بهینه‌سازی سبد سهام برمبنای روش‌های تخمین ناپارامتریک

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 استادیار، دانشکده علوم اداری و اقتصاد، دانشگاه اصفهان، اصفهان، ایران

2 دانشجوی کارشناسی ارشد مدیریت بازرگانی گرایش مالی، دانشگاه اصفهان، اصفهان، ایران

3 دانشیار، دانشکده علوم اداری و اقتصاد، دانشگاه اصفهان، اصفهان، ایران

چکیده

از جمله مسائل عمده ‌ای که سرمایه ‌گذاران بازارهای سرمایه با آن مواجه هستند، تصمیم گیری جهت انتخاب اوراق بهادار مناسب برای سرمایه گذاری و تشکیل سبد بهینه سهام است که این فرایند از طریق ارزیابی ریسک و بازده صورت می گیرد. از طرفی در بحث سبد سهام در صورتی که بازده دارایی ها دارای توزیع نرمال باشد از واریانس و انحراف معیار برای محاسبه ریسک استفاده می شود، اما در دنیای واقع بازده دارایی ها لزوماً نرمال نبوده و گاهی نیز تفاوت فاحش با توزیع نرمال دارد. مقاله حاضر با معرفی ارزش در معرض خطر مشروط (CVaR)، به عنوان معیار محاسبه ریسک در یک چارچوب ناپارامتریک و به ازای بازده معین سبد بهینه سهام را ارائه می دهد و این روش را با روش برنامه ‌ریزی خطی مقایسه می کند. داده ‌های مورد استفاده در این مقاله را بازده ‌های ماهانه 15 شرکت منتخب از 50 شرکت برتر بورس اوراق بهادار تهران در زمستان 1392 تشکیل می دهند که در دوره زمانی فروردین ماه 1388 تا خرداد ماه 1393 در نظر گرفته شده ‌اند. در نهایت سبد بهینه حاصل از به کارگیری دو روش ناپارامتریک و برنامه ‌ریزی خطی ارائه شده و مقادیر CVaR آنها مورد مقایسه قرار گرفته‌ است که در این مورد برتری روش ناپارامتریک نسبت به برنامه ‌ریزی خطی را نشان می دهد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

portfolio optimization based on nonparametric estimation methods

نویسندگان [English]

  • mahsa ghandehari 1
  • azimeh shamshiri 2
  • saeed fathi 3
1 Associate Professor, Faculty of Administrative Sciences and Economics, Isfahan University, Isfahan, Iran
2 Graduate Student of Financial Management, Isfahan University, Isfahan, Iran
3 Associate Professor, Faculty of Administrative Sciences and Economics, Isfahan University, Isfahan, Iran
چکیده [English]

One of the major issues investors are facing with in capital markets is decision making about select an appropriate stock exchange for investing and selecting an optimal portfolio. This process is done through the risk and expected return assessment. On the other hand in portfolio selection problem if the assets expected returns are normally distributed, variance and standard deviation are used as a risk measure. But, the expected returns on assets are not necessarily normal and sometimes have dramatic differences from normal distribution. This paper with the introduction of conditional value at risk ( CVaR), as a measure of risk in a nonparametric framework, for a given expected return, offers the optimal portfolio and this method is compared with the linear programming method.
The data used in this study consists of monthly returns of 15 companies selected from the top 50 companies in Tehran Stock Exchange during the winter of 1392 which is considered from April of 1388 to June of 1393.
The results of this study show the superiority of nonparametric method over the linear programming method and the nonparametric method is much faster than the linear programming method.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Portfolio optimization
  • conditional value at risk
  • nonparametric estimation
  • kernel function

- مقدمه

مدیریت پرتفوی سهام دربرگیرندۀ مجموعه ای ازقیمت‌های مناسب در رابطه با خرید وفروش سهام است. این فرایند، مدیریت صحیح پول را نیز دربرمی‌گیرد؛ علاوه بر این، مدیریت پرتفوی سهام باعث کاهش ریسک و افزایش بازده می‌شود. در بهینه‌سازی پرتفوی سهام مسئلۀ اصلی انتخاب بهینۀ دارایی‌ها و اوراقبهاداری است که با مقدار مشخصی سرمایه می‌توان تهیه کرد(فرناندز و گومز[1]، 2007).

