کاربرد مدلسازی آماری و آنالیز ارزش حاصله برای مساله موازنه زمان- هزینه در محیط فازی

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی صنایع، دانشگاه علم وصنعت ایران

2 استادیار دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه علم وصنعت ایران

3 دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی صنایع، دانشگاه مازندران

چکیده

مساله­ موازنه­ زمان و هزینه، یکی از مسائل مهم درحیطه برنامه‌ریزی پروژه است. هیچ یک از مطالعات پیشین در این زمینه به بررسی امکان ادغام مساله موازنه زمان-هزینه با عملکرد پروژه هنگام اجرای آن به منظور ارائه یک مدل یکپارچه برای کنترل و برنامه‌ریزی پروژه در تمام طول اجرای آن نپرداخته است. مدل ارائه شده در این مقاله به ارائه یک ساختار کنترلی جدید می­پردازد که شامل برنامه‌ریزی پیش از شروع پروژه، کنترل عملکرد این برنامه ریزی در فاز اجرا به منظور بررسی ضرورت برنامه‌ریزی دوباره و در نهایت، ارائه راهکاری برای برنامه‌ریزی دوباره پروژه است. در مدل یاد شده ر برای هر فعالیت چندین انتخاب وجود دارد و این انتخاب‌ها مسیرهای متفاوتی برای اجرای پروژه به وجود می­آورند. برای هر انتخاب از فعالیت‌ها، زمان وهزینه به صورت فازی در نظر گرفته شده‌اند. بهترین مسیر اجرای پروژه با توجه به زمان و هزینه اجرای پروژه در مسیرهای متفاوت، انتخاب می­گردد. در ادامه، از روش مدیریت ارزش حاصله برای کنترل شاخص‌های عملکردی پروژه، همچون زمان وهزینه و از روش آماری برای پیش بینی وضعیت آینده شروع آن به زمان اجرای آن انتقال می­دهد. نتایج به دست آمده از این مدل می‌تواند وضعیت پروژه را در آینده پیش بینی نموده، نیاز آن به برنامه‌ریزی دوباره را مشخص و نحوه  برنامه‌ریزی دوباره را تعیین کند.
 

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Incorporation of Fuzzy Sets and Earned Value Management into a Cost-Time Trade-off Model

نویسندگان [English]

  • Mostafa Salari 1
  • Morteza Bagherpour 2
  • Kaveh Taghizadeh 3
  • Hadi Monem 1
1 M.Sc of Industrial Engineering Iran university of Science and Technology
2 Assistant Professor of Industrial Engineering, Iran University of Science and Technology
3 M.Sc of Industrial Engineering, Mazandaran university
چکیده [English]

Time-cost trade-off (TCT) problem is a well-known subject in the project scheduling contexts. None of previous studies in this area of research emphasize on the incorporation of the TCT problem into the started project’s performance in order to present a comprehensive model for scheduling and controlling the project in its whole life. The aim of this paper is to provide a novel control mechanism which includes scheduling the project prior to start date, monitoring the project’s performance through the execution, predicting future performance of the project, determining the necessity for re-scheduling, and providing an approach for re-scheduling of the project. In the proposed model, several options with specific time and cost have been considered for the initiation of each activity. These options make different paths for the construction of the project. Due to vagueness and imprecision presented in real case projects, the time and cost behavior for each option has been presumed as fuzzy numbers. Earned Value Management (EVM) has been then utilized for measuring project performance and ultimately, statistical modeling has been also employed in predicting the future trend of EVM’s indices. The model has resulted in selection of the best path for implementation purpose among all available paths. Moreover, the proposed model provides the advantage of assessing the possibility of rescheduling process. An illustrative case has been studied to analyze the application of the proposed model.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Time cost trade-off
  • Fuzzy Logic
  • Earned Value Management
  • Regression
  • Prediction

1-مقدمه

از اواخر دهه 1950روش مسیر بحرانی به عنوان روشی سودمند برای برنامه‌ریزی و زمان‌بندی پروژه در نظر گرفته می­شد، اما در بسیاری از موارد پروژه ها باید در زمانی کمتر از زمان تعیین شده توسط روش مسیر بحرانی به پایان برسند. برای رسیدن به این هدف، استفاده از تجهیزات پیشرفته تر و یا منابع انسانی بیشتر می­توانند راهکارهای مناسبی باشند، اما اجرای آنها مستلزم افزایش هزینه های پروژه خواهد بود. یافتن راهی برای اینکه بتوان پروژه را به گونه ای برنامه ریزی نمود که در زمان و هزینه معین به اتمام برسد، یکی از اهداف برنامه ریزان پروژه ها است. در نتیجه، برای اجرای پروژه با کمترین زمان و هزینه ممکن یافتن راهی برای موازنه زمان و هزینه پروژه ضروری به نظر می­رسد. مساله موازنه زمان-هزینه به این منظور مطرح می­شود تا تصمیم گیرندگان بتوانند با استفاده از اعمال تغییر در زمان و هزینه فعالیت ها، پروژه را در زمان دلخواه و هزینه معین برنامه ریزی کنند. مسائل هزینه و زمان را می­توان به دو دسته  کلی برنامه ریزی قطعی و غیر قطعی تقسیم نمود: مدل های قدیم این مساله بیشتر برای محیط های قطعی طراحی شده اند. کلی[1](1961) برای نخستین بار تحقیقی را در مورد  مسائل زمان-هزینه در فضای قطعی انجام داد. در دوره­های پس از وی، تحقیقات بیشتری بر روی این نوع خاص از مسایل هزینه و زمان انجام شد. بیشتر این مدل ها، مدل های تحلیلی و هیوریستیک هستند. در بین آنها می­توان از مدل‌های مصلحی[2](1993) و سیمن[3](1971) نام برد. برخی از محققان نیز از روش های تحقیق در عملیات برای حل مساله موازنه زمان-هزینه استفاده کرده اند ( مایر،1965; تالبوت، 1982). روش‌هایی که در فوق ذکر شدند، بر حل مساله موازنه زمان-هزینه در محیط قطعی تاکید دارند، اما در واقعیت عوامل ناشناخته بسیاری بر روی پروژه تاثیر گذار هستند. برای مثال، زمان وهزینه اتمام پروژه می­توانند توسط بسیاری از عوامل خارجی، همچون تغییرات آب وهوا ،کمبود تجهیزات و غیره تحت تاثیر قرار بگیرند. در نتیجه برنامه ریزی در محیط غیر قطعی به میزان بیشتری با واقعیت پروژه سازگار خواهد بود. برنامه ریزی غیر قطعی برای مساله موازنه زمان-هزینه را می­توان به دو شاخه اصلی تقسیم نمود: مد‌‌ل‌های احتمالی و مدل های فازی. گلدرات[4])1997) در مقاله خود اعتبار محیط قطعی را در برنامه ریزی زمان و هزینه پروژه زیر سوال برد و مدل احتمالی خود را برای مساله موازنه زمان-هزینه ارائه داد. در ادامه،تحقیقات در محیط غیر قطعی، فنگ و همکاران[5]، (2000) مساله موازنه زمان-هزینه را در محیط غیرقطعی و با استفاده از مدل های احتمالی حل نمودند. آنها از داده های از پیش تعیین شده برای محاسبه زمان و هزینه استفاده نمود و توابع چگالی احتمالی برای زمان و هزینه تولید کرد.

