مدل‌سازی و حل مسأله حداکثر پوشش ماژولار پویا با ظرفیت‌های محدود متغیر

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشیار دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه الزهرا(س)، تهران، ایران

2 دانشیار دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه شاهد، تهران، ایران

3 دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی صنایع، دانشگاه الزهرا (س)، تهران، ایران

چکیده

مسأله مکان‌یابی حداکثر پوشش یکی از مهم‌ترین مسائل مکان‌یابی شبکه است که برای کاربردهای مختلف آن، مدل‌های متنوعی از مسأله حداکثر پوشش، نظیر درنظرگرفتن محدودیت‌های ظرفیتی تسهیلات ارائه شده‌اند؛ اما تمامی این مدل‌ها فقط یک سطح ظرفیت ثابت برای تسهیلات استقراریافته در نظر می‌گیرند که این نوع مدل‌سازی باعث کاهش کارایی مدل مکان‌یابی حداکثر پوشش می‌شود. در این مقاله، مسأله مکان‌یابی حداکثر پوشش محدود ماژولار پویا ارائه و مدل‌سازی شده است که ظرفیت تسهیلات در دو سطح «تعیین ماژول‌های تخصیصی به تسهیل» و «تعیین سایز هریک از ماژول‌ها» طراحی و مدل‌سازی می‌شود. جهت بررسی کارایی مدل ارائه‌شده، یک مثال عددی حل شده و مدل مسئله با مدل مسأله مکان‌یابی حداکثر پوشش پویا مقایسه شده است. نتایج بررسی نشان می‌دهد که مدل پیشنهادی با برخورداری از مفهوم ماژولاریتی، نسبت به مدل حداکثر پوشش پویا از کارایی بالاتری برخوردار است. همچنین تحلیل حساسیت انجام‌شده بر پارامترهای مسئله، صحت عملکرد مدل را تأیید می‌کند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Modeling and solving the dynamic modular capacitated maximal covering location problem

نویسندگان [English]

  • Jafar Bagherinejad 1
  • Mehdi Bashiri 2
  • Roqayeh Alizadeh 3
1 Associate professor Dept. of industrial engineering, Alzahra University, Tehran, Iran
2 Associate professor Dept. of industrial engineering, Shahed University, Tehran, Iran
3 MSc student of industrial engineering, Alzahra University, Tehran, Iran
چکیده [English]

Maximal covering location problem is one of the most important network location problems that is used in various applications. To improve the application of the maximal covering location problem (MCLP), several capacitated MCLP models were proposed. However, most of these models assume only one fixed capacity level for facilities. This assumption may limit the application of the capacitated MCLP. In this paper, a dynamic modular capacitated maximal covering location problem (DMCMCLP) is proposed and formulated that the limited capacities of facilities is designed into two levels of determining allocated modules and their sizes for facilities at each potential site. To evaluate the performance of DMCMCLP, a numerical example has been solved and DMCMCLP is compared with dynamic maximal covering location problem (DMCLP). The results confirm superiority of the proposed model comparing to the DMCLP model. Moreover the sensitivity analysis confirm the performance accuracy of the proposed model.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Location problem
  • Maximal covering
  • Modularity
  • Variable capacity
  • Dynamic

- مقدمه

مسائل مکان‌یابی امروزه کاربرد بسیاری در حل مسائل روزمره دارند. این‌گونه مسائل در مکان‌یابی بسیاری تسهیلات از مدرسه، ایستگاه‌های پلیس، بیمارستان‌ها، ایستگاه‌های آتش‌نشانی و غیره گرفته تا دیگر مسائل از قبیل موارد نظامی و مکان‌یابی محورها کاربرد دارند. مسائل مکان‌یابی در یک طبقه‌بندی اولیه شامل مسائل مکان‌یابی قطعی و استاتیک، مکان‌یابی پویا و مکان‌یابی شبکه می‌شود. در مسائل مکان‌یابی قطعی همۀ پارامترها معلوم و استاتیک است و مسائل گوناگونی را دربرمی‌گیرد که به‌طور کلی می‌توان آن را به دو گروه مسائل پیوسته و گسسته طبقه‌بندی کرد. مسائل مکان‌یابی شبکه نیز شامل مسائل میانه، مرکز، پوشش، محور و سلسله‌مراتبی هستند (داسکین و اونر[1]،1998). شکل شمارۀ (1) برگرفته از مقالۀ بلوری عربانی[2] و زنجیرانی فراهانی[3] (2012) این طبقه‌بندی را نشان می‌دهد. البته این طبقه‌بندی به این معنا نیست که مسئله‌ای نمی‌تواند به‌طور هم‌زمان متعلق به دو یا بیشتر از دو گروه باشد. یکی از مسائل مهم شبکه، مسأله پوشش حداکثری است که در آن به دنبال حداکثرکردن پوشش تقاضاها است در حالی که تعداد تسهیلات جهت استقرار از پیش تعیین شده است. این مسئله با توجه به کاربردهایی که در زمینه‌های مختلف دارد بسیار قابل‌توجه و پرکاربرد است و پژوهشگران بسیاری آن را بررسی کرده‌اند و به تکمیل و توسعۀ این مدل پرداخته‌اند.

 

 در دنیایی که پیشرفت دانش در آن باعث ایجاد پیچیدگی‌های بسیاری شده، انسان جهت غلبه بر این پیچیدگی‌ها دست به ساده‌سازی این عوامل زده و نگرشی جدید در برخورد با آنها به وجود آورده است. به این نگرش که امروزه برای مدل‌سازی در بیشتر علوم استفاده می‌شود، ماژولاریزه‌کردن می‌گویند. از نظر مهندسی، ماژولاریته کارهای متفاوتی انجام می‌دهد از جمله اینکه پیچیدگی سیستم را قابل مدیریت می‌کند. همچنین ماژولاریته باعث انجام کارهای موازی می‌شود (بالدوین و کلارک[4]، 2000).

