ارائه یک مدل ریاضی چند هدفه و تک زمانه برای سرمایه گذاری در سبد سهام تحت یک سنجه ریسک ترکیبی

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 استاد دانشکده علوم اداری و اقتصاد، گروه مدیریت دانشگاه اصفهان

2 کارشناس ارشد، دانشکده مهندسی صنایع دانشگاه علوم و فنون مازندران

3 کارشناسی ارشد مدیریت بازاریابی ، گروه مدیریت، دانشگاه اصفهان

4 کارشناسی ارشد مهندسی مالی، دانشگاه رجا، قزوین

چکیده

انتخاب سبد سهام مطلوب و چگونگی سرمایه گذاری در آن یکی از مباحث مهم و کلیدی می‏باشد که در بازار سرمایه مطرح است و باید مورد توجه سرمایه گذارن قرار گیرد. در این رابطه، بررسی و مطالعه سرمایه گذاران در جهت انتخاب بهترین سبد سرمایه گذاری با توجه به میزان ریسک وبازده آن انجام می‏شود.از اینرو اندازه گیری ریسک به عنوان یک مسئله مهم در سرمایه گذاری برای سبد سهام مطرح است. در این تحقیق که در بستر بازار سرمایه ایران انجام شده به ارائه یک مدل ریاضی چند هدفه به صورت تک زمانه برای اندازه گیری ریسک سبد سهام پرداخته شده است که با ترکیب سنجه بازده با دو سنجه ریسک یعنی نیم واریانس و ارزش در معرض ریسک شرطی این امکان را فراهم می‏آورد تا سرمایه‏گذاران بتوانند با در نظر گرفتن محدودیت‏های مرتبط با هزینه‏های معاملاتی، ریسک سبد سهام مورد نظرشان را با دقت اندازه گیری کنند تا در سبد سهامی با بیشترین بازده و کمترین ریسک، سرمایه گذاری کنند. نتایج نشان می‏دهد که استفاده از دو سنجه ریسک به‏طور همزمان، دقت تصمیم گیرندگان و سرمایه گذاران بازار‏سرمایه در انتخاب سبد مطلوب برای سرمایه گذاری را افزایش می‏دهد و یک الگو و راهنمای مناسب‏تری برای تعیین سبد بهینه سهام است.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

A Single Period Multi Objective Mathematical Model for Portfolio Investment Under an Integrated Risk Measure

نویسندگان [English]

  • Mehdi Abzari 1
  • Mehdi Khalili 2
  • Hamid Jamshidi 3
  • Ahmad Dadashpoor Omrani 4
1 Assistance Professor of System Management, Esfahan University
2 M.Sc. student in Industrial Engineering, Mazandaran University of Science and Technology
3 M.Sc. student in Markting Management, Esfahan University
4 M.Sc. student in Financial Engineering, Ghazvin Raja University
چکیده [English]

Optimal portfolio selection and how to invest in, is one of the key issues which is considered in the capital market and should be paid attention by investors. In this regard, investors studies in selecting optimal portfolio accords to risk and return level. What has been done in the field of financial calculations and portfolio selection should prioritize existing investments in terms of risk and return respectively, until investors be able to constitute their optimal portfolio according to the finance and their level of risk-taking. Hence, measuring risk is considered as a major issue in the investment of portfolio. So in this research which was done in a capital market of Iran, it is presented a multi objective single - period mathematical model for measuring the risk of portfolio which integrates measure of  return and two measures of risk (semivariance, Cvar). This model enables investors to measure the risk of portfolio carefully under transactions cost constrains and invest in a portfolio with maximum rate of return and minimum rate of risk Results show that using integraed risk measure can increase the carefulness of investors in capital market for optimal portfolio selection.

کلیدواژه‌ها [English]

  • semivariance measure
  • CVar measure
  • multi objective programming
  • portfolio
  • transaction cost

1- مقدمه

سرمایه گذاری به عنوان موتور محرکه رشد و توسعه اقتصادی، در تمام کشورهای جهان از اهمیت ویژ‏ه‏ای برخوردار است.لازمه ی رشد اقتصادی، تولید بیشتر و سرمایه گذاری افزون‏تر است. بنابراین، باید گفت که رشد اقتصادی و افزایش رفاه عمومی در بلند مدت بدون توجه به سرمایه گذاری و عوامل مهم موجود در محیط سرمایه گذاری، که بر آن تاثیر می‏گذارد امکان پذیر نیست. یکی از این عوامل، ریسک و بازده سرمایه گذاری است.سرمایه‏گذاری به عنوان یک تصمیم مالی همواره دارای دو مؤلفه ریسک و بازدهی بوده که مبادله این دو، ترکیب های گوناگون سرمایه گذاری را عرضه می نماید. از یک طرف،سرمایه گذاران به دنبال بیشینه کردن عایدی خود ازسرمایه‏گذاری هستند و از طرف دیگر، با شرایط عدم اطمینان حاکم بر بازارهای مالی مواجه می‏باشند که عامل اخیر، دستیابی به عواید سرمایه‏گذاری را با عدم اطمینان مواجه می سازد. به عبارت دیگر، تمامی تصمیمات سرمایه گذاری براساس روابط میان ریسک و بازده صورت می‏گیرد.ریسک و بازده در سرمایه گذاری و تامین مالی همیشه در کنار یکدیگر هستند و نمی‏توان آنها را جدا از هم فرض کرد، چرا که تصمیمات مربوط به سرمایه‏گذاری همیشه بر اساس رابطه میان ریسک و بازده صورت می‏گیرد. سرمایه‏گذاران همیشه باید در تصمیمات سرمایه‏گذاری خود، ریسک را در نظر داشته باشند. بنابراین در محاسبات مالی و انتخاب سهام و سبد سرمایه‏گذاری باید به گونه ای عمل شود که سرمایه‏گذاری‏های موجود از لحاظ درجه ریسک و بازده، به ترتیب اولویت‏بندی شود، تا بدین طریق سرمایه گذاران بتوانند با در نظر گرقتن امکانات مالی و میزان ریسک پذیریشان سبد سهام مطلوب خویش را تشکیل دهند. انتخاب سبد سهام یکی از اصول مهم در سرمایه گذاری می باشد و مقدار ریسک این انتخاب از اهمیت بسزایی برخوردار است.سرمایه گذاران علاقمندند که با پذیرش سطح مشخصی از ریسک به بازده مورد انتظار خود دست یابند. از اینرو، مقدار ریسک به نیاز سرمایه گذار بستگی دارد و سنجه‏های ریسک برای سرمایه گذاران مختلف متفاوت است. از مشکلاتی که بسیاری از سرمایه گذاران در بازار سرمایه با آن مواجه هستند دسترسی نداشتن به اطلاعات کافی و همچنین نداشتن دانش لازم برای تحلیل بازار سرمایه و به تبع آن، سهام مورد نظر خود، برای سرمایه گذاری است. در این شرایط، نیاز به ابزار و مدل های کارآمد جهت تحلیل داده های بورس به منظور کاهش ریسک ناشی از تشکیل سبد سهام برای سرمایه گذاران و تصمیم‏گیری مطمئن تر احساس می شود.از آنجا که رویدادهای آتی به طور کامل قابل پیش بینی نبوده، عامل ریسک وجود دارد.لذا توجه به رویکرد اندازه‏گیری ریسک احساس شد.