در موارد بسیاری استفاده از توابع توزیع احتمالی برای زمان و هزینه فعالیت ها دشوار است (به دست آوردن این توابع، بخصوص در صورتی که داده های از پیش تعیین شده در دسترس نباشد، کار دشواری است) همچنین، شمار زیادی از پروژه ها برای نخستین بار است که اجرا می­شوند در نتیجه، برای بسیاری از مدل‌ها تئوری احتمالات نمی­تواند به حل این مساله کمک شایانی بکند. بنابراین به نظر می­رسد استفاده از روشی کارا تر برای مدل نمودن این مساله ضروری است. لئو وهمکاران[6](2001)، اشتهاردیان وهمکاران[7]) 2008)و زنگ وهمکاران [8])2005)، در تحقیق های بعدی خود از تئوری فازی در مساله موازنه زمان-هزینه بهره بردند. این مقالات روش های جدیدی را برای موازنه زمان و هزینه در محیط غیر قطعی ارائه می­دهند اما، باز هم حیطه کارایی این مقالات به زمان بندی پروژه در ناحیه برنامه ریزی ختم می­شود. به این معنی که برای کنترل زمان و هزینه پروژه و موازنه آنها هنگام اجرای پروژه روشی را ارائه نمی­دهند. . در این مقاله تلاش شده است تا با استفاده از تکنیک های ارائه شده، یک ساختار کنترلی جدید برای کنترل پروژه هنگام اجرای آن و در قالب مساله موازنه زمان-هزینه فراهم شود. در این راستا، وضعیت آینده پروژه از لحاظ زمان‌بندی و هزینه، پیش بینی شده ،نیاز و یا عدم نیاز پروژه به برنامه‌ریزی مجدد مشخص شود و روشی برای برنامه‌ریزی مجدد پروژه ارائه گردد.

در این مقاله در بخش 1-1 مساله موازنه زمان-هزینه با رابطه گسسته و فعالیت‌های چند انتخابی معرفی می­شود. در بخش 2 به شرح مساله پرداخته شده است. در بخش 3 روش پیشنهادی برای حل مساله بر اساس فلوچارت رسم شده در شکل(1) ارائه شده و در بخش4 مثالی که توسط این روش حل شده است، بیان می­گردد و نتایج به دست آمده گزارش می­شود.در بخش 5 نیز نتیجه‌گیری بیان می‌شود.

 

1- 1 - مساله موازنه زمان-هزینه با رابطه گسسته

رابطه بین زمان و هزینه هر فعالیت می­تواند به شکل‌های مختلفی در نظر گرفته شود. از این میان، در نظر گرفتن رابطه این دو به صورت گسسته بیشتر با واقعیت سازگار است، زیرا برای اجرای هر پروژه روش‌های متفاوتی وجود دارد. هر کدام از این روش‌ها نیز به منابع مشخصی نیاز دارند. بنابراین، اگر این رابطه به شکل پیوسته در نظر گرفته شود، این اطمینان وجود ندارد که برای مقادیر بیشتر و یا کمتر زمان و هزینه، منابع کافی و لازم در دسترس باشد. بعلاوه، پیدا کردن رابطه پیوسته بین هزینه و زمان که در هرسطحی از هزینه (زمان) بتوان زمان (هزینه) معادل آن را به دست آورد، کار دشواری خواهد بود. به خاطر سازگار بودن رابطه گسسته زمان و هزینه با واقعیت، شیوه های زیادی برای حل مساله زمان-هزینه در این حیطه ارائه شده است)حجازی[9]،1999؛ زنگ و همکاران،;2005؛  لئو و همکاران، 2001.(

 همچنین، هزینه کل و زمان اتمام پروژه توسط زمان و هزینه فعالیت های آن پروژه تعیین می­شود. در هر پروژه زمان و هزینه فعالیت ها به عواملی چون تجهیزات، نیروی کار و غیره وابسته است. برای مثال، فعالیتی در پروژه که تنها به نیروی انسانی نیاز دارد، می­تواند توسط یک، دو و یا چندین کارگر انجام شود.انجام این فعالیت به هر یک از این روش ها هزینه و زمان خاصی را برای آن فعالیت رقم خواهد زد. در نتیجه برای اجرای این فعالیت چندین انتخاب وجود خواهد داشت.برای تمامی فعالیت های پروژه نیز همانند مثال فوق می­توان چندین انتخاب را در نظر گرفت. در این مقاله نیز فرض شده است که برای اجرای هر فعالیت چندین انتخاب وجود دارد که هر کدام از این انتخاب ها بیانگر روش مشخصی برای استفاده از منابع است که زمان و هزینه معینی را به دنبال خواهد داشت.

 