ماژولاریزه‌کردن در علوم مختلف از قبیل علوم طبیعی و بیولوژیکی، علم رایانه، عمران و معماری، شبکه‌ها، هنر، روباتیک و غیره کاربرد دارد. مفهوم ماژولاریته در مسائل مکان‌یابی هم موردتوجه است و در این‌گونه مسائل اغلب ظرفیت‌ها هستند که به‌صورت محدود و ماژول‌بندی‌شده در نظر گرفته می‌شوند که این ظرفیت‌ها می‌توانند ظرفیت گره‌ها باشند و یا مربوط به ظرفیت کمان‌ها در شبکه باشند. شکل شمارۀ (2) طبقه‌بندی مسائل مکان‌یابی را از دیدگاه محدودیت ظرفیت‌ها نشان می‌دهد. با توجه به مفهوم ماژولاریته و نقش آن در مدل‌سازی و شبیه‌سازی بهتر پدیده‌ها در این مقاله به دنبال به‌کارگیری این مفهوم در مسأله مکان‌یابی پوشش حداکثری هستیم. به‌علاوه مسأله موردپژوهش این تحقیق در فضای پویا تعریف شده است. مسأله موردپژوهش دارای کاربردهای مهمی است از قبیل مکان‌یابی بیمارستان‌ها که جهت توصیف مثالی از کاربرد این مدل می‌تواند به کار رود. بیمارستان دارای بخش‌های خدمت‌رسانی مختلفی است از قبیل بخش اورژانس، بخش MRI، بخش رادیولوژی، بخش جراحی و غیره و هرکدام از این بخش‌های مختلف یکی از ماژول‌های تشکیل‌دهندۀ تسهیل هستند. هر ماژول نیز اندازه‌های مختلف دارد که با توجه به تقاضای دریافت‌کنندگان خدمت باید اندازۀ بهینۀ ماژول‌ها در تسهیلات (بیمارستان‌ها) مستقر شوند. به‌علاوه با توجه به نوع ماژول‌ها برخی از آنها می‌توانند در طول دوره‌های مختلف در میان تسهیلات ردوبدل شوند تا بتوان از آنها بیشترین استفاده را کرد که کاهش هزینه را نیز به‌همراه خواهد داشت. در مقالۀ حاضر، این مسئله مدل‌سازی می‌شود، یک مثال عددی مرتبط حل می‌شود و سپس مدل مسئله با مدل مسأله حداکثر پوشش پویا مقایسه می‌شود و همچنین قدرت مدل و نحوۀ تغییر جواب‌های مسئله با توجه به تغییر پارامترهای مدل بررسی می‌شود. نحوۀ سازمان‌دهی مقاله به‌صورت زیر است: در بخش دوم ادبیات موضوع مقاله مرور می‌شود. در بخش سوم مدل مسئله ذکر خواهد شد و در بخش چهارم مثال عددی حل می‌شود و پاسخ‌های مسئله با پاسخ‌های مسأله حداکثر پوشش پویا مقایسه می‌شود. در بخش پنجم با انجام تغییراتی در پارامترهای مدل، حساسیت مدل تحلیل می‌شود، درنهایت در بخش آخر نتیجه‌گیری و پیشنهادهای مربوطه آورده شده است.

شکل 2- طبقه‌بندی مسائل مکان‌یابی از نظر محدودیت ظرفیت‌ها

 

2- مرور ادبیات

مسأله مکان‌یابی پوشش مجموعه[5] که تورگاس[6] و همکاران در سال 1971 تعریف کرده‌اند، اولین و پایه‌ای‌ترین مسأله مکان‌یابی خدمات اورژانس است که می‌تواند به‌عنوان ریشۀ مسائل مکان‌یابی پوشش تلقی شود. این مسئله به دنبال کمینه‌کردن تعداد تسهیلات اورژانس موردنیاز جهت پوشش‌دادن کل تقاضا بود که پوشش نقاط تقاضا فقط زمانی محقق می‌شود که فاصلۀ بین آن نقطه و تسهیل کمتر از فاصلۀ ازپیش‌تعیین‌شده به‌عنوان شعاع پوشش باشد. چرچ و روول[7] یک مدل دوگان برای مسأله پوشش مجموعه توسعه دادند. آنها یک فرمولاسیون برنامه‌ریزی خطی پیشنهاد دادند که پوشش کل تقاضای موزون را با تعداد تسهیل ثابت بیشینه می‌کرد. دوگان مسئله به نام مسأله مکان‌یابی پوشش حداکثری شناخته می‌شود و توجهات زیادی را به خود جلب کرده است (چرچ و رووله،1974).

یکی از پرکاربردترین مدل‌ها در میان مدل‌های مکان‌یابی تسهیلات، مدل مسائل پوششی است. با اینکه این مدل‌ها جدید نیستند، همیشه مورد توجه محققان بوده‌اند که این توجه به‌دلیل کاربرد آنها در مسائل واقعی زندگی به‌خصوص تسهیلات اورژانس و خدمات است. اسچلینگ[8] و همکاران در سال 1993 مدل‌هایی را که از مفهوم پوشش استفاده می‌کنند، به دو طبقۀ عمده تقسیم‌بندی کردند: 1) مسأله پوشش مجموعه که در آن پوشش نقاط تقاضا مطلوب مسئله بوده و 2) مسأله مکان‌یابی پوشش حداکثری(MCLP[9]) که در آن پوشش نقاط تقاضا بهینه‌سازی می‌شود. محققان هرکدام از مسائل را ازلحاظ ساختار توپولوژیکی، طبیعت تقاضاها، ویژگی تسهیلاتی که باید مستقر شوند، کاربرد مسائل در بخش‌های عمومی و خصوصی و همچنین روش‌های حل بررسی کرده‌اند (اسچلینگ و همکاران، 1993).

اخیراً نیز فراهانی و همکاران (2012) مسائل مکان‌یابی پوششی را به‌طور جامع‌تر بررسی و مطالعه کرده‌اند که بیشتر تمرکز آنها بر مقالات پژوهشی منتشرشده پس از مقالۀ اسچلینگ و همکاران(1993) بوده است. آنها این طبقه از مسائل را نه‌تنها براساس دو گروه عمده (پوشش مجموعه و پوشش حداکثری) بررسی کرده‌اند، بلکه سایر مسائل جدید در حوزۀ مسائل پوشش را نیز مورد توجه قرار داده‌اند. آنها سپس با توجه به نتایج به‌دست‌آمده از مطالعۀ مدل‌های پوششی به بیان خلأهای تحقیقاتی موجود در این زمینه پرداخته‌اند که نیاز به مطالعۀ تسهیلات با ظرفیت محدود و همچنین وجود انواع مختلف تسهیلات از این موارد است (فراهانی و همکاران،2012)؛ در مقالۀ حاضر سعی شده است این خلأهای تحقیقاتی در نظر گرفته شود. بیشتر مقالاتی که مسأله مکان‌یابی پوشش حداکثری را مطالعه کرده‌اند، این مسئله را فقط برای یک دورۀ زمانی بررسی کرده‌اند. در مقالۀ فاضل زرندی و داوری (2013)، مسأله مکان‌یابی پوشش حداکثری پویا(DMCLP[10]) به‌عنوان یک خلأ تحقیقاتی، بیان و بررسی شده است. این مسئله سپس با استفاده از الگوریتم شبیه‌سازی تبرید، حل شده است (فاضل زرندی و داوری،2013).