 از این‏رو پژوهشگران تکنیک ها و سنجه های مختلف را برای محاسبه میزان ریسک برای انتخاب سبد سهام مطلوب تر ابداع نمودند. از مشکلاتی که بسیاری از سرمایه گذاران در بازار سرمایه با آن مواجه هستند دسترسی نداشتن به اطلاعات کافی و همچنین، نداشتن دانش لازم برای تحلیل بازار سرمایه و به تبع آن، سهام مورد نظر خود، برای سرمایه‏گذاری است. در دنیای واقعی تصمیم گیرنده باید چند هدف معارض را بهینه نماید. برنامه‏ریزی ریاضی برای بهینه‏سازی چند هدف، بهینه‏سازی چند هدفه نامیده می شود. برنامه ریزی خطی و برنامه‏ریزی غیر خطی دو جریان اصلی برنامه ریزی چند هدفه هستند که خود دارای انشعابات متعددی می‏باشند (شاه علیزاده،1382).

  در این تحقیق تلاش می شود، ضمن بررسی سنجه‏های ریسک نیم واریانس1 و ارزش در معرض ریسک شرطی2 به صورت منفرد با سنجه بازده یعنی میانگین، یک مدل چند هدفه به صورت (میانگین _نیم واریانس3_ ارزش در معرض ریسک شرطی4) ارائه می شود که با در نظر گرفتن هزینه های معاملاتی و فرض تک زمانه بودن مورد پیاده سازی برای جهت انتخاب و  سرمایه‏گذاری در سبد سهام قرار می‏گیرد، اهمیت این تحقیق در بیان راه های مختلف اندازه‏گیری ریسک برای انتخاب سبد سهام است. در روش‏های ارائه شده، علاوه بر بررسی سنجه های منفرد ریسک به همراه نمونه‏ای در بستر بازار سرمایه ایران، به ارائه مدلی برای ترکیب این نوع سنجه های ریسک پرداخته شده است که این امکان را فراهم می‏آورد تا افراد بتوانند دو سنجه ریسک را به طور همزمان برای رسیدن به راه حل بهتر امتحان کنند. استفاده از دو سنجه ریسک به طور همزمان، دقت حل را بالا برده و با روش‏های ریاضی خاص و ساده، پیچیدگی ناشی از این نوع ترکیب را حل می کند.

نتایج این تحقیق می تواند برای شرکت های سرمایه گذاری، مدیران ارشد، تحلیل گران مالی، صندوق های سرمایه گذاری و پژوهشگران در حوزه مالی و به طور کلی سرمایه گذاران کاربرد موثری داشته باشد. آنها می توانند از مدل پیشنهادی در جهت انتخاب سبد سرمایه گذاری مطلوب و اندازه‏گیری ریسک آن، در کارایی هر چه بهتر تصمیمات سرمایه گذاری و به تبع آن توسعه بازار سرمایه ایران نقش مهمی ایفا نمایند.

 