1-2- مدیریت ارزش حاصله

مدیریت ارزش حاصله به عنوان یکی از روش‌های اندازه‌گیری پیشرفت پروژه به حساب می­آید . بر اساس تعریفی که توسط موسسه استاندارد پروژه[10] ارائه شده است، با استفاده از روش آنالیز ارزش حاصله، نخستین هشدارها در مورد عملکرد نامناسب پروژه داده می­شود. روش مدیریت ارزش حاصله به اندازه گیری عملکرد و رشد پروژه با استفاده از یکپارچه کردن سه عامل زمان بندی، هزینه و محدوده می­پردازد. در حقیقت ارزش حاصله برای اندازه گیری شاخص زمان بندی، شاخص هزینه، پیش بینی زمان پایان پروژه وپیش بینی هزینه پایان پروژه به کار می‌رود و در بازه‌های زمانی مختلف با استفاده از مقایسه هزینه واقعی و ارزش برنامه‌ریزی شده و ارزش واقعی، به بررسی عملکرد و پیشرفت پروژه می‌پردازد. علی رغم کارایی بالای روش مدیریت ارزش حاصله، مقاله های موجود در این زمینه بسیار محدود هستند. در یکی از مطالعات موجود در این زمینه، لیپکه[11] (1999) نسبت هزینه و زمان بندی را برای مدیریت زمان بندی و  هزینه در پروژه توسعه داد. در کارهای بعدی، وی شاخص ارزش برنامه ریزی شده[12] را معرفی کرد تا مشکلاتی را که در محاسبه واریانس زمان بندی و شاخص زمان بندی وجود داشت، بر طرف کند (لیپکه، 2003). در ادامه مطالعات پیرامون ارزش حاصله، هندرسون[13](2003 و 2004) کاربرد و قابلیت اطمینان ارزش برنامه ریزی شده را بررسی کرد. انبری[14](2003) کارایی پیاده سازی روش ارزش حاصله را توسعه بخشید و در مطالعه ای دیگر باقرپور[15] وهمکاران (2010) روش مدیریت ارزش حاصله را در مدل‌های برنامه ریزی تولید به کاربردند. همچنین، لیپکه و همکاران[16] (2009) روشی کارامد برای پیش بینی زمان و هزینه‌هایی پروژه ارائه دادند بتواند مدیریت پروژه را برای تصمیمات آگاهانه یاری کند.

 

2-شرح مساله

مدل ارائه شده در این مقاله به بررسی مساله موازنه زمان-هزینه و ارائه راهکاری برای کنترل پروژه در محیط غیر قطعی و با استفاده از داده های فازی می‌پردازد. در این مدل، زمان و هزینه اجرای فعالیت‌ها به صورت فازی در نظر گرفته می‌شوند. برای اجرای هر فعالیت چندین انتخاب وجود دارد که با در کنار هم قرار گرفتن این انتخاب‌ها مسیرهای مختلفی برای اجرای پروژه پدید می­آید. بهترین مسیر اجرای پروژه در مرحله برنامه ریزی به گونه‌ای گزینش می­شود که مسیری با کمترین زمان و هزینه ممکن انتخاب گردد. با شروع اجرای پروژه، شاخص‌های زمان و هزینه که از روش ارزش حاصله به دست می­آیند، به صورت پیوسته در هر روز محاسبه می­شوند. با توجه به اینکه نگرش روش مدیریت ارزش حاصله نسبت به گذشته است و در این مقاله از این روش برای پیش بینی وضعیت آینده پروژه استفاده شده است، از تکنیک‌های آماری برای پیش بینی روند توسعه، عوامل مختلف، همچون پیشرفت واقعی و هزینه واقعی و در نهایت، پیش بینی شاخص های زمان و هزینه، در آینده استفاده می­شود. در نتیجه، با محاسبه این شاخص ها در هر زمان از اجرای پروژه، وضعیت پروژه در آینده نیز مشخص می­شود. اگر شاخص های زمان و هزینه پیش بینی شده در برهه‌ای از پروژه کمتر از حد مورد انتظار باشند این امر نشان دهنده آن است که در آن زمان یا پیش از فرا رسیدن آن، پروژه به برنامه‌ریزی دوباره نیاز دارد. در واقع، این مدل به تصمیم گیرندگان پروژه این امکان را می­دهد که به برنامه‌ریزی هدفمند پروژه هنگام اجرای آن نیز بپردازند؛ به گونه ای که با توجه به وضعیت پروژه در زمان حال ،وضعیت آن را در ادامه نیز پیش بینی کنندو زمان هایی را که پروژه به برنامه‌ریزی دوباره  نیاز دارد ، مشخص نمایند.

 

3-روش تحقیق

فرمول‌بندی مدل ارائه شده، در این بخش مطرح می‌گردد. بدین منظور ابتدا ادبیات فازی مربوط به مدل و در ادامه آن محاسبات مرتبط با زمان و هزینه اجرای پروژه و مباحث مربوط به انتخاب بهترین مسیر ارائه می­گردد. همچنین، شکل (1) توضیح کلی در مورد روند پیاده سازی مدل را ارائه می­دهد. لازم به ذکر در شکل (1) مسیر اجرای مدل به ترتیب کشیده شده است و جهت فلش‌ها، جهت مسیر اجرای مدل را نشان می‌دهد.

 

3-1-زمان و هزینه فازی فعالیت ها

در بسیاری از مواقع، تعیین دقیق هزینه و زمان هر فعالیت به علت وجود عوامل زیادی که این دو متغیر را تحت تاثیر قرار می­دهند، کار دشواری است، بنابر این، برای برطرف کردن این مشکل، ازنظریه فازی استفاده می­شود تا بتوان تاثیر عواملی همچون تغییرات آب وهوا، کمبود منابع و...را نیز در نظر گرفت. عدد فازی  با درجه عضویت µA و در سطح برش  به صورت زیر تعریف می­شود:)کافمن و گوپتا[17]، 1988(.

                          (1)

جایی که  اعضایی از  هستند که درجه عضویت آنها بزرگتر مساوی باشد.

یک عدد فازی یک مجموعه محدب و نرمال فازی است. برای مثال، اعداد فازی مثلثی و اعداد فازی ذوزنقه ای. عدد فازی مثلثی ، به صورت  نشان داه شده وتابع عضویت آن به صورت زیر تعریف می­شود:

    (2)

برای محاسبه زمان وهزینه اجرا فعالیت‌ها و همچنین، پروژه ابتدا تمام مسیر های ممکن محاسبه می­شود. هر مسیر شامل تمام فعالیت‌های پروژه بوده، تفاوت مسیرها در متفاوت بودن انتخاب هایی است که از هر فعایت به ناشی شده است. مسیر های اجرای پروژه با نشان داده می­شود که از 1 تا  (وایسته به تعداد مسیر های ممکن )متغیر خواهد بود. ترتیب و توالی فعالیت‌ها نیز در هر مسیر به این صورت تعریف می­گردد: جایی که در ، نشان دهنده فعالیت در مسیر و ترتیب توالی را نشان می­دهد. نیز تعداد فعالیت‌های یک مسیر را نشان می­دهد. در نهایت، تمام این مسیر ها در مجموعه  گرد آوری می­شود در این مقاله، زمان و هزینه انجام فعالیت‌ها به صورت اعداد فازی مثلثی در نظر گرفته می­شوند. در هر مسیر زمان فعالیتi به صورت عدد فازی  درنظر گرفته شده که  نشان دهنده برگزیدن j امین انتخاب از


 

 


شکل 1-فلوچارت مراحل اجرای مدل ارائه شده


 

 

فعالیت i است، ‌هزینه فعالیت i وjامین انتخاب از آن نیز به صورت  نمایش داده می‌شود. برای تعیین سطح ریسک پروژه از α-cut استفاده می­شود که α بین بازه صفر و یک متغیر است: (1≥α≥0). پس از تعیین α بازه اعداد فازی تغییر می‌کند که در نهایت، این اعداد برای زمان و هزنینه فعالیت‌ها به ترتیب به صورت مقابل است

 

:  ،

   

برای دیفازی سازی از روش رتبه بندی به کمک مرکز ثقل استفاده شده است.

