توسعۀ مسئلۀ یکپارچۀ تشکیل سلولی پویا و برنامهریزی تولید با در نظر گرفتن وسایل جابهجاکنندۀ مواد بین و درون سلولها

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشیار، دانشکدۀ مهندسی صنایع، دانشگاه یزد، یزد، ایران

2 دانشجوی دکترای صنایع، دانشکده مهندسی صنایع دانشگاه یزد، یزد، ایران

چکیده

در این مقاله مدل ریاضی یکپارچۀ جدیدی از سیستم تولید سلولی پویا و برنامه‌ریزی تولید، توسعه داده شده است که ترکیب یا حجم محصول از یک دوره نسبت به دورۀ دیگر متفاوت است. براساس اطلاعات به‌دست‌آمده هیچ‌یک از مقالات پیشین دررابطه‌با مسئلۀ تشکیل سلول پویا، نقش کلیدی تجهیزاتِ جابه‌جایی مواد را در توسعۀ مدل‌های خود در نظر نگرفته‌اند؛ درحالی‌که نادیده‌گرفتن نقش این وسایل نتایج اشتباهی از واقعیت را به دنبال خواهد داشت. به عبارت دیگر، نادیده‌گرفتن برخی از ویژگی‌ها نظیر ظرفیت تجهیزات و زمان حرکت درون و بین‌سلولی وسایل جابه‌جاکننده توجیه‌پذیر نیست؛ به‌ویژه در کارگاه‌هایی که نمی‌شود از مدت زمان جابه‌جایی قطعات بین ایستگاه‌ها چشم‌پوشی کرد. مدل پیشنهادی این مقاله مفاهیمی نظیر حرکت درون‌سلولی و بین‌سلولی، پیکربندی مجدد، قرارداد فرعی، موجودی و سفارش معوق، زمان انتظار برای قطعات در قراردادهای فرعی، مقدار و حجم تولید بهینه در هر دوره، تعداد تجهیزات درون و بین‌سلولی تخصیص‌داده‌شده به سیستم تولید، تعداد تجهیزات خریداری و فروخته‌شده در هر دوره و قیمت خرید / فروش برای هریک از تجهیزات درون‌سلولی و بین‌سلولی را پوشش می‌دهد. مدل ریاضی پیشنهادی با یک مثال عددی و تحلیل حساسیت مربوطه اعتبارسنجی می‌شود.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Developing the dynamic cell formation and production planning considering the inter/intra-cell material handling equipment

نویسندگان [English]

  • Ahmad Sadegheih 1
  • Saeed Dehnavi-Arani 2
1 Department of industrial engineering, Yazd University, Yazd,Iran
2 Department of industrial engineering, Yazd University, Yazd, Iran
چکیده [English]

Abstract: In this paper, a new integrated mathematical model of the production planning and dynamic cellular manufacturing system (DCMS) wherein the product mix and/or volume is different from one period to another has been developed. So far, literature review indicates that the key role of Material Handling Equipment (MHE) has not been considered in the developed model, while ignoring such role will lead to wrong results. In other words, ignoring characteristics such as MHE capacity and inter and intra-cell movement times cannot be justifiable especially in shops in which, the movement times for parts are considerable compared to their processing times. The proposed model covers concepts such as inter/intra-cell movement, reconfiguration, subcontracting, inventory and backorder, lead time for subcontracted parts, optimal lot sizing in each period, number of inter/intra-cell MHE assigned to manufacturing system, number of MHE purchased and sold in each period and price of purchasing/selling for each inter/intra-cell MHE. A numerical example and sensitivity analysis have been used to verify the proposed mathematical model.
 
Introduction: Due to the global market competition, the manufacturing systems are changing from traditional configurations such as flow shop and job shop toward structures such as Cellular Manufacturing System (CMS). On the other hand, customer demands are different from one period to another. In such conditions, companies that use CMS should change their cell configurations every period. In other words, a new Dynamic Cell Formation Problem (DCFP) is needed to be performed for each period. The objective is to handle a DCFP together with a production planning policy by manufacturers. This integrated problem was proposed by Bulgak and Bektas (2009) for the first time. They developed a mixed integer nonlinear mathematical model and solved several computational examples by CPLEX. In another study, Safaee and Tavakkoli Moghaddam (2009) studied an integrated model of DCFP and production planning. Their model included the outsourcing and lead time concepts together. Then, other studies proposed DCFP and production planning together with others subjects such as worker assignment, machine breakdown, company layout, etc. In this paper, the roles of inter/intra cell Material Handling Equipment (MHE) and DCFP and production planning are studied, simultaneously.
 
Mehodology/Approach: First, a new mixed integer nonlinear mathematical model is proposed considering DCFP, production planning and the role of inter/intra cell MHE. Due to the complexity of nonlinear models, a transformation is occurred from the nonlinear developed model to a linear one. Then, the linear model is coded in commercial software named ‘GAMS’. Several examples are run on GAMS to validate the proposed model. Finally, the sensitivity analysis is performed on a number of important parameters.
 
Findings and Discussion: In order to illustrate the effect of MHE on the DCFP and production planning, two numerical examples were investigated with and without MHE. The first difference between these two examples was in objective function value as represented in Table 3 regardless of MHE and in Table 5 regarding MHE. The second difference was in production planning as it addressed in Table 4 regardless of MHE and Table 6 regarding MHE. The third difference was in cell configuration as represented in Figure 2. Finally the forth difference was in the number of MHE used in manufacturing system regardless and regarding MHE as addressed in Tables 7 and 8, respectively. All Tables and Figures proved that MHE management can play an effective role in a manufacturing system.
 
Conclusion: In this paper, the integrated model of DCFP, production planning and MHE was investigated. A mixed integer nonlinear mathematical model was developed and then transformed into a linear one. To validate the proposed model, a numerical example was presented and this example was solved without and with MHE. Finally, a sensitivity analysis was performed on a number of important parameters.
 
References
Defersha, F. M., & Chen, M. (2006). “A comprehensive mathematical model for the design of cellular manufacturing systems”. International Journal of Production Economy, 103(2), 767-783.
Saidi-Mehrabad, M., & Safaei, N. (2007). “A new model of dynamic cell formation by a neural approach”. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 33(9), 1001-1009.
Tavakkoli-Moghaddam, R., Aryanezhad, M.B., Safaei, N., & Azaron, A. (2005). “Solving a dynamic cell formation problem using metaheuristics”. Applied Mathematical Computation, 170(2), 761-780.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Dynamic Cellular Manufacturing System
  • Dynamic Cell Formation Problem
  • Material Handling Equipment
  • Production planning

مقدمه

به‌دلیل وجود بازار جهانی رقابتی، شرکت‌های تولیدی درحال تغییر طرح سیستم‌های تولیدی از پیکربندی‌های سنتی نظیر جریان‌ کارگاهی و تولید کارگاهی به‌سمت پیکربندی‌های جدید نظیر سیستم تولید سلولی (CMS[i]) هستند. سیستم‌های تولید سلولی مفاهیم تکنولوژی گروهی با کاربرد صنعتی (GT[ii]) هستند که نه‌تنها شامل مزایای حجم تولید و کارایی جریان کارگاهی‌ها هستند، دربرگیرندۀ تنوع محصول و انعطاف‌پذیری تولید کارگاهی‌ها نیز هستند؛ بااین‌حال CMS دارای چندین مزایای مهم نظیر کاهش در موجودیِ در جریان ساخت، زمان‌های راه‌اندازی، زمان بازده، هزینه‌های جابه‌جایی مواد، ساده‌سازی زمان‌بندی و بهبود کیفیت است (ومبرلوف[iii] و هیر[iv]، 1987).