همان‌طور که در مقدمه گفته شد نگرش ماژولاریته در مباحث مکان‌یابی را نیز پژوهشگران مطالعه و بررسی کرده‌اند. اولین مقاله‌ای را که مبحث ماژولاریته را در زمینۀ مسائل مکان‌یابی تسهیل وارد کرد، کوریا و کپتیوو[11] نوشتند. در این مقاله مسأله مکان‌یابی ظرفیت محدود ماژولار[12] مورد توجه قرار گرفته که متشکل از یافتن مکان و ظرفیت تسهیلات به‌گونه‌ای است که بتوان یک مجموعه از مشتریان را با مینیمم‌سازی کل هزینه، خدمت‌دهی کرد. هر مشتری تقاضای مربوط به خود را دارد و ظرفیت هر تسهیل باید از یک مجموعۀ گسسته و متناهی ظرفیت‌های موجود انتخاب شود. محدودبودن ظرفیت هر تسهیل بدین صورت در نظر گرفته شده است که ظرفیت‌های متفاوتی برای تسهیلات ممکن هست و هر تسهیل دارای حد بالا و حد پایین خدمت‌دهی است. کاربردهای عملی این مسئله می‌تواند در مکان‌یابی انبارها، مراکز آموزشی، خدمات درمانی و یا انواع دیگر خدمات عمومی یافت شود. برای مسأله مکان‌یابی ظرفیت محدود ماژولار، مدل‌های برنامه‌ریزی خطی عدد صحیح مختلط مختلفی ارائه شده است. محققان کران‌های بالا و پایین را روی مقدار بهینه مسئله توسعه دادند و نتایج محاسباتی با مسائل تستی که به‌طور تصادفی تولید شده بود ارائه ‌شده است (کوریا و کپتیوو، 2003).

با نگاهی به ادبیات مسأله مکان‌یابی که نگرشی ماژولار دارد می‌توان این مسائل را در دو گروه طبقه‌بندی کرد: گروه اول مسائلی که در آنها مفهوم ماژولاریته در گره‌های شبکه اتفاق می‌افتد و دوم گروهی که در آنها ماژولاریته در کمان‌های شبکه بررسی می‌شود. جدول شمارۀ (1) مسائل مطالعه‌شده در هرکدام از این طبقه‌بندی‌ها را به‌طور خلاصه نمایش می‌دهد.

از جمله دیگر مسائل مکان‌یابی که نگرش ماژول‌بندی توانسته است در مدل‌سازی آنها مؤثر واقع افتد، مسأله مکان‌یابی محور است. کارلو و یمن در مقالۀ خود مسأله مکان‌یابی محور را که در آن کمان‌ها دارای ظرفیت محدود ماژولار هستند، بررسی و مطالعه کرده‌اند. این مقاله در ارتباط با یک مسأله مکان‌یابی محور است که برگرفته از طراحی شبکه‌های مخابراتی است. مسئله از دو جنبه با مسائل مکان‌یابی کلاسیک محور متفاوت است: اول اینکه هزینۀ استفاده از یک کمان خطی نیست و شکلی پله‌ای دارد (هزینه ماژولار است) و دوم ظرفیت محورها محدود در نظر گرفته شده است. در این مقاله روش حل دقیق و نیز ابتکاری ارائه شده است. این روش‌ها مقایسه شده و در یک روش متمرکز ابتکاری ترکیب شده است (یمن و کارلو[13]، 2005).

یمن در مقاله‌ای دیگر تحلیل چندوجهی برای مسأله مکان‌یابی محور با ظرفیت محدود و ماژولار را که قبلاً مطالعه کرده بود ارائه کرد. درواقع وی در این کار پژوهشی خود بیشتر به جنبه‌های طراحی شبکه‌ای مسأله مکان‌یابی محور که در آن ظرفیت‌ها محدود هستند، پرداخته و با تحلیل چندوجهی که ارائه داده است، در پی مدل‌سازی راحت‌تر این مسئله است (یمن، 2005) .

شاید به‌جرئت بتوان گفت که مسائل مکان‌یابی تسهیل ماژولار در شبکه‌های مخابراتی بیشترین توسعه و کاربرد را داشته‌اند. در مقاله‌ای که آدیس و همکارانش نوشته‌اند بر مسأله مکان‌یابی تسهیل با ساختار شبکه‌های مخابراتی بحث می‌شود که ماژولاربودن تسهیلات به این صورت است که در آن دو مجموعۀ مختلف تسهیلات وجود دارد، تسهیلات میانی و تسهیلات اصلی که گره‌های تقاضا ابتدا به تسهیلات میانی متصل می‌شوند و سپس تسهیلات میانی به تسهیلات اصلی وصل می‌شوند (آدیس، کارلو و کاسل[14]، 2011).

کوریا و همکارانش در سال 2010 در مقالۀ خود یک تکنیک فرمول‌بندی تفکیکی در قالب مسأله مکان‌یابی تسهیلات با هزینه‌های ارتباطی ماژولار را مطالعه کرده‌اند. مسأله مطالعه‌شده در این مقاله برخاسته از قالب مسأله مکان‌یابی تسهیلات است و با توجه به کاربردهای واقعی آن صورت گرفته است. هزینه‌های مربوط به کمان بین تسهیلات و مشتریان بسیار پیچیده‌تر از حالت خطی است که اغلب در ادبیات دیده می‌شود. اهمیت درنظرگرفتن هزینه‌های توزیعی عمومی به‌طور مثال برخاسته از شرایطی است که وسایل مختلف حمل‌ونقل برای تحویل کالا از تسهیلات مختلف به مشتریان وجود دارد؛ به عبارت دیگر، می‌توان گفت که کمان بین مشتری و تسهیل، ممکن است متشکل از ترکیبی از ماژول‌ها یا ظرفیت‌های مختلف باشد. به‌طور مثال هنگامی که انواع مختلف وسیلۀ نقلیه وجود دارد که تأمین‌کنندۀ مشتریان هستند، اگر بیش از یک کامیون از یک نوع اندازه وجود داشته باشد با شرایطی روبه‌رو هستیم که کمان‌ها ظرفیت محدود ماژولار دارند ( کوریا،گوویا و سالدانها[15]، 2010).

