مکان یابی چند معیاره پیوسته با استفاده از IV-PROMETHEE و LINMAP

1- مقدمه

در سال‏های اخیر مطالعات مکان‏یابی^[i] به عنوان یکی از عناصر کلیدی در موفقیت و بقای مراکز صنعتی مطرح شده است. مطالعات مکان‌یابی هم در سطح ملی و هم در سطح بین‏المللی بسیار توجه شده است. در این میان شناخت هدف‌ها و روش‌های حل مسایل مکان‏یابی، از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است.

در چند دهه گذشته، روش‌های جدیدی برای فرایند تصمیم‌گیری توسعه پیدا کرده است. مسایل تصمیم‌گیری معمولا برای انتخاب بهترین راه‌حل استفاده می­شود. علاوه بر ارزش معیارهای واقعی در مساله تصمیم‌گیری، انتخاب بهترین راه‌حل به تصمیم‌گیرنده نیز وابسته است که همان ترجیحات شخصی اوست (پرولویس و دیگران^[ii]،2007). به منظور ساده‌سازی فرآیند تصمیم‌گیری روش­های ریاضیاتی بسیاری پیشنهاد شده‌اند. روش رتبه‌بندی ترجیحی برای غنی‌سازی ارزیابی^[iii] (PROMETHEE) یکی از پرکاربردترین روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیاره است (تومیک و دیگران^[iv]، 2011). روش PROMETHEE تاکنون کاربردهای زیادی داشته است که می­توان به بانکداری، مکان­یابی صنعتی، برنامه‌ریزی نیروی انسانی، منابع آب، سرمایه‌گذاری، پزشکی، شیمی، مراقبت‌های بهداشتی و توریسم اشاره نمود. موفقیت روشROMETHEE  به­ خاطر ویژگی­های ریاضیاتی و کاربر‌پسند بودن آن است (بهزادیان و همکاران، 2010). روش PROMETHEE بر مبنای تحقیقات برانس و مارشال^[v] به چند دسته تقسیم می‏شود، روش PROMETHEE برای عملیات رتبه­بندی جزئی، PROMETHEE-II برای عملیات رتبه­بندی کامل و PROMETHEE-III  برای عملیات رتبه‏بندی مبتنی بر بازه­ها مناسب هستند (کاوالکانت و آلمیدا^[vi]، 2007)، PROMETHEE-IV هنگامی­ که گزینه­ها پیوسته هستند (دسته­ای نامتناهی از گزینه­ها) و PROMETHEE-V زمانی که گزینه­های زیادی برای انتخاب وجود دارند و محدودیت­هایی نیز باید حفظ شوند به‏کار می­رود. این نوع PROMETHEE-V یک برنامه‌ریزی صفر و یک است که در فرآیند تصمیم‏‏گیری مورد استفاده قرار می‏گیرد (موریاس و المیدا^[vii]، 2007). برخلاف سایر روش‌های تصمیم‌گیری، PROMETHEE یک تابع مطلوبیت قطعی به هر گزینه تخصیص نمی‌دهد. این بدان معنی است که تصمیم‌گیرنده برای هر معیار یک تابع ارجحیت، برحسب اختلاف موجود بین دو گزینه، در ذهن دارد.

تاکنون روش­های زیادی برای تعیین مکان مناسب تسهیلات استفاده شده است که در بخش پیشینه به آنها اشاره خواهد شد، اما همه آنها با تعدادی گزینه از پیش تعیین شده مواجه بوده و در یک فضای گسسته به تعیین مناسب­ترین مکان می‌پردازند. در حالی که مسائل مکان­یابی، مخصوصا در یک فضای پیوسته مثلا در طول یک جاده یا در سطح یک شهر، با مجموعه­ای پیوسته از گزینه­ها مواجه بوده و مستلزم استفاده از تکنیک­هایی برای تعیین مکان مناسب در فضایی پیوسته هستند. پژوهش حاضر به بررسی مساله مکان­یابی چندمعیاره پیوسته با استفاده ازPROMETHEE-IV و توسعه تکنیکLINMAP، به این مسائل می­پردازد. در ادامه، تحقیقات پیشین و تکنیک­های  PROMETHEE  و   [viii]LINMAPتشریح شده و با ذکر یک مثال عددی نحوه استفاده از این دو تکنیک در مسائل تصمیم‏گیری چندمعیاره پیوسته تبیین می­گردد. 

