرد یک روش ساده زوجی توسعه دادند. اسپیکاس (2006) نیز مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده را با در نظر گرفتن دو نوع از هزینه­های سفارش‌های عقب افتاده کلاسیک بدون مشتقات پیشنهاد کرده است. وی سفارش‌های عقب افتاده بسیار گران و سفارش‌های عقب افتاده جذاب را مشخص نموده و به آنالیز آنها پرداخته است. دریک و همکارانش (2001) برنامه­ریزی دسته تولیدی را برای یک سیستم دو مرحله­ای را که محصول نهایی در آن با کاربرد یک مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده جزئی برنامه­ریزی شده است، را در نظر گرفته­اند. در پژوهش آنها تولید اجزا با کاربرد مدل‌های EPQ پایه­ای بدون سفارش‌های عقب افتاده تحت کنترل است. آنها همچنین، یک استراتژی ذخیره موجودی بهینه بسته را برای یک مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده جزئی در یک نرخ ثابت β ارائه نموده­اند (دریک و همکاران، 2011). شارما (2007) سفارش‌های عقب افتاده جزئی را در یک مدل که به آنالیز عامل بالقوه برای صرفه­جوئی در هزینه­ها می­پردازد، به حساب آورد؛ با این شرط که با هدف حرکت از تولید  متناوب به سمت تولید مداوم، نرخ تولید در یک مدل کلاسیک EPQ به منظور طولانی شدن فاز تولید در هر سیکل تولید – موجودی،کاهش یابد.

چیو و همکارانش (2007) به ارائه روشی پرداختند که به منظور تعیین زمان بهینه اجرای فرآیند در یک مدل EPQ که با ضایعات، دوباره­کاری و خرابی‌های تصادفی ماشین همراه است، کاربرد دارد. روزنبلت و لی (1986) یک مدل  EPQ‌ برای یک سیستم تولیدی که دربرگیرنده تولید معیوب است، پیشنهاد کرده­اند. در مدل آنها فرض اصلی این است که سیستم تولیدی کالاهای %100 نامعیوب را از نقطه شروع تولید تا یک نقطه زمانی که به صورت یک متغیر تصادفی است، تولید می­کند. در این نقطه زمانی سیستم از کنترل خارج شده و تا پایان پریود تولید با یک درصد تولیدی شروع به تولید کالاهای معیوب می­کند؛ با این فرض که توزیع زمان سپری شده تا لحظه­ای که سیستم از کنترل خارج می­شود، نمائی باشد. در مدل آنها همچنین، سفارش‌های عقب افتاده مجاز نیست (روزنبلت و لی، 1986).

در بسیاری از سیستم‌های تولیدی، WIP یا موجودی در جریان ساخت یکی از اجزای هزینه­های موجودی بوده که معمولا در فرمول‌های Lot-Sizing در نظر گرفته نمی­شود (راستی و همکاران، 2011). بوچر (1984) اولین کسی است که برای سیستم‌های تکنولوژی گروهی مقدار Lot-Size را با در نظر گرفتن موجودی در جریان ساخت محاسبه کرد (بوچر، 1984). سامادار و هیل (2007) در وضعیتی که زمان راه­اندازی فرآیند کاهش می­یابد، برای آنکه بتوانند به شرایط دقیقی دست یابند که در آن موجودی در جریان ساخت به بهبود یا عدم بهبود فرآیند منجر می­شود، فرمول‌های ریاضی دقیقی ارائه کرده­اند که واریانس تغییرات حاصل شده را به خوبی توصیف می­کند (سامادار و هیل، 2007).می­توان گفت که تقریبا در تمام پژوهش‌های انجام شده موجودی در جریان ساخت دارای نوعی همبستگی با پارامترهای درون سیستمی از قبیل تعداد ماشین‌ها و نرخ فرآیند آنها، ظرفیت بافر میانی و همچنین، فرض‌های مربوط به نرخ خرابی و تعمیر ماشین است.

