1- مقدمه

در جهان امروزی، تغییرات سریع اقتصادی و فشار رقابتی فزاینده بازار، شرکت­ها را ملزم می­کند که روی لجستیک یکپارچه و زنجیره تأمین تمرکز کرده و به آن روی آورند. یک شبکه زنجیره تأمین دارای ساختار مناسب مزیت رقابتی را برای شرکت­ها فراهم و آن­ها را در کنترل آشفتگی­های فزاینده محیطی یاری می­کند (دالرت¹ و همکاران، 2007). مبحث بهینه­سازی جریان مواد در شبکه یکی از مهمترین و با ارزش­ترین مباحث در زنجیره تأمین است، بگونه‏ای که اگر توجه کافی در این زمینه صورت گیرد، منافع زیادی را برای شرکت به دنبال خواهد داشت. ماهیت پیچیده و پویای زنجیره تأمین درجه بالایی از عدم قطعیت را بر تصمیمات برنامه­ریزی زنجیره تأمین تحمیل می­کند و بگونه­ای قابل توجه بر عملکرد کل زنجیره اثر می­گذارد (کلیبی² و همکاران، 2010). عدم قطعیت به دو صورت می­تواند بیان گردد: (1) انعطاف­پذیری³ در محدودیت­ها و اهداف و (2) عدم قطعیت در داده­ها (پیشوایی و ترابی⁴، 2010). انعطاف­پذیری با مقدار منعطفی از اهداف و محدودیت­هایی مرتبط است که با استفاده از مجموعه‏های فازی مدل شده است (بلمن و زاده⁵، 1970). برای مقابله با این نوع عدم قطعیت، از مدل‏های برنامه­ریزی ریاضی منعطف⁶ استفاده می‏شود. عدم قطعیت در داده­ها می­تواند به دو دسته تقسیم شود:

1)            تصادفی بودن⁷ پارامترهای مدل که از ماهیت تصادفی رخدادها ناشی می­شود و با عدم قطعیت مرتبط با عضویت یا عدم عضویت عناصر در یک مجموعه مقابله می­کند. در حالت قطعی یک عضو یا متعلق به یک مجموعه مشخص است و یا نه (مولا⁸ و همکاران، 2006)، در حالیکه در شرایط عدم قطعیت، عضویت و یا عدم عضویت در یک مجموعه مشخص کاملاً متفاوت با حالت قطعی است و از یک مقدار عددی به نام درجه عضویت که عددی در بازه ]1،0[ است استفاده می­شود. برای مدل کردن این نوع عدم قطعیت از رویکردهای برنامه­ریزی احتمالی⁹ استفاده می­شود. (برای نمونه به ال­سید¹⁰ و همکاران (2010) مراجعه شود)

2)عدم قطعیت شناختی¹¹ که به کمبود دانش در ارتباط با پارامترهای مدل می­پردازد و برای مقابله با این نوع عدم قطعیت از رویکرد برنامه­ریزی امکانی¹² استفاده می­شود. (برای نمونه به پیشوایی و ترابی (2010) مراجعه شود)

اکثر محققان برنامه­ریزی زنجیره تأمین با استفاده از توزیع­های احتمالی، عدم قطعیت­های موجود در زنجیره تأمین را مدل می­کنند که این توزیع­ها معمولاً از داده­های گذشته استفاده می­کنند. از آنجاییکه داده‏های آماری گذشته قابل اطمینان و یا همواره در دسترس نیستند، لذا مدل­های احتمالی ممکن است بهترین انتخاب نباشد (وانگ و لیانگ¹³، 2005). تئوری مجموعه­های فازی و تئوری امکانی می­تواند گزینه­های مناسبتری نسبت به تئوری احتمالی برای مقابله با عدم قطعیت­های زنجیره تأمین باشد که البته آن­ها بسیار ساده­تر بوده و همچنین، به داده­های کمتری نیاز دارد (دوبویس و همکاران¹⁴، 2003). بایکاسوگلو و گوکن¹⁵ (2008) یک طبقه­بندی از مسائل برنامه­ریزی ریاضی فازی ارایه کرده­اند، به‏گونه‏ای که آن­ها 15 نوع مختلف از مدل­های برنامه‏ریزی ریاضی فازی را شناسایی و برای هر نوع، رویکردهای حل مختلفی را نیز ارایه نموده­اند.