هری مارکویتز بنیان‌گذار ساختاری مشهور به تئوری جدید پرتفو است. در تئوری جدید پرتفو، ریسک چنین تعریف شده است: «تغییرپذیری کل بازده‌ها حول میانگین بازده» و با استفاده از واریانس یا به‌گونه‌ای دیگر با استفاده از انحرافمعیار، محاسبه می‌شود(مارکویتز[2]، 1959).

مهم‌ترین نقش این تئوری، ایجاد چارچوب ریسک- بازده برای تصمیم‌گیری سرمایه‌گذاران است. مدلی که وی مطرح کرده است، محور اصلی بسیاری از پژوهش‌ها در زمینۀ مسائل مالی در دنیای واقعی است. مارکویتز برای ریسک سرمایه‌گذاری، مدل میانگین واریانس را در امر انتخاب دارایی‌ها و مدیریت پرتفوی سهام ارائه کرد. در این مدلْ میانگین، بازده موردانتظار را نشان می‌دهد و واریانس، بیانگر ریسک پرتفوی سهام است. انحراف‌معیار و واریانس به‌عنوان معیار سنجش ریسک با فرض نرمال‌بودن توزیع بازدهی است.

فرض نرمال‌بودن بازده موردانتظار، در بسیاری از مواقع درست نیست؛ زیرا بسیاری از پژوهش‌ها نشان می‌دهند که شکل تابع توزیع داده‌ها دارای دو انتهای ضخیم‌تر نسبت به تابع نرمال است یا توزیع بازده چوله است. مشکل دیگر استفاده از واریانس است که سودهایی که فاصلۀ زیادی از میانگین دارند و برای سرمایه‌گذار مطلوب هستند نیز به‌عنوان ریسک شناخته می‌شوند و در فرایند بهینه‌سازی به سهام با تابع توزیع کشیده‌تر، وزن بیشتری داده می‌شود(مارکویتز، 1952).

این مشکلات سبب شد تا مدل‌های جدیدی برای تشکیل سبد بهینۀ سهام پیشنهاد شود که فرض نرمال‌بودن داده‌ها را در نظر نمی‌گیرد.

راکفلر و اوریاسو[3](2000،2002)، یک معیار اندازه‌گیری جایگزین برای ریسک بیان کردند با عنوان ارزش در معرض خطر مشروط(CVaR). این معیار به‌صورت میانگینریسک‌هایی که بزرگ‌تر از ارزش در معرض خطر باشند تعریف می‌شود(یامای و یوشیبا[4]، 2000).

پیفلاگ[5](2000)، نشان می‌دهد که CVaR یک معیار منطقی برای اندازه‌گیری ریسک است که ویژگی‌های مثبت زیادی دارد و شامل تحدب نیز می‌شود.

از نظر محاسباتی راکفلر و اوریاسو، مسئلۀبهینه‌سازی پرتفو با استفاده از mean-CVaR را به یک مسئلۀ برنامه‌ریزی خطی تبدیل کردند. روش استاندارد دیگری که برای محاسبۀCVaR به‌صورت گسترده رایج است استفاده از شبیه‌سازیمونتکارلو است.در اغلب موارد ذکرشده در ادبیات، فرض می‌شود که فاکتورهای ریسک(متغیرهای تصادفی)، توزیع احتمال شناخته‌شده‌ای یا توزیع پارامتری مشخصی دارند؛ اما در بعضی مواقع اطلاعات کمی درخصوص تابع چگالی یا احتمال فاکتورهای ریسک وجود دارد(لی[6]، 2007).

یائو و همکاران[7] (2012) نشان دادند از آنجایی که در بیشتر موارد فاکتورهای ریسک بردارهای تصادفی چندبعدی هستند، اگر تکنیک ناپارامتریک برای تخمین چگالی بردار تصادفی چندبعدی به کار گرفته شود، سرعت همگرایی پایین می‌آید؛ بنابراین در این مرحله از بردارهای تصادفی تک‌بعدی برای افزایش سرعت همگرایی استفاده می‌شود. نتایج محاسباتی که آنها انجام دادند نشان می‌دهد که رویکرد ناپارامتریک از روش برنامه‌ریزی خطی بهتر است. این رویکرد دو مزیت دارد: اول، بعد مدل mean-CVaRدر رویکردناپارامتریکبرایبهینه‌سازی پرتفو n+1 است که nتعدادنمونه‌ها است؛ اما بعد مدل در رویکردبرنامه‌ریزی خطیn+1+T است که n تعداد دارایی‌ها و T تعداد نمونه‌ها است؛ بنابراین رویکرد ناپارامتریک سریع‌تر از رویکرد برنامه‌ریزی خطی است. دوم، مدل mean-CVaRناپارامتریک، مسئلۀبهینه‌سازی پرتفو را محدب نگه می‌دارد.