راستی و همکارانش (2011) به تعیین اندازه بهینه دسته تولید با در نظر گرفتن موجودی در جریان ساخت، محصول معیوب و دوباره­کاری پرداخته­اند. این مقاله، در واقع تعمیمی از مدل آنهاست که در آن انجام نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین به منظور جلوگیری از وقوع خرابی حین فرآیند تولید و همچنین، مجاز بودن کمبود به صورت سفارش‌های عقب افتاده نیز در نظر گرفته شده است.در روش نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه  بر مبنای یک زمان‌بندی معین نگهداری از دستگاه‌ها و تجهیزات در دوره­های زمانی خاص و به منظور اجتناب از وقوع خرابی­های ناگهانی و تعمیرات برنامه­ریزی نشده و افزایش عمر مفید دستگاه انجام می­گیرد. در بخش پس تعریف مسأله به همراه فرضیات و پارامترهای مورد استفاده در آن ارائه شده است. در بخش 3 بر مبنای فرضیات و پارامترهای تعریف شده مدل‌سازی مسأله انجام شده است. مثال‌های عددی در بخش 4 گنجانده شده­اند و سرانجام در بخش آخر نتایج مدل و زمینه­های توسعه آینده آن بیان شده­اند.

 

بیان مساله

 یک فرآیند تولیدی تک محصولی و تک ماشینی در اینجا موردنظر است که به صورت دوره­ای محصولی را تولید می­کند. مواد اولیه مورد نیاز فرآیند به صورت دسته­هایی با اندازه Q سفارش داده شده و به واحد تولیدی مورد نظر منتقل می‌شود. در هر دوره­ تولید، انباشته­ای از محصول به اندازه Q که در ظرفی کنار ماشین قرار داده شده است، تحت ماشین‌کاری قرار می­گیرد . فرآیند تولید بدین صورت است که پس از انجام عملیات بر روی یک دسته از مواد ورودی، علاوه بر تولید محصولات سالم درصدی محصول معیوب نیز تولید می­شوند. با اتمام یک دوره ماشین‌کاری تمامی محصولات بازرسی می‌شوند تا سالم و یا معیوب بودن آنها مشخص گردد. محصولات سالم به ظرفی جداگانه انتقال یافته اما محصولات معیوب خود به دو دسته با قابلیت دوباره­کاری و بدون قابلیت دوباره­کاری تقسیم می­شوند. محصولات معیوب با قابلیت دوباره­کاری بار دیگر وارد فرآیند شده و تحت ماشین‌کاری قرار می­گیرند و به علت انجام ماشین‌کاری با دقت بیشتر در مرتبه دوم تماماً به محصولات سالم تبدیل و به ظرف محصولات سالم منتقل می­شوند، اما محصولات معیوبی که قابلیت دوباره­کاری ندارند به ظرفی دیگر انتقال یافته تا در پایان فرآیند به صورت ضایعات به فروش برسند. در اینجا کمبود موجودی به صورت سفارش‌های  عقب افتاده  مجاز است؛ به این صورت که در هر دوره می­توان با در نظر گرفتن هزینه­های تحمیلی به سیستم تا مقدار مجاز b کمبود داشت و در ابتدای دوره پسی به جبران آن پرداخت.

امکان ایجاد انقطاع هنگام تولید، از جمله اصلی‌ترین فرض‌های لحاظ شده در این مدل است. بر این اساس ماشینی که وظیفه آن انجام ماشین‌کاری بر روی قطعات خام است، بر مبنای سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه در هر دوره از تولید در یک زمان مشخص توسط اپراتور متوقف شده و بلافاصله توسط بخش نگهداری و تعمیرات سازمان طی یک متوسط زمانی تحت عملیات نت پیشگیرانه قرار گرفته و در ادامه فرآیند ماشین‌کاری قطعات خام دوباره به همان شکل اولیه از سر گرفته خواهد شد.  

   در این فرآیند، موجودی در جریان ساخت از سه جزء تشکیل می شود: قطعات خام، محصولات سالم و ضایعات که هر یک از آنها در ظروف جداگانه­ای نگهداری می­شوند که به منظور کاهش میزان حمل­ونقل در سیستم قطعات به صورت یکجا وارد ظرف‌ها شده و یا از آنها خارج می­شوند. در هر دوره تقاضاهای مربوط به آن دوره به علاوه سفارش‌های عقب افتاده مربوط به دوره قبل از محصولات سالم موجود در انبار برآورده می­شوند. در اینجا هدف دستیابی به یک میزان بهینه از تولید است به گونه­ای که هزینه­های کلی سیستم طی یک دوره در واحد زمان کمینه شود. بر این اساس پارامترهای مدل عبارتند از:

 

   Q      مقدار هر بار سفارش یا اندازه دسته تولید

   D      نرخ تقاضای محصول در واحد زمان

   S       زمان راه­اندازی ماشین (دقیقه)