2- پیشینه مکان‏یابی

کلیمبرگ و راتیک^[ix] (2008)، در پژوهشی، یک مدل برای بهره­برداری از شاخص کارایی DEA برای مکان‌یابی تسهیلات، بطور موثر و بهینه توسعه دادند. محققین معتقدند که کارایی DEA همزمان با سایر اهداف مدل مکان‏یابی، یک رویکرد غنی برای مسائل مکان‌یابی چند هدفه را فراهم می‌آورد. با ترکیب مساله DEA با مساله مکان‌یابی دو نوع از کارایی‌ها بهینه می‌شوند، کارایی فاصله­ای، که بوسیله یافتن مکانی با کمترین هزینه اندازه‏گیری می‌شود و کارایی تسهیلات در تقاضای خدمت رسانی، که بوسیله امتیاز کارایی DEA برای تسهیلات، اندازه‏گیری می‌شود. از این طریق، این مدل روشی را برای اندازه‏گیری تعامل بین الگوهای مکان‏یابی متعدد و تاثیراتی که ویژگیهای مکان انتخاب شده ممکن است برروی عملکرد تسهیلات داشته باشد،  فراهم می­سازد.

یانگ و همکاران^[x] (2012)، در پژوهشی به بررسی فاکتورهای بالقوه برای انتخاب مکان هتل‏ها، به‏وسیله ادغام معیارهای مکان­یابی و هتل­داری می‏پردازند. نتایج نشان می­دهد که سال­های بعد از بازگشایی، تنوع خدمات، مالکیت، اثر تراکم، پیدایش خدمات عمومی، دسترسی جاده­ای و دسترسی به مکان­های گردشگری، از فاکتورهای تعیین کننده مکان‏یابی هتل­ هستند. این تحقیق نشان داد که هتل‏های با اندازه کوچک تمایلی به بررسی منافع اثرات تراکم ندارند، درحالی که هتل‏های مرفه­تر برای دسترسی، بسیار حساس­تر هستند. این معیارها برای هتل‏هایی با سال‏های تاسیس مختلف، متفاوت هستند. مثلا معیار دسترسی جاده­ای برای هتل‏هایی که در اوایل دوره تاسیس هستند، بسیار مهم است.

چو و همکاران^[xi](2008)، در مقاله­ای با عنوان، مدل تصمیم‏گیری چندمعیاره فازی برای انتخاب مکان هتل­­ های بین المللی، مدلی فازی برای انتخاب مکان هتل بین المللی توریست ارائه دادند که شامل 21 معیار بوده و از روشهای فازی، ارزش زبان شناسی، تجزیه و تحلیل ساختار سلسله مراتبی و فرآیند تجزیه و تحلیل سلسه مراتبی فازی، برای وزن دهی معیارها استفاده می نماید.

گو^[xii](2007)، در پژوهشی با عنوان ، DEAفازی و کاربرد آن برای مسایل مکان‏یابی، مدل DEA فازی را برای ارزیابی کارایی اهداف با داده­های ورودی و خروجی فازی، ارائه می‌دهد. کارایی‌های به‏دست آمده نیز اعداد فازی هستند که نشان دهنده ابهام ذاتی در مسائل ارزیابی در شرایط عدم اطمینان هستند. استفاده از این مدل منجر به انتخاب بهترین مکان برای تاسیس رستوران گردیده و نتایج نشان داد که مدل‏های DEA فازی می­توانند برای حل مسائل کسب و کار در شرایط عدم اطمینان مفید باشند.

علیزاده و همکاران(2011)، در پژوهشی، مفهوم کارایی مدلهای DEA را با مدل­های مکان‌یابی در محیط فازی پیوند دادند. این پژوهش نشان می‏دهد که چگونه این امر، الگوی مکان­یابی تسهیلات را تحت تاثیر قرار دهد. مدل پیشنهاد شده در قالب برنامه ریزی غیرخطی چندهدفه فازی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و یک راه‏حل بر مبنای برنامه‌ریزی پارامتریک فازی و روش حداقل انحرافات ارائه داده شد.

فراهانی و همکاران (2009)، در پژوهشی با عنوان، مسائل مکان‏یابی چند‏معیاره، به بررسی تلاش‏های اخیر و بهبودهای مسائل مکان‏یابی چندمعیاره در سه گروه، مسائل دو هدفه، چند هدفه و چند معیاره، پرداختند.

آشیلاس و همکاران^[xiii](2010)، در پژوهشی با عنوان، سیستم پشتیبان تصمیم برای مکان‌یابی بهینه در برنامه‌های بهبود اتلافات الکترونیکی، یک سیستم حمایت از تصمیم گیری برای مکان‏یابی بهینه برنامه‌های بهبود اتلافات الکترونیکی ارائه دادند.