2- پیشینه تحقیق

رویکرد انتخاب سبد سهام و اندازه گیری ریسک آن در پرتو اندیشه های مارکوویتز، روند تکاملی پیمود و کاربرد ریاضی دقت سرمایه گذاران را در انتخاب سبد سهام افزایش داد. مدل های مختلفی برای هدایت سرمایه گذاران با کمک برنامه ریزی ریاضی ارائه گردیده اند. مارکوویتز5 (1959-1952) با پیشنهاد مدل که حداقل کردن واریانس به همراه حداکثر شدن بازده است، آغازگر این راه بود و با پیشنهاد مرز کارا برای سرمایه گذاران با توجه به پذیرش ریسک مختلف را یاری کرد. مدل مارکویتز از دو معیار بازده و ریسک به همراه محدودیت بودجه سرمایه گذاری، در قالب برنامه ریزی درجه دو استفاده کرده است(مارکوویتز،1952). بعدها (1991-1959) وی نیم واریانس را جایگزین واریانس نمود. نیم واریانس در واقع ارزش مورد انتظار مجذور انحراف منفی نتایج ممکن از بازده مورد انتظار را نشان می دهد که نشانگر انحراف پایین نرخ بازده مورد انتظارمی باشد ( مارکوویتز ،1959). در سال (1952) بطور مستقل معادله واریانس سبد سهام در مقاله ای توسعه داده شد. در این مقاله انتخاب سبد سهام منفرد با ماکزیمم کردن رابطه  را توصیه شد. در این رابطه d بیانگر میزان ضرر و نشانه میانگین سبد سهام و نیز  نشانگر واریانس سبد سهام می‏باشد (روی6،1952). تحقیقاتی که توسط مارکویتز و روی در سال 1952 صورت گرفت، موجب به وجود آمدن علاقه در بین پژوهشگران در زمینه انتخاب سبد سهام شد. در این میان استفاده از روش‏های برنامه‏ریزی ریاضی از اهمیت خاصی برخوردار بود. معیار میانگین– واریانس برای تابع مطلوبیت فردی تحت شرایط خاص معیار کارا و با اعتباری است( هانوک و لوی 7،1969).  در مقاله ای در سال 1977 یک نوع سنجه ریسک جدید ابداع شد. در این مقاله ریسک تابع وزن احتمالی انحراف پایینی بازده هدف خاص تعریف شد. همچنین، درباره مزیت استفاده از این نوع سنجه ریسک نسبت به نوع سنتی آن یعنی واریانس بحث شده است( فیشبرن8،1977). در سال1990 نشان داده شد که ریسک سرمایه گذاری را می توان با احتمال نواحی پایین بازده مورد انتظار اندازه گرفت( بالزر9 ،1990). در سال1991 یک معیار جدید ارزیابی  ریسک به نام انحراف مطلق ابداع شد. این معیار انحراف از نرخ بازده مورد انتظار را می‏سنجد و آنرا به صورت یک مساله برنامه‏ریزی خطی در می‏آورد که باعث صرفه جویی بسیار زیادی در زمان محاسبات می‏شود( کونو و یامازاکی10،1991).  در مقاله ای در سال 2000 معیار ارزش در معرض خطر بیان شد و سه روش حل موجود آن یعنی شبیه سازی تاریخی، پارامتریک و شبیه سازی مونت کارلو بررسی گردید. در پایان مزایا و معایب هریک از روش‏های تخمین ارزش در معرض خطر را بیان شد ( لنسمیر و پیرسون11،2000).  همچنین در سال2006 به مقایسه  CVaR و VaR پرداخته شد. برخی از ارتباط بین این دو سنجه بیان گردید و نمونه های تجربی در این باره آورده شد( کیبزون و کازستون12،2006).  به بیان دیگر، VaR زیان مورد انتظار درسطح اطمینان α را بیان می کند. ولی   VaR چگونگی و میزان بدی زیان را نشان نمی‏دهد. برای برطرف کردن این اشکال، سنجه ریسک جدیدی به‏نام، ارزش در معرض ریسک شرطی پیشنهاد شد(رواکافلر 13 ،2000). با نوشتن مقاله ای به‏نام ( پرتفوی‏های بهینه با استفاده از مدل های برنامه ریزی خطی) به بیان مدل‏های برنامه‏ریزی خطی در این زمینه پرداخت شد و سپس با نمونه های تجربی به مقایسه سبد های سهام به دست آمده از هر مدل، پرداخته شد (پپاریستودولو14 ،2004). در سال 2008 در پایان نامه‏ای یک سنجه ریسک جدید برای انتخاب سبد سهام ارائه شد( کاند اسمی15 ،2008). در مقاله‏ای تحت عنوان بهینه سازی سبد سهام با سنجه های ریسک مختلف به کمک الگوریتم ژنتیک به بررسی سه سنجه ریسک واریانس و نیم واریانس و انحراف مطلق پرداخته شد.(تان جن چانگ و همکارانش16 ،2009). در مقاله ای به بررسی بهینه سازی سبد سهام با در نظر گرفتن سه هدف و متغیرهای گسسته پرداخته شد .( آناگ نوستاپولوس و مامانیس17 ،2010) .همچنین برخی به بهینه سازی سبد سهام تحت سنجه ریسک ارزش در معرض ریسک شرطی پرداختند و به نتایجی منطقی اما نسبتا ضعیف در مورد بهینه سازی سبد سهام دست یافتند.(آندره لیم و همکاران18 ،2011) . در ایران راعی (1381) در مقاله تحت عنوان (تشکیل سبد سهام برای سرمایه‏گذار ریسک پذبر: مقایسه شبکه عصبی و مارکوویتز) به مسئله انتخاب و بهینه سازی سبد سهام پرداخته است. در حوزه تحلیل مقدار ریسک و بازده می‏توان به مقاله فرزین وش و اسماعیلی (1378) اشاره کرد که در آن به بررسی ریسک شرکت‏های سرمایه‏گذاری و ارائه مدلی بر اساس الگوی خاص برای پرتفوی متشکل از 22 سهم طراحی گردید که علاوه بر دارا بودن بالاترین نرخ بازده، از ریسک اندکی نیز برخوردار است. ابزری و همکاران (1384) با نوشتن مقاله‏ای به نام (بهینه‏سازی سبد سرمایه‏گذاری با استفاده از روش‏های برنامه‏ریزی خطی و ارائه یک مدل کاربردی ) با در نظر گرفتن دانش مدیریت مالی و سرمایه‏گذاری، مدلی را پیشنهاد دادند که انواع مختلف سرمایه گذاری را بررسی می‏کند که یک سرمایه‏گذار مایل است، جهت تشکیل سبد سهام خود آن را مورد ملاحظه قرار دهد. در این مدل علاوه بر کوتاه شدن زمان، ریسک نامطلوب نسبت به مدل مبنا کاهش می یابد.

    در حوزه اندازه‏گیری ریسک و بررسی سنجه‏های مختلف ریسک مطالعات بیشتر روی سنجه var استوار بوده است که به برخی از این مطالعات اشاره می شود.حمیدخالوزاده و نسیبه امیدی (1385) در مقاله‏شان تحت عنوان تعیین سبد سهام بهینه در بازار بورس ایران براساس نظریه ارزش در معرض ریسک به نتایجی دست یافتند که نشان می‏دهد. نتایج به دست آمده نشانگر کارایی روش مدل‏سازی ریسک  بر مبنای ارزش در معرض ریسک و روش بهینه‏سازی الگوریتم ژنتیک در به دست آوردن وزن‏های بهینه سبد سهام با در نظرگرفتن محدودیت بر روی ریسک است. در این تحقیق یک مدل چند هدفه به صورت (میانگین _نیم واریانس _ارزش در معرض ریسک شرطی) ارائه می‏شود که با در نظر گرفتن هزینه‏های معاملاتی و فرض تک زمانه بودن مورد پیاده‏سازی برای سنجش و اندازه‏گیری ریسک جهت سرمایه‏گذاری مطلوب قرار می‏گیرد.

2- روش تحقیق

این تحقیق از لحاظ هدف کاربردی می‏باشد و برای گردآوری اطلاعات در زمینه مبانی نظری و ادبیات موضوع، از منابع کتابخانه‏ای، مقالات، کتابها و اینترنت استفاده شده است. و به منظور جمع آوری اطلاعات و داده ها برای تجزیه و تحلیل در مورد مدل و پیاده سازی آن‏ها از سایت  بورس اوراق بهادار تهران و نرم افزار های مخصوص محاسبات بازده و اطلاعات سهام استفاده شده است. در این تحقیق که در بستربازار سرمایه ایران انجام شده تلاش می شود، ضمن بررسی سنجه های ریسک نیم واریانس و ارزش در معرض ریسک شرطی به صورت منفرد با سنجه بازده یعنی میانگین، یک مدل چند هدفه به صورت (میانگین - نیم واریانس - ارزش در معرض ریسک شرطی) ارائه می شود که با در نظر گرفتن هزینه‏های معاملاتی و فرض تک زمانه بودن مورد پیاده‏سازی برای جهت انتخاب و  سرمایه‏گذاری در سبد سهام قرار می گیرد.این تحقیق برای دوازده ماه سال 1388 در بستر بازار سرمایه ایران برای چهارده سهم بررسی شده است که این چهارده سهم از میان پنجاه سهم برتر بازار سرمایه ایران انتخاب شده است.و برای راحتی محاسبات سعی شده یک حجم نسبتا متوسطی از سهام انتخاب شود.