 در منابع و مطالعات، طراحی CMS به چهار مسئلۀ اصلی طبقه‌بندی می‌شود که شامل 1- مسئلۀ تشکیل سلول (CFP[v])؛ 2- مسئلۀ طرح‌بندی درون‌سلولی و بین‌سلولی؛ 3- مسئلۀ زمان‌بندی گروهی و 4- مسئلۀ تخصیص منبع است. مسئلۀ CFP نخستین مرحله در CMS برای ایجاد مجموعه‌ای از سلول‌های ماشینی و خانواده‌های قطعات متناظر با هدف بهینه‌سازی تابع هدف است. مقالات نخست درخصوص CMS که موسوم به CMS کلاسیک است، فرض کرده‌اند ترکیب محصول و تقاضای قطعه در افق برنامه‌ریزی ثابت است؛ اگرچه در محیط واقعی پویا یک افق برنامه‌ریزی به چندین دورۀ کوچک‌تر تقسیم‌شدنی است و در آن هر دوره دارای ترکیب محصول و حجم تقاضای قطعۀ متفاوتی است. بااین‌حال راه‌حل بهینه برای CFP در دورۀ جاری برای دورۀ بعدی کارامد و بهینه نیست (صفایی و همکاران، 2008). درنتیجه مفهوم سیستم تولید سلولی پویا (DCMS[vi]) به‌وسیلۀ آرهیلت[vii] و همکاران (1996) برای توسعۀ راه‌حل بهینه برای هر دوره با‌توجه‌به تقاضای آن دوره و غلبه بر معایب CMS کلاسیک معرفی شد. در DCMS راه‌حل بهینه CFP ازطریق پیکربندی مجدد سلول تولیدی برای هر دوره به دست می‌آید. درواقع پیکربندی مجدد متشکل از جابه‌جایی ماشین‌های موجود در سیستم سلول، افزودن ماشین‌های جدید به سلول‌ها و حذف ماشین‌های موجود از سلول‌ها است. به‌علاوه مسائل برنامه‌ریزی تولید نظیر قرارداد فرعی، موجودی و سفارش معوق، اندازه وحجم تولید بهینه و زمان انتظار سفارش در DCMS قرار داده می‌شود (بولگاک[viii] و بکتاس[ix]، 2009). در این مقاله اقدام به تلفیق برنامه‌ریزی تولید و DCMS در یک مدل ریاضی جامع با‌توجه‌به نقش وسایل جابه‌جایی مواد (MHE) درون و برون‌سلولی شده است که به‌ترتیب مسئول انتقال قطعات بینِِ سلول‌ها و درونِ سلول‌ها هستند. در طی چهاردهۀ گذشته پژوهش‌های زیادی دررابطه‌با مسائل اصلی CMS انجام شده و درعین‌ِحال منابع مربوط به این رشته بسیار غنی است. در همۀ مقالات منتشر‌شده قبل از 1995 مسائل CMS همانند CFPها در شرایط ایستایی در نظر گرفته شده‌اند. در این مسائل سلول‌ها برای یک دورۀ زمانی تشکیل می‌شوند و ترکیب و تقاضای محصول ثابت است. به‌دلیل شرایط پویای محیط کسب‌و‌کار امروزی که در آن ترکیب محصول و تقاضای قطعات در هر دورۀ زمانی متفاوت از بقیۀ دوره‌ها است، CMS کلاسیک با در نظر گرفتن شرایط ایستا پاسخگو نیست و نیاز به مدل‌هایی با در نظر گرفتن شرایط نوسانیِ امروزی است. از روش‌های مناسب برای حل این مسئله در CMS، مسئلۀ تشکیل سلولی پویا (DCFP) است. طی دهه‌های اخیر علاقۀ زیادی به انجام پژوهش‌ها در توسعۀ مدل‌ها و راه‌حل‌ها برای DCFP مشاهده شده است؛ برای مثال بالاکریشنان[x] و هوانگ چنگ[xi] (2005) چارچوبِ انعطاف‌پذیری برای مدل‌سازی تولید سلولی در یک DCFP طراحی کردند. آنها برای برآورده‌کردن تقاضای پویا از دو مرحله استفاده کردند؛ مرحلۀ نخست شامل پیکربندی سلول بهینه در محیط ایستا است و مرحلۀ دوم شامل به‌کارگیری برنامه‌ریزی پویا با استفاده از هزینۀ جابه‌جایی مواد بهینۀ مرحلۀ نخست برای به دست آوردن راه‌حل بهینه در شرایط پویا است (بالاکریشنان و هوانگ چنگ، 2005). توکلی-مقدم و همکاران (2005) مدلی ریاضی برای DCFP ارائه کردند. در مدل آنها تقاضاها پویا ولی قطعی است. آنها طرح‌های جایگزین (انعطاف‌پذیری مسیریابی) و تعداد متغیری از مفاهیم سلول را در مدل DCFP برای نخستین‌بار اضافه کردند (توکلی مقدم و همکاران، 2005- الف). در مقالۀ دیگری، این پژوهشگران از مدل قبلی خود در مقالۀ توکلی مقدم و همکاران (2005 الف) با انضمام هزینۀ عملیاتی برای هر ماشین استفاده کردند (توکلی مقدم و همکاران، 2005- ب). در مقاله‌ای جامع‌تر، دفرشا[xii] و چن[xiii](2006) مدلی را در نظر گرفتند که از پیکربندی سلول، مسیریابی جایگزین، توالی عملیات، واحدهای چندگانۀ ماشین‌های مشابه، ظرفیت ماشین، تعدیل حجم کار در میان سلول‌ها، هزینۀ عملیاتی، هزینۀ برون‌سپاری کارها، هزینۀ مصرف ابزار، هزینۀ راه‌اندازی و سایر محدودیت‌های عملی استفاده می‌کند (دفرشا و چن، 2006- الف). دفرشا وچن (2006) مدل DCFP قبلی را توسعه داده‌اند. در این مدل محدودیت مجاورت ماشین و تقسیم کار در نظر گرفته شده است؛ به عبارت دیگر، دو مفهوم در این مقاله استفاده شده است که عبارتند از 1- سفارش‌های بزرگ به دسته‌های کوچک‌تر تقسیم می‌شود و فرصتی برای پردازش هم‌زمان سفارشاتِ بیش از یک مرکز کاری (تقسیم حجم کار) فراهم می‌کند و 2- مجموعه‌ای از جفت ماشین باید در یک سلول قرار گیرد (مجاورت ماشین) (دفرشا و چن، 2006- ب). سعیدی مهراباد و صفایی(2007) از رویکرد شبکۀ عصبی برای DCFP استفاده کردند. در این رویکرد تعداد سلول‌های تشکیل‌شده، متغیر تصمیمِ مدل پیشنهادی است. با مقایسۀ نتایج در شبکۀ عصبی و راه‌حل‌های بهینه LINGO، آنها ادعا کردند شبکۀ عصبی روش قوی‌تر و قابل اطمینان‌تری است (سعیدی مهرآباد و صفایی، 2007). به این ترتیب آریانژاد و همکاران (2009) مدل جدیدی برای تخصیص هم‌زمان کار و DCFP ارائه داده‌اند. آنها هر دو سطح ماشین و سطح مهارت را در مدل جدید خود در نظر گرفتند. مدل‌های چندهدفه نیز برای DCFP در منابع ارائه شده‌اند (آریانژاد و همکاران، 2009). در این بخش مقالۀ وانگ[xiv] و همکاران (2009) نخستین مقاله‌ای است که مدل سه‌هدفه شامل حداقل‌کردن هزینه‌های جابه‌جایی، بیشینه‌سازی سرعت مصرف و استفاده از ظرفیت ماشین و حداقل‌کردن تعداد کل حرکات درون‌سلولی را در نظر می‌گیرد. آنها از الگوریتم جست‌و‌جوی پراکنده (SS) استفاده کردند؛ زیرا DCFP مسئله‌ای سخت بوده است و نشان داد SS دارای نتایج رضایت‌بخشی ازحیث درصد فاصله و زمان اجرا حتی برای مسائل آزمایشی بزرگ- مقیاس است (وانگ و همکاران، 2009). باجستانی و همکاران (2009) یک مدل دوهدفه را توسعه دادند که نخستین هدف، حداقل‌کردن هزینه‌هایی نظیر استهلاک ماشین، هزینه‌های جابه‌جایی مواد درون‌سلولی و هزینۀ جابه‌جایی ماشین و دومین هدف، حداقل‌کردن تغییرات بار سلولی کل است (باجستانی و همکاران، 2009). هم‌چنین قطب‌الدینی و همکاران (2011) مدل دو‌هدفه‌ای را توسعه دادند که متشکل از حداقل‌کردن مجموع هزینه‌های متنوع و حداکثر‌کردن مجموع نسبت کارِ حداقل برای کل دوره‌ها است. آنها از GAMS برای اعتبارسنجی مدل و از رویکرد تجزیه برای حل مسائل آزمایشی بزرگ‌تر با روشی دقیق استفاده کردند. برخی از پژوهشگران مدل یکپارچۀ DCFP و برنامه‌ریزی تولید را در پژوهش‌های خود در نظر گرفته‌اند؛ به عبارت دیگر آنها روش یکپارچه‌ای را تدوین کرده‌اند که در آن سطح موجودی، تولید، برون‌سپاری و هزینه‌ها همراه با سایر پارامترها و متغیرهای DCFP در نظر گرفته شده است (قطب الدینی و همکاران، 2011). در این گروه بالگاک و بکتاش (2009) رویکرد یکپارچه‌ای برای طراحی CMS در نظر گرفتند که در آن تصمیم پیکربندی مجدد سیستم و برنامه‌ریزی تولید در نظر گرفته می‌شود (بالگاک و بکتاش، 2009). صفایی و توکلی مقدم (2009) نیز به‌طور هم‌زمان برنامه‌ریزی تولید و DCFP را پیشنهاد کردند. آنها جابه‌جایی مواد درون‌سلولی و بین‌سلولی را با فرض توالی عملیات و برون‌سپاری جزئی را با فرض زمان انتظار برای آیتم‌های سفارش‌شده اضافه کردند. عملکرد مدل آنها با دو مثال عددی تأیید شد (صفایی و توکلی مقدم، 2009). از طرف دیگر یک مدل جامع ازجمله DCFP، برنامه‌ریزی تولید و مسئلۀ تخصیص کارگر در مقالۀ مهدوی و همکاران (2010) ارائه شده است. ساکسنا[xv] و جین[xvi](2010) ویژگی‌های مهم تولید نظیر اثر خرابی ماشین، برنامه‌ریزی تولید، اندازۀ دستۀ انتقالی برای حرکت درون‌سلولی و میان‌سلولی، تقسیم حجم کار، برنامۀ پردازش جایگزین و ... را در نظر گرفتند (ساکسنا و جین، 2010). در مدل یکپارچۀ چندهدفۀ DCFP برنامه‌ریزی تولید، جوادیان و همکاران (2011) دو هدف را در مدل خود مطرح کردند. نخستین هدف حداقل‌کردن مجموعه هزینه‌ها و دومین هدف حداقل‌کردن تغییرات بار کل سلول بود (جوادیان و همکاران، 2011). در برخی از مقالات، مشاهده شد که طراحی سیستم زنجیره‌تأمین با DCFP تلفیق می‌شود؛ برای مثال ساکسنا و جین (2010) مدل یکپارچۀ طراحی زنجیره‌تأمین و تولید سلولی پویا را با در نظر گرفتن مسائل مختلف نظیر مناطق با چند کارخانه، بازارهای چندگانه، دوره‌های چندزمانه، پیکربندی مجدد ترکیب کردند (ساکسنا و جین، 2012). برخی پژوهشگران به‌طور هم‌زمان روی مسائل طرح‌ریزی و DCFP کار کردند. کیا و همکاران (2012) مدل طراحی گروهی DCMS را با مسیریابی فرایند جایگزین، تقسیم حجم کار و پیکربندی مجدد انعطاف‌پذیر ارائه کردند (کیا و همکاران، 2012). باقری و بشیری (2014) نیز DCFP را با مسئلۀ چیدمان و گمارش کارگر در محیط پویا در نظر گرفتند (باقری و بشیری، 2014). همچنین مقالاتی وجود دارند که پارامترهای آنها با عدم‌قطعیت همراه است؛ برای مثال صفایی و همکاران (2008) از رویکرد برنامه‌نویسی فازی برای DCFP با تقاضاهای غیرقطعی و ظرفیت ماشین موجود استفاده کردند (صفایی و همکاران، 2008). یک DCMS یکپارچه و برنامه‌ریزی تولید با ماشین‌های غیرقابل اطمینان در مقالۀ سخایی و همکاران (2015) ارائه شده است. نیکان و همکاران (2016) مدل ریاضی چندمنظوره‌ای را با عدم‌قطعیت هزینه و تقاضا پیشنهاد کردند. هدف اصلی این مطالعه در نظر گرفتن معیارهای اجتماعی نظیر خطرات بالقوۀ ماشین و فرصت‌های شغلی در مدل پیشنهادی بود (نیکان و همکاران، 2016). هم‌چنین زهره‌وند و همکاران (2016) مدل تصادفی دومنظوره‌ای را توسعه دادند. نخستین تابع هدف مدل توسعه‌یافته، حداقل‌کردن هزینه‌های کل بود؛ در‌حالی‌‌که دومین تابع هدف حداکثر‌کردن استفاده از نیروی کار در سیستم تولید سلولی بود. آنها تقاضا را برای دوره‌های مختلف غیرقطعی در نظر گرفتند (زهره‌وند و همکاران، 2016).