 

3-2-محاسبه زمان و هزینه اجرای پروژه:

زمان انجام پروژه در هر مسیر،  ، به صورت زیر به دست می­آید:

 

 

                  

  (3)                                              

جایی که  نشان دهنده زمان فعالیت  است؛ در صورتی که   اُمین روش برای اجرای این فعالیت انتخاب شود.  یک متغیر صفر و یک است و درصورتی که اُمین روش برای اجرای فعالیت انتخاب گردد،  برابر یک و در غیر این صورت برابر با صفر خواهد بود. بدیهی است جمع متغیرهای صفر و یک برای یک فعالیت در یک مسیر مشخص برابر با یک است؛ به این معنی که در یک مسیر مشخص برای هر فعالیت تنها یک روش اجرا(انتخاب) انتخاب خواهد شد. در محدودیت فوق sیک مقدار متغیر است، چون تعداد انتخاب هایی که برای فعالیت های مختلف وجود دارد، با یکدیگر تفاوت خواهند داشت.برای هر مسیر( ) هزینه انجام پروژه از طریق فرمول(4) محاسبه می­شود.

 

    (4)

     

 

در محاسبه هزینه پروژه،   برابر با زمان مورد علاقه برای انجام پروژه،   برابر هزینه غیر مستقیم روزانه، ، تشویق روزانه (در صورتی که پروژه زودتر از زمان مقرر انجام پذیرد) و  جریمه تاخیر روزانه (به ازای هر روز تاخیر) می­باشد و  برابر با هزینه غیر مستقیم روزانه است.  اعداد فازی مثلثی هستند. با محاسبه فرمول (4) می­توان هزینه پروژه را برای هر مسیر به دست آورد.

 

3-3-انتخاب بهترین مسیر

انتخاب بهترین مسیر در مرحله برنامه ریزی از طریق فرمول (5) صورت می­گیرد. با استفاده از این فرمول، از اعضای مجوعه D  عضوی انتخاب می­شود که کمترین زمان و هزینه برای اجرای پروژه را داشته باشد. برای محاسبه این فرمول زمان ها و هزینه هایی که برای هر مسیر و در هر سطحی از αاز طریق فرمول‌های (3) و (4) به دست آمده است مقایسه می­شوند. بهترین مسیر اجرای پروژه در مرحله برنامه‌ریزی به این طریق محاسبه می­گردد:

 

  

        (5)

 و  به ترتیب نشان دهنده­ی هزینه و زمان اجرای پروژه از طریق مسیر i ام می­باشد. همچنین  و  به عنوان ضرایب وزنی برای معادله فوق به کار می­روند که : [18] و  است. در این مقاله از ضرایب وزن تعدیل شده[19] برای محاسبه بهترین مسیر استفاده شده است. به این علت که این ضرایب به صورت مداوم باید درحال تعدیل شدن باشند و همچنین، امکان دخالت تصمیم گیرندگان پروژه نیز برای وزن دهی فراهم باشد، از این روش که با اهداف مطرح شده تطابق پذیری بالایی را دارد، استفاده شده است.

 

3-4-محاسبه شاخص های زمان بندی و هزینه روش ارزش حاصله

برای محاسبه شاخص‌های آنالیز ارزش حاصله، ابتدا باید پارامترهای دخیل در آنها را محاسبه نمود. از جمله این پارامترها ارزش حاصله[20] و ارزش برنامه‌ریزی[21]هستند. ارزش حاصله از حاصلضرب بودجه پروژه[22](هزینه انجام پروژه است که از مجموع هزینه برنامه‌ریزی شده فعالیت‌ها محاسبه می­شود) در درصد پیشرفت واقعی[23]محاسبه می­گردد. ارزش برنامه‌ریزی شده [24]از حاصلضرب بودجه پروژه در درصد پیشرفت برنامه‌ریزی شده [25] قابل محاسبه است:

            (6)

             (7)

به علت این که در اینجا هزینه انجام پروژه به صورت فازی در نظر گرفته شده است، مقادیر ارزش حاصله و ارزش برنامه ریزی نیز فازی هستند، در سطوح مختلف  قابل محاسبه هستند، که به صورت زیر نمایش داده می­شوند:

 

 

 

شاخص هزینه از تقسیم ارزش حاصله بر هزینه واقعی[26] مصرف شده برای فعالیت هایی که تاکنون انجام شده اند، به دست می­آید:

 

              (8)

به علت اینکه در اینجا ارزش حاصله، عددی فازی مثلثی است، شاخص هزینه نیز عددی فازی مثلثی خواهد بود و برای سه نقطه آن شاخص هزینه به این صورت محاسبه می­شود:

 

شاخص دیگری که در آنالیز ارزش حاصله به کار می­آید، شاخص زمان‌بندی است که از پارامترهای ارزش برنامه‌ریزی شده و ارزش حاصله به دست می‌آید. ارزش حاصله نیز از طریق فرمول (9) و ارزش برنامه ریزی شده از فرمول (10) محاسبه می‌شود، در نتیجه شاخص زمان بندی برابر خواهد بود با:

                  (9)

برای محاسبه این شاخص، درصورت کسر، ارزش حاصله مرکز ( ) قرار داده می­شود و برای مخرج کسر نقاط سمت چپ، مرکز و راست در فرمول ارزش برنامه‌ریزی قرار داده می­شود.

 

 

3-5-مدل‌سازی آماری

مدل‌سازی آماری به عنوان روشی توانمند برای پیش بینی روند توسعه عوامل مختلف شناخته می­شود. کواچ وهمکاران (1981) با استفاده از رگرسیون گیری با هزینه واقعی، ارزش حاصله وشاخص هزینه به عنوان متغیر وابسته وارزش حاصله یا زمان به عنوان متغیر مستقل، دوازده مدل مستقل برای تخمین بودجه پیش بینی شده ارائه دادند. هر چند مدل های ارائه شده توسط آنها نتایج رضایت بخشی در بر نداشت، اما باعث شد تا از این روش در تحقیق های بعدی نیز استفاده شود .در این مقاله از روش های رگرسیون مختلفی، شامل رگرسیون خطی و رگرسیون با متغیر وقفه ای[27]ا برای پیش بینی هزینه واقعی و درصد پیشرفت واقعی پروژه استفاده می­شود.