از وظایف اصلی برنامه­ریزی زنجیره تأمین تعیین مقادیر خرید، تولید و توزیع برای تسهیلات واقع در سطوح مختلف شبکه زنجیره در دوره زمانی میان‏مدت است. در گذشته، یا این فعالیت­ها به صورت مستقل انجام می­گرفت و یا منجر به موجودی­های زیاد و عملکرد سراسری بسیار ضعیف می­شد (ترابی و هسینی¹⁶، 2008). پژوهش­های مختلفی به مسأله طراحی شبکه زنجیره تأمین پرداخته­اند که در این مقاله برای بررسی آن­ها، ابتدا پنج معیار اصلی "تعریف مسأله و مفروضات"، "محدودیت­ها"، "خروجی­ها"، "اهداف" و "روش حل" در نظر گرفته شده که هر یک از این معیارهای اصلی خود شامل چندین معیار فرعی هستند. جدول 1 این معیارها و همچنین یک سیستم کدگذاری برای آن­ها را ارائه می­دهد (معیارها استخراج شده مبتنی بر (فراهانی و الهی پناه¹⁷، 2008) و همچنین، بررسی‏های نویسنده است). در ادامه، تحقیقات بررسی شده گذشته بر اساس این سیستم در جدول 2 کدگذاری شده است.

با توجه به دانش ما نسبت به تحقیقات انجام شده در زمینه طراحی شبکه زنجیره تأمین و همچنین، بررسی مقالات ذکر شده در جدول 2 مشاهده می‏شود که در زمینه طراحی شبکه زنجیره تأمین تحقیقات کمی وجود دارد که به طور  همزمان سه عامل هزینه، زمان و کیفیت را مدلسازی کرده باشد، بگونه‏ای که برای عامل هزینه از مفاهیم هزینه­گذاری مبتنی بر فعالیت¹⁸ (ABC) و هزینه مالکیت کل¹⁹ (TCO) استفاده کرده باشد، برای عامل زمان، تولید به هنگام²⁰ (JIT) را لحاظ کرده باشد و برای عامل کیفیت، یک مقدار حداقلی کیفیت را برای مواد اولیه تحویلی در نظر گرفته باشد. همچنین، در مدل برای انتقال مواد بین تسهیلات مختلف کانال­های متنوعی وجود داشته باشد. چند کالایی، چند سطحی، چند دوره­ای و چند هدفه بودن از مهمترین ویژگی­های مسائل زنجیره تأمین واقعی است که در اکثر مدل­های قبلی برای سادگی کار بعضی از آن­ها نادیده گرفته شده است، در حالیکه همه این ویژگی­ها در مدل تحقیق حاضر گنجانده شده است. مدل حاضر، برخلاف اکثر مدل­های قبلی، مقادیر زودکرد و دیرکرد کالاهای تحویلی را محاسبه کرده و سعی بر کمینه کردن آن نیز دارد. از آنجاییکه عدم قطعیت پارامترهای استفاده شده در مسأله از نوع عدم قطعیت شناختی است، لذا برای مدل کردن مسأله از رویکرد برنامه­ریزی امکانی استفاده شده است. با توجه به مباحث فوق، ویژگی­های مقاله حاضر در جدول(3)  کدگذاری شده است.

هدف اصلی این مقاله تعیین مقادیر بهینه تهیه، تولید و توزیع برای تسهیلات واقع در رده­های مختلف زنجیره تأمین (چندین تأمین­کننده مواد اولیه، یک تولیدکننده، چندین مرکز توزیع و چندین خرده‏فروش) در سطوح تاکتیکی و استراتژیک (مربوط به انتخاب تأمین­کننده) است که با استفاده از مجموعه­های فازی عدم قطعیت­های موجود در آن مدل می­شود.

از آنجایی که هر سه قسمت تأمین، تولید و توزیع به طور همزمان در مدل لحاظ شده است، لذا بهینگی تصمیمات هر بخش به طور همزمان (و نه به طور  مجزا) و با در نظر گرفتن تصمیمات بخش­های دیگر  بررسی شد.