داتا^[xiv] (2012)، مدلی ارائه نمود که قادر است  سناریو‌هایی را برای مکان­یابی تسهیلات مشخص شده در یک مکان و در طول یک دوره زمانی خاص به وجود آورد. این مدل به هر تعداد سناریو، به وسیله تغییرات معیارهای تسهیلات مانند هزینه و ظرفیت اجازه تعریف می‌دهد.

دوگان^[xv](2012)، در پژوهشی با عنوان، تجزیه و تحلیل مدل مکان‏یابی تسهیلات با استفاده از شبکه‌های بیزی^[xvi]، رویکردی ادغامی ارائه نمود که در آن شبکه‏های بیزی و هزینه نهایی مالکیت را برای مکان‌یابی بین المللی یک کارخانه تولیدی، با هم ترکیب کرد. هدف این مدل کارایی داده­های نامطمئن و اطلاعات مبهم و افزایش کیفیت تصمیم‏گیری بود.

3- تکنیک PROMETHEE

روش PROMETHEE بر مبنای تحقیقات برانس و مارشال^[xvii]  نخستین بار در سال 1982 توسعه داده شد و در کنفرانسی در دانشگاه لاوال در کانادا مطرح گردید و کاربردهای فراوانی پیدا نمود (داوینگتون و مارشال^[xviii]، 1989). PROMETHEE-I قادر به رتبه‏بندی کامل گزینه‏ها نیست و آنرا به تصمیم‌گیرنده واگذار می­نماید. PROMETHEE-II با محاسبه جریان خالص غیر رتبه‌ای^[xix] منجر به رتبه‏بندی کامل گزینه‌ها می‏گردد (بهزادیان و همکاران، 2010). پروفسور برانس و مارشال دو نسخه جدیدتر PROMOTHEE-III (رتبه‏بندی مبتنی بر بازه ها) و IV-PROMETHEE (موارد پیوسته) را توسعه دادند (برانس و همکاران، 1986 و 1994). سپس دو نسخه دیگر این روش پیشنهاد گردید که عبارت بودند از PROMOTHEE-V و PROMETHEE-VI (نمایشی از مغز انسان). PROMOTHEE-V ، معمولا زمانی که گزینه‏های زیادی برای انتخاب وجود دارد و محدودیت‏هایی نیز باید حفظ شوند، به‏کار می‏رود. این نوع پرامیتی یک برنامه‏ریزی صفر و یک است که در فرآیند تصمیم‏گیری استفاده می‏گردد (موریاس و المیدا^[xx]، 2007).

 همچنین، دو محقق مذکور در سال 1998 ماژول تصویری گایا را توسعه دادند. این ماژول با استفاده از یک نمایش گرافیکی موثر ازPROMOTHEE  پشتیبانی می­نماید. بسیاری از کاربردهای موفق PROMOTHEE در زمینه­های بانکداری، سرمایه‏گذاری، داروسازی، شیمی، توریسم و غیره گزارش شده است. (بهزادیان و همکاران، 2010).

3-1- تکنیک IV-PROMETHEE

PROMETHEE-IV، یک رتبه‌بندی کامل ایجاد کرده و در مسائل رتبه‌بندی و انتخاب ، هنگامی­که گزینه‌ها پیوسته هستند، استفاده می‌شود (دسته­ای نامتناهی از گزینه­ها). در PROMETHEE-IV ، جریانات غیر رتبه­ای نه به وسیله جمع ، بلکه بوسیله ادغام گزینه­ها ایجاد می­شوند. A، یک زیر مجموعه پیوسته از Rⁿ و  توابع پیوسته کراندار که بر روی A تعریف شده و باید ماکسیمم گردند، را در نظر بگیرید.  

، عملکرد گزینه i ام تحت معیار j است. PROMETHEE یک تابع مطلوبیت قطعی، نه به صورت کلی روی معیارها و نه روی هر معیار، به هر گزینه تخصیص نمی­دهد. ساختار ارجحیت PROMETHEE براساس مقایسات زوجی است. اما برخلاف بسیاری از روش‌های دیگر، در PROMETHEE مقدار اختلاف دو گزینه بر روی یک معیار منظور می­شود. تصمیم‌گیرنده ممکن است برای اختلافات اندک بین دو گزینه در یک معیار، اهمیتی قائل نباشد و یا برحسب حساسیت معیار، مقدار ارجحیت را تعیین و تنظیم کند. هرچند در روش PROMETHEE ممانعتی برای در نظر گرفتن ارجحیت‌های غیر واقع بر بازه صفر تا یک وجود ندارد، اما توصیه می‌شود که توابع ارجحیت در این بازه تعریف شوند. این بدان معنی است که تصمیم گیرنده برای هر معیار تابع ارجحیت (رابطه (1) را برحسب اختلاف موجود بین دو گزینه مفروض در ذهن دارد:

و نیز برای هر معیار :

در حالتی­که معیار C_j، یک معیار مثبت (سود، افزاینده) است، این تابع، ارجحیت گزینه A₁ بر گزینه A₂ را براساس مقدار تفاوت بین دو گزینه روی معیار C_j به دست می­دهد. در شکل (1) این نکته نشان داده شده است.

شکل 1. تابع ارجحیت

برای معیارهایی منفی(هزینه، کاهنده)، باید تابع ارجحیت معکوس شده  و یا به صورت رابطه (3) اصلاح گردد:

به زوجمعیار تعمیم یافته مربوط به معیار C_j گویند. برای هر معیار باید ترکیب 2 از m  (m تعداد گزینه­ها) معیار تعمیم یافته، محاسبه کرد. بطور کلی 6 نوع تابع ارجحیت پیشنهاد شده، که در جدول (1) آورده شده است. تجربه نشان داده شده است که این شش تابع ارجحیت برای بیشتر مسائل واقعی، رضایت بخش هستند.

جدول 1. انواع توابع ارجحیت

در توابع ارجحیت ارائه شده در جدول(1)، پارامترp ، آستانه ارجحیت مطلق،  qآستانه بی تفاوتی و  s مقداری میانی بین p و q است.  qبزرگترین اختلافی است که تصمیم گیرنده می‏تواند در مقایسه دو گزینه نادیده بگیرد. در حالیکه p کوچکترین مقدار اختلافی است که برای برتری مطلق گزینه‏ای بر دیگری کافی است. 

پس از محاسبه اوزان  و معیارهای تعمیم یافته به ازاء تمامی مقادیر i و j،  تکنیک PROMETHEE  قابل به کارگیری است. در این تکنیک، شاخص­های ارجحیت ادغامی به ‏صورت رابطه (4) تعریف می­گردند:

 شاخص، درجه ای  که گزینه  با توجه به تمام معیارها بر گزینه برتری دارد و شاخص، درجه­ای که گزینه با توجه به تمام معیارها بر گزینه برتری دارد را بیان می‏کند. در بیشتر موارد هر دوی شاخص­های فوق مثبت هستند،  بدین معنا که گزینه در بعضی معیارها بر و گزینه هم در بعضی معیارها بر  برتری دارد. روابط (5) برای شاخص ارجحیت ادغامی برقرار هستند:

در روشPROMETHEE-IV، جریانات مثبت و منفی و جریان خالص غیر رتبه­ای، به صورت رابطه(6) محاسبه می­شوند:

با توجه به اینکه محاسبه انتگرال­ها به صورت فوق مشکل است می­توان بجای استفاده از شاخص ارجحیت ادغامی بر روی مجموعه پیوستهA، از تابع ارجحیت، انتگرال گرفت و به ‏صورت رابطه(7) عمل کرد (برانس و همکاران، 1984):

جریان خالص غیر­رتبه­ای به‏صورت رابطه (8) محاسبه می­گردد.

رابطه(8) با احتساب اهمیت (وزن) برابر برای معیارها مورد استفاده قرار می­گیرد. درصورتی‏که معیارهای پیوسته دارای درجه اهمیت (وزن) متفاوت باشند، جریان خالص غیر رتبه­ای ازطریق رابطه (9) محاسبه می­گردد:

4- مثال عددی

با توجه به توضیحات روش PROMETHEE-IV، به حل یک مثال عددی با استفاده از این تکنیک می­پردازیم. مثال عددی، مکان­یابی برای احداث پمپ گاز در طول یک جاده است. برخلاف سایر روش‌های مکان‏یابی که ارزیابی­ها  بر روی تعداد محدودی گزینه و در یک محیط گسسته صورت می‌گیرد، در این مقاله، معیارهای مورد بررسی به‏صورت توابعی پیوسته و کران­دار بر روی مجموعه‌ای پیوسته از گزینه­ها (بازه) است. معیارهای مورد بررسی برای مکان­یابی بهینه و تابع ارجحیت تصمیم‏گیرنده در زیر ارائه شده اند:

معیار اول، فاصله تا ایستگاه بعدی: کاربری­هایی که در حوزه نفوذ یکدیگر قرار می­گیرند  باید از نظر هماهنگی و همخوانی فعالیت با یکدیگر منطبق بوده و موجب مزاحمت و مانع انجام فعالیت‏های یکدیگر نگردند. فرض کنید دو ایستگاه در دو مکان مختلف وجود دارند. در ضمن فاصله خیلی کم و فاصله خیلی زیاد بین دو ایستگاه، هر دو نامطلوب هستند. فاصله تا ایستگاه بعدی باید حداقل 5/1 کیلومتر باشد. پس اگر نقطه شروع را خروجی شهر در نظر بگیریم و فرض کنیم در 5/1 کیلومتری و 3 کیلومتری شهر جایگاه سوخت وجود دارد.  تابع مربوط به این معیار به‏صورت رابطه (10) و نمودار تابع مانند شکل(2) است:

شکل2. تابع مربوط به معیار اول

معیار دوم، معیار دسترسی(فاصله از شهر): راه‏ها، مهمترین عنصر تشکیل دهنده شهر و محل اتصال و ارتباط فضاها و کاربری­های شهری به یکدیگر به شمار می­روند. بنابراین طبق رابطه (11)، هر چه جایگاه ها  به شهر نزدیک تر باشند به علت دسترسی بیشتر، از ارجحیت بالاتری برخوردار هستند. تابع مربوط به این معیار به‏صورت رابطه (11) و نمودار تابع مانند شکل(3) است:

شکل3. تابع مربوط به معیار دوم

معیار سوم،  عدم نزدیکی به محل مستعد زلزله: فرض شود در ابتدای خروجی شهر و در 4 کیلومتری از شهر گسل وجود دارد و بهتر است جایگاه سوخت حداقل به فاصله 2 کیلومتر با گسل فاصله داشته باشد. تابع مربوط به این معیار به‏صورت رابطه (12) و نمودار تابع مانند شکل(4) است:

شکل4. تابع مربوط به معیار سوم

معیار چهارم، فاصله با اماکن عمومی: در 400 متری خارج از شهر یک مرکز خرید وجود دارد. بهتر است پمپ گاز حداقل 3000 متر با این مکان عمومی فاصله داشته باشد. تابع مربوط به این معیار به‏صورت رابطه (13) و نمودار تابع مانند شکل(5) است:

شکل5. تابع مربوط به معیار چهارم

معیار پنجم، ریسک سرمایه گذاری: هرچه از جاده­های اصلی و اتوبان­ها دورتر می­شویم ریسک سرمایه‏گذاری بیشتر شده و با نزدیک شدن به جاده‏های اصلی ریسک کمتر می­گردد. بر اساس  میزان دسترسی و نزدیکی به جاده‏های اصلی، تابع مربوط به این معیار به‏صورت رابطه (14) و نمودار تابع مانند شکل(6) است:

شکل6. تابع مربوط به معیار پنجم

در پژوهش حاضر از بین  6 نوع تابع ارجحیت ارائه شده در جدول(1)، برای تمامی معیارها از تابع ارجحیت پله­ای به‏صورت رابطه (15) استفاده شده است:

فرایند تحلیل مثال فوق با استفاده از  تکنیک PROMETHEE-IV ، در نرم افزار اکسل پیاده سازی شده است. به عنوان نمونه، مراحل تکنیک PROMETHEE-IV برای معیار ریسک سرمایه گذاری به صورت رابطه (16) است. در مرحله اول بازه را با فواصل0.1 گسسته کرده و P₅(A₁,A₂)  را محاسبه می­کنیم:

با استفاده از تابع ارجحیت مشخص شده برای این معیار ، به محاسبه جریان­های غیر رتبه­ای مثبت، منفی و خالص می­پردازیم. در صورتی ­که اختلاف به‏دست آمده از رابطه بالا، به ازای گزینه­های مختلف کمتر از1/0 باشد، تابع ارجحیت برابر صفر و اگر 2/0 ≥  ≥ 1/0 باشد، تابع ارجحیت برابر با مقدار 5/0 و در غیر این‏صورت، برابر با 1 می‌گردد. در نهایت، برای تمامی معیارها، جریان خالص غیر رتبه‏ای، در یک بازه پیوسته از گزینه­ها، به صورت رابطه (17) به‏دست می­آید.