 

 

4-مثال ارائه شده

در ادامه مقاله، مثالی برای نشان دادن کاربرد روش ارائه شده بیان می­شود. این مثال مرتبط با یک پروژه ساختمانی است که زمان و هزینه فعالیت‌های آن به صورت فازی در نظر گرفته شده اند. همچنین، برای هر کدام از فعالیت‌ها چندین انتخاب برای اجرای آنها وجود دارد که زمان و هزینه هر کدام از این انتخاب‌ها به صورت فازی در نظر گرفته شده‌اند. از آنجا که هدف این مقاله ارائه یک ساختار کنترلی برای پروژهایی با فعالیت‌های چند انتخابی می­باشد، ارائه یک مثال، برای نشان دادن نحوه پیاده سازی مدل کافی است، هر چند در پایان همین بخش به مقایسه و بررسی روش‌های موجود با روش ارائه شده در این مقاله پرداخته خواهد شد

برای این پروژه اطلاعات مربوط به عملکرد پروژه تا روز 15 بعد از شروع آن در شکل‌های 2و3 نشان داده شده اند. همچنین، جزییات دیگر مربوط به این مثال در جداول (1) و (2) آورده شده است. برای حل این مثال در ابتدا تصور می­شود که ازطریق فرمول(5) بهترین مسیر انجام پروژه به ازای در مرحله برنامه‌ریزی تعیین شده است. همچنین، به ازای وزن‌های متفاوت در فرمول(5) بهترین مسیر انجام پروژه متفاوت خواهد بود. جدول (3) بهترین مسیرانجام پروژه به ازای وزن‌های متفاوت را نشان می­دهد. همچنین، دراین جدول مسیر جانشین، در صورت لغو شدن برنامه اولیه، زمان و هزینه انجام پروژه[28] برای هرمسیر بیان شده است. (مسیر جانشین مسیری است که دارای بیشترین مقدار در فرمول (5) بعد از بهترین مسیر می­باشد). سپس فرض می­شود پروژه با بهترین مسیر شروع می‌شود. در مثال حل شده فرض شده است که ضرایب  و هم اکنون در روز پانزدهم از اجرا می‌باشد. بدیهی است در اجرا های مختلف، می­توان این ضرایب وزنی را

 

جدول 1-هزینه و زمان انجام فعالیت های مثال ارائه شده

 

فعالیت

 

پیش نیازی

 

ضریب وزنی[29]

انتخاب

زمان

 

هزینه

1

 

0.18

1

(12،14،16)

(20500،23000،28200)

2

(17،20،23)

(16200،18000،21200)

3

(19،24،29)

(11500،12000،13500)

2

1

0.13

1

(12،15،18)

(2870،3000،3580)

2

(13،18،23)

(2260،2400،2900)

3

(15،20،25)

(1500،1800،2150)

4

(23،30،37)

(1080،1200،1900)

5

(54،60،66)

(500،600،720)

3

1

0.14

1

(10،15،20)

(4200،4500،4950)

2

(20،22،24)

(3750،4000،4500)

3

(28،33،38)

(2900،3200،3750)

4

1

0.12

1

(10،12،14)

(43500،45000،48850)

2

(12،16،20)

(33620،35000،38900)

3

(17،20،23)

(28500،30000،34500)

5

2و3

0.2

1

(16،22،28)

(18100،20000،23500)

2

(20،24،28)

(15200،17500،21000)

3

(23،28،33)

(13700،15000،18500)

4

(25،30،35)

(8750،10000،11800)

6

4

0.11

1

(12،14،16)

(38500،40000،49500)

2

(15،18،21)

(30250،32000،36200)

3

(20،24،28)

(16800،18000،21050)

7

5و6

0.12

1

(7،9،11)

(28400،30000،34000)

2

(13،15،17)

(22200،24000،26800)

3

(15،18،21)

(21000،22000،23250)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 با مقادیر متفاوت در نظر گرفت. با استفاده از فرمول (6) می­توان ارزش حاصله را تا روز پانزده محاسبه نمود. ارزش برنامه‌ریزی شده نیز با استفاد از فرمول (7) تا انتهای پروژه قابل محاسبه خواهد بود. با محاسبه ارزش حاصله و ارزش برنامه‌ریزی شده امکان محاسبه شاخص‌های هزینه و زمان بندی تا این روز از اجرای پروژه فراهم می­شود. برای پیش بینی این شاخص‌ها در روزهای آتی از مدل‌های رگرسیون‌گیری ارائه شده استفاده می­شود.

 

 

 

جدول 2-اطلاعات تکمیلی پروژه

هزینه دیر کرد

تشویق زودکرد

هزینه غیر مستقیم روزانه

زمان مورد علاقه برای پایان پروژه

(600،830،950)

(400،650،800)

(450،500،600)

(45،54،63)

             

 

 

 

 

 

روش‌های ارائه شده برای پیش بینی درصد پیشرفت واقعی و هزینه واقعی در جداول (4) و (5) مقایسه شده اند. در این جداول معادله‌های ارائه شده بر اساس عوامل مختلفی سنجیده می­شوند. مقدار میزان پراکندگی کلی حول هزینه واقعی (پیشرفت واقعی) که توسط مدل رگرسیون به دست آمده است را نشان می‌دهد. همچنین، تعداد مشاهدات غیر معمول نیز برای هر یک از مدل‌های رگرسیون بیان شده است. بدیهی است هرچه مشاهدات غیر معمول بر اساس مدل رگرسیون ارائه شده کمتر باشد، آن مدل از اعتبار بیشتری برخوردار خواهد بود در نهایت، در این جداول ستون‌هایی برای مقایسه مقدار پیش بینی و میزان واقعی برای سه روز پایانی(پیش از روز 15) و تعیین درصد خطا به کار رفته است. بهترین روش بر این اساس که مقدار برای آن نزدیک به یک، تعداد مشاهدات غیر معمول و درصد خطا برای سه روز پایانی آن حداقل باشد، انتخاب می­گردد. با توجه به جداول (4) و(5) مشخص می­شود که استفاده از متغیرهای وقفه‌ای کمک موثری به روند پیش بینی مدل رگرسیون خواهد کرد. از روش انتخاب شده به عنوان پیش بینی کننده هزینه واقعی و ارزش حاصله در آینده استفاده می­شود. .پس از محاسبه آنها، امکان محاسبه شاخص‌های زمان‌بندی و هزینه در آینده فراهم  خواهد شد.

 

.