ادامه مقاله به صورت زیر سازماندهی شده است. در بخش دوم مقاله، مسأله مورد نظر تعریف و مدل آن ارایه می­گردد. در بخش سوم، رویکرد حل مسأله تشریح شده و به منظور بررسی اعتبار و کارایی مدل و روش حل، یک مثال عددی در بخش چهارم ارایه و سپس با استفاده از رویکرد مذکور حل شده است. در بخش پنجم، نتایج تحقیق بیان و سپس پیشنهاداتی برای تحقیقات آتی ارایه می­گردد. در انتها منابع و مراجع استفاده شده ذکر می­گردد.

2- تعریف مسأله و مدل‏سازی

از آنجایی‏که زنجیره تأمین عمدتاً ساختار شبکه­ای دارد، این مقاله سعی بر آن دارد تا یک مدل برنامه‏ریزی خطی عدد صحیح مختلط امکانی برای طراحی شبکه زنجیره تأمین چند کالایی، چند رده­ای و چند دوره­ای در سه بخش تهیه، تولید و توزیع ارایه دهد. مدل فوق برای تعیین مقادیر تهیه، تولید و توزیع برای تسهیلات در رده­های مختلف زنجیره تأمین در سطوح تاکتیکی و استراتژیک  بکار می­رود. مسأله مورد نظر که در شکل 1 نیز نشان داده شده است، دارای چندین تأمین­کننده مواد اولیه، یک تولیدکننده، چندین مرکز توزیع و چندین خرده­فروش است. شبکه مذکور مبتنی بر شبکه انتقال مواد یک کارخانه تولیدی محصولات غذایی است که با استفاده از مجموعه­های فازی عدم قطعیت­های موجود در آن مدل می­گردد.

در  این  تحقیق،  به منظور محاسبه هزینه­های بخش تأمین مواد اولیه، از مفاهیم ABC و TCO استفاده شده است.ABC  یکی از ابزارهای مؤثر هزینه­یابی است که به طور  گسترده در صنایع مختلف   استفاده می‏شود و ابزار مناسبی برای مدل‏سازی برنامه­ریزی ریاضی در قسمت خرید است. از این‏رو هزینه­های قسمت تأمین در سه سطح در نظر گرفته می­شود که آن سه سطح عبارتند از: (1) سطح تأمین‏کننده، (2) سطح سفارش و (3) سطح واحد (دگریو و رودهوفت³⁷، 2000). سطح اول، شامل هزینه­ها و شرایطی می­شود که شرکت خریدار عملاً تأمین‏کننده‏ای را در طی افق برنامه­ریزی انتخاب نماید. نمونه­هایی از هزینه­های این سطح شامل هزینه­های ممیزی کیفیت که توسط خریدار برای ارزیابی یک تأمین­کننده تحمیل می­شود و نیز هزینه‏های تحقیق و توسعه اضافی به واسطه به کارگیری یک تأمین­کننده خاص است. پارامترهای سطح سفارش شامل هزینه­ها و شرایطی می­شود که هر زمان یک سفارش توسط تأمین­کننده­ای خاص پاسخ داده می­شود، مانند هزینه­های مرتبط با پذیرش، صورتحساب، حمل و نقل، سفارش­دهی. سطح واحد شامل هزینه­ها و شرایط مرتبط با واحدهای محصولاتی می­شود که برای آن تصمیمات خرید انجام می­گیرد، برای مثال قیمت، خطای درونی (مثلاً به واسطه مسائل کیفی)، خطای بیرونی، هزینه­های نگهداری موجودی. در قسمت توزیع محصولات نهایی، دو رویکرد لحاظ می­گردد: (1) ارسال مستقیم از تولیدکننده به بخش خرده­فروشان و (2) ارسال از تولیدکننده به بخش خرده­فروشان از طریق مراکز توزیع که رویکرد دوم شامل هزینه­های انبارداری در بخش عمده­فروشان است. در این بخش ابتدا مجموعه­ها، اندیس­ها، پارامترها و متغیرهای مسأله بیان و سپس مدل ریاضی مسأله ارایه می­گردد.