 همۀ مقالات موجود در منابع DCMS، نقش MHE را در کارگاه‌ها به دو دلیل نادیده گرفته‌اند که عبارتند از 1- آنها فرض می‌کنند MHS اولیۀ تخصیص‌داده‌شده به سیستم تولید برای انتقال هر مقدار از تولید بهینه کافی است؛ 2- آنها فرض می‌کنند زمان جابه‌جایی قطعات کمتر از زمان پردازش است و در می‌تواند مدل نادیده گرفته شود. بااین‌حال در محیط واقعی، وقتی که تعداد جابه‌جایی زیاد است احتمال دارد MHE بیشتری با‌توجه‌به ظرفیت MHE نیاز باشد. از سوی دیگر اگر کارگاه قادر به ارائۀ MHE بیشتر نباشد باید اندازۀ بهینۀ محصول کاهش یابد؛ درنتیجه در این پژوهش مدلی یکپارچه از برنامه‌ریزی تولید و DCMS با‌توجه‌به نقش مؤثر MHE توسعه داده شده است. به‌طور خلاصه مقاله برای رسیدن به اهدافی شامل توسعۀ مدل جدیدی با در نظر گرفتن تولید سلولی پویا، برنامه‌ریزی تولید و نقش MHE، همچنین بررسی تغییرات جواب‌هایی اعم از تخصیص کارها به سلول‌ها، ماشین‌آلات به سلول‌ها، مقدار تولید محصولات، موجودی‌ها، برون‌سپاری، تعداد وسایل جابه‌جاکنندۀ مواد، زمان‌های حمل‌و‌نقل قطعات بین ایستگاه‌ها در مدل توسعه‌داده‌شده در برابر مدل پایه‌ای است. نوآوری مقاله نیز در نظر گرفتن زمان، ظرفیت و به‌طورکلی نقش MHEها در سیستم‌های تولید سلولی پویا همراه با برنامه‌ریزی است.