جدول 3-بهترین مسیر های انجام پروژه

وزن 2

وزن 1

مسیر انتخابی

زمان مسیر بحرانی

بودجه پروژه

مسیر جانشین

0.5

0.5

1112231

(59.4،63،66.6)

(163150.1،169970،181225.4)

1113431

0.6

0.4

1111131

(56.1،60،64.5)

(175493.3،182480،195138.8)

1112121

0.7

0.3

1111131

(56.1،60،64.5)

(175493.3،182480،195138.8)

1112121

0.4

0.6

1112231

(59.4،63،66.6)

(163150.1،169970،181225.4)

1113431

0.8

0.2

1111131

(56.1،60،64.5)

(171622.3،178480،190788.8)

1112121

0.9

0.1

1111131

(56.1،60،64.5)

(171622.3،178480،190788.8)

1112121

0.3

07.

1113431

(64.4،68،72.2)

(157159.1،164120،176213)

1112231

0.2

0.8

1113431

(64.4،68،72.2)

(157159.1،164120،176213)

1112231

0.1

0.9

1113431

(64.4،68،72.2)

(157159.1،164120،176213)

1112231

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

در شکل (2) پیشرفت برنامه‌ریزی شده برای مسیر انتخابی رسم شده است. چون متغیر‌های تعریف شده همانند زمان انجام فعالیت‌ها به صورت فازی هستند، بنابر این، پیشرفت برنامه‌ریزی شده نیز به صورت فازی محاسبه شده و دارای سه نمودار خواهد بود. این نمودار‌ها پیشرفتی را که برای پروژه تا انتهای آن در نظر گرفته شده است، نشان می­دهند.

 

شکل 2- مقایسه پیشرفت برنامه‌ریزی شده و پیشرفت واقعی

 

3-مقایسه ارزش حاصله در حالت فازی

 


همچنین، در شکل (2) با مقایسه پیشرفت‌های برنامه‌ریزی شده ، سه زمان متفاوت برای پایان پروژه پیش بینی شده است. اگر مسیر انجام پروژه به شکل خوشبینانه در نظر گرفته شود، پروژه پس از 60 روز به پایان خواهد رسید. این مسیر خوشبینانه در شکل (2) به صورت  pp(L)به نمایش در آمده است. مسیر نرمال انجام پروژه که زمان‌ها و هزینه‌های مربوط به آن در قسمت تعریف متغیر‌ها با اندیس c مشخص شده بودند، به صورت pp(c) به تصویر در آمده است.


.اگر پروژه از مسیر نرمال انجام شود، پروژه به صورت برنامه ریزی شده باید در روز 63 به پایان برسد. مسیر نرمال در واقع برابر با زمانی است که α برابر با یک فرض شود. نمودار سوم pp(R) ، برای پیشرفت برنامه‌ریزی شده مربوط به پیش بینی در حالت بد بینانه است که در واقع، شامل نقاط سمت راست اعداد فازی است. با توجه به شکل(2) پروژه در سطح ریسک α برابر با 0.7 و در حالت بدبینانه در پایان روز 67 به پایان خواهد رسید. نمودار دیگری که در این شکل بسیار مهم است، به پیشرفت واقعی مربوط است. خط عمودی که در پایان روز پانزدهم رسم شده است، نشان دهنده این موضوع است که پروژه تا پایان روز پانزدهم انجام شده و همان طور که در شکل مشخص است، پس از پایان روز پانزدهم پیشرفت واقعی به صورت خط چین نشان داده شده است که مربوط به ناحیه پیش بینی است.

برای پیش بینی پیشرفت واقعی اعداد فازی مربوط به پیشرفت برنامه‌ریزی شده توسط روش مرکز ثقل به صورت دیفازی تبدیل شده‌اند و سپس از مدل رگرسیون ارائه شده، پیشرفت واقعی تا انتهای پروژه به دست آمده است. با توجه به شکل (2) و نمودار پیشرفت واقعی پیش بینی بینی می­شود پروژه در روز 73 به پایان برسد که این مقدار حتی از زمان اتمام پروژه در حالت بد بینانه نیز بیشتر است. شکل (3) نشان دهنده ارزش حاصله است. با توجه به اینکه هزینه اجرای پروژه توسط فرمول (4) به صورت فازی محاسبه شد، ارزش حاصله نیز با توجه به فرمول (6) به صورت عددی فازی به نمایش درآمده است:                       

 

 

[30]جدول4-مقایسه بین روش‌های رگرسیون برای پیش‌بینی پیشرفت واقعی

متوسط درصد خطا

درصد خطا برای دوره3

درصد خطا برای دوره2

درصد خطا برای دوره 1

مشاهدات غیر معمول

 

%

معادله

17

21

16

14

1

82.1

 

9

8.

8

12

1

89.2

 

 

 

 

: که در اینجا α برابر 0.7 است. خط عمودی که در پایان روز پانزدهم رسم شده است، همانند شکل (2) بیانگر این موضوع است که پروژه تا پایان روز پانزدهم انجام شده و از روز پانزدهم به بعد نمودارهای ارزش حاصله (ناحیه نقطه چین) مربوط به قسمت پیش بینی است. برای محاسبه ارزش حاصله تا پایان پروژه بر اساس فرمول (7) نیاز است تا پیشرفت واقعی تا پایان پروژه محاسبه شود. این کار توسط مدل آماری ارائه شده انجام می­گیرد. در شکل (2) نیز پیشرفت واقعی تا پایان پروژه نیز نمایش داده شده است. نقاط انتهایی برای سه ارزش حاصله نشان دهنده هزینه اجرای پروژه در سه حالت خوشبینانه، نرمال و بد بینانه هستند که به ترتیب مربوط به نقاط سمت چپ، مرکز و سمت راست عدد فازی محاسبه شده در فرمول (5) و برابر (59.4،63،66.6) هستند.

 

جدول5-مقایسه بین روش‌های رگرسیون برای پیش‌بینی هزینه واقعی

متوسط درصد خطا

درصد خطا برای دوره 3

درصد خطا برای دوره 2

درصد خطا برای دوره 1

مشاهدات غیر معمول

 

%

معادله

21.3

19

22

23

2

93.2

 

14.4

14.3

15

14

1

94.1

 

28

22

30

32

2

92.1

 

4.03

3.1

3

6

1

95.6

 

17.4

18.3

18

16

2

93.6

 

14.3

11

14

18

1     

94.5

 

 

در شکل (4) هزینه واقعی و ارزش برنامه‌ریزی شده ترسیم شده‌اند. قسمت نقطه چین مربوط به ناحیه پیش بینی بوده که تاز طریق مدل رگرسیون ارائه شده در جدول (5) به دست آمده است. با توجه به اینکه مدل رگرسیون برای محاسبه هزینه واقعی، علاوه بر متغیر وقفه‌ای دارای پارامترهای ارزش حاصله و ارزش برنامه‌ریزی نیز می­باشند بنابر این برای اینکه بتوان از آنها در این مدل استفاده کرد، ابتدا توسط فرمول (3) دیفازی شده و سپس برای محاسبه هزینه واقعی به کار گرفته شده است. در شکل (4) هزینه کل در انتهای پروژه نیز پیش بینی[31] شده است.