2-1- مجموعه­ ها و اندیس ­ها

k: اندیس خرده­فروشان، (k=1,2,…,K)

j: اندیس مراکز توزیع، (j=1,2,…,J)

l: اندیس روش حمل، (l=1,2,…,L)

r: اندیس مواد اولیه، (r=1,2,…,R)

p: اندیس محصولات، (p=1,2,…,P)

t,h: اندیس دوره­ها، (t,h=1,2,…,T)

s: اندیس تأمین­کنندگان، (s=1,2,…,S)

2-2- پارامترها و متغیرها

پارامترها:

   هزینه کل متناظر با انتخاب تأمین‏کننده s در کل دوره برنامه‏ریزی (هزینه سطح تأمین‏کننده).

   هزینه کل متناظر با تخصیص سفارشی به عرضه­کننده s در دوره t (هزینه سطح سفارش).

  هزینه هر واحد ماده اولیه r که در دوره t از عرضه­کننده s خریداری می­شود.

هزینه­های اضافی سطح واحد از ماده اولیه r که در دوره t از عرضه­کننده s خریداری می­شود.

   هزینه نگهداری هر واحد ماده اولیه r در قسمت تولیدکننده.

   هزینه نگهداری هر واحد محصول p در قسمت تولیدکننده.

       هزینه تولید هر واحد محصول p در دوره t.

   هزینه انتقال هر واحد محصول p با روش l از تولیدکننده به مرکز توزیع j.

   هزینه انتقال هر واحد محصول p با روش l از تولیدکننده به خرده فروش k.

  هزینه انتقال هر واحد محصول p با روش l از مرکز توزیع j به خرده فروش k.

   هزینه نگهداری هر واحد محصول p در قسمت مرکز توزیع j.

   هزینه نگهداری هر واحد محصول p در قسمت خرده فروش k.

   مقدار ماده اولیه r مورد نیاز برای تولید یک واحد محصول p.

  مقدار تقاضا محصول p توسط خرده­فروش k در دوره t.

   ظرفیت دریافت کالای مرکز توزیع j در دوره t.

  ظرفیت دریافت کالای خرده­فروش k در دوره t.

   ظرفیت نگهداری محصول p در مرکز توزیع j در دوره t.

 حداکثر ظرفیت نگهداری خرده­فروش k برای کالای p در دوره t.

   حداکثر مقدار مجاز برای کمبود کالایp  در خرده­فروشk  در دوره t.

   ظرفیت نگهداری مواد اولیه r در قسمت تولیدکننده در دوره t.

   ظرفیت نگهداری محصول p در قسمت تولیدکننده در دوره t.

   نرخ متوسط خرابی ماده اولیه r عرضه شده توسط تأمین­کننده s.

   نرخ قابل قبول خرابی برای ماده اولیه r از نظر تولیدکننده.

   سطح متوسط خدمت­رسانی (درصدی از تحویل­های به­موقع) تأمین­کننده s.

    سطح قابل قبول خدمت­رسانی از نظر تولیدکننده.

 حداکثر مقدار مجاز برای .

متغیرها:

     متغیر صفر و یک نشان­دهنده استفاده از تأمین­کننده s در کل دوره.

    متغیر صفر و یک نشان­دهنده استفاده از تأمین­کننده s در دوره t.

   مقدار خریداری شده از ماده اولیه r از تأمین­کننده s در دوره t.

   مقدار موجودی ماده اولیه r در قسمت تولیدکننده در دوره t.

   مقدار موجودی محصول p در قسمت تولیدکننده در دوره t.

  مقدار محصول p که با روش حمل l در دوره t از قسمت تولیدکننده به مرکز توزیع j انتقال می­یابد.

  مقدار محصول p که در دوره t با روش حمل l از قسمت تولیدکننده به خرده­فروش k انتقال می­یابد.

  مقدار محصول p که در دوره t با روش حمل l از مرکز توزیع j به خرده­فروش k انتقال می­یابد.

مقدار مازاد کالای p تحویل داده شده به خرده­فروش k در دوره t.

  مقدار کمبود کالای p تحویل داده شده به خرده­فروش k در دوره t.

   متغیر صفر و یک که نشان­دهنده مازاد یا کمبود کالای p تحویل داده شده به خرده­فروش k در دوره t است.

  مقدار تولید محصول p در دوره t.

2-3- مفروضات مسأله

مفروضات زیر برای مدل‏سازی مسأله در نظر گرفته شده است:

-         فاصله بین تسهیلات مختلف به گونه­ای است که از زمان بین ارسال سفارش تا دریافت کالا صرفنظر شده است (یعنی کالاهای سفارش داده شده در هر دوره، در همان دوره (و نه در دوره­های بعدی) در اختیار سفارش دهنده قرار می­گیرد).