 

 

جدول1- خلاصه‌ای از مطالعات انجام‌شده در حوزه تسهیلات ماژولار در ادبیات مکان‌یابی

نام نویسندگان و سال انتشار

کوریاو کپتیوو(2003)

یمن و کارلوو(2005)

یمن(2005)

کوریا و همکاران(2010)

آدیس و همکاران(2011)

مدل مقاله حاضر

کاربرد مسئله

مسأله مکان‌یابی(LP)

مکان‌یابی محور در شبکه مخابراتی

مکان‌یابی محور در شبکه مخابراتی

مکان‌یابی با هزینه‌های توزیعی ماژولار

مکان‌یابی دوسطحی شبکه مخابراتی

مکان‌یابی حداکثر پوشش

نام مخفف مسئله

MCLP[16]

HMLC

HML

-

TLCFLP

DMCMCLP

نوع ظرفیت محدود

(N)*

(A)**

(UN)***

(A)

(N)

(N)

تابع هدف

نوع (Min/Max)

Min

Min

Min

Min

Min

Max

مجموع تقاضای پوشش‌یافته

 

 

 

 

 

ü

هزینۀ استقرار تسهیل

 

 

ü

ü

ü

ü

هزینۀ استقرار ماژول‌ها

ü

 

ü

ü

ü

ü

هزینۀ حمل‌ونقل

ü

 

 

ü

 

 

هزینۀ عملیاتی تسهیل

ü

 

 

 

ü

 

هزینۀ نصب کمان‌ها

 

ü

ü

 

 

 

محدودیت‌ها

پاسخگویی کامل تقاضاها

ü

 

 

ü

 

 

استقرار یک تسهیل در هر گره

ü

 

 

 

 

ü

تخصیص هر گره فقط به یک تسهیل

 

ü

ü

 

ü

ü

ظرفیت تسهیلات

 

ü

 

ü

ü

ü

ظرفیت ماژول‌ها

ü

ü

ü

ü

ü

ü

امکانات نصب‌شده در ماژول

 

 

 

 

ü

 

تعداد تسهیلات بالقوه

 

 

 

 

 

ü

پویا درنظرگرفتن محیط

û

û

û

û

û

ü

روش حل

LR

روش دقیق و ابتکاری

-

LR

Branch and Price

 

N*: گره‌های ماژولار، A**: کمان‌های ماژولار، UN***: گره‌های ماژولار بدون محدودیت ظرفیت.

 

توجه فزاینده و علاقۀ پژوهشگران به مسائل مکان‌یابی به‌دلیل کاربردهای آنها در مسائل دنیای واقعی است، با این حال مدل‌های ارائه‌شده با مسائل واقعی فاصلۀ زیادی دارد و هنوز جای کار فراوانی در این زمینه مشاهده می‌شود (برمن[17] و همکاران، 2010). در هیچ‌کدام از مسائل مطرح‌شده در بالا با مفهوم ماژولاریتی، مسأله پوشش حداکثری به‌طور اختصاصی مطالعه نشده است؛ بنابراین این سؤال جای طرح دارد که مسأله پوشش حداکثری با به‌کارگیری مفهوم ماژولاریته و طراحی ماژول‌هایی با ظرفیت محدود چه نوع ویژگی‌هایی دارد. همچنین در ادبیات موضوع، طراحی ماژولار به‌صورت تک‌لایه‌ای انجام شده است در حالی که در مدل مسأله حاضر علاوه بر اینکه تسهیلات مجموعه‌ای از ماژول‌ها هستند، خود این ماژول‌ها نیز اندازه‌های مختلف دارند که این نوع طراحی تسهیلات به واقعیت نزدیک‌تر است و باعث کاهش هزینه‌ها و همچنین افزایش انعطاف‌پذیری می‌شود. به‌علاوه مسأله موردبررسی در این مقاله با درنظرگرفتن پویایی تقاضاها، به دنبال انطباق هر چه بیشتر مدل با مسأله دنیای واقعی است. در بخش بعد مدل‌سازی ارائه شده است.

 

3- مدل‌سازی مسئله مکان‌یابی پوشش حداکثری ماژولار پویا با ظرفیت محدود(DMCMCLP[18])

برای مدل‌سازی مسئله به تعریف پارامترهای زیر نیاز داریم:

i={1,2,….,n}: مجموعه مکان تسهیلات بالقوه

: j={1,2,…,m}مجموعه نقاط تقاضا

l={1,2,…,L} : مجموعه ماژول‌های در دسترس

: مجموعه سایزهای ماژول نوعl ام

t={1,2,…,T} : مجموعه دوره‌های موجود

 O:فاصله (یا زمان) استاندارد برای پوشش

   :   مجموعه نقاط تقاضایی که در فاصله‌ای کمتر از O از تسهیلi  ام قرار دارند.

:  کران پایین ارائۀ خدمت ماژول نوعl  ام با سایز k

:  کران بالای ارائۀ خدمت ماژول نوع l ام با سایز  k ام

:q تعدادکل تسهیلات موجود

:  ظرفیت ارائۀ خدمت تسهیل نوعi  ام

:  عایدی حاصل از پوشش نقطه تقاضای jام

  : هزینۀ ثابت استقرار ماژول نوع  lبا سایزk  

:  هزینۀ ثابت استقرار تسهیل نوع i

 :فاصلۀ نقطۀ تقاضایj از تسهیلی که در مکان i ام مستقر شده است.

 :  مقدار تقاضای مشتری j از خدمتی که ماژول نوعl در دوره t  ارائه می‌دهد.

 

متغیرهای تصمیم

 

مدل مسئله DMCMCLP به‌صورت زیر است:

تابع هدف (1) به دنبال بیشینه‌کردن عایدی پوشش تقاضاهایی است که در فاصلۀ پوشش قرار گرفته و همچنین کمینه‌کردن هزینه‌های استقرار تسهیلات و ماژول‌ها است. محدودیت (2) و (3) بیان می‌کند تا زمانی که تسهیلی در مکان i قرار داده نشود و همچنین ماژولی از نوع lدر آن مستقر نشده باشد، مشتری jام نمی‌تواند از آنها خدمت دریافت کند. محدودیت (4) بیان می‌کند بیشتر از یک ماژول از یک نوع  نمی‌تواند در مکان iقرار گیرد. محدودیت شمارۀ (5) و (6) بیان می‌کنند تقاضاهایی که به ماژول نوع l با سایز  kدر تسهیلi تخصیص می‌یابند باید بین حد پایین ظرفیت آن ماژول و حد بالای آن ماژول باشد. مدل مسئله همان‌طور که گفته شد به یافتن مکان تسهیلاتی می‌پردازد که مکان آنها ثابت است و هرکدام از این تسهیلات می‌توانند دارای بخش‌های مختلفی باشند. ماژول‌ها گاه می‌توانند با توجه به ماهیتی که دارند به‌دلیل کاهش هزینه‌ها و افزایش انعطاف‌پذیری در میان تسهیلات مختلف با توجه به تقاضاها جابه‌جا شوند. به‌علاوه ماژول‌هایی که در هر تسهیل استقرار می‌یابند ظرفیت‌های متفاوتی دارند. به‌طور مثال فرض کنید ماژول نوع lدارای سه اندازه مختلف است. اگر تقاضای مشتریان برای این ماژول 1 واحد تا 4 واحد باشد آنگاه اندازۀ 1 این ماژول در تسهیل مستقر خواهد شد، اگر تقاضا 5 تا 12 واحد باشد اندازۀ 2 این ماژول و اگر 13 تا 17 واحد باشد اندازۀ سوم این ماژول در مکان تسهیل تعیین‌شده ایجاد خواهد شد. محدودیت‌های (5) و (6) وظیفۀ انتخاب اندازۀ ماژول‌ها با توجه به مقدار تقاضای موجود را دارند. محدودیت (7) بیان می‌کند مجموع تقاضای اختصاص‌یافته به یک تسهیل نباید از ظرفیت آن تسهیل تجاوز کند. محدودیت شمارۀ (8) بیان می‌کند تعداد کل تسهیلات کوچک‌تر و مساویq باشد و مجموعه محدودیت‌های (9) مربوط به محدودیت‌های عدد صحیح متغیرها است.

 

4- بررسی مثال عددی

در این بخش با توجه به مدل معرفی‌شده در بالا برای مسأله موردنظر، مثال عددی طراحی و در نرم‌افزار GAMS با حل‌کنندۀ Cplex حل می‌شود تا به بررسی جواب‌ها و نحوۀ کار مدل مسئله پرداخته، سپس مدل مسأله DMCLP ارائه شد و مثال عددی حل‌شده با آن مدل با پاسخ‌های به‌دست‌آمده از مدل اصلی این مقاله مقایسه خواهد شد، همچنین تحلیل حساسیت روی پارامترهای  مدل مسئله  نیز  بررسی خواهد شد. جهت بررسی مدل موردنظر، فرض کنید به دنبال مکان‌یابی سه بیمارستان در منطقۀ شهری شامل 50 نقطۀ تقاضا (مشتری) در سه دورۀ زمانی، که می‌توانند دارای 4 بخش (ماژول) مختلف رادیولوژی، MRI، اطفال و اورژانس (آمبولانس) باشند، هستیم. از طرفی بخش رادیولوژی و اورژانس دارای سه اندازه و بخش‌های MRI و اطفال دارای دو نوع اندازه هستند (اندازه را می‌توان به‌صورت مساحت موردنیاز، تجهیزات موردنیاز و تعداد کارکنان و متخصصان موردنیاز برای انجام وظایف در هرکدام از بخش‌ها تعریف کرد).

تعداد بیمارستان‌ها جهت مکان‌یابی یعنی پارامتر q را برابر با 3، عایدی تمام نقاط تقاضا (بیماران) را برابر با 1 (از آنجا که در احداث تسهیلاتی مانند بیمارستان و تسهیلات مشابه هدف اصلی درآمدزایی نیست این پارامتر صرفاً جهت همجنس‌ساختن عبارت‌های تابع هدف به کار می‌رود) و فاصلۀ پوشش یعنی پارامتر O، 6 واحد در نظر گرفته شده است. با حل مدل با استفاده از پارامترهای داده‌شده نتایج به این صورت حاصل می‌شود که 3 بیمارستانی که در پی یافتن مکان آنها هستیم در مکان‌های 7 و 28 و 38 مستقر می‌شوند و مقدار تابع هدف 92 به دست می‌آید. هنگامی که یکی از بیمارستان‌ها را در مکان‌های 7 و28 و 38 مستقر کنیم این بیمارستان‌ها در سه دورۀ زمانی متفاوت می‌تواند مجموعه نقاط تقاضای متفاوتی را تحت پوشش قرار دهد که اطلاعات مکان‌هایی که تسهیلات مکان‌یابی شده می‌توانند در سه دورۀ زمانی مختلف تحت پوشش قرار دهند در شکل شمارۀ (4) مشاهده می‌شود.

اما بخش‌هایی که باید در هرکدام از بیمارستان‌ها ایجاد شوند به‌صورت زیر است. در بیمارستان مستقرشده در مکان شمارۀ 7: در دورۀ اول بخش رادیولوژی و MRI هردو با اندازۀ 2 و بخش اورژانس با اندازۀ 3. در دورۀ دوم باید رادیولوژی با سایز 1 و بخش‌های MRI، اطفال و اورژانس با اندازۀ 2 ایجاد شوند. در دورۀ سوم نیز مانند دورۀ اول باید بخش‌های رادیولوژی و MRI با اندازۀ 2 و اورژانس با اندازۀ 3 ایجاد شوند. در بیمارستان ایجادشده در مکان 28: در هر سه دورۀ زمانی باید بخش رادیولوژی  با اندازۀ 3، MRI با اندازۀ 2، بخش اطفال با اندازۀ 2 و اورژانس با اندازۀ 3 ایجاد شوند. در بیمارستان ایجادشده در مکان شمارۀ 38: در دورۀ اول بخش‌های  MRI و اطفال با اندازۀ 2 و اورژانس  با اندازۀ 3 ایجاد شود. در دورۀ زمانی دوم بخش‌های MRI  و اطفال با اندازۀ 2 و اورژانس با اندازۀ 3 باید ایجاد شوند. همچنین در دورۀ سوم بخش رادیولوژی  با اندازۀ 3، MRI با اندازۀ 2 و اورژانس با اندازۀ 3 باید ایجاد شوند.

 

نکتۀ گفتنی در اینجا این است که هنگامی که بخشی (ماژولی) در یک دورۀ زمانی ایجاد می‌شود و در دورۀ زمانی دیگر وجود ندارد، می‌توان با این تصمیم به شیوه‌های مختلفی برخورد کرد. به‌طور مثال می‌توان از امکانات مختلف آن برای سایر بخش‌ها استفاده کرد، اگر آن ماژول امکان جابه‌جایی داشته باشد، مانند اغلب تجهیزات پزشکی امروزه که پورتابل هستند، آن را در بیمارستان دیگری استفاده کرد و یا اینکه می‌توان درنهایت تنها از قسمتی از ظرفیت آن بهره گرفت که این‌گونه تصمیمات باید با توجه به ماهیت تسهیلات و ماژول‌ها و صلاح‌دیدهای مدیریتی گرفته شوند.