 

.

شکل4-محاسبه هزینه واقعی و ارزش حاصله وارزش برنامه‌ریزی شده تا انتهای پروژه

 

هزینه پروژه بر اساس مدل برنامه ریزی و پس از دیفازی شدن برابر (170709.25 ) شده است، اما بر اساس هزینه واقعی پروژه تا روز 15و پیش بینی روند آن در آینده این میزان ( 205343.0054 ) تخمین زده می‌شود. میزان تفاوت بین هزینه پروژه در انتهای آن و هزینه پیش بینی شده توسط مدل رگرسیون می‌تواند به عنوان معیاری برای مقایسه آنچه برنامه‌ریزی شده و آنچه در واقعیت صورت گرفته است، باشد، اما در این مقاله برای مقایسه وضعیت پروژه از لحاظ هزینه و زمان‌بندی (همان طور که در گذشته نیز توضیح داده شد) از شاخص‌های معرفی شده در روش آنالیز ارزش حاصله استفاده می­شود. برای محاسبه شاخص هزینه از طریق فرمول (8) نیاز به ارزش حاصله و هزینه واقعی نیاز است. ارزش حاصله همان طور که در شکل (3) نشان داده شد، تا پایان پروژه پیش بینی شد. هزینه واقعی نیز بر اساس مدل رگرسیون و همانطور که در شکل (4) نشان داده شده است، تا پایان پروژه پیش بینی شده است، بنابر این، می­توان شاخص هزینه را تا روز پانزدهم به شکل قطعی و پس از روز پانزدهم براساس مدل رگرسیون و محاسبات مربوطه، پیش بینی نمود. برای محاسبه شاخص زمان بندی تا پایان پروژه نیز بر اساس فرمول (9) به ارزش حاصله و ارزش برنامه ریزی شده نیاز است. ارزش برنامه‌ریزی شده بر اساس پیشرفت برنامه‌ریزی که در شکل (2) برای بهترین مسیر رسم شده است و هزینه پروزه قابل محاسبه است. ارزش حاصله نیز هما طور که در بالا توضیح داده شد، تا پایان پروژه قابل محاسبه است. برای راحتی استدلال‌ها و استفاده از نتایج این شاخص‌ها به صورت اعداد قطعی پیش بینی شده‌اند. شکل (5) شاخص‌های هزینه و زمان‌بندی را برای پروژه نشان می­دهد. طبق توضیحات بالا تا روز  پانزدهم این نقاط به صورت پیوسته و از روز پانزدهم به بعد تا انتهای پروژه به صورت نقطه چین هستند. در ناحیه پیش بینی (نقطه چین) همان طور که مشخص است به صورت کلی وضعیت شاخص زمان‌بندی بهتر از هزینه پیش بینی می‌شود. با توجه به اینکه روش‌های پیش بینی بر اساس عملکرد گذشته عمل می­کنند، در نتیجه می­توانند معیاری مناسب برای بررسی وضعیت پروژه باشند.

 

 

 

 

شکل5-محاسبه شاخص‌های زمان‌بندی و هزینه تا انتهای پروژه

 

بر اساس آنچه در شکل (5 ) مشخص است، در انتهای پروژه شاخص هزینه برابر 0.8967و شاخص زمان‌بندی برابر 0.7479پیش بینی می­شود. چنانچه این شاخص ها از معیار های مقرر شده توسط مدیران پروژه کمتر باشد، پروژه نیازمند برنامه‌ریزی دوباره است. برای برنامه ریزی مجدد ادامه پروژه می­توان برای فعالیت‌های باقیمانده مجددا از فرمول (5) استفاده نمود؛ با این تفاوت که  ضرایب وزنی فرمول(5) را به شکل هدفمند‌تری انتخاب نمود. ضرایب تعدیل شده برای برنامه ریزی مجدد به این صورت تعریف می­شود:

 

       (10)

        (11)

 

در این مقاله برای اینکه نحوه اجرای ادامه مدل نیز نمایش داده شود، فرض می­شود باز ه مورد قبول برای مدیزان پروژه به این صورت تعریف می‌شود: . در نتیجه، با توجه به اینکه این مقدار در انتهای پروژه برابر 0.67064پیشی بینی می‌شود، بنابر این، پروژه به برنامه‌ریزی دوباره نیاز خواهد داشت. برای برنامه‌ریزی دوباره با توجه به فلوچارت ارائه شده در شکل (1) ابتدا ضرایب وزنی تعدیل می­شوند. سپس فعالیت‌هایی که پیش از این انجام شده یا در میانه اجرا هستند، از شبکه پروژه حذف و برای ادامه پروژه با توجه به فرمول (5) برنامه‌ریزی شده و بهترین مسیر برای اجرا برگزیده می­شود. در اینجا ضرایب با توجه به فرمول‌های (10)و(11) به صورت زیر تعدیل می‌شوند: (0.5337،0.4662) در پایان روز پانزدهم تنها فعالیت 1 پروژه به پایان رسیده است، بنابر این، این فعالیت از شبکه پروژه حذف و با توجه به فرمول(5) و ضرایب تعدیل شده فوق، بهترین مسیر برای ادامه کار پروژه انتخاب می­شود. با توجه به این ضرایب تعدیل شده، مسیر  به عنوان مسیر بهینه برای ادامه پروژه برگزیده می­شود.