-         هزینه­های استفاده شده در این مسأله همگی از نوع خطی هستند.

-         برای نمایش پارامترهای غیرقطعی مسأله از اعداد فازی مثلثی استفاده شده است.

-         کالاهای مختلف با استفاده از مکانیزم کششی و به صورت رو به جلو در طول شبکه جریان دارند.

-         مکان­های تسهیلات ثابت و از پیش تعیین شده هستند.

2-4- مدل ریاضی مسأله

مدل‏سازی ریاضی مسأله مورد نظر به صورت زیر ارایه می­گردد:

در تابع هدف Z₁، عبارت اول هزینه­های سطح تأمین­کننده، عبارت دوم هزینه­های سطح سفارش و عبارت­های سوم و چهارم هزینه­های سطح واحد را نشان می­دهد. عبارت پنجم هزینه­های قسمت تولیدکننده را نشان می­دهد، بگونه­ای که این هزینه­ها شامل هزینه­های تولید و انبارداری محصولات است. عبارت­های ششم و هفتم و هشتم هزینه­های جابجایی محصولات را بین تسهیلات مختلف را نشان می­دهد. دو عبارت آخر هم به ترتیب هزینه­های نگهداری موجودی را در دو بخش خرده­فروش و مرکز توزیع نشان می­دهد. البته این نکته باید ذکر گردد که در حالت طبیعی در قسمت خرده­فروشی­ها موجودی وجود ندارد و موجودی­های این بخش شامل محصولات مازاد تحویل داده شده به این بخش­ها است. تابع هدف Z₂ تحویل به موقع را نشان می­دهد، بگونه­ای که مجموع کمبود و مازاد کالای p تحویلی را در قسمت خرده­فروشان در همه دوره­ها کمینه می­کند. محدودیت­های (3) و (4) به ترتیب محدودیت تعادل مواد اولیه و محصولات ساخته شده را در قسمت تولیدکننده نشان می­دهد. محدودیت (5) تضمین می­کند که مقدار کل کالاهای سفارش داده شده در هر دوره نباید از ظرفیت آن دوره تجاوز کند. محدودیت (6) تعادل بین کالاهای وارد شده به مراکز توزیع و نیز کالاهای خارج شده از آن را در کل دوره برنامه­ریزی تنظیم می­کند و به عبارتی دیگر بیانگر این مطلب است که موجودی مراکز توزیع در پایان افق برنامه­ریزی برابر صفر است. محدودیت (7) تضمین می­کند که کل تقاضا در پایان افق زمانی برآورده خواهد شد. محدودیت (8) نشان می­دهد که اختلاف بین کالاهای وارد شده به هر مرکز توزیع و کالاهای خارج شده از آن نباید از ظرفیت آن مرکز تجاوز کند. محدودیت (9) تضمین می­کند که مقدار کالای خارج شده از هر مرکز نباید از موجودی آن مرکز تجاوز کند. محدودیت­های (10) و (11) به ترتیب، ظرفیت تحویل گرفتن کالا را در هر دوره برای مراکز توزیع و خرده­فروشان نشان می­دهد. محدودیت (12) مقدار کمبود یا مازاد کالای تحویل داده شده به خرده­فروشان را در هر دوره نشان می‏دهد. محدودیت­های (13) و (14) نشان می­دهد که در هر دوره فقط یک حالت کمبود یا مازاد کالای تحویلی می­تواند اتفاق بیافتد و به عبارت دیگر مقدار هر دوی آن­ها همزمان مثبت نخواهد بود. همچنین، این محدودیت­ها حداکثر مقدار مجاز برای کمبود و مازاد کالا در هر دوره را مشخص می­کند. محدودیت­های (15) و (16) به ترتیب، ظرفیت انبار را برای مواد اولیه و محصولات در قسمت تولیدکننده در هر دوره نشان می­دهد. محدودیت (17) شرط کیفیت را در مواد اولیه خریداری شده از تأمین­کنندگان برقرار می­سازد. محدودیت (18) مربوط به محدودیت تحویل به موقع مواد اولیه از تأمین­کنندگان به کارخانه است. محدودیت (19) مربوط به حداکثر مقدار خرید مواد اولیه است. محدودیت­های (20) و (21) محدودیت­های تمامیت³⁸ بوده و جزء محدودیت­های ساختاری مسأله می­باشند. محدودیت­های (22) و (23) نوع و دامنه متغیرهای به کار رفته در مسأله را مشخص می‏کند. 