در این مقاله قصد داریم پرتفوی بهینه از پنجاه شرکت برتر بورس اوراق بهادار تهران با استفاده از روش ارزش در معرض خطر مشروط برمبنای روش‌های تخمین ناپارامتریک را برگزینیم.

2- پیشینۀ پژوهش

در این قسمت اشاره‌ای کوتاه به برخی مطالعات صورت‌گرفته در این زمینهمی‌شود.

یان و همکاران (2007) در پژوهشی با استفاده از روش‌هایPSO[8]و GA[9]به انتخاب چنددوره‌ای پرتفو با استفاده از عامل ریسک نیمواریانس پرداخته‌اند و نشان داده‌اند که استفادۀ ترکیبی از این دو روش از کاربرد هریک از آنها به‌تنهایی به‌مراتب کاراتر است.

کریمی(1386) با استفاده از یکی از روش‌های بهینه‌سازی محلی، به مقایسۀ مرزهای کارایی الگوهای مارکویتز و «ارزش در معرض ریسک» اقدام کرد و با توجه به قرارگیری مرزهای کارایی الگوی «ارزش در معرض ریسک» بالاتر از الگوی مارکویتز، این الگو را نسبت به الگوی مارکویتز کاراتر معرفی کرده است.

گل مکانی(1391) در مقاله‌ای پس از توسعۀ مدل انتخاب سهام مارکویتز، روشی مبتنی بر ترکیب دو روش بهینه‌یابی اجتماع مورچگان و شبیه‌سازی تبرید – تدریجی پارتو، به کار گرفته است. به‌منظور اعتبارسنجی این روش، عملکرد آن را در بورس اوراق بهادار تهران با عملکرد چند روش فرااِبتکاری دیگر مقایسه کرده است. نتایج به‌دست‌آمده حاکی از برتری روش پیشنهادی نسبت به سایر روش‌ها است.

امیری و همکاران(1389) در مقاله‌ای بهدنبال تعیین مدل مناسب تصمیم‌گیری برای سرمایه‌گذاری، با استفاده از فرایند تحلیل شبکه به بررسی شرکت‌های قرارگرفته در هفت صنعت پرداختند. پس از بررسی بهینه‌بودن پرتفوی سهام انتخاب‌شده از شرکت‌های موجود در این صنایع براساس معیار شارپ و ترینر، جهت بهینه‌سازی پرتفوی سهام، الگوریتم ممتیک را به کار گرفتند. نتایج حاصل بیانگر این موضوع بود که الگوریتم ممتیک در دستیابی به جواب بهینۀمسئله بسیار توانمند بود و در مقایسه با الگوریتم ژنتیک در مدت‌زمان مشابه، نتایج بهتری را ارائه خواهد کرد.

یائو و همکاران (2012) در مقاله‌ای با عنوان «انتخاب پرتفوی با استفاده از میانگین–ارزش در معرض خطر مشروط» که یک چارچوب تخمین ناپارامتریک است، در ابتدا فرمول تخمین‌شدۀ محاسبۀCVaR  را با استفاده از تخمین ناپارامتریک تابع چگالی ضرر، در زمان‌هایی که فروش استقراضی مجاز است یا غیرمجاز، به دست آورده‌اند و سپس ثابت کرده‌اند که هر دو مدل ناپارامتریک mean – CvaR مسائل بهینه‌سازی محدب هستند.

کهنسال و ناجکار(1392) در پژوهشی با عنوان «بهینهسازی بازده سهام با استفاده از بازده‌های فازی تصادفی»، انتخاب پرتفوی با درنظرگرفتن مسائلی همچون بازده‌های احتمالی آینده و بازده‌های انتظاری نامعین را بررسی کردند. در انتخاب پرتفوی سهام فازی تصادفی، مدل به‌صورت غیرخطی فرموله‌بندی شده است و متغیرها به‌صورت اعداد فازی تصادفی در نظر گرفتهشده‌اند. سپس نتایج مدل بهینه‌سازی فازی و تصادفی با نتایج حاصل از روش حرکت تجمعی ذرات مقایسه شد و این نتیجه حاصل شد که بازده پرتفوی به‌دست‌آمده با مدل بازده تصادفی بیشتر از وقتی است که روش حرکت تجمعی ذرات به کار گرفته شود.