   λ       هزینه خرید یک واحد محصول خام

      هزینه صرف شده برای تولید یک واحد محصول

     متوسط موجودی در جریان ساخت

 TM       مدت زمان یک دوره

   E       هزینه ثابت هر بار راه­اندازی فرآیند

   b       حداکثر میزان مجاز کمبود

  M      زمان ماشین‌کاری یک محصول (دقیقه)

  P1  نسبت قطعات معیوب با قابلیت دوباره‌کاری

P2     نسبت قطعات معیوب بدون قابلیت دوباره‌کاری

QEPQPM      اندازه بهینه دسته تولید در حالت اعمال سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه

       هزینه مواجهه با کمبود به ازای یک واحد وابسته به زمان

MTTR  متوسط زمان لازم برای انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه (دقیقه)

       نرخ هزینه نگهداری و تعمیرات ماشین در واحد زمان (واحد پول به واحد زمان)

         هزینه بازرسی یک واحد محصول

    ارزش پولی متوسط موجودی در جریان ساخت

  K       مقدار کمبود در یک دوره

  W      متوسط موجودی انبار

   i          نرخ هزینه نگهداری موجودی در واحد زمان (واحد پول به واحد پول در واحد زمان)

     هزینه نگهداری متوسط موجودی در جریان ساخت در واحد زمان

  Co        هزینه راه اندازی فرآیند در واحد زمان

   Cs   هزینه خرید در واحد زمان

   CH   هزینه نگهداری محصول در انبار در واحد زمان

 Cb       هزینه مواجهه با کمبود در واحد زمان

 CR      هزینه انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه در واحد زمان

CI       هزینه بازرسی محصولات در واحد زمان

TCPM  تابع هزینه کل سیستم طی یک دوره در واحد زمان در حالت اعمال سیاست نت پیشگیرانه

 

 

فرضیات مدل

در این شرایط و به منظور مدلسازی فرضیات زیر در نظر گرفته شده­اند:

● انقطاع در حین فرآیند تولید برای انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین مجاز بوده که پس از انجام آن، ماشین‌کاری قطعات خام مجدداً با همان شکل آغازین از سر گرفته خواهد شد.

● در هر دوره برای تعیین سالم و یا معیوب بودن محصولات، یک بازرسی 100درصد از آنها صورت گرفته، زمان این  بازرسی در مدل صفر در نظر گرفته می­شود. (در اکثر مدل‌های ارائه شده  این زمان صفر در نظر گرفته می­شود.).

● به علت سادگی انجام محاسبات در اینجا فرض بر این است که قطعاتی که تحت دوباره­کاری قرار می­گیرند، تماماً به محصولات سالم تبدیل می­شوند( در نظر گرفتن این فرض مشکلی در جواب نهایی مدل ایجاد نخواهد کرد).

● پارامترهایی از قبیل نرخ تقاضای محصول، زمان راه­اندازی فرآیند، درصد قطعات معیوب و ... قطعی (غیر احتمالی) بوده، به صورت یک عدد ثابت در محاسبات در نظر گرفته می­شوند.

● زمان انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه به صورت یک متوسط زمانی در محاسبات مدل در نظر گرفته می­شود (برای نمونه، اگر این زمان از توزیع نرمال با میانگین   پیروی کند، می­توان آن را با میانگین توزیع نرمال تخمین زد و در محاسبات وارد نمود).

● کمبود به صورت سفارش‌های عقب افتاده مجاز بوده، در ابتدای دوره پس جبران خواهد شد.