3- روش حل پیشنهادی

همان‏طور که در مدل اصلی مسأله مشاهده می‏شود، اکثر پارامترهای مدل از نوع فازی هستند که آن شامل پارامترهای تابع هدف، مقادیر سمت راست و ضرایب تکنولوژیکی است، در حالیکه محدودیت‏ها، توابع هدف و متغیرهای مسأله قطعی هستند. برای حل مدل ارایه شده در این مقاله از یک رویکرد دو مرحله­ای استفاده شده است. در مرحله اول، مدل فازی اولیه به یک مدل قطعی کمکی معادل تبدیل می­شود. در مرحله دوم از یک روش فازی برای به دست آوردن جواب توافقی نهایی ترجیح داده شده استفاده می­شود.

3-1- مدل قطعی معادل

در اینجا برای تبدیل مدل­ امکانی مسأله که شامل ضرایب غیردقیق هم در تابع هدف و هم در محدودیت­ها است، به مدل قطعی معادل از روش خیمنز و همکاران³⁹ (2007) استفاده شده است. روش مذکور از لحاظ محاسباتی بسیار کارامد است، زیرا خاصیت خطی بودن را حفظ می­کند و همچنین، تعداد توابع هدف و محدودیت­های نامساوی را افزایش نمی­دهد. به سبب کارایی محاسباتی و سادگی در کسب داده­ها، از توزیع فازی مثلثاتی برای مدل کردن ماهیت غیردقیق پارامترهای مبهم مسأله استفاده می­شود. فرض کنید که  یک عدد فازی مثلثی باشد، آنگاه تابع عضویت آن () به صورت زیر است:

(24)

همچنین، بازه مورد انتظار (EI) و مقدار مورد انتظار (EV) از عدد فازی  به صورت ذیل تعریف می­شود (هیلپرن⁴⁰، 1992):

         
     (25)    
                                              (26)

با توجه به اینکه برای نمایش پارامترها از توزیع فازی مثلثی استفاده شده است، داریم:

  حال مدل برنامه­ریزی ریاضی فازی زیر را که در آن همه پارامترها به صورت فازی تعریف شده­اند، در نظر بگیرید:

ماهیت غیردقیق و غیرقطعی پارامترهای مسأله باعث می­شود که ما اعداد فازی را مقایسه کنیم که البته، آن شامل دو مسأله عمده است: شدنی بودن و بهینگی، بنابراین، پاسخ به دو سؤال زیر ضروری است (خیمنز و همکاران، 2007):

1)  چگونگی تعریف شدنی بودن بردار تصمیم x، هنگامی که محدودیت­ها شامل اعداد فازی است.

2)  چگونگی تعریف بهینگی تابع هدف با ضرایب فازی.

مطابق با روش رتبه­بندی خیمنز (1996) برای هر جفت از اعداد فازی  و، درجه­ای که در آن  از  بزرگتر است به صورت زیر تعریف می­شود:

(30)

وقتی  باشد، آنگاه گفته می­شود که دست کم در درجه ،  بزرگتر یا مساوی است و آن به صورت  نمایش داده می­شود.
با توجه به روش خیمنز و همکاران (2007)، بردار تصمیم  در درجه  شدنی است اگر
  باشد. لذا برای محدودیت­های مسأله (29) داریم:

       (31)

حال با ساده­سازی رابطه فوق داریم:

(32)

برای حالت تساوی نیز داریم:

که با بازنویسی رابطه فوق داریم:

جواب شدنی، یک جواب بهینه قابل قبول برای مدل (29) است، اگر شرط زیر صادق باشد:

از اینرو حداقل در درجه  جواب بهتری را نسبت به بردارهای شدنی دیگر (با هدف کمینه‏سازی) ارایه می­کند، همچنین داریم:

که با استفاده از روابط قبلی داریم:

با لحاظ کردن روابط (32)، (34) و (38) در مدل (29)، مدل - پارامتری آن به صورت زیر حاصل می­شود:

مطابق با آنچه که در قسمت قبل توضیح داده شد، می­توانیم مدل قطعی کمکی معادل مدل مسأله اصلی را به صورت فوق فرمول­بندی کنیم، که البته مدل حاصل به صورت ذیل خواهد بود. همان‏طور که مشاهده می­شود، تعداد محدودیت­های مسأله کمکی معادل از تعداد محدودیت­های مسأله اصلی بیشتر است و آن به‏خاطر اینست که هر محدودیت مساوی در مدل اصلی به دو محدودیت نامساوی در مدل کمکی معادل تبدیل شده است.

3-2 رویکرد حل فازی

رویکرد حل فازی برای مسائل برنامه­ریزی خطی چندهدفه ابتدا توسط زیمرمن⁴¹ (1978) ایجاد شد. چندین روش مختلف برای پرداختن به مدل­های امکانی در ادبیات مرتبط ارایه شده است (وانگ و لیانگ، 2005؛ اینوگوچی و رامیک⁴²، 2000؛ پارا⁴³ و همکاران، 2005). در این مقاله برای حل مدل قطعی ارایه شده از روش­ ترابی و هسینی (2008) استفاده می­شود. گام­های روش مذکور به صورت زیر است:

گام 1: توزیع­های امکانی مثلثی یا ذوزنقه­ای مناسب برای پارامترهای مسأله را تعیین و مدل مسأله را فرمول­بندی کن.

گام 2: با استفاده از مقدار مورد انتظار مطابق با پارامترهای غیردقیق، تابع هدف غیردقیق مدل را به تابع هدف قطعی تبدیل کن.

گام 3: مقدار α (حداقل درجه شدنی قابل قبول از بردار تصمیم) را تعیین کن و محدودیت­های فازی مسأله را به محدودیت­های قطعی تبدیل کن و سپس مدل قطعی کمکی معادل مسأله را فرمول­بندی کن.

گام 4: جواب ایده­ال α- مثبت (α-PIS) و جواب ایده­ال α- منفی (α-NIS) را برای هر تابع هدف و سطح α- شدنی تعیین کن.

گام 5: تابع عضویت خطی را برای هر تابع هدف به صورت ذیل تعیین کن:

(65)

(66)

به طوری ‏که µ_h(x)به درجه رضایت از تابع هدف hام اشاره می­کند.

گام 6: مدل قطعی دو هدفه معادل مسأله را با استفاده از تابع تجمعی ترابی و هسینی (2008) به یک مدل برنامه­ریزی خطی عدد صحیح مختلط تبدیل کن. تابع تجمعی فوق به صورت زیر است:

(67)

به طوری‏که F(x) ناحیه شدنی شامل متغیرهای مدل قطعی معادل را مشخص می­کند و ⍬و γ به ترتیب، اهمیت تابع هدف hام و ضریب تصحیح را مشخص می­کند. لازم به ذکر است که λ₀=min_h{µ_h(x)} حداقل درجه رضایت از توابع هدف را نشان می­دهد.

گام 7: مقادیر γ و⍬_h را مشخص کن و مدل برنامه­ریزی خطی عدد صحیح مختلط تک هدفه مربوطه را حل کن. اگر تصمیم­گیرنده با جواب فعلی قانع شد توقف کن، در غیر این صورت با تغییر مقادیرγ و α (و اگر لازم باشد ⍬_h) و رفتن به گام 3 جواب توافقی دیگری را ایجاد کن.

4- نتایج محاسباتی

در این بخش برای نشان دادن اعتبار و کارایی مدل و رویکرد حل و نیز عملی بودن آن­ها یک مثال عددی ارایه و سپس با رویکرد حل مذکور حل می­گردد. جدول 4 ابعاد مثال نمونه و جداول 5 و 6 نیز به ترتیب، منابع تولید تصادفی مجموعه داده­ها و لیست مقدار مواد اولیه مورد نیاز برای تولید هر واحد محصول را نشان می­دهد. برای تولید اعداد فازی مثلثی، سه نقطه حساس (محتمل­ترین مقدار، مقدار بدبینانه و مقدار خوشبینانه) برای هر پارامتر غیردقیق تخمین زده می­شود. برای این منظور ابتدا محتمل‏ترین مقدار هر پارامتر (c^m) به صورت تصادفی با استفاده از جدول 5 تولید می­شود. سپس بدون از دست دادن کلیت مسأله، با استفاده از توزیع یکنواخت دو عدد تصادفی (r₁,r₂) بین 0.2 و 0.8 تولید می­شود و مقادیر بدبینانه (c^p) و خوشبینانه (c^o) از عدد فازی  به صورت زیر محاسبه می­شود (برای نمونه به پیشوایی و ترابی،2010؛ فلاح تفتی⁴⁴ و همکاران، 2014 مراجعه شود):