روش پژوهش

در این بخش مدل یکپارچۀ DCFP و برنامه‌ریزی تولید با در نظر گرفتن نقش MHE درون‌سلولی و بین‌سلولی پیشنهاد می‌شود. فرض بر این است که تعدادی قطعات، انواع ماشین و سلول‌ها وجود دارند و موقعیت و محل آنها قبلاً در سیستم تولیدی تعیین شده است. به‌علاوه هیچ‌گونه MHE درون‌سلولی و بین‌سلولی در ابتدای افق برنامه‌ریزی وجود ندارد و مدل باید قادر به به دست آوردن تعداد بهینۀ MHE در همۀ ادوار باشد. لازم به ذکر است فاصلۀ بین ماشین‌ها درون هر سلول و فاصلۀ بینِ سلول‌ها در سلول‌های تولیدی مشابه است. این موجب مطرح‌شدن فرضِ زمان‌های مساوی برای مدل از هر ماشین با سایر ماشین‌های درونِ سلول و از هر سلول به سلول دیگر می‌شود. تنوع و مقدار تقاضایی که از سمت مشتری به شرکت تولیدی داده می‌شود در دوره‌های مختلف تغییر می‌کند و برای انعطاف‌پذیری در سیستم نیاز است که در هر دوره پیکره‌بندی مجدد سلول‌ها اتفاق افتد. برای ایجاد رفتار بهینه برای کنترل نوسانات تقاضا، در هر دوره لازم است سیاست‌های تغییر تشکیل سلولی، سیاست‌های برنامه‌ریزی تولید و سیاست‌های مدیریت وسایل جابه‌جاکنندۀ قطعات در شرکت اعمال شود. انتخاب سیاست بهینه باتوجه‌به هزینه‌های تحمیلی به سیستم با استفاده از مدل‌سازی ریاضی انجام می‌شود. علاوه بر مفروضات ذکرشده، این مسئله براساس فرضیات زیر تدوین و بیان می‌شود.

1- هر قطعه شامل تعداد عملیاتی است که باید در عملیات به‌ترتیب شماره‌گذاری استفاده شود.

2- زمان پردازش برای همۀ عملیات مربوط به نوع قطعه در انواع ماشین‌های مختلف از قبل مشخص و تعیین شده است.

3- هر ماشین دارای ظرفیت و ظرفیت زمانی مشخص و پایدار در سرتاسر افق برنامه‌ریزی است.

4- هزینۀ ثابت هر ماشین مشخص است. این هزینه شامل نگهداری، مخارج عمومی، هزینه‌های اجاره و هزینه‌های سرویس هر ماشین است. در اینجا هزینه‌های خرید و فروش برای ماشین‌ها در نظر گرفته نمی‌شود.

5- هزینه متغیر هر نوع ماشین از قبل مشخص است. این هزینه بستگی به حجم کار تخصیص داده شده به ماشین دارد.

6- هزینۀ جابه‌جایی برای هر نوع ماشین از یک سلول به سلول دیگر مشخص است. همۀ ماشین‌ها قادر به حرکت به‌سمت هر سلول هستند. این هزینه شامل مجموع هزینه‌های حذف، تغییر و نصب است. زمان لازم برای جابه‌جایی صفر است.

7- قطعات در یک دسته بین و درونِ سلول‌ها جابه‌جا می‌شوند. به‌علاوه دسته‌های درون و بین‌سلولی مربوط به انواع قطعات دارای اندازه‌ها و هزینه‌های متفاوتی هستند. فرض می‌شود فاصلۀ بین هر جفت سلول‌ها و هر جفت ماشین در هر سلول یکسان است.

8- هزینۀ ثابت هریک از سلول‌های درونی و میانی معلوم است.

9- هزینه‌های متغیر هر سلولِ درونی و میانی معلوم است. این هزینه‌ها وابسته به حجم کار تخصیص‌داده‌شده به MHE هستند.

10- همۀ MHEهای درون‌سلولی و بین‌سلولی را می‌توان خرید یا فروخت. فرض بر این است که قیمت خرید و فروش در دوره‌های زمانی مشخص و ثابت است.

11- حداکثر تعداد سلول‌هایی که در هر دوره تشکیل می‌شوند از قبل مشخص و معلوم است.

12- اندازۀ حداکثر و حداقل سلول از قبل مشخص است.

13- نگهداری و تعویق سفارش موجودی‌ها بین دوره‌های با هزینه‌های معلوم مجاز است.

14- برون‌سپاریِ جزئی مجاز است. به عبارت دیگر مقدار کل یا بخشی از تقاضای انواع قطعات را می‌توان در هر دوره به‌صورت برون‌سپاری به شرکت دیگری واگذار کرد. همچنین فاصلۀ زمانی بین ارائه و دریافت سفارشات (زمان انتظار سفارش) از قبل ثابت و مشخص است.

 

اندیس‌ها

: شاخص انواع قطعات

: شاخص سلول‌های تولیدی )

: شاخص عملیات که متعلق به قطعۀ  است

: شاخص دوره‌های زمانی (

: شاخص انواع ماشین )

 

پارامترهای ورودی

: تعداد عملیات برای قطعۀ i

: تعداد قطعات

: تعداد ماشین‌ها

: تعداد سلول‌ها

: تقاضا برای قطعۀ i در دورۀ t

: اندازۀ دسته برای حرکت درون‌سلولی قطعۀ i

: اندازۀ دسته برای حرکت بین‌سلولی قطعۀ i

: هزینۀ ثابت نوع ماشین  در هر دوره

: هزینۀ متغیر MHE درون‌سلولی استفاده‌شده (هزینۀ حرکت درون‌سلولی برای هر دسته)

 : هزینۀ متغیر MHE بین‌سلولی استفاده‌شده (هزینۀ حرکت بین‌سلولی) برای توجیه CMS، فرض می‌شود، (  است.

: هزینۀ متغیر نوع ماشین  برای هر واحد زمانی

: هزینۀ جابه‌جایی هر نوع ماشین

: ظرفیت زمانی ماشین نوع  در هر دوره

: اندازۀ حداکثر سلول

: حداکثر MHE بین‌سلولی مجاز در سیستم تولید

UIBc: حداکثر MHE درون‌سلولی مجاز در سلول  

: قیمت خرید برای هر MHE درون‌سلولی

: قیمت خرید برای هر MHS بین‌سلولی

: قیمت فروش برای هر MHS درون‌سلولی

: قیمت فروش برای هر MHS بین‌سلولی

: هزینۀ واحد برون‌سپاری قطعۀ

: زمان انتظار که در آن  است

: زمان موجود در هر دورۀ زمانی

: هزینۀ حمل موجودی به‌ازاءِ هر قطعۀ  در طی هر دوره.

: هزینۀ سفارش معوقه به‌ازاءِ هر قطعۀ  در طی هر دوره.

: عدد مثبت بزرگ.

: زمان درون‌سلولی برای انتقال یک دسته از هر ماشین به ماشین دیگر

: زمان بین‌سلولی برای انتقال یک دسته از هر سلول به سلول دیگر

: زمان پردازش لازم برای انجام عملیات  هر نوع قطعۀ  در ماشین

: در‌صورتی‌که عملیات  هر نوع قطعۀ  را بتوان در ماشین  انجام داد، برابر با یک و در غیر‌این‌صورت برابر با صفر است.

: هزینۀ ثابت MHE بین‌سلولی استفاده‌شده (یعنی هزینه استهلاک).

: هزینۀ ثابت MHE درون‌سلولی استفاده‌شده (یعنی هزینۀ استهلاک).

 

متغیرهای تصمیم

: تعداد ماشین‌های  تخصیص‌داده‌شده به هر سلول  در دورۀ .

: تعداد ماشین‌های  افزوده‌شده به هر سلول  در دورۀ .

: تعداد ماشین‌های خارج‌شده از هر سلول  در دورۀ .

: تعداد MHE تخصیص داده شده بین سلول‌ها در هر دورۀ .

: تعداد MHE تخصیص‌داده‌شده درون سلول  در دورۀ .

: تعداد MHE بین‌سلولی خریداری‌شده در دورۀ

: تعداد MHE بین‌سلولی فروخته‌شده در دورۀ .

: تعداد MHE درون‌سلولی خریداری‌شده در دورۀ  برای سلول .

: تعداد MHE درون‌سلولی فروخته‌‌شده در دورۀ  برای سلول

: تعداد قطعۀ نوع  تولید‌شده در دورۀ .

: در‌صورتی‌که  برابر با یک و درغیراین‌صورت صفر است.

: تعدد قطعات نوع  برون‌سپاری‌شده در دورۀ .

: سطح موجودی قطعۀ نوع  در پایان دورۀ .

: سطح سفارش معوق قطعۀ نوع  در پایان دورۀ .