مدل ریاضی

فرض کنید سازمان با توجه به مشخصات فنی ماشین و استانداردهای به کار رفته در ساخت آن به این نتیجه رسیده باشد که بهتر است سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه را درمورد آن به کار گیرد. در این حالت، ماشین پیش ازآنکه طی یک دوره تولید دچار خرابی تصادفی شود، بر اساس یک برنامه زمان بندی مشخص به صورت دوره­ای تحت عملیات نگهداری قرار می­گیرد. در این مدل فرض می­کنیم در طی هر دوره تولید ماشین یک بار توسط  اپراتور متوقف شده تا اقدامات لازم بر روی آن انجام گیرد. اکنون می­خواهیم به بررسی رفتار موقعیت موجودی در جریان ساخت بپردازیم. در این حالت نمودارهای موقعیت قطعات خام، محصولات سالم و ضایعات طی یک دوره  تولید به صورت شکل شماره 1 خواهند بود. در شکل 1- (1) ابتدا ماشین در زمان S راه­اندازی شده است و سپس قطعات خام که در ظرفی در کنار ماشین قرار داده شده­اند، تحت عملیات ماشین‌کاری قرار گرفته­اند. پس از گذشت زمانی مشخص از آغاز عملیات ماشین‌کاری قطعات خام، ماشین توسط اپراتور متوقف شده تا بلافاصله اقدامات نگهداری بر روی آن توسط پرسنل نت سازمان در متوسط زمانی MTTR انجام شود و پس از آن دوباره عملیات ماشین‌کاری بر روی قطعات خام از سر گرفته شده است تا زمانی که موجودی این قطعات به صفر رسیده است. شایان‌ ذکر است که ماشین‌کاری بار اول بر روی کل قطعات خام و در ادامه بر روی P1 قطعه خامی که قابلیت دوباره­کاری را دارا بوده­اند، انجام شده است (یعنی در مجموع روی  واحد قطعه خام) و بنابراین، موجودی محصولات  سالم در پایان یک دوره به مقدار   واحد رسیده است. شکل‌های  1- (2) و 1-­ (3) نیز به ترتیب مربوط به موجودی محصولات سالم و ضایعات هستند که با شروع فرآیند ماشین‌کاری نرخ افزایشی داشته و در پایان یک دوره به ترتیب به مقادیر  و  واحد رسیده­اند.

همچنین، در این حالت نمودار موقعیت موجودی برای محصولات سالمی­که به منظور تأمین نیازهای مشتریان و برآورده سازی سفارش‌های عقب افتاده مربوط به دوره قبل در انبار ذخیره می­شوند به صورت شکل شماره 2 است. در شکل 2 در ابتدای هر دوره محصولات سالم موجود در انبار با نرخ تقاضای D مصرف شده­اند که به علت مجاز بودن کمبود در مدل موجودی محصولات انبار در نهایت به –b واحد رسیده است.

  

 

 


شکل 1. نمودار موقعیت موجودی در جریان ساخت در حالت اعمال سیاست نت پیشگیرانه به ترتیب برای (1) قطعات خام، (2) محصولات سالم و (3) ضایعات

 

 

 


شکل 2. نمودار موقعیت موجودی برای محصولات سالم موجود در انبار در حالت اعمال سیاست نت پیشگیرانه

 

ابتدا مدت زمان یک دوره محاسبه می شود. زمان یک دوره (فاصله بین دو شروع عملیات) در این حالت از مجموع زمان‌های راه­اندازی سیستم، زمان ماشین‌کاری روی  واحد قطعه خام و همچنین، متوسط زمانی که صرف انجام عملیات نگهداری روی ماشین می­گردد، حاصل می­شود:

 

(1) 

اکنون به محاسبه هزینه­های سیستم طی یک دوره در واحد زمان پرداخته می شود. مجموع این هزینه‌ها عبارتند از:

(2)

 

 

هزینه راه­اندازی فرآیند در واحد زمان

در هر دوره، ماشین با صرف هزینه ثابت E فرآیند تولید را آغاز می­کند. بنابراین، هزینه راه اندازی فرآیند طی یک دوره در واحد زمان عبارت است از:

 

  (3)                                      

 

هزینه بازرسی محصولات در واحد زمان

هر محصول تنها یک بار بازرسی می شوند، زیرا با انجام یک بار بازرسی مشخص خواهد شد که محصول سالم است و یا اینکه معیوب بوده، نیاز به دوباره­کاری نیاز دارد و یا اینکه معیوب بوده، به ضایعات تبدیل شده است. بنابراین، هزینه بازرسی محصولات طی یک دوره در واحد زمان برابر است با:

:(4)                 

 

هزینه نگهداری موجودی در جریان ساخت در واحد زمان

متوسط موجودی در جریان ساخت طی یک دوره در واحد زمان با توجه به شکل 1 برای قطعات خام، محصولات سالم و ضایعات به صورت زیر محاسبه می شود:

(5)

 

 

بنابراین، با توجه به مقادیر λ و ، ارزش پولی متوسط موجودی در جریان ساخت طی یک دوره در واحد زمان برابر است با:

(6)

 

 

 

در نتیجه، هزینه نگهداری موجودی در جریان

ساخت طی یک دوره در واحد زمان برابر است با (7) 

 

هزینه نگهداری محصولات سالم موجود در انبار در واحد زمان

با توجه به شکل 2 متوسط موجودی محصولات سالم در انبار برابر است با:

(8)

بنابراین، هزینه نگهداری موجودی در انبار طی یک دوره در واحد زمان برابر است با :