 

4-1- مقایسۀ مدل DMCLP و مدل DMCMCLP

فاضل زرندی و همکاران در مقاله خود ویرایشی جدید از مسأله مکان‌یابی حداکثر پوشش را با عنوان مسأله مکان‌یابی حداکثر پوشش پویا بزرگ‌مقیاس ارائه دادند که مسأله مکان‌یابی حداکثر پوشش را برای دوره‌های زمانی چندگانه در نظر می‌گیرد و در آن روش‌های بهینۀ مکان‌یابی تعداد تسهیل مشخص برای mدورۀ زمانی مدنظر است. مدل مسأله DMCLP را می‌توان برای کاربردهای گوناگون از قبیل مکان‌یابی ایستگاه‌های پلیس‌راه، ایستگاه‌های اورژانس جاده‌ای و دیگر کاربردهای مختلف استفاده کرد. در ادامه مدل مسئله معرفی‌شده و با حل مثال عددی گفته‌شده در بالا و مقایسۀ آن با مدل مسأله این مقاله در پی مقایسۀ این دو مدل هستیم. پارامترهای به‌کاررفته در مدل DMCLP مشابه پارامترهای مدل این مقاله هست به این تفاوت که پارامتر   بیانگر مقدار تقاضای گره jام در دورۀ t ام است. متغیرهای تصمیم نیز به‌صورت زیر هستند.

   : متغیری باینری که مقدار 1 می‌گیرد اگر تسهیلی در مکان iام در دورۀ زمانی tام مستقر شود و در غیر این صورت مقدار صفر می‌گیرد.

   : متغیری باینری که مقدار 1 می‌گیرد اگر نقطه تقاضای j ام در فاصله‌ای کمتر از Oاز حداقل یک تسهیل  قرار گرفته باشد و در غیر این صورت مقدار صفر می‌گیرد.

 

مدل مسأله DMCLP

تابع هدف شمارۀ (10)  کل تقاضای پوشش‌یافته را بیشینه می‌کند. مجموعه محدودیت‌های شمارۀ (11) بیان می‌کند تا زمانی که حداقل یک تسهیل در فاصلۀ کمتر از O از نقطه تقاضای j قرار نگیرد، این نقطه خدمت‌دهی نمی‌شود. محدودیت شمارۀ (12) تعداد کل تسهیلات مکان‌یابی‌شده در کل دوره‌های زمانی را برابر q قرار می‌دهد. محدودیت شمارۀ (13) نیز مربوط به ماهیت متغیرهای تصمیم هستند. مثال عددی گفته‌شده در بالا برای هر دو مدل حل‌شده و نتایج آن را در شکل‌های (3) و (4) مشاهده می‌کنیم. در شکل‌های مربوط به مسأله DMCMCLP خطوط آبی مربوط به محدوده‌ای است که بخش رادیولوژی پوشش می‌دهد، خطوط قرمز مربوط به بخش MRI، زرد مربوط اطفال و رنگ بنفش مربوط به اورژانس است. همچنین مکان استقرار بیمارستان‌ها را با دایره‌های توپر زردرنگ نشان داده‌ایم. مقدار تابع هدف متناظر مسئله DMCMCLP بسیار بهتر از مقدار تابع هدف مسئله DMCLP به دست می‌آید (چون در تابع هدف  مسئله DMCLP هزینه‌های استقرار وجود ندارد؛ بنابراین در تابع هدف DMCMCLP نیز این هزینه‌ها را جهت مقایسۀ دو مدل در نظر نگرفته‌ایم). با توجه به نقاط پوشش‌یافته و جواب‌های مسئله مشاهده می‌شود که مدل DMCLP در دوره‌های مختلف زمانی تغییری در تسهیلات (بیمارستان) استقراری و نقاط پوشش‌یافته ندارد و جواب‌های مسئله برای هر سه دورۀ زمانی یکسان است در صورتی که با توجه به دینامیکی‌بودن ماهیت مدل مسئله انتظار می‌رفت حداقل برخی پاسخ‌ها در دوره‌های مختلف متفاوت باشند. از طرف دیگر در پاسخ‌های مسأله DMCLP برخی نقاط می‌توانند توسط دو بیمارستان پوشش داده شوند که این موضوع باعث می‌شود که تخصیص‌های غیرلازمی صورت گیرند؛ اما مهم‌ترین موضوع در مقایسۀ دو مدل این است که در مدل DMCLP با توجه به اینکه ماژول‌بندی وجود ندارد؛ بنابراین باید تمام ماژول‌های موجود را بدون توجه به اینکه آیا تقاضایی برای آن وجود دارد یا نه استقرار داد در صورتی که ممکن است با این کار بخشی از پتانسیل تسهیل بی‌استفاده بماند و این موضوع خود باعث تحمیل هزینه‌های اضافی استقرار می‌شود. در صورتی که در مدل DMCMCLP با ماژول‌بندی ظرفیت تسهیلات و همچنین با سایزبندی این ماژول‌ها توانستیم این‌گونه هزینه‌ها را کاهش دهیم که این موضوع در واقعیت نیز در طراحی تسهیلات در نظر گرفته می‌شود.

 

 

شکل 3- نقاط پوشش‌یافته توسط مدلDMCLP در هر سه دوره

 

شکل 4- نقاط پوشش‌یافته توسط مدل DMCMCLP در دوره‌های مختلف


4-2- تأثیر تغییر پارامترها بر نتیجه مسئله

در مدل‌های برنامه‌ریزی، پارامترها نقش تعیین‌کننده‌ای در جواب نهایی دارند. به‌طوری که تغییر آنها می‌تواند نتایج جدیدی را حاصل شود. برخی پارامترها مانند هزینۀ استقرار، فاصله بین نقاط تقاضا و مقدار تقاضای نقاط تأثیرات واضحی دارند که نیاز به بررسی ندارند؛ اما برخی دیگر از پارامترها که بر جواب بهینه تأثیر مستقیم‌تری دارند جای بحث و بررسی بیشتری دارند که در این بخش تأثیرات تغییر این پارامترها را بررسی خواهیم کرد.