: در‌صورتی‌که عملیات  قطعۀ نوع  روی ماشین نوع  در سلول  در دورۀ  انجام شود، برابر با 1 و در‌غیر‌این‌صورت برابر با صفر است.

 

مدل ریاضی: در این بخش، مدل ریاضی یکپارچه مسئلۀ درحال مطالعه ارائه می‌شود. با استفاده از شاخص‌های بالا، مدل پیشنهادی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

 

11

 

12

 

13

 

14

 

15

 

16

 

17

, ,  

 

تابع هدف مدل پیشنهادی متشکل از معادلات  است. معادلۀ  نشان‌دهندۀ هزینۀ ثابت ماشین‌ها در سیستم تولیدی است. این هزینه با مجموع حاصل‌ضرب تعداد ماشین‌های استفاده‌شده در دوره‌های زمانی و هزینۀ ثابت هر ماشین برابر است؛ درواقع این هزینه امکان تکرار ماشین اضافی را نداده است و به این ترتیب مدل را مجبور به حداکثر‌کردن عملکرد و بهره‌وری ماشین می‌کند. معادلۀ  به‌صورت مجموع هزینۀ متغیر ماشین‌ها است. هزینه‌های متغیر با مجموع حاصل‌ضرب حجم کار تخصیص‌داده‌شده به هر نوع ماشین در هر سلول و هزینۀ مربوطه به دست می‌آید. این هزینه‌ها موجب توازن و تعدیل حجم کارها برای هر نوع ماشین می‌شوند. معادلۀ  هزینه‌های ثابت استفاده از MHE بین‌سلولی است که برابر با حاصل‌ضرب مجموع تعداد MHS بین‌سلولی استفاده‌شده در همۀ دوره‌های زمانی و هزینۀ ثابت مربوطه است. معادلۀ  هزینۀ ثابت کل را برای MHE درون‌سلولی استفاده‌شده در همۀ سلول‌ها محاسبه می‌کند. معادلات  و  مجموع هزینه‌های متغیر به‌ترتیب برای MHE درون و بین‌سلولی هستند. این دو هزینه به‌صورت هزینه‌های جابه‌جایی مواد درون و بین‌سلولی کل در همۀ مقالات قبلی معرفی شده‌اند؛ زیرا هدف گنجاندن این توابع هدف حداقل‌کردن حرکات درون و بین‌سلولی قطعات بدون توجه به ظرفیت MHE بوده است. بااین‌حال هدف مدل این پژوهش تعادل و توازن حرکات درون و بین‌سلولی قطعات روی MHE درون و بین‌سلولی متفاوت استفاده‌شده در سیستم تولید است؛ درنتیجه آنها به‌صورت هزینۀ متغیر برای MHE بین‌سلولی در  و برای MHE درون‌سلولی در  با‌توجه‌به ظرفیت‌های MHE معرفی می‌‌شود. معادلۀ  هزینه‌های جابه‌جایی ماشین‌ها را محاسبه می‌کند. این مجموع تعداد ماشین‌های جابه‌جا‌شده ( افزوده‌شده یا خارج‌شده) و هزینۀ مربوطۀ آنها است. ضرایب 2/1 در معادله  در نظر گرفته شده است؛ زیرا حرکت قطعات درون و بین سلول و جابه‌جایی هر ماشین دوبار در محاسبات در نظر گرفته می‌شود. توصیف دقیق این ضرایب در مقالۀ صفایی و همکاران (2008) ارائه شده است (صفایی و هکاران، 2008). هزینه‌های خرید MHE درون‌سلولی در دوره‌های زمانی که مجموع حاصل‌ضرب تعداد MHE بین‌سلولی خریداری‌شده و قیمت هر MHE بین‌سلولی و هزینۀ خرید MHE درون‌سلولی در همۀ سلول‌ها در همۀ دوره‌های زمانی است. این نیز مجموع حاصل‌ضرب تعداد MHE درون‌سلولی خریداری‌شده برای همۀ سلول‌ها در همۀ دوره‌های زمانی است و به‌ترتیب در معادلات  و  نشان داده شده است. معادلات  و   درآمد و سود به‌دست‌آمده با فروش MHE درون و برون‌سلولی است؛ به همین دلیل آنها در تابع هدف دارای علامت منفی هستند. درواقع درآمد فروش حاصل از MHE بین‌سلولی برابر با مجموع MHE درون‌سلولی فروخته‌شده برای همۀ دوره‌های زمانی است و درآمدهای یکسان برای MHE درون‌سلولی نیز مجموع MHE درون‌سلولی فروخته‌شده در همۀ سلول‌ها برای همۀ دوره‌های زمانی است. معادلۀ  مجموع هزینه‌های برنامه‌ریزی تولید ازجمله هزینۀ حمل موجودی، هزینۀ تعویق سفارش و هزینه‌های برون‌سپاری را محاسبه می‌کند. نخستین معادله نشان‌دهندۀ مجموع حاصل‌ضرب سطح موجودی برای هر قطعه در پایان یک دورۀ زمانی و هزینۀ مرتبط است. همچنین دومین معادله به‌صورت مجموع حاصل‌ضرب سطح سفارش معوقه برای هر قطعه در پایان یک دورۀ معین و هزینۀ مربوطه و معادلۀ سوم مجموع حاصل‌ضرب تعداد قطعات برون‌سپاری‌شده و هزینۀ مربوطه است. با معادلۀ 2 اطمینان حاصل می‌شود که هرگونه عملیات مربوط به هر قطعه به یک ماشین و یک سلول در یک دورۀ زمانی تخصیص داده می‌شود؛ به‌خصوص اگر تعداد این قطعات تولید‌شده در یک دورۀ زمانی بزرگ‌تر از صفر باشد. معادلۀ 3 نشان می‌دهد از ظرفیت ماشین در هر سلول در هر دورۀ زمانی تجاوز نشده است و به این ترتیب تقاضا برآورده خواهد شد. معادله 3 و 5 موجب اطمینان از این می‌شود که زمان موجود برای MHE درون و بین‌سلولی از حد مجاز تجاوز نکرده است؛ به عبارت دیگر این دو قید نشان می‌دهند زمان کل هزینه‌شده برای حرکت بین‌سلولی قطعات تولید‌شده در هر دوره می‌تواند بیش از حاصل‌ضرب زمان موجود در هر دوره باشد و تعداد حرکات بین‌سلولی در این دوره علاوه بر زمان مصرف‌شده برای حرکت درون‌سلولی قطعات تولید‌شده در هر سلول می‌تواند بیش از حاصل‌ضرب زمان موجود در هر دوره و تعداد حرکات بین‌سلولی استفاده‌شده در هر سلول برای آن دوره باشد. با معادلۀ 6 اطمینان حاصل می‌شود که حداکثر اندازۀ سلول نقض نشده است؛ یعنی تعداد کل ماشین‌های استفاده‌شده در هر سلول در هر دورۀ زمانی باید کوچک‌تر مساوی حداکثر کران تعریف‌شده برای همۀ سلول‌ها باشد. در معادلۀ 7 کران بالاتر برای تعداد MHS بین‌سلولی در هر دوره تعیین می‌شود؛ درواقع این کران بالاتر، ظرفیت استفاده از MHE بین‌سلولی در میان سلول‌های تولید کننده است. از سوی دیگر معادلۀ 8 نشان می‌دهد از ظرفیت MHS درون‌سلولی در هر سلول تجاوز نشده است. با معادلۀ 9 که یک قید متعادل‌کننده برای ماشین‌ها است اطمینان حاصل می‌شود که تعداد ماشین‌ها در دورۀ جاری برابر با تعداد ماشین‌ها در دورۀ پیشین به‌علاوه تعداد ماشین‌های جابه‌جاشده و منهای تعداد ماشین‌های خارج‌شده است. معادلۀ 10 یک قید متوازن‌کننده برای MHE بین‌سلولی است. این معادله نشان می‌دهد، تعداد MHE بین‌سلولی استفاده‌شده در دورۀ جاری برابر با تعداد MHE بین‌سلولی استفاده‌شده در دورۀ پیشین علاوه بر تعداد MHE بین‌سلولی خریداری‌شده منهای تعداد MHE بین‌سلولی فروخته‌شده در دورۀ جاری است. معادلۀ 11 مشابه با معادلۀ 10 است؛ با‌این‌حال تنها تفاوت آنها در MHE درون‌سلولی است. این نشان می‌دهد، تعداد MHE درون‌سلولی استفاده‌شده در هر سلول برای دورۀ جاری برابر با تعداد MHE درون‌سلولی استفاده‌شده در یک سلول در دورۀ پیشین به‌علاوۀ تعداد MHE بین‌سلولی خریداری‌شده برای آن سلول منهای تعداد MHE درون‌سلولی فروخته‌شده برای آن سلول در دورۀ جاری است. معادلۀ 12 یک قید متوزان‌کنندۀ موجودی بین دوره‌ها برای هر نوع قطعه در هر دوره است؛ به عبارت دیگر سطح موجودی/ سفارش معوقه قطعه در پایان هر دوره برابر با سطح موجودی/ سفارش معوقه همان قطعه در پایان دورۀ پیشین منهای تعداد تولید در دورۀ جاری به‌علاوه تعداد تولید برون‌سپاری‌شده با در نظر گرفتن زمان انتظاری است که در دورۀ جاری منهای نرخ تقاضای قطعه در دورۀ جاری دریافت می‌شود. چون سطح موجودی و سفارش معوقه در هر دوره با علامت‌های مخالف نشان داده شده است و مدل‌ها به مدل خطی تبدیل می‌شوند، یکی از این متغیرها (متغیر سطح موجودی یا سفارش معوقه) می‌تواند در هر دوره بزرگ‌تر از صفر باشد و دیگری برابر با صفر خواهد بود. معادلات 13 و 14 نشان می‌دهند سطح موجودی یا سفارش معوقه در دورۀ گذشته برابر با صفر است. این دو قید به این دلیل در مدل قرار دارند که تقاضای کل همۀ انواع قطعات باید در طی افق برنامه‌ریزی برآورده شود. معادلۀ 15 نشان می‌دهد تعداد قطعات تولید‌شده در هر دوره می‌تواند بزرگ‌تر از صفر باشد؛ به‌خصوص اگر1 باشد، اگرچه اگر0  باشد، این مقدار برابر با صفر خواهد بود. معادلۀ 16 نشان می‌دهد، اگر 1 به‌ازاءِ هر قطعه در هر دوره باشد تعداد این قطعۀ تولید‌شدۀ در همان دوره باید بزرگ‌تر از صفر باشد. درنهایت مقادیر متغیرهای تصمیم با قیود موجود در معادلۀ 17 محدود می‌شوند.