نتایج به‏دست آمده به ازاء مثال فوق، با درنظر گرفتن وزن‏های 1/0 و 3/0 و 1/0 و ۴/0 و ۱/0 به ترتیب برای معیارهای اول تا پنجم، در شکل(7) نشان داده شده است.

شکل7. جریان خالص گزینه‏ها بروی معیارها با احتساب وزن معیارها

در شکل(7)، محور عمودی نشان دهنده جریان خالص غیر رتبه‏ای و محور افقی مجموعه پیوسته از گزینه‏ها (فاصله صفر تا چهار کیلومتری) است. همانطور که در نمودار بالا مشاهده می شود با استفاده از تکنیک PROMETHEE-IV ، مکانی که تمام معیارها را حداکثر می سازد، در نقطه 9/1 کیلومتری و نزدیک به آن (فاصله 8/1 تا 2 کیلومتری)  قرار دارد. در ادامه تکنیک LINMAP برای مسائل تصمیم‌گیری چند­معیاره پیوسته توسعه داده شده و مثال فوق با آن حل گردیده است. در نهایت، جواب‌های حاصل از دوتکنیک با هم مقایسه می‏گردد.

5- روش برنامه ریزی خطی برای تحلیل چند بعدی ترجیحات

روش برنامه‏ریزی خطی برای تحلیل چند بعدی ترجیحات (LINMAP) روشی است که ارجحیت تصمیم‏گیرنده در مورد گزینه ها را در نظر گرفته و از آنجایی که کلیه ابعاد برای ارزیابی گزینه‌ها را شامل می شود، به آن تحلیل چندبعدی ترجیحات می­گویند. فرض کنید که مجموعه قضاوت­های ذهنی تصمیم‌گیرنده در خصوص مقایسه زوجی گزینه‌ها
 بر اساس مجموعه  نشان داده شود. طبق این روش می­توان وزن شاخص‏هارا تعریف و تراز بهینه  را مشخص کرد، تعریف بردارهای و بر اساس اعمال مجموعه S است. تکنیک LINMAP، یک روش تعاملی با تصمیم‏گیرنده بوده که با محاسبه فاصله اقلیدسی از تراز بهینه به رتبه‏بندی گزینه‏ها، می­پردازد.

این روش برای به‏دست آوردن اوزان شاخص­ها (n شاخص) و مشخص نمودن اولویت‌بندی گزینه­ها (mگزینه) به کار می­رود. در این روش m گزینه باn شاخص، به‏وسیله m نقطه در فضایn  بعدی نشان داده شده و فرض بر آن است که تصمیم‏گیرنده، گزینه‌های نزدیک به ایده‌آل را در این فضا انتخاب خواهد کرد. فاصله از ایده‌آل به صورت فاصله اقلیدسی وزین () برای گزینه مورد توجه قرار می‌گیرد، همچنین اوزان درجه اهمیت هر شاخص را نشان می دهند. مربع فاصله اقلیدسی گزینهاز گزینه ایده آل به صورت رابطه(18)است:

 مقدار ایده آل شاخص j ام است. فرض کنید مجموعه  نشان دهنده مقایسات زوجی گزینه و گزینهاست، به طوری که گزینه بر گزینهارجح است. مجموعه s به طور نرمال دارای  عنصر خواهد بود. جواب برای هر زوج مرتب شده سازگار با مدل فاصله وزین است  اگر باشد. مشخص نمودن جواب باید چنان باشد که تجاوز از شرط  (باتوجه به ماتریس تصمیم‏گیری موجود و مجموعه مرتب شده S ) در حداقل ممکن واقع شود. اگر باشد آنگاه مقدار بیانگر مقدار انحرافی است که شرط مورد تخطی واقع می شود. از این رو به طور کلی تعریف رابطه (19) را می­توان مد نظر قرار داد :

بدین صورت نشان دهنده میزان عدم تطابق برای زوجمی‌باشد و به طور کلی مجموع عدم تطابق کل بر روی مجموعه S ، به صورت رابطه(20) است:

P غیر منفی است، زیرا غیر منفی است، بدین جهت برای مشخص نمودن جواب، مقدارP باید حداقل شود. در مقابلP­ ارزش جدیدی به نامG  (میزان تطابق کل) به صورت رابطه (21) تعریف می شود:

به طوری که در رابطه (22) مشاهده می شود :

بنابراین باید رابطه (23) برقرار باشد:

به طوری که h یک مقدار ثابت دلخواه و مثبت است. باتوجه به تعاریف فوق در رابطه (24) خواهیم داشت:

بنابراین رابطه(23) را می­توان به صورت رابطه (25) نوشت: 