(9)            

 

هزینه مواجهه با کمبود در واحد زمان

با توجه به شکل 2 مقدار کمبود طی یک دوره برابر است با :

(10) **           

 

بنابراین، هزینه مواجهه با کمبود طی یک دوره در واحد زمان برابر است با:

(11)**                          

 

 هزینه خرید در واحد زمانi

در هر دوره سفارشی به اندازه Q واحد خریداری می­شود؛ پس هزینه خرید قطعات خام طی یک دوره در واحد زمان عبارت است از:

 

(12)                          

 

هزینه انجام عملیات نگهداری و تعمیرات یشگیرانه بر روی ماشین در واحد زمان

هزینه انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین طی یک دوره در واحد زمان برابر است با :

(13)             

بنابراین، تابع  هزینه کل سیستم  طی یک دوره در واحد زمان در حالت اعمال  سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه به صورت زیر خواهد بود :

(14)

 

روشن است که تابع فوق یک منحنی بر حسب متغیر Q بوده، چون از نوع هزینه­ای است بایستی کمینه شود. بدین منظور برای به دست آوردن مقدار بهینه Q لازم است ریشه مشتق اول تابع فوق نسبت به Q محاسبه گردد بنابراین:

(15)             

با مشتق گیری از تابع فوق (رابطه 14) رابطه زیر به دست می آید:

 (16)

که در آن:

(17)         

(18)         

 

   (19)     

 

با مساوی صفر قرار دادن معادله درجه دوم موجود در صورت کسر مشتق اول تابع هزینه کل، ریشه مثبت آن برابر با  مقدار بهینه  Q است؛ یعنی:

 

(20)

(21)

 

به طوری که:

(22)

 

بحث در وجود دو ریشه حقیقی متمایز با علامت‌های مختلف در عبارت مشتق اول تابع هزینه کل

در معادله درجه دوم هرگاه   باشد، معادله دارای دو ریشه حقیقی متمایز است، اگر  معادله یک ریشه حقیقی داشته و در صورتی که  باشد، معادله فاقد ریشه حقیقی است (در واقع، در این حالت معادله دو ریشه مختلط دارد). پس در معادله فوق برای اثبات وجود دو ریشه حقیقی باید نشان داده شود    است.

با توحه به اینکه در معادله درجه دوم فوق (رابطه 20) A به ازای تمامی مقادیر پارامترها یک عبارت همواره مثبت است (پارامترها همگی دارای مقدار مثبت هستند) و از طرفی، به ازای تمامی مقادیر همواره . بنابراین، در صورتی که 0 < C باشد:

(23)

    

 (24)                                        

 

 از طرف دیگر، در صورتی که شرط فوق برقرار باشد ، آنگاه   و چون . در نتیجه، با توجه به  قضایای اثبات شده در مورد روابط موجود میان ضرایب و ریشه­های یک معادله درجه دو، معادله (20) دارای دو ریشه حقیقی متمایز با علامت های مختلف  بوده که ریشه مثبت آن برابر با مقدار Q بهینه موردنظر است. 

● شایان ذکر است که در اینجا چنانچه  است، با توجه به اینکه به ازای تمامی مقادیر پارامترها همواره A > 0 و B > 0 پس در نتیجه ، خواهد بود که به علت منفی شدن مقدار Q بهینه این حالت بررسی نمی‌شوند.

 

اثبات محدب بودن تابع هزینه کل

برای آنکه مقدار Q به دست آمده که برابر  با ریشه مشتق اول تابع هزینه کل TCPM است، نقطه مینیمم تابع باشد، لازم است که تابع هزینه یک تابع محدب باشد. به عبارت دیگر، باید مشتق دوم این تابع نسبت به Q مثبت باشد. بنابراین:

 

 

 

با مشتق­گیری مجدد از عبارت فوق و ساده کردن آن خواهیم داشت:

(25)

بدیهی است که عبارت موجود در مخرج کسر فوق به ازای تمامی مقادیر هموار مثبت است.اکنون نشان داده می شود که به ازای مقادیر مثبت  تمامی جملات عبارت صورت کسر نیز همواره مثبت هستند. با توجه به شرط C < 0 (رابطه 4):

 

(26)

 

 

پس به ازای تمامی مقادیر مثبت Q، در مورد جمله اول صورت کسر خواهیم داشت:

 

(27)            

(28)       

(29)      

 

به همین ترتیب، در مورد جملات دوم و سوم : بنابراین، صورت و مخرج کسر مشتق دوم تابع هزینه کل به ازای تمامی مقادیر مثبت Q همواره مثبت هستند و در نتیجه، تابع TCPM یک تابع محدب بوده، نقطه QEPQPM نقطه مینیمم آن است.