c^o = (1 + r₁)c^m                                    (68)     

c^p = (1 – r₂)c^m                                      (69)

    قبل از حل مسأله با پارامترهای فازی، ابتدا مسأله به صورت قطعی و غیرفازی در نظر گرفته شده و جواب­های آن مورد بررسی قرار می­گیرد (برای مقادیر پارامترها از محتمل­ترین مقدار هر پارامتر (c^m) استفاده شده است).

    اگر مسأله به صورت تک هدفه و برای تابع هدف اول (و بدون در نظر گرفتن تابع هدف دوم) حل شود، جواب بهینه برابر با «20343490» می­شود که به ازای این جواب تابع هدف دوم «2935» می­شود. اگر مسأله به صورت تک هدفه و برای تابع هدف دوم (و بدون در نظر گرفتن تابع هدف اول) حل شود، جواب بهینه برابر با «85» می­شود که به ازای این جواب تابع هدف اول «25018320» می­شود. در ادامه، با استفاده از روش گام⁴⁵ یک جواب کارا برای مدل قطعی به دست آمده است، به‏گونه­ای که مقدار تابع هدف اول برابر «20468930» و مقدار تابع هدف دوم برابر «87» است.

    در ادامه، جواب­های مدل فازی مسأله مورد بررسی قرار می­گیرد. جداول 7 و 8 جواب­های حاصل از حل مسأله را به ترتیب برای تابع هدف اول و تابع هدف دوم مدل در دو حالت قطعی و فازی به ازای پارامترهای مختلف  نشان می­دهند. برای حل مدل­ها از نرم­افزارGams 22.9.2  استفاده شده است. همانطور که در این جداول مشاهده می‏شود، در حالت فازی مقادیر تابع هدف به طور  محسوسی با حالت قطعی اختلاف دارند که آن اهمیت در نظر گرفتن حالت عدم قطعیت را نشان می­دهد. همچنین، به ازای برخی از مقادیر  مسأله نشدنی است.

در ادامه، رویکرد ارائه شده در بخش 3 برای به دست آوردن جواب­های مدل دو هدفه فازی مسأله اتخاذ شده است. در این مثال = (0.8,0.2) قرار داده شده است، در حالیکه تصمیم­گیرنده  می­تواند متناسب با ترجیحات خود، مقدار مورد نظر خود را انتخاب کند. در صورت کثرت تعداد توابع هدف، از روش‏های مختلف تصمیم­گیری همچون AHP می‏توان برای به دست آوردن وزن­های توابع استفاده کرد.

جواب­های حاصل از حل مدل­های قطعی و فازی در جدول 9 نشان داده شده است. البته حالت فازی به ازای 0.4  و αهای مختلفی حل شده است (برای سایر αهایی که ذکر نشده مسأله نشدنی است). همان‏طور که در جدول (9) مشاهده می­شود، به ازای  0.4  مقادیر توابع هدف در حالت­های قطعی و فازی تقریباً با هم برابر است، ولی به ازای αهای دیگر اختلاف قابل توجه­ای بین مقادیر توابع هدف در حالت­های قطعی و فازی وجود دارد که آن اهمیت لحاظ کردن عدم قطعیت در مدل  را نشان می­دهد. جدول 10 تحلیل حساسیت روی پارامترهای مسأله را نشان می­دهد. با بررسی جدول 10 مشاهده می­شود که در حالت 0.4  توابع هدف نسبت به تغییر  حساسیت بالایی از خود نشان می­دهند، در حالت 0.5  حساسیت کمتر است و در حالت‏های دیگر، تغییر  تقریباً بی­تأثیر است.