1-4 مقایسه روشهای موجود و روش ارائه شده

هرچند مد‌‌ل‌های زیادی برای مساله موازنه زمان و هزینه ارائه شده است، ولی با توجه به فرض‌های متفاوتی که در مدل‌سازی هرکدام از این روش، وجود دارد، مقایسه مدل ارائه شده،  با همه آنها امکان پذیر نیست، لذا در این بخش سعی شده است، تا مقایسه‌ای بین مدل ارائه شده در این مقاله، و روش‌های پیشینی که به بررسی مساله موازنه زمان و هزینه با در نظرگرفتن فعالیت‌های چند انتخابی و روابط گسسته بین زمان و هزینه پرداخته اند، ارائه گردد. این مقایسه بر اساس حیطه کاربرد و فرض‌های اولیه ای است که در این مدل‌ها برای هرچه نزدیک شدن آنها به شرایط واقعی پروژه ها در نظر گرفته شده اند. جدول (6) به صورت خلاصه این مقایسه بین روش‌های موجود و روش ارائه شده در این مقاله را ارائه می دهد. هر چند مدل ارائه شده همانند مدل اشتهاردیان و همکاران خروجی‌ها را به صورت فازی ارائه نمی‌دهد، اما قابلیت پیش بینی وضعیت آینده پروژه و برنامه‌ریزی دوباره پروژه بر اساس فرمول‌بندی اولیه، از مزایای این روش نسبت به روش‌های پیشین می باشد.

 

 

جدول 6 مقایسه روش ارائه شده و روش‌های ارائه شده توسط محققین

قابلیت برنامه‌ریزی مجدد برای اصلاح برنامه‌ریزی اولیه

استفاده از مدل‌های پیش‌بینی برای پیش‌بینی آینده پروژه

ارائه نتایج خروجی به صورت فازی

در نظر گرفتن ورودی ها به صورت فازی

( زمان و هزینه)

محققین

×

×

×

×

فنگ و همکاران(1997)

×

×

×

×

لی و لا(1999)

×

×

×

حجازی(1999)

×

×

×

فنگ و همکاران (2000)

×

×

×

×

لئو و همکاران (2001)

×

×

×

×

زنگ و همکاران (2005)

×

×

×

اشتهاردیان و همکاران (2008)

×

×

اشتهاردیان و همکاران (2009)

×

مدل ارائه شده


 


5-نتیجه‌گیری:

در مقاله حاضر به بیان روش پیشنهادی در قالب الگوریتمی مرحله به مرحله برای حل مسایل موازنه زمان – هزینه پرداخته شد. شاخص­های مورد استفاده در روش پیشنهادی که شاخص‌های هزینه، زمان‌بندی بودند، برای ارزیابی پروژه به همراه چگونگی استفاده از آنها نیز تشریح گردید واز روشهای آماری برای پیش بینی روند ادامه پروژه استفاده شد و در پایان نیز نحوه برنامه‌ریزی دوباره پروژه تشریح گردید. از مباحث ارائه شده در این مقاله می­توان در جهت انتخاب مسیر پروژه و کنترل پروژه‌هایی که هنگام اجرا می­باشند و از انعطاف­پذیری در انتخاب مسیر فعالیت‌ها بهره می­برند، استفاده کرد. در تحقیقات آتی در این زمینه می‌توان از روش شبیه‌سازی برای حل مدل استفاده کرد و یا از این مدل برای حل مساله موازنه زمان-هزینه کیفیت بهره برد.



[1] Kelly

[2]Moslehi

[3] Siemens

[4]Goldrat

[5] Feng

[6] Leu et al

[7] Eshtehardian et al

[8] Zheng et al

[9] Hegazy

[10] PMI

[11] Lipke

[12] Earned Schedule

[13] Henderson

[14] Anbari

[15] Bagherpour et al

[16] Lipke et al

[17]  Kaufman A, Gupta MM

[18] Weight 1, weight 2

[19] Modified adaptive weights(MAW)

[20] Earned Value(EV)

[21] Plan Value(PV)

[22] Budget At Completion(BAC)

[23] Actual progress(AC)

[24] Plan Value(PV)

[25] Plan progress(PP)

[26] Actual cost

[27]  Lagged Variable

[28] Budget At Completion(BAC)

[29] Weight Factor

[30] Estimate At Completion(EAC)

 

 

Anbari, F. (2003). "Earned Value Project Management Method and Extensions". Project Management Journal , 34 (41), 12-23.

Bagherpour, M., Zareei, A., Noori, S., & Heydari, M. (2010)."esigning a control mechanism using earned value analysis: An application to production environment". International journal of advanced manufacturing , 49, 419-428.

Covach, John, Haydon, J. J., & Reither, R. O. (1981). "A Study to determine Indicator and methods to compute Estimate at completion (EAC)". Virginia: Man Tech international Corporation.

Eshtehardian, E., Afshar, A., & Abbasnia, R. (2008). "Time-cost optimization: using GA and fuzzy sets theory for uncertainties in cost". Construction Management and Economics , 26 (7), 679-691.

Feng, C., Liu, I., & Burns, S. (2000). "Stochastic construction time-cost trade-off analysis", Journal of computing in Civil Engineering , 14 (2), 117-126.

Goldratt, E. (1997). Critical Chain. The North River Press.

Hegazy, T. (1999). "Optimization of construction time-cost trade-off analysis: using genetic algorithms". Canadian Journal of Civil Engineering , 26 (6), 685-697.

Henderson, K. (2003). "Earned Schedule: a breakthrough extensions to earned value theory". The Measurable News , 13-23.

Henderson, K. (2004). "Further developments in earned schedule". The measurable news , 15-22.

Kaufman, A., & Gupta, M. (1988). Fuzzy mathematical models in engineering and management science. North-Holland, Amsterdam.

Kelley Jr, J. (1961)." Critical path planning and scheduling mathematical basis". Operation Research (9), 296-320.

Leu, S., Chen, A., & Yang, C. (2001)." A GA-based fuzzy optimal model for construction time–cost trade-off". International Journal of Project Management , 19 (1), 47-58.

Lipke, W. (1999, March). "Applying Management reserve to software project management.  Journal of Defense Software Engineering , 17-21.

Lipke, W. (2003)." Schedule is different". The Measurable News , 31-34.

Lipke, W., Zwikael, O., Henderson, K., & Anbari, F. (2009). "Prediction of project outcome: The application of statistical methods to earned value management and earned schedule performance indexes". International Journal of Project Management , 27 (4), 400-407.

Meyer, W., & Shaffer, L. (1963). Extinctions for critical path method through the application of integer programming. University of Illinois. Urbana: Civil engineering construction research series.

Moslehi, O. (1993). "Schedule compression using the direct stiffness method". Canadian Journal of Civil engineering , 20, 65-72.

Seimons, N. (1971). "A simple CPM time-cost tradeoff algorithm". Management Science , 17 (6), 354-363.

Talbot, F. (1982). "Resource-constrained project scheduling with time-resource trade-offs: the non-preemptive case". Manage Science , 28, 1197-1210.

Zheng, D., & Ng, S. (2005). "Stochastic time–cost optimization model incorporating fuzzy sets theory and non replaceable front". Journal of Construction Engineering and Management, 131(2), 176-186.