 

نمونه ­های عددی

در اینجا به منظور نشان دادن کاربردهای عملی مدل نمونه‌های عددی متنوعی ارائه شده اند. در این نمونه ها سعی شده است میزان وابستگی Q بهینه به تغییرات پارامترهای MTTR، b،i، P1 و P2 با ثابت نگه داشتن سایر پارامترها نشان داده شود. اگر فرض بود مقادیر عددی سایر پارامترهای مدل به صورت زیر باشند:

 

 

نتایج به دست آمده برای  Q بهینه بر اساس تغییرات پارامترهای  MTTR، b ،i، P1 و P2 در جدول 1 ارائه شده است

 

 

:جدول 1. اندازه بهینه دسته تولید به ازای مقادیر عددی پارامترها

NUM.

MTTR (min)

b(unit)

i

 

 

P1

P2

C

QEPQPM

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

5

10

15

20

25

30

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

 

10

10

10

10

10

10

5

15

20

25

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

 

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.05

0.1

0.15

0.25

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.05

0.15

0.2

0.1

0.1

0.1

 

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.01

0.15

0.2

18375-

35185-

51870-

68430-

84865-

101175-

35017.5-

102117.5-

136080-

170317.5-

69367.5-

69055-

68742.5

68117.5-

65240-

71620-

74810-

68430-

68430-

68430-

24

32

38

43

48

52

29

54

64

72

94

64

51

38

44

43

42

43

44

44

 

 

توجه شود که در تمامی نمونه­های عددی ارائه شده شرط C < 0 برقرار است. همچنین، رفتار QEPQPM نسبت به برخی پارامترهای جدول شماره 1 در شکل‌های  شماره 3 تا 5 نشان داده شده­اند.

همان‌ طور  که در شکل‌های  3 تا 5 مشخص است،  QEPQPM با پارامترهای MTTR و bرابطه مستقیم ولی با iرابطه عکس دارد. این نتایج را

 

 

 

می‌توان مستقیماً با مشتق­گیری از QEPQPM نسبت به هر یک از این پارامترها نیز به دست آورد.

در شکل 3 با افزایش زمان انجام تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین، منحنی در ابتدا با یک شیب تند و در ادامه با  شیب ملایمتری روند صعودی داشته است. این منحنی نشان می­دهد که هر اندازه زمان انجام تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین طولانی­تر بوده، با دقت بیشتر و در سطح بالاتری انجام شود (همچنانکه موجب افزایش طول عمر و کارایی ماشین می­شود) افزایش میزان تولید بهینه را نیز به دنبال خواهد داشت.

 

 

شکل 3. نمودار رفتار QEPQPM  بر اساس تغییرات MTTR

 

شکل 4. نمودار رفتار QEPQPM بر اساس تغییرات i

 

 

شکل 5. نمودار رفتار  QEPQPM  بر اساس تغییرات b

در شکل 4 منحنی روندی کاملا نزولی داشته که این روند در ابتدا شدیدتر بوده، به تدریج ملایم شده است. با توجه به این منحنی می­توان گفت برای مقادیر کمتر از %10 افزایش درصد نرخ هزینه نگهداری موجودی در جریان ساخت، به شدت اندازه بهینه دسته تولید را تحت تأثیر قرار داده و موجب کاهش آن شده است، بنابراین، هزینه نگهداری موجودی در جریان ساخت، از جمله کلیدی­ترین هزینه­های محاسبه شده در این مدل است.

سرانجام در شکل شماره 5 منحنی روندی صعودی داشته است؛ یعنی در حالتی که مدل از سیاست کمبود پس افت پیروی کند، با افزایش میزان سفارش‌های عقب افتاده مجاز، برای کمینه سازی تابع هزینه کل با مقدار تولید بیشتری از محصول مواجه خواهد بود.