4-انتخاب سبد سهام  با استفاده از برنامه ریزی چند هدفه

استفاده از یک سنجه ریسک برای اندازه‏گیری میزان ریسک سبد سهام بهترین راه برای حل مسئله نیست. تصمیم گرفتن در مورد بهترین سنجه برای همه مسئله‏ها نشدنی است (التون19،1997). دلیل مهم این امر آن است که هر سنجه ریسک عملکرد و کاربردهای مخصوص به خود را دارد و علت خاص خود را می طلبد. بنابراین، نتایج متفاوتی را منجر خواهد شد. بسیاری از نویسندگان نشان داده اند که استفاده از بیش از یک  سنجه ریسک به طور همزمان به سرمایه‏گذاران در جهت به دست آوردن نتیجه بهتر کمک خواهد کرد. به عنوان نمونه، یک مدل انتخاب سبد سهام با استفاده از میانگین، واریانس و چولگی توسط کونو و همکاران نشان داده شد و در آن واریانس و چولگی هر دو معیار اندازه‏گیری ریسک به شمار می‏آمدند (کونو20،1993). در مدل دیگر، واریانس و CVaR را به طور همزمان برای اندازه‏گیری ریسک بکار بردند و این دو معیار ریسک را مینیمم نمودند (رومان21 ،2007).  لذا توجه به مدل‏های برنامه‏ریزی ریاضی چند هدفه ریسک مورد توجه قرار گرفت. به طور کلی برنامه‏ریزی چند هدفه، شامل توابع هدف چندگانه‏ای است که به طور همزمان، نیاز به بهینه کردن آنها می‏باشد. شکل کلی برنامه‏ریزی چند هدفه به صورت زیر تعریف می‏شود.

Maximize {(f1(x); f2(x); : : : ; fT (x))}         subject to x Є A     (1)                                       

    باید توجه داشت که راه حل بهینه مسئله چند هدفه توسط رابطه اولویت پارتو مشخص می‏شود. در نتیجه، جواب x1 نسبت به جواب x2 برتری دارد، اگر رابطهf(x1) ≥ f(x2)   برای همه مقادیرi و f(x1) > f(x2) برای حداقل یک مقدار از i برقرار باشد.

 

4-2- مدل میانگین -  نیم واریانس

در این تحقیق در ابتدا دو مدل (میانگین - نیم واریانس ) و (میانگین - ارزش در معرض ریسک شرطی ) با در نظر گرفتن چهارده سهم از سهام شرکت‏های موجود در بازار سرمایه ایران بررسی شده و سپس با ترکیب این سنجه‏ها با هم یک مدل چند هدفه به صورت (میانگین - نیم واریانس- ارزش در معرض ریسک شرطی )با در نظر گرفتن هزینه‏های معاملاتی و فرض تک زمانه بودن ارائه می‏شود و مورد پیاده‏سازی برای انتخاب سبد بهینه سهام برای سرمایه گذاری قرار می‏گیرد. متغیر ها و پارامتر‏های به کار رفته در سرتاسر مدل‏های بررسی شده در این تحقیق به صورت زیر است:

R- بازده سهام تحت بررسی

Ri - بازده مشاهده شده سبد سهام برای (ماه) i ام

S -  تعداد ماه های مورد بررسی  

n- تعداد سهام مورد بررسی

rij- بازده سهام  j ام برای (ماه) i ام

Xn×1- بردار درصد سرمایه گذاری متناظر با n سهم

n×1µ-  بردارمیانگین بازده سهام متناظر با n سهم

Xj- درصد سرمایه گذاری متناظر با سهمj  ام

jµ- میانگین بازده سهامj  ام

E - بازده مورد انتظار سبد سهام

E0-  بازده مورد انتظار خاص برای سبد سهام

Emin- کمترین مقدار ممکن از بازده سبد سهام

EMAX- بیشترین مقدار ممکن از بازده سبد سهام

SV- نیم واریانس سبد سهام

yi- بازده مشاهده شده سبد سهام  ماه i ام – بازده مورد انتظارخاص سبد سهام

 ) (yi = Ri-E0

- بازده مشاهده شده سبد سهام  ماه i ام – بازده مورد انتظارخاص سبد سهام ) (Ri-E0 برای CVar در مدل چند هدفه

- سطح اطمینان

- مقدار ارزش در معرض ریسک

- هزینه خرید سهم  jام

- هزینه تناسبی معاملاتی سهم j ام

- هزینه ثابت سهمj  ام

- حد پایین میزان سرمایه گذاری در سهمj ام

- حد بالای میزان سرمایه گذاری در سهمj ام

Z'j - متغیری از نوع صفر و یک است که برای هر سهم تعریف می شود

N - میزان سهامی که سرمایه گذار علاقمند است از تعداد سهام موجود، در سبد خود نگهداری نماید

m  - حجم سبد سهام

    مارکویتز(1959) سنجه ریسک نامطلوبی به‏نام نیم واریانس را پیشنهاد داد. نیم واریانس ارزش مورد انتظار مجذور انحراف منفی از بازده مورد انتظار را نشان می دهد. نتیجه تعریف فوق را می‏توان به صورت زیر نمایش داد.

 

(2)

    انتخاب سبد سهام با کمک نیم واریانس، سعی در حداقل کردن عملکرد بازده‏های پایینی ( منفی ) سبد دارد و کاری به عملکرد بازده‏های بالایی (سود بیش از انتظار) ندارد.

    این سنجه ریسک سعی می‏کند که مقدار پراکندگی بازده سبد از بازده مورد انتظار را نشان دهد، اما فقط زمانی که بازده سبد سهام پایین‏تر از بازده مورد انتظار قرار گیرد. با به‏دست آوردن ماتریس بازده(r) برای رفتارهای آینده سهام، مسئله M-SV می تواند به‏ صورت زیر مدل شود.

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

ا گر یک بازده مشاهده شده پایین‏تر از بازده مورد انتظار باشد، آنگاه متغیر y متناظر با آن موقعیت را بیان می‏کند. بنابراین، می توان گفت، در مدل به دنبال حداقل کردن مجموع 2y هستیم. در بهینگی متغیر y، مقادیر یکسان میان بازده مورد انتظار و بازده مشاهده شده مورد نیاز است. در زمانی که بازده مشاهده شده بالاتر از بازده مورد انتظار باشد، متغیر y منفی می‏شود. اما از آنجا که ما به متغیر غیر منفی در مدل نیاز نداریم، مقدار این متغیر برابر صفر در نظر گرفته می‏شود. از این رو، محدودیت‏های فوق و تابع هدف مدل می‏تواند با دقت بالایی حل گردد. برای مدل نیم واریانس فوق، نرخ بازده مورد انتظار سبد سهام بین مقادیر Emin و Emax قرار دارد.