با توجه با اینکه هدف حداقل کردن عدم تطابق است، جواباز حل یک مساله به صورت رابطه (26) حاصل می­شود:   

این مساله به مساله برنامه‏ریزی خطی رابطه (27) تبدیل می­گردد:

رابطه (28) را در نظر بگیرید:

با جایگذاری ، مساله خطی رابطه (29) نتیجه می شود :

 با حل مساله (29) بردار وزن شاخص‏ها و به‏دست آمده و بر اساس مقادیر و ، فاصله اقلیدسی گزینه­ها از راه حل ایده‏آل () را محاسبه می­نمائیم. گزینه‏ای که به راه حل ایده‏آل  نزدیکتر باشد، گزینه برتر است. رتبه‏بندی گزینه‏ها بر اساس مقادیرها انجام شده و گزینه برتر گزینه‏ای است که  آن کوچکتر باشد.

در مثال مطرح شده در پژوهش حاضر، بازه صفر تا چهار با تقریب 1/0 گسسته شده و به عنوان گزینه‏ها در یک بازه پیوسته، مد نظر قرار گرفتند. براساس روش LINMAP مجموعه  شامل زوج مرتب‏های،  به گونه­ای که گزینه k بر گزینه L ارجح باشد، مشخص گردید. برای محاسبه مجموعه S از روابط زیر استفاده شده است. ابتدا مجموعه­ که شامل معیارهایی است که در مقایسه دو گزینه K  و L، گزینه K بر L ارجحیت دارد و مجموعه  که شامل معیارهای است که گزینه  Lبر K ارجحیت دارد، مطابق رابطه(30) محاسبه می‏گردند.

با استفاده از مجموعهو ، مقادیر،   و  را به شکل رابطه(31) محاسبه می­کنیم:

مقادیر  و ، مقایسه شده و مجموعه S به صورت رابطه (32) تشکیل می گردد. به عبارت دیگر اگرباشد، زوجو اگر باشد، زوجمتعلق به مجموعه S خواهد بود.

با استفاده از مجموعه S، مدل برنامه‏ریزی خطی LINMAP نوشته شده و با حل آن گزینه ایده‏آل و بردار وزن تعیین می­گردد. در نهایت فاصله اقلیدسی گزینه­ها از راه‏حل ایده‏آل محاسبه شده و بر اساس آن نقطه ارجح مشخص می­شود. در مثال فوق مدل برنامه‏ریزی خطی برای حداقل‏سازی عدم تطابق­ها، با 584 محدودیت و 603 متغیر تصمیم در نرم افزار lingo حل شده و جواب‏نهایی به صورت جدول(2) محاسبه گردید:

جدول2. نقطه ایده‏آل و وزن شاخص‏ها براساس تکنیک LINMAP

  در مرحله آخر فاصله اقلیدسی تمامی نقاط موجود در بازه صفر تا چهار از گزینه ایده‏آل، با احتساب وزن معیارها محاسبه گردید، که نتایج آن در شکل (8) نشان داده شده است.

براساس روش LINMAP مناسب‏ترین گزینه، گزینه­ای است که دارای کمترین فاصله با گزینه ایده‏آل باشد. بنابراین، بهترین مکان در نقطه 2 کیلومتری و نزدیک به آن (فاصله 9/1 تا 1/2 کیلومتری)  قرار داشته و این نقاط دارای بالاترین اولویت نسبت به سایر گزینه­ها هستند.

شکل8. فاصله اقلیدسی گزینه‏ها از نقطه ایده آل

پاسخ به دست آمده از تکنیک LINMAP  بسیار نزدیک به پاسخ به دست آمده از روش PROMETHEE-IV است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که تکنیک LINMAP توسعه داده شده، از صحت لازم برخوردار بوده و در مواردی که مجموعه­ای از گزینه‏ها به صورت پیوسته هستند، می‏توان از این روش برای اولویت‏بندی و انتخاب بهترین گزینه استفاده کرد.

6- بحث و نتیجه گیری

روش رتبه‏بندی ترجیحی برای غنی‏سازی ارزیابی(PROMETHEE) و روش تکنیک برنامه‏ریزی خطی برای تحلیل چند بعدی ترجیحات(LINMAP)، از پرکاربردترین روش‏های تصمیم­گیری چندمعیاره هستند.