4-2-1- تغییر در شعاع پوشش

یکی از پارامترهای مهم و تأثیرگذار پارامتر شعاع پوشش یا فاصله خدمت‌دهی یعنیO  هست که باید نحوه‌ی تأثیرگذاری این پارامتر بررسی شود. افزایش یا کاهش شعاع پوشش باعث ایجاد تغییر در تمامی متغیرها و مقدار تابع هدف می‌شود. به‌طور مثال اگر مقدار فاصله پوشش را از 6 به 7 تغییر دهیم مقدار تابع هدف به مقدار 175 افزایش پیدا می‌کند و تمامی متغیرها به‌جز متغیر  تغییر می‌کنند. با کاهش فاصله از 6 به 5 نیز مشاهده می‌شود که مسئله فقط یک بیمارستان را در مکان‌های 38 مستقر می‌کند و بیمارستان‌های مستقرشده در مکان 7 و28 از بین می‌رود. به علاوه، دیگر متغیرها هم تغییر می‌یابند. شکل شمارۀ (5) نشان‌دهندۀ نقاط پوشش‌یافته است هنگامی که فاصلۀ پوشش 7 واحد و 5 واحد است. نکته اینکه این شکل‌ها را به‌دلیل کمبود فضا فقط برای دورۀ اول رسم کرده‌ایم.

جهت بررسی دقیق‌تر تأثیر شعاع پوشش، مدل مسئله در دو حالت حل شد. حالت اول با درنظرگرفتن ظرفیت نامحدود برای بیمارستان‌ها و بخش‌ها (این ظرفیت نامحدود را می‌توان با حذف محدودیت‌های مربوطه به دست آورد و یا با ضرب‌کردن عددی در سمت راست این محدودیت‌ها می‌توان به این هدف دست یافت) و حالت دوم با درنظرگرفتن ظرفیت محدود. در هرکدام از حالات از شعاع پوشش 16 شروع کرده و به تدریج شعاع پوشش را کاهش داده و مقدار تابع هدف به‌دست‌آمده را ثبت کرده‌ایم.

 

 شکل 5- نقاط تقاضای پوشش‌یافته با فاصلۀ پوشش مختلف. (الف): شعاع پوشش 5 واحد. (ب): شعاع پوشش 7 واحد

 

شکل شمارۀ (6) این نتایج را نشان می‌دهند. همان‌طور که در شکل (6) مشاهده می‌شود هنگامی که ظرفیت بخش‌ها و بیمارستان‌ها (ماژول‌ها و تسهیلات) را نامحدود در نظر می‌گیریم با افزایش شعاع پوشش مقدار تابع هدف هم افزایش می‌یابد. با حل مسأله موردنظر نیز مشاهده می‌شود که با افزایش شعاع پوشش رفته رفته نقاط تقاضا، تحت پوشش بیش از یک تسهیل قرارمی‌گیرند. همچنین در این حالت هیچ محدودیتی برای ظرفیت بیمارستان‌ها وجود ندارد و هر بیمارستان می‌تواند تا بی‌نهایت نقطه تقاضا را پوشش دهد. شکل (6-الف) که مربوط به همان مسئله اما در حضور محدودیت‌های ظرفیت است مشاهده می‌شود که افزایش شعاع پوشش تا شعاع 12 واحد باعث افزایش در تابع هدف می‌شود و پس از آن مقدار تابع هدف تغییرات بسیار ناچیزی را نشان می‌دهد که این مسئله مؤید این موضوع است که در حضور محدودیت‌های ظرفیت افزایش تدریجی شعاع پوشش همواره افزایش تابع هدف را در پی ندارد و این محدودیت‌های ظرفیت هستند که مانع این افزایش می‌شوند.

4-2-2- تغییر در کران‌های بالا و پایین ظرفیت ماژول و  از جمله مهم‌ترین پارامترهایی هستند که جواب متغیرهای  و  به‌شدت به آنها وابسته  است. در این قسمت با افزایش و کاهش‌دادن این پارامترها می‌خواهیم تأثیر آنها را بر جواب‌های مثال عددی بررسی کنیم. با افزایش 20درصدی کران‌ها مشاهده می‌شود که تعداد نقاط بیشتری تحت پوشش قرار می‌گیرند. همچنین کاهش 20درصدی ظرفیت نیز موجب کاهش تعداد نقاط پوشش‌یافته می‌شود. شکل (7) جواب‌های مسئله را برای افزایش کران‌های ظرفیت ماژول‌ها نشان می‌دهند. هنگامی که کران‌ها کاهش 20درصدی دارند تمام متغیرها مقدار صفر می‌گیرند یعنی هیچ تسهیلی مستقر نمی‌شود و هیچ ماژولی مکان‌یابی نشده و در نتیجه هیچ تقاضایی خدمت‌دهی نمی‌شود.

 

 

شکل 6- تغییرات تابع هدف به‌ازای افزایش شعاع پوشش در دو حالت (الف) با محدودیت ظرفیت و (ب) بدون محدودیت ظرفیت تسهیلات

 


شکل 7- جواب مسئله MCMCLP با افزایش 20 درصدی کران ظرفیت‌ها

 

جدول شماره (2) خلاصه‌ای از نتایج تحلیل حساسیت‌های انجام‌شده را نشان می‌دهد.

 

جدول2- خلاصۀ نتایج به‌دست‌آمده از تغییر برخی پارامترها بر جواب‌های مسئله DMCMCLP

تغییر صورت‌گرفته

تابع هدف

درصد نقاط پوشش‌یافته

تعداد تسهیل مستقرشده

افزایش شعاع پوشش از 6 به 7 واحد

175

82%

3

کاهش شعاع پوشش از 6 به 5

3

22%

1

افزایش 20% کران‌های بالا و پایین

434

74%

3

کاهش 20% کران‌های بالا و پایین

0

0

0

افزایش تعداد اندازه ماژول‌ها

226

52%

2

افزایش تعداد تسهیلات

275-

78%

4

افزایش یک‌واحدی عایدی پوشش تقاضاها

3386

74%

3

 

4-2-3- افزایش تعداد اندازه‌های ماژول‌ها

در مثال عددی برای بخش‌های رادیولوژس و اورژانس  سه اندازه و برای بخش‌های MRI  و اطفال دو اندازه در نظر گرفته شده بود. با اضافه‌کردن یک اندازۀ دیگر به بخش‌ها (دقت شود که ظرفیت‌ها محدود می‌ماند فقط ظرفیت‌ها به‌طور مثال در بخش رادیولوژی به جای شکسته‌شدن به 3 قسمت به 4 قسمت شکسته می‌شود) مشاهده می‌شود که جواب‌های مسئله تغییر می‌کند و تسهیلات و ماژول‌های متفاوتی ایجاد خواهند شد. تأثیر این تغییرات بر مقدار تابع هدف و هزینه‌ها به این صورت است که این تغییر باعث افزایش مقدار تابع هدف می‌شود و همچنین تقسیم‌بندی بیشتر در اندازه‌های ماژول‌ها باعث افزایش دقت در انتخاب اندازۀ ماژول‌های استقراری می‌شود و این عامل می‌تواند هزینه‌های استقرار را بهتر مدیریت کند و باعث کاهش هرچه بیشتر هزینه‌ها شود.