   Emin بیانگر حداقل مقدار ممکن برای بازده سبد سهام است که از حل مدل به‏دست می‏آید. Emax  نیز نشانگر بیشترین مقدار ممکن برای بازده سبد سهام است و مقدار آن برابر با حداکثر مقدار میانگین‏های بازده سهام بررسی شده در تحقیق است. نکته مهم برای حل مدل سنجه نیم واریانس، مشخص شدن مقادیر مختلف E0در بازه Emin و Emax است. زیرا قرار گرفتن در این بازه یعنی قرار داشتن در فضای جواب و شدنی مسئله. برای هرE0 خاص نیم واریانس سبد سهام مشخص می‏گردد. بازده‏های مورد انتظار و نیم واریانس‏های محاسبه شده، تشکیل مرز کارا می‏دهند. سرمایه‏گذار با مشخص شدن مرز کارا و درصد سرمایه گذاری در هر سهم از سبد سهام می تواند راه حل‏ها را جستجو کرده و سبد مورد رضایت خود را جهت سرمایه‏گذاری تشکیل دهد.

 

4-3-مدل میانگین ارزش در معرض ریسک شرطی

در سال 2000 یک سنجه ریسک جدید معرفی شد و نام آن ارزش در معرض ریسک شرطی نام‏گذاری شد. ارزش در معرض ریسک حداقل مقدار زیان متناظر با بدترین حالت را مشخص می کند، اما میزان زیان ناشی از این بدترین حالت را تعیین نمی‏کند. یک سرمایه‏گذار نیاز دارد بداند که مقدار ضرر چقدر است تا بتواند تشخیص دهد، آیا میزان زیان بیشتر از مجموع پول‏هایش است یا خیر. va مقادیر این بزرگی را مشخص می‏کند و زیان مورد انتظار، متناظر با بدترین حالت‏ها را اندازه می‏گیرد، البته این مطلب، بستگی به انتخاب سطح اطمینان دارد. استفاده از این سنجه، مسئله انتخاب سبد سهام را خطی می‏کند و زمانیکه حداقل مقدار Var مشخص شود به این نتیجه می‏رسیم که Cvar ≥ Var می‏باشد( رواکافلر و یورسیو ،2000).

    همچنین، این معیار بیانگر متوسط ضرر بیش از Var می باشد. به بیان دیگر، Cvar نشان دهنده متوسط ضرر بیش از ارزش در معرض خطر است. اگر بازده‏های آینده در دسترس باشد، انتخاب پرتفوی به روش میانگین Cvar- می تواند، به‏ صورت برنامه‏ریزی خطی فرموله شود. از آنجا که r ماتریس بازده و rx بازده های سبد سهام می باشد؛ بنابراین، زیان ها را می‏توان با- rx  نشان داد. این مدل سعی می کند ارزش مورد انتظار همه بدترین زیان‏ها را در سطح (1- α) درصد بیان می‏شود. مدل زیر مسئله انتخاب سبد سهام را با توجه به مفاهیم سنجه ارزش در معرض ریسک به تصویر می کشد.

 

 

(4)

 

 

 

 اگر زیان بیشتر از مقدار Var باشد آنگاه متغیر y مقادیر مختلف اما دقیقی بین میزان زیان و Var  می‏پذیرد. اگر زیان کمتر از Var باشد آنگاه متغیر y مقدار صفر را می گیرد. از اینرو، توزیع y بیانگر دنباله توزیع زیان های بیشتر از Var است و میانگین می تواند با تقسیم مجموع وزن ها بر (1-α) درصد به دست آید. بنابراین، ارزش در معرض خطر شرطی این میانگین به Var اضافه می‏شود که تابع هدف مدل ما را تشکیل می‏دهد. مسئله برنامه‏ریزی خطی فوق برای مقادیر مختلف E0 که در بازه Emin و Emax قرار دارد، حل می شود. Emin بیانگر کمترین مقدار ممکن برای بازده سبد است و Emax نشانگر بیشترین مقدار ممکن از بازده سبد سهام می باشد و مقدار آن برابر با حداکثر مقدار میان میانگین بازده های سبد سهام است. مسئله انتخاب سبد سهام مطلوب با وارد کردن مقادیر مختلف E0 حل می‏شود.

    برای هر E0 خاص یک مقدار Cvar برای سبد سهام به‏دست می‏آید، بازده های مورد انتظار و Cvar شکل مرز کارا را تشکیل می‏دهند.X ، درصد سرمایه‏گذاری در هر سهم برای یک E0 خاص سبد سهام را نشان می‏دهد. در نهایت، سرمایه‏گذار با مشاهده مجموع جواب‏ها، می‏تواند، جواب متناسب با نیازش را شناسایی و سبد سهام مورد نظر را تشکیل دهد. 

 

4-4- مدل پیشنهادی تحت  سنجه ریسک ترکیبی بصورت تک زمانه با محدودیت هزینه معاملاتی

در این بخش، (مدل میانگین- نیم واریانس- ارزش در معرض ریسک شرطی) بررسی خواهد شد. در این مدل، از دو معیار ریسک و یک معیار برای اندازه‏گیری بازده به‏طور همزمان استفاده می‏شود. ما یکی از سنجه‏های اصلی ریسک را نیم واریانس به همراه سنجه ریسک یعنی ارزش در معرض ریسک شرطی به طور همزمان برای اندازه‏گیری ریسک و انتخاب سبد سهام مطلوب در نظر می گیریم. چرا که نیم واریانس به عنوان سنجه ریسک نامطلوب و شبیه به واریانس است، با این تفاوت که تنها انحراف بازده مورد انتظار در ناحیه پایینی بازده مورد انتظار (زیان) را در نظر می‏گیرد و بسیاری از سرمایه گذاران علاقه‏مند به استفاده از نیم واریانس به عنوان تحلیل‏گر ریسک، نامطلوب هستند. مسئله انتخاب سبد سهام با کمک سه معیار میانگین، نیم واریانس و ارزش در معرض ریسک شرطی، تبدیل به یک مسئله چند هدفه می‏شود. معیار دیگر ریسک، یعنی ارزش در معرض ریسک شرطی به عنوان سنجه دیگر ریسک استفاده می شود.