هانن و فوزی[10] (2014)، در پژوهشی با عنوان «مدل میاگین- VaR[11]با نوسانات تصادفی»مسئلۀ تصمیم‌گیری برای انتخاب ترکیبی بهینه از یک دارایی ریسکی و یک دارایی خاص با استفاده از ماکزیمم‌کردن تابع مطلوبیت با محدودیت VaRرا که با یک ضرر متناسب با بازده جاری محدود شده است، بررسی کردند. نتایج این پژوهش بیانگر این بود که محدودیت VaR، مقادیر سرمایه‌گذاری‌شده در دارایی ریسکی را رفته‌رفته در طول زمان کاهش می‌دهد و نوسانات تأثیر مهمی بر جواب بهینه دارند.

3-روش پژوهش

این پژوهش از نظر هدف جزء پژوهش‌های کاربردی است و ازنظر روش جزء پژوهش‌های توصیفی-تحلیلی محسوب می‌شود.

داده‌هایاینپژوهشبااستفادهازنرم‌افزارره‌آوردنوینگردآوریشدهاند.

1-3- روش‌های ناپارامتریک

تابع چگالی احتمال، مفهومی اساسی در آمار و احتمال است که با دانستن آن می‌توان به رفتار تصادفی تخمین‌کننده‌ها پی برد. البته تعیین توزیع تخمین‌کنندهها به‌راحتی امکان‌پذیر نیست. درواقع به‌وسیلۀ تابع چگالی احتمال است که می‌توان به رفتار متغیرهای تصادفی پی برد. روش‌های تخمین چگالی، عمدتاً به دو گروه اصلی تقسیم‌بندی می‌شوند: 1- تخمین پارامتری؛ 2- تخمین ناپارامتری.

در تخمین پارامتری فرض می‌شود که داده‌ها از یک خانوادۀ توزیع احتمال مانند نرمال با پارامترهای مجهول  هستند. در این حالت، هدف تخمین  از روی داده‌ها است. در تخمین ناپارامتری خود تابع چگالی fمجهول است و در این حالت، خود داده‌ها باید تخمین f را تعیین کنند(آمار، 1384).

روش‌هایبرآوردچگالی :

۱. هیستوگرام

۲. برآوردساده

۳. کرنل

۴. کرنلتطبیقی

۵. نزدیک‌ترینهمسایه

۶. نزدیک‌ترینهمسایۀتعمیم‌یافته

۷. سری‌هایمتعامد

۸. ماکزیممدرست‌نماییتاوانیده

با توجه به اینکه برآوردگر کرنل تعمیمی از برآوردگر ساده است در این پژوهش به بررسی این دو روش پرداختهشدهاست.

برآوردگرساده

بنابهتعریف، اگر X دارای تابع چگالی احتمالf باشد، آنگاه:

(1)

یک برآوردگر طبیعی از  عبارت است از:

 

(2)

بنابراین برآوردگر ساده به این صورت تعریفمی‌شود:

 

 

 

(3)

 

حالاگرتابع w به‌صورتزیرتعریفشود:

 

(4)

برآوردگرسادهبه‌صورتزیرخواهدبود:

 

(5)

2-3- برآوردگر کرنل

تابع کرنل[12]، یک تابع غیرمنفی، حقیقی و انتگرال‌پذیر با هستۀK است. تابعی موزون و استاندارد که به‌دلیلh=1 تابع موزون نامیده شده است. پارامتر h، پارامتر هموارسازی یا پهنای باند نامیده می‌شود(والتر زوچینی[13]،2003: 1505).