مقایسه نتایج حاصل از تحلیل حساسیت مدل فوق با سایر مدل‌های مشابه ارائه شده در این زمینه گویای بروز اختلافاتی در نتایج است. برای نمونه همان‌ طور  که از جدول 1 پیداست، اندازه بهینه دسته تولید در مدل فوق با افزایش پارامتر P1  (نسبت محصولات معیوب با قابلیت دوباره کاری) به طور ملایمی کاهش می­یابد؛اکنونآنکه در مدلی که برای اولین توسط بوچر ارائه شد، تغییر این پارامتر هیچ گونه تأثیری بر روی اندازه بهینه دسته تولید ( که در مدل بوچر GTOQ نامیده شده است)، ندارد. از طرف دیگر، در مدل ارائه شده توسط راستی و همکاران مشاهده می­شود که با افزایش P1 اندازه بهینه دسته تولید با شیب قابل ملاحظه­ای روند صعودی دارد.

 وقوع این گونه تفاوت‌ها در نتایج مدل‌ها را می­توان بر مبنای فرضیات در نظر گرفته شده برای آنها تفسیر نمود. برای مثال، با توجه به نتایج به دست آمده در این تحقیق، می­توان ادعا نمود در نظر گرفنن فرض بروز انقطاع در حین تولید تأثیر قابل ملاحظه­ای بر جواب نهایی مدل دارد. در مورد سایر پارامترهای مد‌ل‌ها نیز چنین تفاوت‌هایی در نتایج وجود دارد.

 

نتیجه ­گیری و پیشنهادها

در این مقاله تعیین اندازه بهینه دسته تولید با در نظر گرفتن عواملی، همچون کمبود، موجودی در جریان ساخت، تولید محصولات معیوب با قابلیت دوباره­کاری و  بدون قابلیت دوباره­کاری و اعمال سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه در مورد ماشین بررسی شد و مدل جدیدی برای دستیابی به میزان بهینه تولید ارائه گردید. متوقف ساختن موقتی ماشین در هر دوره تولید برای انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی آن و وارد ساختن زمان انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه در مدل به صورت یک متوسط زمانی، از جمله بارزترین تفاوت های این مدل با سایر مدل های ارائه شده است و همان‌ طور  که نتایج نشان می­دهند در نظر گرفتن این عامل بر تعیین اندازه بهینه دسته تولید  به طور قابل توجهی اثرگذار بوده است. انجام نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین موجب افزایش طول عمر و کارایی ماشین شده و از بروز خرابی­های ناگهانی در ماشین هنگام فرآیند تولید جلوگیری می­کند. پس لازم است کیفیت این تعمیرات در سطحی قابل قبول باشد. به منظور انطباق بیشتر این مدل با شرایط واقعی می­توان انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین را در حالت های متنوع­تری در نظر گرفت (برای نمونه انجام آن در هر دو دوره تولیدی یک بار) و یا زمان لازم برای انجام آن را در برخی از دوره­ها تغییر داد. باید توجه داشت که تجهیزات معمولا در دوران عمر خود دارای سه نوع نرخ خرابی هستند که این نرخ در ابتدای شروع به کارشان (به علت خرابی­های ناشی از مونتاژ) نزولی بوده، در دوران عمر مفید ماشین تقریبا ثابت شده و در دوران فرسودگی آنها صعودی است . بنابراین، می­توان زمان لازم برای انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه را با توجه به نرخ وقوع خرابی در ماشین در نظر گرفت. علاوه بر این وارد ساختن مباحث مربوط به اعتماد پذیری تجهیزات بر اساس توابع نرخ شکست آنها و در نظرگرفتن انواع دیگری از سیاست های نگهداری و تعمیرات ماشین­آلات مانند نگهداری و تعمیرات اضطراری (EM)، نگهداری و تعمیرات اصلاحی (CM) و ... می­تواند زمینه­های توسعه آینده این مدل باشد؛ ضمن آنکه در این مقاله کلیه پارامترهای مدل به صورت قطعی در نظر گرفته شده­اند که برای توسعه این مدل می­توان شکل احتمالی برخی از آنها را به کار برد. 

پی نوشت:

1- Osteryoung, J. S., McCarty, D. E., & Reinhart, W. J. (1986) .2- Rasti, M. B., Jahanbazi, M., & Bijari, M. (2011).

3- Nahmias, S. (1993).

4- Silver, E. A. (1981).                                                                                                               

5- Silver, E. A., Pyke, D. F., & Peterson, R. (1998).

6- Jaber, M. Y., Nuwayhid, R. Y., & Rosen, M. A. (2004).

7- Hayek, P. A., Salameh, M. K. (2001).

8- Chiu, Y.P. (2003).

9- Schwaller, R. L. (1988).

10- Jamal, A. M. M., Sarker, B. R., & Mondal, S. (2004).

11- Cardenas Barron, L. E. (2001),(2008),(2010).