 

4-2-4- تغییر تعداد تسهیلات جهت استقرار.

یکی دیگر از پارامترهای مسئله مقدار q یعنی تعداد بیمارستان‌ها جهت استقرار هست. چون این پارامتر در محدودیت شمارۀ 7 آمده و تأثیر آن از این محدودیت ناشی می‌شود اگر مقدار این پارامتر را به عدد 4 افزایش دهیم مشاهده می‌کنیم که مسئله همان جواب‌های قبلی را نتیجه می‌دهد اما اگر علامت محدودیت را به = تغییر دهیم و q را برابر 4 قرار دهیم نقطۀ شمارۀ 41 هم به مکان تسهیلات اضافه شده و مقدار تابع هدف 275- می‌شود. همچنین متغیرهای دیگر یعنی  تغییر می‌کنند. این موضوع نشان‌دهندۀ این نکته است که تعداد تسهیلات بالقوه جهت استقرار باید متناسب با تعداد نقاط تقاضا باشد و افزایش تعداد تسهیلات جهت استقرار گرچه تعداد نقاط تقاضای بیشتری را می‌تواند پوشش دهد، هزینه‌های دیگری را تحمیل می‌کند که این هزینه‌ها در مقایسه با افزایش تعداد نقاط پوشش‌یافته مقرون‌به‌صرفه نیست، همان‌طور که مشاهده می‌شود در این مثال نیز باعث کاهش بسیار زیادی در تابع هدف شده است.

 

4-2-5- افزایش عایدی حاصل از پوشش نقاط تقاضا

   یکی دیگر از پارامترهای مهم و تأثیرگذار است و تغییر آن به‌شدت بر مقدار بهینه تأثیر می‌گذارد، طوری که افزایش این پارامتر از 1 به 2 به‌ازای تمام نقاط تقاضا باعث افزایش مقدار تابع هدف از 92 به 3384 می‌شود و افزایش آن به مقدار 3 واحد به‌ازای تمام نقاط تقاضا سودی برابر با 6820 واحد را به‌همراه خواهد داشت.

 

5- نتیجه‌گیری.

این مقاله نتایج پژوهشی دربارۀ مدل مسئله حداکثر پوشش را که دارای ظرفیت‌های محدود ماژولار برای تسهیلات هستند، منعکس می‌کند که با درنظرگرفتن ظرفیت تسهیلات به‌صورت ماژولار سعی در افزایش انعطاف‌پذیری و کاهش هزینه‌ها دارد؛ به علاوه، مدل مسئله با درنظرگرفتن دوره‌های زمانی مختلف دارای ویژگی پویایی نیز هست. جهت مقایسۀ کارایی، مدل مسئله با مدل مسئله حداکثر پوشش پویا مقایسه شد و با حل مثال عددی یکسان برای هر دو مسئله، مشاهده شد که مدل پیشنهادی DMCMCLP می‌تواند کارایی بیشتری را در مقایسه با مدل پایۀ DMCLP داشته باشد. این نتایج در صورتی حاصل شده که مدل DMCMCLP تعداد محدودیت‌های بیشتری نسبت به مدل DMCLP دارد. همچنین جهت اطمینان از صحت مدل این مقاله با ایجاد تغییراتی در پارامترهای مختلف آن تحلیل حساسیت انجام شد که نتایج نشان‌دهندۀ عملکرد موفقیت‌آمیز مدل است.



[1]- Daskin and Owner

[2]- Bolori Arabani

[3]- Zanjirani Farahani

[4]- Baldwin and Clark

[5]- Set covering problem

[6]- Toregas

[7]- Church and ReVelle

[8]- Schilling

[9]- Maximal covering location problem

[10]- Dynamic maximal covering location problem

[11]- Correia and Captivo

[12]- Modular Capacitated Location Problem

[13]- Yaman & Carello

[14]- Addis, Carello and Cesel

[15]- Correia, Gouveia and Saldanha

[16]- Modular Capacitated location problem

[17]- Berman

[18]- Dynamic modular capacitated maximal covering location problem

Addis, B., Carello, G., & Cesel. (2011). "Exactly Solving a Two-Level Location Problem with Modular Node Capacities". /.DOI 10.1002/.net.20486, 161-179.

Baldwin, C., & Clark, K. (2000). Design Rules, Volume 1, The Power of Modularity. Cambridge MA: MIT Press.

Berman, O., Drezner, Z., & Krass, D. (2010). "Generalized coverage: New developments in covering location models". Computers & Operations Research,37(10), 1675–1687.

Bolori Arabani,A., Zanjirani Farahani, R. (2012). "Facility location dynamics: An overview of classifications and applications". Computers & Industrial Engineering,62, 408–420

Church, R., & ReVelle, C. (1974). "The maximal covering location problem". Papers of the Regional Science Association, 101-118.

Correia, I., Gouveia, L., & Saldanha. (2010). "Discretized formulations for capacitated location problems with modular distribution costs". European Journal of Operational Research 204, 237–244.

Correia, I., & Captivo, M. (2003). "A Lagrangean heuristic for a modular capacitated location problem". Annals of Operations Research, 122(1), 141-161.

Correiaa, I., & Captivob, M. E. (2006). "Bounds for the single source modular capacitated plant location problem". Computers & Operations Research 33, 2991–3003.

Daskin, M., & Owner, S. H. (1998). "Strategic facility location: A review". European Journal of Operational Research,111, 423±447.

Fazel Zarandi, M., & Davari, S. (2013). "The large-scale dynamic maximal covering location problem". Mathematical and Computer Modelling 57, 710–719.

 

Schilling, D. A., Jayaraman, V., & Barkhi, R. (1993). "A review of covering problem in

facility location". Location Science, 1(1), 25–55.

Yaman, H. (2005). "Polyhedral Analysis for the uncapacitated hub location problem with modular arc capacities". SIAM J.Discrete Math Vol. 19, No. 2, 501–522.

Yaman, H., & Carello, G. (2005). "Solving the hub location problem with modular link capacities". Computers & Operations Research, 32, 3227–3245.

Zanjirani Farahani, R., Asgari, N., Heidari, N., Hosseininia, M., Goh, M. (2012). "Covering problems in facility location: A review". Computers & Industrial Engineering, 62, 368–407.