همان‌طور که اشاره شد برآوردگر کرنل تعمیمی از برآوردگر ساده به‌منظور فائق‌آمدن بر مشکلات برآوردگر ساده است. در برآوردگر ساده چنانچه تابع با وزن w را به‌وسیلۀ تابع K به‌نام تابع کرنل که در شرایط زیر صدق می‌کند جایگزین کنیم، برآوردگر کرنل با هستۀK حاصل می‌شود:

 

(6)

معمولاًK خود یک تابع چگالی احتمال متقارن مانند چگالی گاوسی است. به این ترتیب برآوردگر کرنل با هستۀK به‌صورت زیر تعریف می‌شود(سیلورمن[14]، 1986: 659):

 

(7)

تخمین ناپارامتریک کرنل به انتخاب تابع کرنل حساس نیست؛ مثلاً می‌تواند به‌صورت زیر باشد که دلیل انتخاب این هسته، نبودِ محدودیت بازه‌ای برای متغیر v و همچنین یک‌ضابطه‌ای و پیوسته‌بودن آن است:

(8)

اما انتخاب پهنای باند یک مسئلۀ بحرانی و مهم است. برای تخمین ناپارامتریک ، براساس یک قاعدۀسرانگشتیh به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شود(لی و راسین، 2007: 658):

 

(9)

 

 که  انحراف استاندارد از X است و می‌تواند به این صورت تخمین زده شود:

 

(10)

 

(11)

3-3- مدل ارزش در معرض خطر مشروط

راکفلر و اوریاسو(2000)، معیار جایگزینی با عنوان ارزش در معرض خطر مشروط (CVaR) برای محاسبۀ ریسک ارائه دادند که کمبود انتظاری نیز نامیده می‌شود. براین اساس CVaR به‌عنوان میانگین  ریسک‌هایی که بزرگ‌تر و فراتر از ارزش در معرض خطر باشند، در نظر گرفته می‌شود.اگرچه VaR یک معیار بسیار رایج برای محاسبۀ ریسک است؛ اما  فاقد یک سری خصیصه‌های ریاضیاتی مانند جمع‌پذیری و تحدب است و فقط زمانی که برمبنای انحراف استاندارد از توزیع نرمال باشد یک معیار ذاتی ریسک است؛اما در دنیای واقع در اکثر مواقع توزیع ضررها نرمال نیست؛زیرا توابع ضرر تمایل دارند گسستگی تجربی را نشان دهند. بنابراین با توجه به مطالعۀ آرتزنر و همکارانش VaRنمی‌تواند یک معیارذاتی ریسکباشد. با توجه به این نواقص معیار جدیدی با عنوان CVaRبرای سنجش ریسک ارائه شد.

4-3- تعریف CVaR

ارزش در معرض خطر[15]مشروط عبارت است از میانگین ریسک‌هایی که بزرگ‌تر و فراتر از ارزش در معرض خطر باشند. به عبارت دیگر، α% از میانگین توزیع بازده متغیر تصادفی بزرگ‌تر از ارزش در معرض خطر(یامای و یوشیبا، 2000: 60).

1-4-3-تعریف ریاضی CVaR

فرض می‌کنیم w ، یک بردار تصمیم و ، یک بردار تصادفی که بیان‌کنندۀ ارزش مبنای فاکتورهای ریسک و)f(w, ، تابع ضرر است. به‌منظور ساده‌شدن، فرض می‌کنیم که یک بردار تصادفی پیوسته است. برای یک پرتفوی مشخصw، احتمال ضرری که از یک آستانۀ  بیشتر نشود با یک تابع احتمال تحت ℙ(.) نشان داده شده است:

 

 

(12)

ارزش در معرض خطر پرتفویwدر سطح اطمینان مشخص ، کمترین مقدار  است که  را نتیجه می‌دهد؛ یعنی:

 

(13)

بنابراین CVaRبه‌عنوان انتظار مشروط ضرر پرتفو که بیشتر یا مساوی VaR است تعریف می‌شود:

 

(14)

5-3- مدل برنامه‌ریزی خطی mean-CVaR

اگرفرضشودکهتوزیعداده‌ها نامشخص است، اما یک تابع خطی از w است، به‌منظور حل مسئلۀبهینه‌سازیmean- CVaRازروشبرنامه‌ریزی خطی استفادهمی‌شود؛ بنابراین مدل آن به‌صورت زیر خواهد بود:

 

 

 

(15)


6-3- مدل ناپارامتریک mean- CVaR

اما اگر توزیع داده‌ها نامشخص باشد و از تخمین ناپارامتریکبرایتخمینتوزیعداده‌ها استفاده شود با توجه به روابط (5)، (14) و (15)مدل ناپارامتریکmean- CVaR  که یکمسئلۀبهینه‌سازی محدب  است، به‌صورتزیرخواهدبود (ضمیمه):

          (16)

 