12- Chang, S. K. J., Chuang, J. P. C., & Chen, H. J. (2005).

13- Sphicas, G. P. (2006).

14- Drake, M. J., Pentico, D. W., & Toews, C. (2011).

15- Sharma, S. (2007).

16- Chiu, S. W., Wang, S. L., & Chiu, Y. S. P. (2007).

17- Rosenblatt, M. J., Lee, H. L. (1986).

18- Rasti, M. B., Jahanbazi, M., & Bijari, M. (2011).

19- Boucher, T. O. (1984).

20- Samaddar, S., Hill, C. A. (2007).

21- Rasti, M. B., Jahanbazi, M., & Bijari, M. (2011).

Boucher, T. O. (1984)." Lot sizing in group technology production systems", International Journal of Production Research, 22, 85–93.

Cardenas Barron, L. E. (2008)." Optimal manufacturing batch size with rework in a single-stage production system – a simple derivation", Comput. Ind. Eng. 55 (4) 758–765.

Cardenas Barron, L. E. (2010). "The derivation of EOQ/EPQ inventory models with two backorders costs using analytic geometry and algebra", Applied Mathematical Modelling.

Cardenas Barron, L. E. (2001). "The economic production quantity (EPQ) with shortage derived algebraically", Int. J. Prod. Econ. 70 (3) 289–292.

Cardenas Barron, L. E. (2001). "The economic production quantity without backlogging derived with algebra", in: Sixth International Conference of the Decision Sciences Institute, Chihuahua, Mexico.

Chang, S. K. J., Chuang, J. P. C., & Chen, H. J. (2005). "Short comments on technical note – the EOQ and EPQ models with shortages derived without derivatives", Int. J. Prod. Econ. 97 (2) 241–243.

Chiu, S. W., Wang, S. L., & Chiu, Y. S. P. (2007). "Determining the optimal run time for EPQ model with scrap, rework, and stochastic breakdowns", European Journal of Operational Research, 180, 664–676.

[Chiu, Y.P. (2003)." Determining the optimal lot size for the finite production model with random defective rate", the rework process, and backlogging. Engineering Optimization, 35 (4),427–437.

Drake, M. J., Pentico, D. W., & Toews, C. (2011). "Using the EPQ for coordinated planning of a product with partial backordering and its components", Mathematical and Computer Modelling, 53 359 375.

Hayek, P. A., Salameh, M. K. (2001). "Production lot sizing with the reworking of imperfect quality items produced", Production Planning and Control, 12 (6), 584–590.

Jaber, M. Y., Nuwayhid, R. Y., & Rosen, M. A. (2004). "Price driven economic order systems from a thermodynamic point of view", International Journal of Production Research, 42 (24),5167–5184.

Jamal, A. M. M., Sarker, B. R., & Mondal, S. (2004). "Optimal manufacturing batch size with rework process at a single-tage production system", Computers & Industrial Engineering, 47-77, 89-89.

Nahmias, S. (1993). "Production and operations analysis", 2nd ed. Burr Ridge: Irwin.

Osteryoung, J. S., McCarty, D. E., & Reinhart, W. J. (1986)." Use of EOQ model for inventory analysis", Production Inventory Management Journal (3rd Quarter), 39–45.

 Rasti, M. B., Jahanbazi, M., & Bijari, M. (2011). "Effects of imperfect products on lot sizing with work in process inventory", Applied Mathematics and Computation, 217, 8328-8336.

Rosenblatt, M. J., Lee, H. L. (1986). "Economic production cycles with imperfect production processes", IEE Transactions 18, 48–55.

Samaddar, S., Hill, C. A. (2007). "Controlling adverse effect on work in process inventory while reducing machine setup time", European Journal of Operational Research, 180, 249–261.

Schwaller, R. L. (1988). "EOQ under inspection costs", Production and Inventory Management, 29, 22–35.

Sharma, S. (2007). "Minimizing the difference between intermittent and continuous production with back orders", Journal of Engineering Manufacture, 221 (11), 1617–1623.

Silver, E. A. (1981). "Operations research in inventory management: a review and critique", Operations Research; 29: 628–45.

Silver, E. A., Pyke, D. F., & Peterson, R. (1998)." Inventory management and production planning and scheduling", 3rd ed. New York: Wiley.

Sphicas, G. P. (2006)." EOQ and EPQ with linear and fixed backorder costs: two cases identified and models analyzed without calculus", Int. J. Prod. Econ. 100 (1) 59–64.