 در این نوع مدل انتخاب سبد سهام، سرمایه‏گذار می‏تواند یکی از سنجه‏های ریسک یاد شده را به همراه نیم واریانس انتخاب کند و مقادیر هریک از سنجه‏ها را به‏صورت چند بعدی مشاهده نماید. به کمک این روش نتایجی به‏دست می آید که در صورت استفاده از سنجه‏ها به‏طور مجزا قابل حصول نیست. همچنین، این روش به سرمایه گذاران اجازه انتخاب بیش از یک سنجه ریسک را به صورت یک مدل یکپارچه را می دهد. جهت تحصیل اوراق بهادار و هرگونه سرمایه گذاری، انواع متفاوتی از هزینه ایجاد می‏شود. به‏طور مسلم، مهم‏ترین عامل هزینه، هزینه خرید می باشد. اما عوامل هزینه دیگری مانند هزینه معاملات، چه تناسبی و چه ثابت نیز ممکن است وجود داشته باشند.

از این رو اضافه کردن چنین محدودیت‏هایی به مدل گامی در جهت واقعی‏تر شدن مدل‏های اندازه‏گیری میزان ریسک و انتخاب سبد سهام مطلوب محسوب می‏شود. در مسئله چند هدفه ما نیاز به حل رابطه زیر داریم.

Minimize

 [Semivariance(X),CVar(X),-E(X)]

subject to X Є A  

  (5)

همان‏گونه که در مدل(4-3-1) مشاهده می‏کنیم ما به دنبال کمینه‏سازی سه هدف هستیم، ما می‏خواهیم دو سنجه ریسک حاصل از بردار سرمایه‏گذاری نیم واریانس یعنی Semivariance(X) و ارزش در معرض ریسک شرطی یعنی CVar(X) را کمینه و بازده مورد انتظار حاصل از بردار سرمایه‏گذاری E(X) را بیشینه کنیم یعنی -E(X)را کمینه سازیم. که در این مدل چند هدفهA  فضای جواب حاصل از نحوه سرمایه‏گذاری است.

  در مدل از نیم واریانس به عنوان سنجه ریسک اصلی، به‏صورت ثابت استفاده می‏کنیم و آن را در تابع هدف نگه می‏داریم و توابع هدف دیگر را مطابق روش محدودیت ε 22 وارد محدودیت مدل می کنیم. زیرا نیم واریانس به عنوان یک سنجه ریسک نامطلوب بسیار کارا می‏باشد و در ایران نیز زیاد مورد مطالعه قرار نگرفته است. مسئله تک هدفه زیر ما را به جواب می‏رساند.

 

 

Minimize Semivariance(X)

subject to: CVar(X) ≤ z

E(X) ≥ d                

X Є A                                                      (6)

 که در این رابطه Cvar  همان ارزش در معرض ریسک شرطی است که به عنوان یک سنجه ریسک از تابع هدف به محدیت آورده شده است و E به عنوان سنجه بازده نیز به محدودیت آورده می‏شود که در این حالت z , dبه ترتیب به عنوان بیشترین و کمترین مقدار محدودیت های ایجاد شده در مدل هستند.

با توجه به آنچه بیان شد مدل پیشنهادی چند هدفه- تک زمانه( میانگین- نیم واریانس- ارزش در معرض ریسک شر طی ) با محدودیت هزینه معاملاتی به صورت فرمول زیر است.

 

 

 

 

 در این قسمت به تشریح مدل و فرضیات لازم برای پیاده‏سازی آن برای اندازه‏گیری ریسک در بازار سرمایه ایران پرداخته می شود.

 در مدل، cj معرف هزینه خرید سهم   jام است و برای حل مدل آن را قیمت سهم j ام در نظر می‏گیریم. مقدار قیمت هر سهم از سایت رسمی بورس اوراق بهادار تهران استخراج شد، که جزئیات آن در جدول (1) نشان داده شده است.bj هزینه تناسبی معاملاتی سهم j ام می باشد و در مدل %5 در نظر گرفته شده است. هزینه تناسبی نسبتی از هزینه خرید سهام است که علاوه بر هزینه خرید سهم توسط خریدار پرداخت  می شود مانند هزینه کارگزاری از آنجا که ما برای به‏دست آوردن هزینه متغیر معاملاتی، به تعداد سهم خریداری شده نیاز داریم، پارامتر m که بیانگر حجم سبد سهام می باشد، تعریف می‏شود. برای حل مسئله، فرض براین است که 100 m= می‏باشد.

    Z'j متغیری از نوع صفر و یک است که برای هر سهم تعریف می شود. اگر 1Z'j = باشد، نشان می‏دهد، سهم j در سبد سهام سرمایه گذاری قرار دارد و تحت بررسی است و اگر0Z'j = باشد، قرار نگرفتن سهم j را در سبد نشان می دهد. پارامتر C حداکثر مقدار پولی است که سرمایه‏گذار می تواند در سبد سهام سرمایه‏گذاری کند. ما این متغیر را برای حل مدل، 10000000 ریال در نظر گرفتیم. از دیگر پارامترهایی که در محدودیت مدل  تعریف شده است دو پارامتر L و U است که به ترتیب بیانگر حد پایین و بالای میزان سرمایه گذاری در هر سهم هستند. فرض شده است که سرمایه گذار در هر سهم نمی تواند بیشتر از 50 درصد کل سبد سهام، سرمایه‏گذاری نماید، به لحاظ اینکه در تحقیق، یکی از اهداف کاهش ریسک  غیرسیستماتیک با استفاده از متنوع نمودن سرمایه گذاری است. به آن قسمت از تغییرپذیری در بازده کلی محصولات مالی که به تغییرپذیری کلی بازار بستگی ندارد، ریسک غیر سیستماتیک می گویند، این نوع ریسک منحصر به محصول خاصی نیست و به عواملی همچون ریسک تجاری، مالی و ریسک نقدینگی بستگی دارد، این نوع ریسک را می توان با ایجاد سبد سهام کاهش داد. تمرکز سرمایه گذاری برروی یک سهم خاص ( بیش از پنجاه درصد) با این هدف در تناقض می باشد. پارامترN میزان سهامی که سرمایه گذار علاقمند است از تعداد سهام موجود، در سبد خود نگهداری نماید را نشان می دهد. فرض می کنیم  9N= باشد. باید توجه داشت که، اضافه شدن چنین قیودی به مدل موجب ایجاد یک فیلتر برای انتخاب سهم‏های برتر از بین سهام در دسترس می‏شود. در واقع با وجود  برنامه‏ریزی صفر و یک، دو مرحله از گزینش سهام صورت می‏گیرد. در مرحله نخست، به جدا کردن سهام برتر می‏پردازد و در مرحله دوم میزان ریسک سبد سهام را با توجه به ترکیبات مختلف سهام و بازده مورد انتظار اندازه می‏گیرد. در زیر الگوریتم فرآیند برای حل مدل (میانگین-  نیم واریانس- CVar ) به طور خلاصه بیان می شود.

1- مشخص کردن بیشترین بازده مورد انتظار مدل

2- به‏دست آوردن کمترین مقدار بازده مورد انتظار برای سنجه های نیم واریانس و CVar

3-تعیین کمترین مقدار بازده مورد انتظار مدل

4- مشخص کردن مقادیر مختلف بازده در فاصله کمترین و بیشترین مقدار بازده مورد انتظار

5- به‏دست آوردن کمترین و بیشترین مقدار سنجه CVar برای هر بازده مشخص شده

6- مشخص کردن اندازه ریسک در فاصله کمترین و بیشترین مقدار سنجه CVar

7- حل مدل چند هدفه با مقادیر مختلف بازده (d*) و ریسک (z*) و تعیین اندازه سنجه نیم واریانس

 

 

5- پیاده سازی مدل ها در بازار سرمایه ایران

در این قسمت به پیاده‏سازی مدل‏های ارائه شده در بازار سرمایه ایران پرداخته می‏شود . جدول(1) نام سهام شرکت‏های مورد بررسی در این تحقیق را نشان می‏دهد. ورودی بازده سهام این چهارده سهم به صورت دوره‏های ماهانه مربوط به سال 1388 برای دوازده ماه می‏باشد که جدول 2 این موضوع را به تصویر می‏کشد. در واقع ورودی اصلی ما برای حل مدل ها بازده سهام این چهارده سهم می باشد. مدل‏های ارائه شده به کمک نرم افزار lingo 10  حل شده است.لازم به ذکر است که کلیه شکل ها در قالب نرم افزار matlab کدنویسی شده است

    (مدل میانگین- نیم واریانس ) برای چهارده سهم مورد بررسی در بازار سرمایه پیاده سازی می شود. Emin و  Emax به ترتیب 0.0617 و 0.1394 به دست می آید. این مسئله با در نظر گرفتن ده مقدار بین این بازه و رسم شکل مرز کارا حل می شود. جدول3 بازده مورد انتظار و نیم واریانس به همراه درصد سرمایه گذاری در هر سهم را نشان می دهد.و شکل1 مرز کارا این مدل را به تصویر می کشد. رسم این شکل به شکل کاملا روشنی وضعیت حرکتی ریسک و بازده را به تصویر می کشد.

 

جدول (1): سهام شرکت های مورد بررسی در بازار سرمایه ایران

 

 

.جدول (2):. بازده سهام شرکت های مورد بررسی در بازار سرمایه ایران

 

 

 

 

 

   مدل (میانگین- ارزش در معرض ریسک شرطی) برای چهارده سهم مورد بررسی در بازار سرمایه پیاده‏سازی می‏شود و با سطح اطمینان 95درصد Emin و Emax به ترتیب 0.0732 و 0.1394 به دست آمده است . این مسئله با در نظر گرفتن ده مقدار بین این بازه و رسم شکل مرز کارا حل می شود. جدول(4) بازده مورد انتظار و ارزش در معرض ریسک شرطی به همراه درصد سرمایه گذاری در هر سهم را نشان می دهد.و  شکل (2) مرز کارا این مدل را به تصویر می کشد.

 

.جدول (3):. بازده مورد انتظار و نیم واریانس به همراه درصد سرمایه گذاری در هر سهم

 

 

 

 

 

 

 

شکل (1):  مرز کارا مدل میانگین - نیم واریانس

 

جدو(4):. بازده مورد انتظار و ارزش در معرض ریسک شرطی به همراه درصد سرمایه گذاری در هر سهم

 

 

 

 

شکل (2): مرز کارا مدل میانگین – ارزش در معرض ریسک شرطی

     جدول (5) نتایج حل مدل پیشنهادی( میانگین - نیم واریانس- ارزش در معرض ریسک شرطی) با محدودیت هزینه های معاملاتی را به همراه درصد سرمایه‏گذاری در هر سهم با استفاده از بازده‏های چهارده سهم در بازار سرمایه ایران را به تصویر می‏کشد. شکل (3) نیز با کمک جدول(5) شکل مرز کارا را برای این مدل نشان می دهد.

 

 

 

           جدول(5): .نتایج حل مدل پیشنهادی ( میانگین - نیم واریانس- ارزش در معرض ریسک شرطی)

 

 

 

 

6- بحث

با مشاهده نتایج مدل‏های انتخاب سبد سهام با سنجه‏های منفرد و ترکیبی درمی‏یابیم که سهام شماره‏های یازده، دوازده، سیزده از اهمیت زیادی برخوردار هستند. در هر سه مدل با افزایش بازده، مقدار ریسک نیز افزایش می‏یابد.که این نشان می‏دهد سرمایه‏گذاران برای کسب بازده بیشتر، ناگزیر به پذیرش ریسک بالاتری هستند. از نظر سرمایه‏گذار مدل چند هدفه ارائه شده بر مدل‏های موجود و متداول برتری دارد، چرا که جواب بهتر و چند بعدی نسبت به سایر روش‏ها به‏دست آمده است. از طرفی، سرعت بیشتر در مدل های ارائه شده نسبت به سایر مدل‏ها با توجه به حجم محاسبات و تعداد سنجه‏های محاسباتی به دلیل استفاده از برنامه‏ریزی خطی و کاهش مسئله‏های قابل حل، از ویژگی مدل‏های ارائه شده است که خود می‏تواند موجب کاهش زمان و هزینه، برای تصمیم‏گیری سرمایه‏گذار شود. در ادامه، با بررسی جداول به‏دست آمده از حل مدل چند هدفه همراه با هزینه معاملاتی، مشاهده می‏شود که تمرکز بر روی یک یا چند سهم خاص برداشته شده و در کل سبد پخش می‏شود. همچنین، با مقایسه شکل‏های حاصل از حل این نوع مدل چند هدفه با مدل‏های ساده می‏توان نتیجه گرفت، شیب بین دو سنجه ریسک در مدل های چند هدفه با هزینه معاملاتی کمتر است. یعنی با تغییر مقدار یک سنجه ریسک، سنجه دیگر تغییر کمتری می‏کند. بنابراین، نوسان ریسک سبد سهام برای سرمایه‏گذار کمتر از گذشته می‏شود.

 

 

 

 

 

 

 

شکل(3): مرز کارای مدل( میانگین - نیم واریانس- ارزش در معرض ریسک شرطی)

 

 

7- نتیجه گیری

با توجه به نکات ذکر شده، بهترین دلیل ارائه مدل‏های یکپارچه، استفاده از دو سنجه ریسک به‏طور همزمان در جهت به‏دست آوردن نتیجه بهتر برای سرمایه‏گذاران می‏باشد. در ایران علاوه بر این‏که، برخی از سنجه‏های منفرد ریسک استفاده نشده یا کمتر توجه شده است، کاربرد مدل‏های چند هدفه انتخاب سبد سهام مطلوب با محوریت سنجه نیم واریانس در بستر بازار سرمایه بررسی نشده است. مدل‏های چند هدفه نسبت به مدل های سنجه ریسک منفرد، همزمان یک مقدار بازده مورد انتظار و دو مقدار ریسک را مشخص می‏کنند. سرمایه‏گذار می‏تواند با مشاهده جداول ناشی از حل مدل‏ها این مقادیر را به‏صورت چند بعدی در یک جدول مشاهده نماید و سبد سهام مورد درخواست خود را تشکیل دهد. لذا توجه به این مقوله در این تحقیق مدنظر قرار گرفته است و سعی شده است با ارائه یک مطالعه موردی در بازار سرمایه ایران بررسی شود. در آخر، می‏توان این نتیجه را بیان نمود که مدل‏های چند هدفه، یک بسته اطلاعاتی مناسب و جامعی را در اختیار سرمایه‏گذاران و مدیران در جهت مدیریت بهتر ریسک، جهت سرمایه‏گذاری بر روی سبد سهام قرار می‏دهند. با توجه به تجزیه و تحلیل مدل ها و فرآیند حل آنها، پیشنهاد می‏شود، برای کارهای آتی محدودیت‏های واقعی حاکم بر بازار سرمایه خصوصا در ایران وارد مدل شود تا منجر به نتایج مفید‏تری شود. کلیه سهام مورد نظر در تحقیق، با فرض نگهداری به مدت یک زمان مشخص خریداری می‏شود. اما ممکن است در عمل با توجه به تغییر و تحولاتی که در بازار سرمایه رخ می‏دهد، نسبت به تعویض یک یا چند سهم از سوی سرمایه‏گذاران اقدام شود. بنابراین، بررسی مدل‏های انتخاب سبد سهام با فرض چند زمانه بودن از مطالعات مفید در آینده خواهد بود. همچنین، استفاده از سایر اوراق بهادار (به غیر از سهام عادی) و دارایی‏های ثابت با نرخ بازده مورد انتظار توصیفی می‏تواند از موضوعاتی باشد که در تحقیقات آینده بدان پرداخته شود.

ابزری، مهدی، کتابی، سعیده، عباسی، عباس، (1384)، "بهینه سازی سبد سرمایه گذاری با استفاده از  روش‏های برنامه ریزی خطی و ارائه ی یک مدل کاربردی"، ویژه نامه حسابداری، مجله علوم اجتماعی و انسانی دانشگاه شیراز،  22-2:(1)17

خالوزاده ، حمید ، امیدی،نسیبه، (1385)، "تعیین سبد سهام بهینه در بازار بورس ایران براساس نظریه ارزش در معرض ریسک"، مجله تحقیقات اقتصادی،231-211: 73

راعی، رضا، (1381)، "تشکیل سبد سهام برای سرمایه گذاری مخاطره پذیر : مقایسه شبکه های عصبی و مارکوویتز"، پیام مدیریت،96-78: 2

شاه علیزاده، محمد، معماریانی، عزیزاله، (1382)، "چارچوب ریاضی گزینش سبد سهام با اهداف چندگانه"، بررسی های حسابداری وحسابرسی، مجله دانشکده مدیریت دانشگاه تهران، 102-83: 32

فرزین وش، اسدالله، اسماعیلی، رضا، (1378)، " تحلیل ریسک و بازده سهام شرکت های سرمایه گذاری در بورس تهران"، مجله تحقیقات اقتصادی، 25-55:1

Anagnostopoulos K.P., Mamanis. G ).2010). "A portfolio optimization model with three objectives and discrete variables". Computers & Operations Research, 37(7): 1285-1297

Andrew E.B. Lim, J. George Shanthikumar, Gah-Yi Vahn.(2011). " Conditional value-at-risk in portfolio optimization: Coherent but fragile". Operations Research Letters, 39(3): 163-171

Balzer, L. A. (1990). " How to measure risk. In Conference on Investment Performance,AIC Conferences ", Sydney, Australia.

Elton, E. J., & Gruber, M. J. (1997). " Modern portfolio theory, 1950 to date". Journal of Banking & Finance, 21(11):1743-1759.

Fishburn, P. C. (1977)."Mean-risk analysis with risk associated with below-target returns".The American Economic Review, 67(2):116-125.

Hanoch G., & Levy, H. (1969). "The eficiency analysis of choices involving risk Rev". Econ. Stud, 36, 335–46.

Konno, H.,Yamazaki, H. (1991).  " Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its applications to tokyo stock market". Management Science, 37(5):519-531.

Kibzun, A. I., & Kuznetsov, E. A. (2006). "Analysis of criteria VaR and CVaR",Journal of Banking & Finance, 30(2):779-796.

Kandasamy, Hari, (2008), "Portfolio Selection Under Unequal Prioritized Downside Risk",                           Advisor: Kostreva, Michael M., The Degree Doctor of Philosophy Mathematical Sciences, Clemson University.

Konno, H., Shirakawa, H., & Yamazaki, H. (1993). "A mean-absolute deviation-skewness portfolio optimization model". Annals of Operations Research, 45(2):205-220.

Linsmeier, T. J., & Pearson, N. D. (2000). "Value at Risk", Financial Analysts Journal, 56(2): 47-67.

Markowitz, H. (1952). "Portfolio selection". Journal of Finance, 7(1):77-91.

Markowitz, H. (1959). "Portfolio Allocation: Eficient Diversification of Investments", John Wiley & Sons, Inc., New York. A Cowles Foundation Monograph.

Papahristodoulou, C, Dotzauer, E. (2004). " Optimal portfolios using linear programming problems". Journal of the Operations Research Society, 55(11):1169-1177.

Roy, A. D. (1952). " Safety first and the holding of assets". Econometrica, 20(3):431-449.

Rockafellar, R. T., Ursayev, S. (2000). " Optimization of Conditional Value-at-Risk". The Journal of Risk, 2(3):21- 41.

Roman, D., Dowman, K. D., Mitra, G. (2007). " Mean risk models using two risk measures: A multi-objective approach". Journal of Quantitative Finance, 7(4):443 -458.

Tun-Jen Chang, Sang-Chin Yang, Kuang-Jung Chang.(2009). "Portfolio optimization problems in different risk measures using genetic algorithm",10:529-537.