4-بحث

اوراق بهادار موردبررسی در این پژوهش سهام شرکت‌های لیست‌شده بین 50 شرکت برتر بورس اوراق بهادار تهران در زمستان 1392 بودهاست. ازاینبینشرکت‌هاییانتخابشده‌اندکهداده‌های کافی برای تخمین را در این بازۀ زمانی داشتهباشند.بنابراینشرکت‌هایمنتخباینپژوهشبه 15 شرکتکاهشیافتندکه در جدول (1) به آنها اشاره شده است:

 

 

 

جدول (1): پانزده شرکت منتخب این پژوهش

ردیف

نماد

ردیف

نماد

1

اخابر

9

فولاد

2

بترانس

10

وبملت

3

حکشتی

11

وپارس

4

خساپا

12

وتجارت

5

سفارس

13

وسپه

6

فاذر

14

وغدیر

7

فخاس

15

ونوین

8

فملی

16

 

برایحل مسائل بهینه‌سازی و انتخاب سبد بهینه ابتدا باید توزیع داده‌های مورداستفادهدرپژوهشراتعیینکنیم؛ بنابراین آزمون نرمال‌بودنداده‌ها با استفاده از آزمون Jarque – Broو در محیطeviews صورت گرفت که درنتیجهفرض صفر رد شد و مشخص شد توزیعداده‌هانرمالنیست.

بنابراین برای بهینه‌سازیمسئلۀmean-CVaR از روش تخمین ناپارامتریک استفاده شد. تابع تخمین مورداستفاده در این پژوهش، تابع کرنل است که یک هستۀ گاوسی مطابق رابطۀ (8) ویک پارامتر هموارسازیمطابقرابطۀ (9) رابرایتخمینتوزیعداده‌ها به کار می‌گیرد. پس از حل مسئلۀبهینه‌سازی در نرم‌افزار متلب، سبد بهینه به‌صورت جدول(2)، بهدست آمد:

جدول(2) نشان می‌دهد که سبد بهینۀ حاصل از روش Np باید شامل چه درصدی از سهام باشد؛ ملاحظه می‌کنیم بیشترین وزن را در این سبد سهم وسپه با مقدار 21.94% دارد و کمترین سهم سبد را سهام بترانس، سفارس، فاذر، فولاد و پارس با مقدار 0.01% دارند.شکل(1) نیز مدل  را به‌ازای مقادیر مختلف u(بازده موردانتظار) نشان می‌دهدمی‌دهد؛ به عبارتی، شکل (1) نشان‌دهندۀ این است که

 

جدول (2): سبد منتخب به‌دست‌آمده با استفاده از بهینه‌سازی به‌روش NP

=  3.71

اخابر

15/3 %

فولاد

01/0%

بترانس

01/0 %

وبملت

17/2%

حکشتی

01/0%

وپارس

01/0 %

خساپا

03/0%

وتجارت

86/17 %

سفارس

0.01%

وسپه

94/21 %

فاذر

01/0 %

وغدیر

98/13 %

فخاس

35/15%

ونوین

33/15 %

فملی

08/10%

 

 

 

 

شکل 1. مدل mean-CVaR  با استفاده از روش NP

 

با تغییر بازده موردانتظاربه‌ازای چه مقداریو کمترین مقدار را با CVaR= 3.71 به‌ازایu=3.9 نشاناز بازده، ریسک کمترین مقدار خود را خواهد داشت.

اما اگر از روش LP برایبهینه‌سازی استفاده کنیم و فرضکنیمرابطۀ خطی بین متغیرها برقرار است، سبد به‌دست‌آمده و مقدارCVaR مطابق با مقادیر جدول(3) خواهد بود. در صورت استفاده از این روش سهم وتجارت با 22.21% بیشترین سهم سبد و سهام بترانس، سفارس، فاذر، فولاد و وپارس با 0% کمترین سهم را در سبد بهینه خواهند داشت.

 

 

جدول (3): سبد منتخب به‌دست‌آمده با استفاده از بهینه‌سازی به‌روش LP

=  3.77

اخابر

31/6 %

فولاد

0

بترانس

0

وبملت

5/1%

حکشتی

0

وپارس

0

خساپا

55/2 %

وتجارت

21/22 %

سفارس

0

وسپه

6/9%

فاذر

0

وغدیر

22/15%

فخاس

92/8%

ونوین

76/15%

فملی

92/17 %

 

 

 

 

شکل 2.مدل mean-CVaR  با استفاده از روش LP

 

اکنون با مقایسۀ دو روش یادشده ملاحظه می‌کنیم که نتایج حاصل از به‌کارگیری روش ناپارامتریک بهتر از روش برنامه‌ریزی خطی است و مقدار کم‌تری در تابع هدف نسبت به روش برنامه‌ریزی خطی ارائه کرده است. همچنین روش ناپارامتریک به‌کارگرفته‌شده در این پژوهش بسیار سریع‌تر از روش برنامه‌ریزی خطی استو از دیگر  مزایای آنمی‌توان به این مورد اشاره کرد که به هرگونه فروضی درخصوص توزیع متغیرهای مالی و پارامترهای بازار نیازی ندارد.