پژوهش حاضر، با استفاده از PROMETHEE-IV که مربوط به معیارهایی با توابع پیوسته است و توسعه تکنیک LINMAP، به بررسی مساله مکان‏یابی پیوسته می­پردازد. روش PROMETHEE-IV بر خلاف سایر روش‏های تصمیم‏گیری چندمعیاره که به بررسی گزینه­های محدود و از پیش تعیین شده می‏پردازند، گزینه‏ها را در یک فضای پیوسته بررسی کرده و امکان دسترسی به مناسب‏ترین گزینه را فراهم می­کند. علاوه بر تکنیک PROMETHEE سایر تکنیک‏های تصمیم گیری چندمعیاره مانند LINMAP و  ELECTER که در آنها گزینه‏ها به صورت زوجی مقایسه می­گردند، همچنین، سیستم استنتاج فازی (FIS) را می‏توان برای حل مسائل تصمیم‏گیری چندمعیاره پیوسته، توسعه داد. در این پژوهش به بررسی گزینه‏ها در فضای یک بعدی (نقطه در خط) پرداخته شده درحالی که می‏توان به بررسی گزینه‏ها در فضای دوبعدی پرداخت. از جمله مسائل مکان‏یابی پیوسته می­توان به مسائل مکان‏یابی نقطه در صفحه، مانند مکان‏یابی ایستگاه‌های آتش نشانی در سطح شهر و یا تعیین محل استقرار یک دستگاه در سالن تولید و همچنین مسائل تعیین خط در صفحه  مانند تعیین مکان مناسب یک جاده در یک ناحیه اشاره کرد. پیشنهاد می­گردد محققین در تحقیقات آتی به بررسی و تحلیل این مسائل با استفاده از تکنیکPROMETHEE-IV و توسعه سایر تکنیک‏های MADM برای حل این نوع از مسائل بپردازند.

PROMETHEE-IV به دنبال حداکثر‏سازی معیارهای مثبت (افزاینده) وحداقل سازی معیارهای منفی (کاهنده) بر روی گزینه­های پیوسته (مجموعه­ای پیوسته از گزینه‏ها در طول یک جاده) است. بر طبق تکنیک مورد نظر و با استفاده از نرم افزار اکسل، داده‏ها مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته و نتایج نشان داد که بهترین مکان برای احداث جایگاه سوخت در فاصله 9/1 کیلومتری واقع است. طبق معیار اول، بهترین مکان برای احداث جایگاه، در فاصله 5/1 تا 3 کیلومتری است که این معیار وزنی برابر با 1/0 دارد. از نظر معیار دوری از گسل، فاصله 2 کیلومتری از شهر برای احداث جایگاه مناسب است و این معیار در این نقطه حداکثر می­گردد و وزنی برابر با 3/0 دارد. از نظر معیار دسترسی به شهر، هرچه از شهر دورتر می­شویم این معیار در وضعیت غیر بهینگی قرار می­گیرد و مکان مناسب برای احداث جایگاه نزدیک­ترین نقطه به شهر است و این معیار وزنی برابر با 1/0 دارد. با توجه به تمامی معیارهای در نظر گرفته شده، بهترین مکان در فاصله 9/1 کیلومتری شهر قرار داشته و دارای بیشترین جریان خالص غیر رتبه­ای به میزان  159/0 است. برای تحلیل نتیجه به‏دست آمده می­توان گفت که همه معیارها به جز ریسک سرمایه­گذاری و دسترسی به شهر، در فاصله 9/1 کیلومتری در بیشترین مقدار خود قرار دارند و وزن کمتر این دو معیار، منجر به تاثیر کمتر آنها بر انتخاب بهترین مکان گردیده است. همچنین، وزن بالای معیار دوری از گسل(با وزن 3/0) و فاصله با اماکن عمومی(با وزن 4/0) بر نتیجه به‏دست آمده در فاصله 9/1 ، تاثیر بسزایی داشته است.

برای اثبات روایی روش PROMETHEE-IV ، به حل مثال عددی مطرح شده با روش برنامه‏ریزی خطی برای تحلیل چند بعدی ترجیحات (LINMAP) نیز پرداخته شده است. براساس این روش، پاسخی مشابه روش PROMETHEE به دست آمده و مناسب ترین مکان برای احداث جایگاه سوخت، که دارای کمترین فاصله از گزینه ایده‏آل است،  در فاصله 2 کیلومتری از شهر قرار دارد. در پژوهش حاضر علاوه بر ارائه روش حل PROMETHEE-IV ، در یک مثال عددی، تکنیک LINMAP نیز برای حل مسائل چندمعیاره پیوسته توسعه داده شده است، که یکی دیگر از جنبه­های نوآوری در این پژوهش است.