خطیسازی مدل پیشنهادی: متاسفانه مدل ریاضی پیشنهادی شامل چندین متغیر غیرخطی است. در اینجا از روش خطی به‌کار‌رفته در مقالۀ صفایی و توکلی مقدم (2009) برای خطی‌سازی مدل پیشنهادی استفاده می‌شود. برای خطی‌سازی عبارت ، دو متغیر کمکی نظیر  و  نیاز است. در‌نتیجه جملۀ مطلق به‌صورت زیر تبدیل می‌شوند.

   

به‌علاوه قید (18) باید به‌صورت زیر به مدل افزوده شود.

18

 

برخلاف روش ذکرشده، معادلۀ 18 غیرخطی است؛ زیرا حاصل‌ضرب دو متغیر و  است. به همین منظور، در اینجا باید متغیر کمکی دیگری نظیر  به‌صورت زیر تعریف شود.

 

 

قیدهای (19) و (20) زیر باید به مدل اصلی افزوده شوند.

19

 

20

 

برای خطی‌سازی تابع قسمت صحیح[1] در جملۀ ، متغیر عدد صحیح  تعریف‌شده در جملۀ  و دو قید 22 و 23 به‌صورت زیر است.

   

21

 

22

 

مشابه با محاسبۀ بالا، برای خطی‌سازی جملۀ  دو متغیر کمکی  و  تعریف می‌شوند. جملۀ تبدیل‌شده یا ترانسفورم‌شده  به‌صورت زیر است.

   

که در آن باید قید زیر وارد مدل شود.

23

 

حال،  به‌صورت یک متغیر کمکی تعریف و در جملۀ زیر استفاده می‌شود.

   

که در آن قیدهای زیر به مدل اصلی افزوده می‌شوند.

24

 

25

 

درنهایت متغیر صحیح  تعریف و در جملۀ 1  با تابع قسمت صحیح به‌صورت زیر جایگزین می‌شود.

 

 

هم‌چنین قیود زیر باید به مدل افزوده شوند.

26

 

27

 

جملۀ  و معادلۀ 3 با تعریف  که متغیری کمکی است و دو قید زیر خطی می‌شوند.

   

28

 

29

 

30

 

خطی‌سازی معادلات 4 و 5 دقیقاً مشابه با جملات ,  است. درنهایت معادلات 4 و 5 به قیود 31 و 32 به‌صورت زیر تبدیل می‌شوند.

31

 

32

 

مدل خطی نهایی 1 به‌صورت زیر نوشته می‌شوند.

مدل 1:

33

( ) +  +  ( ) + +

 

Eq. (2), Eqs. (6)-(32), 

, , ,  

, , ,

 

بحث

مثال‌ها در این بخش برای تأیید عملکرد مدل پیشنهادی ارائه می‌شوند. برای کاهش پیچیدگی مدل پیشنهادی در بخش آخر، متغیرهای تصمیم ،  و  به‌صورت متغیرهای پیوسته و با‌توجه‌به ویژگی‌های آنها در مدل 1 در نظر گرفته می‌شود. درنتیجه امکان بازنویسی مدل دیگر موسوم به مدل 2 با کاهش متغیرهای ذکر‌شده به‌صورت زیر وجود دارد.

مدل 2:

34

 ( ) +  +  ( ) + +

35

Eq. (2), (6)-(16), Eqs. (18)-(32), 

,  

, , , ,

 

برای مشاهدۀ بهتر اثر MHE درون و بین‌سلولی روی راه‌حل‌های به‌دست‌آمده، مدل یکپارچه که برنامه‌ریزی تولید و DCMS را با حذف نقشMHE ها لحاظ می‌کند برای مدل 3 معرفی شده است. مدل 3 که مدل مقالۀ صفایی و همکاران (2008) است به‌صورت زیر است.

 

مدل 3:

36

 (1 ) +  +

 

Eq. (2), Eqs. (6), (9), (12)-(16), (18)-(32), (35).

در اینجا از مثال عددی موجود در مقالۀ صفایی و همکاران (2008) استفاده شده است. در این مثال فرض می‌شود سه نوع قطعه، سه نوع ماشین، حداکثر سه سلول و سه دوره وجود دارند که در آن هر نوع قطعه دارای سه عملیات است و باید به‌ترتیب پردازش شوند (صفایی و همکاران، 2008). به‌علاوه هر عملیات می‌تواند با دو ماشینِ جایگزین، انجام شود. سایر اطلاعات در جدول 1 نشان داده شده است. هر دو مدل 2 و 3 در نرم‌افزار GAMS 24.1.2 کدگذاری و روی یک سیستم شخصی مجهز به Intel (R) Core TM i7-2670QM CPU@2.2 GHz با رم 6 گیگ و ویندوز 7 اجرا شده است. تابع هدفِ بهینه و برنامۀ تولید برای مدل 3 (بدون توجه به نقش MHE) در جداول 2 و 3 نشان داده شده است.

 

جدول 1- اطلاعات مربوط به مثال عددی

اطلاعات ماشین

 

I1

I2

I3

       

1

2

3

1

2

3

1

2

3

450

1800

8

900

M1

93/0

55/0

 

64/0

48/0

 

71/0

 

89/0

450

1400

10

800

M2

 

91/0

56/0

89/0

39/0

76/0

 

77/0

 

450

2200

6

600

M3

89/0

 

45/0

 

 

79/0

85/0

62/0

87/0

 

 

دوره اول

 

800

 

 

950

 

 

450

دوره دوم

 

1000

 

 

0

 

 

300

دوره سوم

 

850

 

 

340

 

 

0

 

35

 

 

40

 

 

25

6

 

 

8

 

 

9

15

 

 

12

 

 

14

13

 

 

14

 

 

16

38

 

 

36

 

 

40

50

 

 

0

 

 

100

50

5

15/0

05/0

500

1

20000

5000

13500

3400

4

4

3

500

200

 

                                 

 

جدول 2- مقادیر بهینه تابع هدف برای مثال بدون MHE

 

هزینۀ ثابت ماشین

هزینۀ متغیر ماشین

هزینۀ جابه‌جایی بین‌سلولی

هزینۀ جابه‌جایی درون‌سلولی

هزینۀ پیکربندی مجدد

هزینۀ کسری، موجودی و برون‌سپاری

191391

43200

65176

6550

85

12700

63680

جدول 3- برنامه بهینۀ تولید برای مثال بدون MHE

 

t=1

 

t=2

 

t=3

I1

I2

I3

I1

I2

I3

I1

I2

I3

 

393

1027

598

1505

 

 

 

273

 

 

 

 

492

252

 

 

 

 

 

 

50*

27

100*

198

27

 

 

 

 

 

375

 

152

 

 

 

 

 

 

 

800

1000

850

950

0

340

450

300

0

* موجودی اولیه

 

به‌علاوه پیکربندی‌های سلولی بهینه برای سه دورۀ متناظر با راه‌حل بهینۀ مدل 3 در شکل 1 ( ) نشان داده شده‌اند؛ برای مثال در نخستین دوره (شکل 1. ) ماشین‌های 2M و 3M و قطعۀ نوع 1 به سلول 1، 1M و قطعۀ نوع 2 به سلول 2 و 3M و قطعۀ نوع 3 به سلول 3 تخصیص داده می‌شود. عدد نشان‌داده‌شده در دومین ستون تعداد ماشین‌های لازم است؛ برای مثال، سه 2M، یک 3M، چهار 1M و چهار 3M باید به‌ترتیب در سلول 1، 2 و 3 قرار ‌گیرند. هم‌چنین دو حرکت بین‌سلولی برای عملیات 2 از قطعۀ نوع 1 و 3 از قطعۀ نوع 2 در دورۀ نخست (شکل 1. ) وجود دارد.

همان‌طور‌که نشان داده شده است تشکیل سلول بهینه از مدل 3 متفاوت است؛ به عبارت دیگر با در نظر گرفتن نقش MHE در مدل یکپارچۀ DCFP و برنامه‌ریزی تولید، تشکیل سلول بهینه با برنامه‌ریزی تولید بهینه تغییر می‌کند.

 

a

 

C1

C2

C3

P1

P2

P3

C1

3

M2

3

3

 

1

M3

1

 

 

C2

4

M1

2

2و1

 

C3

4

M3

 

 

2و1

b

 

C1

P1

C1

2

M3

3

C2

4

M1

1

C3

4

M2

2

c

 

C3

P2

C3

1

M3

3

1

M2

2و1

a'

 

 

C1

C2

C3

P1

P2

P3

C1

1

M1

1

 

 

1

M2

2

1

 

2

M3

3

 

1

C2

4

M1

 

2

 

C3

2

M1

 

 

3

2

M3

 

3

2

               

 

b'

 

 

C1

P1

C1

4

M3

1

C2

3

M2

3

C3

3

M1

2

         

c'

 

 

C1

P2

C1

2

M2

1,2,3

         

 

شکل 1- پیکربندی بهینه برای مدل بدون MHE در ( ) و برای مدل با MHE در ( )  

با در نظر گرفتن اطلاعات ارائه‌شده درخصوص MHE درون و بین‌سلولی در جدول 2 تابع هدف بهینه و برنامۀ تولید برای مدل 2 در جداول 4 و 5 نشان داده شده‌ است.

در این حالت، پیکربندی‌های سلولی بهینه در شکل 1 ( ) نشان داده شده‌ است. هما‌ن‌طورکه در جدول 5 مشاهده می‌شود، در نظر گرفتن MHE درون و بین‌سلولی در یک DCMS برنامه‌ریزی تولید یکپارچه اثر معنی‌داری روی هزینه، برنامه‌های تولید و پیکربندی سلول‌ها در مقایسه با جدول 3 و شکل 1 ( ) دارد. با‌توجه‌به نتایج به‌دست‌آمده، ارزش تابع بهینه بدون MHE و با MHE به‌ترتیب 191391 و 202560 است. با‌این‌حال این دو مقدار مشابه و مقایسه‌پذیر نیستند؛ زیرا هزینه‌های ثابت برای MHE در مدل 3 در نظر گرفته نشده است. برای مقایسۀ این دو مقدار باید هزینۀ محاسبه‌شده برای استفاده از MHE در مدل بدون MHE در نظر گرفته شود. این مقدار در رابطۀ 37 محاسبه شده است.

37

 

به عبارت دیگر هزینۀ کل برای مدل بدون MHE برابر است با (218193=26800+191391). همان‌طوکه مشاهده می‌شود هزینه‌ها با مدیریت MHE کاهش داده می‌شود. فرض اساسی برای محاسبۀ این فرمول این است که MHE لازم برای انتقال محصولات در دورۀ نخست حاصل می‌شود. در برنامه‌ریزی تولید، مجموع قطعات تولیدشده بدون مدل MHE برابر با 3796 است؛ درحالی‌که با مدل MHE برابر با 3773 است؛ یعنی بدون MHE،23=3773-3796 نوع قطعه کمتر از مدل MHE تولید می‌شود؛ زیرا ارائۀ این 23 نوع قطعه با برون‌سپاری به‌صرفه‌تر است.

 

جدول 4- مقادیر بهینۀ تابع هدف برای مثال با در نظر گرفتن MHE

 

هزینۀ ثابت ماشین

هزینۀ متغیر ماشین

هزینۀ ثابت MHE بین‌سلولی

هزینۀ ثابت MHE درون‌سلولی

هزینۀ متغیر MHE بین‌سلولی

هزینۀ متغیر MHE درون‌سلولی

202560

44000

60477

400

50

8250

310

هزینۀ پیکربندی مجدد

هزینۀ خرید MHE بین‌سلولی

هزینۀ خرید MHE درون‌سلولی

هزینۀ فروش MHE بین‌سلولی

هزینۀ فروش MHE درون‌سلولی

هزینۀ تعویق، موجودی و برون‌سپاری

 

14800

20000

5000

13500

3400

661733

 

جدول 5- برنامۀ بهینه تولید برای مثال با در نظر گرفتن MHE

 

t=1

 

t=2

 

t=3

I1

I2

I3

I1

I2

I3

I1

I2

I3

 

376

774

750

1573

 

 

 

300

 

 

 

226

340

201

 

 

 

 

 

 

50*

 

100*

249

 

 

 

 

 

 

374

226

 

 

 

 

 

 

 

 

800

1000

850

950

0

340

450

300

0

* موجودی اولیه

برای این مثال جدول 6 و 7 نشان‌دهندۀ تعداد MHE استفاده‌شده، خریداری‌شده و فروخته‌شده برای MHE درون و بین‌سلولی در کل افق زمانی است. همان‌طورکه مشاهده می‌شود تغییر تعداد MHE در سیستم موجب بهبود کارایی سیستم تولید می‌شود.

 

جدول 6- تعداد بهینۀ MHE بین‌سلولی استفاده، خریده و فروخته‌شده

MHE بین‌سلولی

دوره

اول

دوم

سوم

MHE استفاده‌شده

2

1

1

MHE خریداری‌شده

2

0

0

MHE فروخته‌شده

0

1

0

 

جدول 7- تعداد بهینۀ MHE درون‌سلولی استفاده، خریده و فروخته‌شده در سلول‌های مختلف

MHE درون‌سلولی

دوره

نخست

دوم

سوم

MHE استفاده‌شده

سلول1

سلول2

سلول3

سلول1

سلول2

سلول3

سلول1

سلول2

سلول3

MHE خریداری‌شده

1

1

2

1

1

1

0

0

2

MHE فروخته‌شده

2

1

2

0

0

0

0

0

1

MHE بین‌سلولی

0

0

0

1

0

1

1

1

0

 

نتیجهگیری

این مقاله مدل یکپارچۀ مسئلۀ تشکیل سلول پویا (DCFP) و برنامه‌ریزی تولید را با در نظر گرفتن نقش وسایل جابه‌جایی مواد (MHE) بررسی کرد. در این پژوهش یک الگوریتم برنامه‌ریزی عدد صحیح مختلط تدوین و سپس با افزودن چندین متغیر و قیود، خطی شد. برای مشاهدۀ اثر MHE روی راه‌حل‌های مدل، یک مثال ارائه شده است. با مقایسۀ بین عملکرد مدل با و بدون MHE، اثر آنها نشان داده شد که نتیجه می‌شود مدیریت MHE می‌تواند یک راه‌حل را با هزینه‌های کمتر پیدا کند. به‌علاوه استنباط می‌شود برنامه‌ریزی تولید بهینه با در نظر گرفتن MHE در سیستم تولیدی تغییر می‌یابد. مدل پیشنهادی با روش CPLEX در نرم‌افزار GAMS حل شد. درنهایت پیشنهاد می‌شود در پژوهش‌های آینده نقش MHE در DCFP، DCFP تلفیق‌شده با سایر مسائل نظیر گمارش کارگر، چیدمان گروه و زمان‌بندی، در نظرگرفتن پارامترهایی که در مدل ریاضی دارای عدم قطعیت هستند و بررسی برخی از MHE‌های خاص نظیر وسایل نقلیۀ هدایت‌شدۀ اتوماتیک در نظر گرفته شود.



[1] integer part function



[i]- Cellular manufacturing system

[ii]- Group Technology

[iii]- Wemmerlöv

[iv]- Hyer

[v]- Cell Formation Problem

[vi]- Dynamic cellular manufacturing system

[vii]- Rheault

[viii]- Bulgak

[ix]- Bektas

[x]- Balakrishnan

[xi]- Hung Cheng

[xii]- Defersha

[xiii]- Chen

[xiv]- Wang

[xv]- Saxena

[xvi]- Jain

Aryanezhad, M. B., Deljoo, V., & Mirzapour Al-E-Hashem, S. M. J. (2009). "Dynamic cell formation and the worker assignment problem: A new model". International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 41(3–4), 329–342.

Arzi, Y., Bukchin, J., & Masin, M. (2001). "An efficiency frontier approach for the design of cellular manufacturing systems in a lumpy demand environment". European Journal of Operational Research, 134(2), 346–364.

Bagheri, M., & Bashiri, M. (2014). "A new mathematical model towards the integration of cell formation with operator assignment and inter-cell layout problems". Applied Mathematical Modelling, 38(4), 1237–1254.

Bajestani, M. A., Rabbani, M., Rahimi-Vahed, A. R., & Khoshkhou, G. B. (2009). "A multi-objective scatter search for a dynamic cell formation problem". Computers & Operations Research, 36(3), 777–794.

Balakrishnan, J., & Hung Cheng, C. (2005). "Dynamic cellular manufacturing under multiperiod planning horizons". Journal of Manufacturing Technology Management, 16(5), 516–530.

Bulgak, A. A., & Bektas, T. (2009). "Integrated cellular manufacturing systems design with production planning and dynamic system reconfiguration". European Journal of Operational Research, 192(2), 414–428.

Defersha, F. M., & Chen, M. (2006). "A comprehensive mathematical model for the design of cellular manufacturing" systems. International Journal of Production Economics, 103(2), 767–783.

Defersha, F. M., & Chen, M. (2006). "Machine cell formation using a mathematical model and a genetic-algorithm-based heuristic". International Journal of Production Research, 44(12), 2421–2444.

Ghotboddini, M. M., Rabbani, M., & Rahimian, H. (2011). "A comprehensive dynamic cell formation design: Benders’ decomposition approach". Expert Systems with Applications, 38(3), 2478–2488.

Javadian, N., Aghajani, A., Rezaeian, J., & Sebdani, M. J. G. (2011). "A multi-objective integrated cellular manufacturing systems design with dynamic system reconfiguration". The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 56(1–4), 307–317.

Kia, R., Baboli, A., Javadian, N., Tavakkoli-Moghaddam, R., Kazemi, M., & Khorrami, J. (2012). "Solving a group layout design model of a dynamic cellular manufacturing system with alternative process routings, lot splitting and flexible reconfiguration by simulated annealing". Computers & Operations Research, 39(11), 2642–2658.

Mahdavi, I., Aalaei, A., Paydar, M. M., & Solimanpur, M. (2010). "Designing a mathematical model for dynamic cellular manufacturing systems considering production planning and worker assignment". Computers & Mathematics with Applications, 60(4), 1014–1025.

Niakan, F., Baboli, A., Moyaux, T., & Botta-Genoulaz, V. (2016). "A new multi-objective mathematical model for dynamic cell formation under demand and cost uncertainty considering social criteria". Applied Mathematical Modelling, 40(4), 2674–2691.

Rheault, M., Drolet, J. R., & Abdulnour, G. (1996). "Dynamic cellular manufacturing system (DCMS)". Computers & Industrial Engineering, 31(1), 143–146.

Safaei, N., Saidi-Mehrabad, M., & Jabal-Ameli, M. S. (2008). "A hybrid simulated annealing for solving an extended model of dynamic cellular manufacturing system". European Journal of Operational Research, 185(2), 563–592.

Safaei, N., Saidi-Mehrabad, M., Tavakkoli-Moghaddam, R., & Sassani, F. (2008). "A fuzzy programming approach for a cell formation problem with dynamic and uncertain conditions". Fuzzy Sets and Systems, 159(2), 215–236.

Safaei, N., & Tavakkoli-Moghaddam, R. (2009). "Integrated cell formation and subcontracting production planning in dynamic cellular manufacturing systems". International Journal of Production Economics, 120(2), 301–314.

Saidi-Mehrabad, M., & Safaei, N. (2007). "A new model of dynamic cell formation by a neural approach". International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 33(9–10), 1001–1009.

Sakhaii, M., Tavakkoli-Moghaddam, R., Bagheri, M., & Vatani, B. (2013). "A robust optimization approach for an integrated dynamic cellular manufacturing system and production planning with unreliable machines". Applied Mathematical Modelling, 40(1), 169–191.

Saxena, L. K., & Jain, P. K. (2011). "Dynamic cellular manufacturing systems design—a comprehensive model". The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 53, 11–34.

Saxena, L. K., & Jain, P. K. (2012). "An integrated model of dynamic cellular manufacturing and supply chain system design". The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 62(1–4), 385–404.

Tavakkoli-Moghaddam, R., Aryanezhad, M.-B., Safaei, N., & Azaron, A. (2005). "Solving a dynamic cell formation problem using metaheuristics". Applied Mathematics and Computation, 170(2), 761–780.

Tavakkoli-Moghaddam, R., Safaei, N., & Babakhani, M. (2005). "Solving a dynamic cell formation problem with machine cost and alternative process plan by memetic algorithms". Lecture Notes in Computer Science (Including Subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics), 3777 LNCS, 213–227.

Wang, X., Tang, J., & Yung, K. (2009). "Optimization of the multi-objective dynamic cell formation problem using a scatter search approach". The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 44(3–4), 318–329.

Wemmerlöv, U., & Hyer, N. L. (1987). "Research issues in cellular manufacturing". International Journal of Production Research, 25(3), 413–431.

Zohrevand, A. M., Rafiei, H., & Zohrevand, A. H. (2016). "Multi-objective dynamic cell formation problem: A stochastic programming approach". Computers & Industrial Engineering, 98, 323-332.