دراینقسمتبه‌منظور تست برتری مدل Npنسبت به مدل  Lp، اگر مقادیر متغیرهای حاصل از محاسبۀ مدل به‌روش LPرا در مدل Np قرار دهیم ملاحظه می‌کنیم که مقدار CVaRبدتر می‌شود. به این معنی که سبد به‌دست‌آمده به‌روش LP اگر با روش Npبه کار گرفته شود مقدار CVaR بیشتر از زمانی است که سبد با روش Np بهدست آید. این موضوع بیانگر کاراتربودن روش ناپارامتریک نسبت به روش برنامه‌ریزی خطی است. نتایج حاصل از این مقایسه در جدول(4) و شکل(3) ارائه شدهاست.

جدول (4):  مقایسۀ مقادیر  و

 

71/3

 

79/3

 

 

 

شکل 3.مقایسۀمدل‌های  و

5- نتیجه‌گیری 

در صورتی که توزیع داده‌ها نرمال نباشد استفاده از روش Np نتایج بهتری نسبت به روش LP ارائه می‌دهد و اگر سبد به‌دست‌آمده ازطریق روش LP را در تابع هدف Np قرار دهیم، ملاحظه می‌کنیم مقدار CVaRبه‌دست‌آمده بیشتر می‌شود که این نیز گواهی بر برتری روش Np بر روش LP است. همچنین نتایج این پژوهش نشان می‌دهد که استفاده از روش ناپارامتریک برای تهیۀ پرتفوی سهام نسبت به روش برنامه‌ریزی خطی دارای سرعت محاسبۀ بیشتری نیز است؛ بنابراین:

1) با توجه به اینکه در دنیای واقعی همواره اطلاعات کمی درخصوص توزیع داده‌ها در اختیار است و در بیشتر موارد توزیع آنها ناشناخته است، توصیه می‌شود از روش ناپارامتریک استفاده شود.

2) از آنجایی که نزدیکی نتایج به‌دست‌آمده از چنین مدل‌هایی به واقعیات دنیای سرمایه‌گذاری، به صحت اطلاعات و داده‌های وارده بستگی دارد، پیشنهاد می‌شود چنین مدلی برای سرمایه‌گذاری در بازارهایی به کار گرفته شود که ازلحاظ درجۀ کارایی در سطح بالایی قرار گرفته باشند.

3) در این پژوهش فقط دو معیار ریسک و بازده در نظر گرفته شده است؛ بنابراین توصیه می‌شود معیارهای دیگری نظیر نقدشوندگی نیز برای تشکیل سبد مورد توجه قرار گیرد.

و اما محدودیت‌های پژوهش حاضر به شرح زیر است:

1) میزان تعمیم‌پذیری نتایج این پژوهش به دنیای سرمایه‌گذاریمی‌تواند محدودیت اول این پژوهش باشد.

2) با توجه به محدودبودن جامعۀ آماری و نیز محدودیت‌های معاملاتی شرکت‌های پذیرفته‌شده در بورس اوراق بهادار و درنظرگرفتن این موضوع که شرکت‌های سرمایه‌گذاری به‌علت ماهیت خاص فعالیتشان از جامعۀ آماری کنار گذاشته شده‌اند؛بنابراینتعمیم دادن نتایج این پژوهش به سایر شرکت‌ها باید با احتیاط انجام گیرد.

3) به‌دلیل درنظرگرفتن دورۀ زمانی خاص، نتایج پژوهش حاضر از قطعیت لازم برای همۀ دوره‌ها برخوردار نیستو تعمیم آن به سایر دوره‌ها نیازمند دقت نظر است.

6- فهرست علائم

      ارزش در معرض خطر مشروط

  تابعی از  و erf

erf                         تابعی از هسته

               مینیمم انحراف استاندارد برای هر بازده موردانتظار داده‌شده با عنوانu

u    بازده موردانتظار داده‌شده که عضو بازه‌ای از مینیمم داده‌ها تا ماکزیمم داده‌ها  است،

r  بازده موردانتظار دارایی‌ها

  واریانس بازده موردانتظار داده‌شدۀu

Σ                   ماتریس کوواریانس بین بازده‌ها

w               وزن دارایی موجود در سبد سهام

e                     بردار واحد

 بردار صفری با بعد 15

 

 

ارزش در معرض خطر مشروط با استفاده از برنامه‌ریزی خطی

9/0

T             تعداد مشاهدات از هر دارایی

 

یک تابع خطی از w

  ارزش در معرض خطر مشروط با استفاده از تخمین ناپارامتریک

b                        

 

t                         

h                         پارامتر هموارسازی،

           تخمین انحراف معیار بین داده­ها

 

 



1 Fernandezand Gomez

2 Markowitz

3 Rockfeller and Uryasev

4 Yamai and Yoshiba

5 Pflug

6 Li

7 Yao et al.

8 Particle swarmoptimization

9 Genetic Algorithm

10 Hanen and Faouzi

11 Value at Risk

12 Kernel Function

13 Zucchini

14 Silverman

15 Value at Risk

 

آمار, پژوهشکده (1384). برآورد چگالی داده‌ها وپارامترها. نشر پژوهشکده آمار.

امیری، مقصود و شریعت پناهی، مجید و بناکار، محمدهادی (1389). انتخاب سبد سهام بهینه با استفاده از تصمیم‌گیری چندمعیاره، فصل‌نامۀ بورس اوراق بهادار، شماره 11، ص 24-5..

شاه علی زاده، محمد و معماریانی، عزیزالله (1382). چارچوب ریاضی گزینش سبد سهام با اهداف چندگانه، نشریۀ بررسی‌های حسابداری و حسابرسی، شماره 32، ص 102-83.

کریمی، مریم (1386). بهینه‌سازی پرتفو با استفاده از مدل ارزش در معرض خطر VaR در بورس اوراق بهادار تهران، پایان‌نامۀ کارشناسی ارشد مدیریت بازرگانی، دانشگاه الزهرا، دانشکده مدیریت.

کهن سال، محمدرضا و ناجکار، نسترن(1392). بهینه‌سازی بازده سهام با استفاده از بازده‌های فازی تصادفی،  کنفرانس ملی حسابداری و مدیریت، ص 16- 9.

گل مکانی، حمیدرضا و درخشان، مجتبی و حنفی زاده، پیام (1391). رویکردی فرااِبتکاری برای انتخاب سبد سهام با اهداف چندگانه در بورس اوراق بهادار تهران، نشریۀ بین‌المللی مهندسی صنایع و مدیریت تولید، شماره 3، ص 331-317.

 

Fernandez, A. G." .(2007). Portfolio Selection Using Neural Networks". Computers & Operations Research. , 34(4), 1177-1191.

Hanen A O, Faouzi J. (2014). Mean-VAR Model with Stochastic Volatility. Procedia-Social and Behavioral Sciences109, 558-566.

Li Q, Racine JS. (2007). Nonparametric Econometrics: Theory

and Practice. Princeton University Press.

Markowitz H (1952). Portfolio Selection: Jurnal of Finance, 7, 77-91.

Pflug G. (2000). Some remarks on the value-at-risk and the conditional value-at-risk. In: Uryasev S, editor. Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Rockfeller T, Uryasev S. (2002). Conditional value-at-risk for general loss distribution. Journal of Banking and Finance, 26(7),1443–71.

Silverman, B.(1986). Density Estimation for Statistics and Data Analysis, Chapman & Hall.

Yamai, Y. & Yoshiba, T. (2002). “On the Validity of Value-at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall”. Montary and Economic Studies, 20, 57-85.

Yan Wei, Rong Miao, Shurong Li (2007). Multi-period semi-variance portfolio selection: Model and numerical solution. Applied Mathematics and Computation, 194, 128–134.

Yao, H., Li, Z., & Lai, Y. (2012). Mean-CVaR portfolio selection: A nonparametric estimation framework. Computers & Operations Research, 40(4),1014–102.2

Zucchini Walter. (2003). Applied Smoothing Techniques, part1: Kernel Density Estimation.

 

 

 

 

 

 

پی نوشت: