نوع مقاله : مقاله پژوهشی- فارسی
نویسندگان
1 کارشناس ارشد مهندسی صنایع، دانشکده مهندسی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران
2 دانشیار مهندسی صنایع، دانشکده مهندسی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران
چکیده
کلیدواژه‌ها
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
Facility Layout Problem (FLP) is an important issue in plant design, which directly affects production costs as well as safety concerns. Hierarchical and integrated approaches are two main methods used for the formulation of FLP. In the hierarchical approach, FLP is solved after the completion of the process design and scheduling, while the integrated approach treats FLP simultaneously with other phases. This paper presents a new approach based on the candidate groups for interactive functions; incorporating the advantages of the previous approaches.
In the new approach, the design phases prior to FLP results in a set of models introducing by the engineering team in advance. Next, the models are solved such that instead of individual designs, a set of suggested structures are generated. These structures are then fed into the FLP as input data and solved by mixed integer programming technique. Some characteristics of the models are: presence of the hub stations, different and variable dimensions for each station, possibility of rotation for the stations and incorporating safety distances. Finally, test problems are solved and results are discussed. It should be noted that if a candidate group entails a different production flow then a different optimum solution might be obtained.
Introduction: Simultaneous optimization of facility layout with process design, automation and scheduling has been the subject of many research studies (Taghavi & Murat, 2011), (Realff et al., 1996), (Barbosa, 2007).
The current research introduces a hybrid method for interactive phases of process and layout design. It starts with suggested cluster structures by process designers and attempts to decide among the choices while searching for optimum layout of facilities.
In the rest of the paper, after a short description of group structures, a formulation of the MILP model is presented and the constraints, parameters and variables are briefly defined. Finally, 7 sample problems have been solved by exact methods.
Then the developed model is solved such that instead of a single solution, a set of candidate
groups are suggested. This set is later used as input to the layout problem. The innovation of this approach is a layout solution with the following characteristics:
- Obtaining different flow process in terms of candidate groups from the initial phase.
- The possibility of adding or removing the workstations in the candidate groups
- The possibility of various dimensions in the group structures
- MILP formulation for supporting the above characteristics
In this approach, the solution space for layout problem only contains the process designs which are previously defined by in the plant design phase. This has many advantageous over the hierarchical layout methods such as less expenses and faster modelling and solution and less computational complexity. It has also the advantageous of an integrated approach in workstation layout considering different functions and interactions.
Materials and Methods:
Model description: For layout design in discrete production lines, an MILP model is developed. Facility layout in this research is confined to a two-dimensional (x,y) space and has the following characteristics:
- One or more candidate groups can be defined, each consisting of at least two different connection structures, i.e. from-to charts with specified inner links and connecting structures (piping, conveyors or similar means of material flow).
- Group centres are well defined if present.
- Transportation costs and those costs related to cluster structures, e.g. extra equipment, semi-finished inventories, etc. are known in advance.
- Facilities are rectangular with related fixed length and distances between facilities are rectilinear.
- Facilities can rotate counter-clockwise by integer multiples of 90 degrees.
- Total available area is limited and pre-specified.
Objective function of the model is the sum of the investments on the physical connections, material flow costs and structural expenses of candidate groups. The constraints is related to the rotations status of the facilities, distances, available space, overlaps and safety concerns.
Cost matrix is a cross product of flow matrix and transportation costs matrix. The final solution contains optimum plant layout, facilities orientations as well as optimum connections inside candidate groups.
The model is solved by CPLEX which is mostly used for problem incorporating less than 15 workstations. Table 1 lists the solution time for 7 different problems. As can be seen in this table, the solution time for P7 is more than 40000 seconds with 6% gap. Therefore, the solution is used when limited number of workstations are aimed. For greater number of workstations, heuristic algorithms can be developed.
Table 1. Test problems solved by CPLEX
Time(sec)
Opt Slution
Candidate Group Quantity
Station Quantity
P.
461.5
451
2
11
P1
2.92
1165
1
6
P2
940.5
1217
2
9
P3
3943.8
1327.75
2
11
P4
25380.52
1641
2
13
P5
31803
1467.8
3
14
P6
40000
1850*
4
15
P7
References
Barbosa-Povoa, A. P. (2007). A critical review on the design and retrofit of batch plants. Computers & Chemical Engineering, 31(7), 833–855.
Realff, M. J., Shah, N., & Pantelides, C. C. (1996). Simultaneous design, layout and scheduling of pipeless batch plants. Computers & Chemical Engineering, 20(6), 869–883.
Taghavi, A., & Murat, A. (2011). A heuristic procedure for the integrated facility layout design and flow assignment problem. Computers & Industrial Engineering, 61(1), 55–63.
کلیدواژه‌ها [English]
مقدمه
جانمایی ایستگاه‌ها و تجهیزات، یکی از مسائل پایین‌دستی فاز طراحی کارخانه در طرح‌ریزی واحدهای صنعتی است و هدف آن تعیین آرایش و چیدمان بهینۀ ایستگاه‌ها و نحوۀ استقرار آنها است. این فاز عموماً بعد از فازهای طراحی محصول، طراحی فرآیند و طراحی عملیات انجام می‌شود (اپل[i]، 1991). مفروضات مسائل جانمایی به‌مقدار زیادی به مشخصه‌های سیستم تحت مطالعه مانند ماهیت سیستم تولیدی، مشخصۀ ایستگاه‌ها و فضای در دسترس بستگی دارد. هدف این پژوهش ارائۀ رویکردی جدید برای فرمول‌بندی[ii] مسائل جانمایی بهصورت برنامه‌ریزی خطی مختلط است.
مسائل جانمایی در پژوهش‌های ارائه‌شده به دو صورت پیوسته و گسسته فرمول‌بندی شده‌اند. علاوه بر این، در شرایطی که ایستگاه‌ها قابلیت قرارگرفتن در هر مکانی را داشته باشند، رویکرد چیدمان باز مطرح می‌شود. هدف این روش به دست آوردن چارچوب استقرار ایستگاه‌ها بدون در نظر گرفتن ساختار راهرویی است. مدل‌های ارائه‌شده با رویکرد چیدمان باز بیشتر بهصورت مدل‌های برنامه‌ریزی مختلط عدد صحیح فرمول‌بندی شده‌اند. در این مدل‌ها متغیرهای صفر و یک بیانگر مشخصه‌های مکانی-ارتباطی و متغیرهای پیوسته بیانگر فاصله و مختصات ایستگاه‌ها هستند.
نخستین مدل ارائه‌شده با رویکرد چیدمان باز، توسعۀ مدل تخصیص دوگانه بود که مونتریول در سال 1991 ارائه داده است ( مونتریول[iii]، 1991). در آن مدل، چیدمان ایستگاه‌ها در یک فضای پیوسته مدنظر بود و بهصورت یک مدل برنامه‌ریزی مختلط عدد صحیح فرمول‌بندی شد. این مدل دارای دو مشکل فن فرمول‌بندی و ماهیت روش سلسله مراتبی است که در ادامه تشریح می‌شود.
مشکل نخست به‌دلیل استفاده از محدودیت‌های غیرخطی در مدلِ ارائه‌شده است. در ادامه، شرالی[iv] و کاستیلو[v] در سال‌های 2003 و 2005. این ایراد را بهبود پیدا دادند (شرالی و همکاران، 2003؛ کاستیلو و همکاران، 2005). مشکل دوم آن است که یکی از ورودی‌های مهم مسأله جانمایی نمودار جریان - مواد بین ایستگاه‌ها است. این ورودی حاصل خروجی فاز طراحی فرآیند و عملیات کارخانه است. در این فاز طراحان، نمودار جریان مواد بهینه را از بین گزینه‌های موجود با استفاده از فن‌های مهندسی و ریاضی انتخاب می‌کنند. درواقع چیدمان تجهیزات در انتخاب نمودار جریان مواد بهینه تأثیرگذار هستند. به‌عبارت‌دیگر نمودار جریان مواد و مسأله جانمایی بر یکدیگر اثر متقابل دارند.
در مسائل جانمایی با رویکرد چیدمان باز غالبا ابعاد ایستگاه‌ها نابرابر فرض می‌شوند ( دریرا[vi] و همکاران، 2007). در این حالت برای هر ایستگاه یک طول (li) و عرض (di) در نظر گرفته می‌شود که متناسب با رویکرد به کار گرفته شده می‌توانند ثابت و یا مطابق رابطه‌ای مانند رابطه (1) متغیر باشند.
|
(1) |
در رویکرد ابعاد متغیر، مطابق رابطۀ (1)، همواره یک نسبت مشخص بین طول (li) و عرض (di) ایستگاه برقرار است؛ درحالیکه در وضعیتی که ابعاد ایستگاه‌ها ثابت فرض می‌شوند، ابعاد پارامتر ورودی مدل هستند و غالباً ایستگاه‌ها قابلیت چرخش در راستای محورهای مختصات را دارند. ثابت و متغیربودن ابعاد ایستگاه‌ها وابسته به ماهیت ایستگاه‌ها است؛ برای مثال، در ایستگاه‌های انبارش و مونتاژ، طول و عرض ایستگاه‌ها می‌تواند متغیر باشد؛ ولی در کارخانه‌های شیمیایی به‌علت ماهیت فرایند، تجهیزات ابعاد، ثابت فرض می‌شوند.
در سال 1998،میلر و همکاران یک مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط عدد صحیح ارائه کردند. در این مدل ابعاد ایستگاه متغیر و مطابق رابطۀ (1) به یکدیگر وابسته بودند (میلر[vii] و همکاران، 1998). پاپاجورجیو و روتستین نیز در همین سال مدل برنامه‌ریزی خطی مختلطی را ارائه کردند (پاپاجورجیو[viii] و روتستین[ix]، 1998)، که ابعاد ایستگاه‌ها در آن ثابت در نظر گرفته شده بود و ایستگاه‌ها قابلیت چرخش در راستای محورهای مختصاتی را داشتند.
در سال 1999، کیم و کیم یک مدل برنامه‌ریزی ریاضی ارائه کردند که در آن برای ایستگاه‌ها مکان‌های ورودی و خروجی در نظر گرفته شده بود (کیم[x] و کیم، 1999). تابع هدف این مدل حداقل‌کردن هزینۀ حمل و نقل مواد و قطعات بین ورودی و خروجی ایستگاه‌ها بود.
شکل ایستگاه‌ها نیز یکی از عوامل مهم در مسأله جانمایی است و به دو صورت اشکال منظم و نامنظم در نظر گرفته شده است. معمولاً ایستگاه‌های با شکل منظم از یک مستطیل و شکل نامنظم از اشتراک چند مستطیل به‌هم چسبیده تشکیل شده‌اند. در مقالات منتشرشده، باتوجهبه ماهیت سیستم‌های مطالعه‌شده و پیچیدگی محاسباتی، فرمول‌بندی مدل‌هایی شامل ایستگاه‌هایی با اشکال نامنظم در فضای پیوسته کمتر مدنظر بوده است. در سال 2001، باربوساو همکاران یک مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط با در نظر گرفتن جزئیاتی مانند مکان‌های ورودی و خروجی متعدد، اشکال نامنظم و قابلیت چرخش دستگاه‌ها ارائه کردند (باربوسا[xi] و همکاران، 2001). در این پژوهش، نسبت ابعاد دستگاه‌ها ثابت در نظر گرفته شده است و هدف آن جانمایی دستگاه‌ها در کارخانه‌های تولیدِ پیوسته بود؛ به‌نحوی‌که هزینۀ ارتباط و اتصالات دستگاه‌ها حداقل شود.
پاتسیاتزیس و همکاراندر سال‌های 2002 و 2004 یک مدل برنامه‌ریزی ریاضی ارائه کردند که هدف آن نشان‌دادن ریسک مربوط به انتشار حادثه از یک منبع مشخص به سایر تجهیزات بود (پاتسیاتزیس[xii] و پاپاجورجیو، 2002؛ پاتسیاتزیس و پاپاجورجیو، 2005). در سال 2003، شرالیو همکاران از تقریب چندوجهی برای محدودیت‌های مربوط به فضا استفاده کردند که دقت آن را تعدادی محدودیت خطی مشخص می‌کرد (شرالی و همکاران، 2003). آنها همچنین کاهش متقارن مسأله[xiii]، محدودیت‌های جایگزین و قوانین شاخه‌‌زدن را برای بهبود سرعت محاسباتی توسعه دادند.
در سال 2005، کاستیلوو همکاران، دو مدل برنامه‌ریزی ریاضی مختلط عدد صحیح با به کار بردن محدودیت‌های شکست متقارن[xiv] ارائه کردند و در نتایج محاسباتی نشان دادند که کارایی خوبی دارد (کاستیلو و وسترلوند[xv]، 2005). یانکوویچو همکاراندر سال 2011، چارچوب کلی دو‌مرحله‌ای برای مسأله جانمایی نشان دادند که شامل دو مدل ریاضی است (یانکوویچ[xvi]، 2011). مدل نخست موقعیت نسبی ایستگاه‌ها را مشخص می‌کند و براساس آزادسازی محدب مسأله جانمایی است و مدل دوم با استفاده از بهینه‌سازی نیمه‌معین، جانمایی نهایی ایستگاه‌ها را مشخص می‌کند. آنها در نتایج محاسباتی خود نشان دادند این روش برای مسائلی با ابعاد کوچک کارایی مناسبی ندارد؛ ولی در مسائلی با ابعاد وسیع کارا است.
بسیاری از پژوهش‌های منتشرشده در حوزۀ مسائل جانمایی به روش‌های حل این مسأله پرداختند. رویکردهای منتشرشده به روش‌های حل دقیق, حل ابتکاری و فرا ابتکاری و حل با روش‌های هوش مصنوعی تقسیم می‌شوند. شارما و سینگهال در سال 2016 برخی از این روش‌ها را بررسی و دسته‌بندی کردند ( شارما[xvii] و سینگهال[xviii]، 2016).
باتوجهبه سخت‌افزارهای موجود، روش‌های حل دقیق قابلیت حل مسائلی با تعداد ایستگاه محدود (کمتر از 15 ایستگاه) را دارند. برای حل مسائل با ابعاد بزرگتر باید از سایر روش‌های غیردقیق استفاده شود. در سال 2015 آنجوس و مانوئل روشی را برای حل مسائل با ابعاد بزرگ ارائه کردند که شامل دو مرحله بود. مرحلۀ نخست آن شامل یک مدل غیرخطی است که تقریبی از موقعیت ایستگاه‌ها را تعیین می‌کند و مدل دوم یک مدل بهینه‌سازی محدب است که جواب شدنی مسأله را تعیین می‌کند (آنجوس[xix] و ویرا[xx]، 2015)
تابع هدف مسائل جانمایی: در بیشتر پژوهش‌های ارائه‌شده در حوزۀ مسائل جانمایی، هدف اصلی، چیدمان ایستگاه‌ها به‌نحوی است که هزینۀ حمل و انتقال مواد بین ایستگاه‌های کاری حداقل شود (میلر و همکاران، 1998). در مسأله جانمایی علاوه بر هزینۀ حمل و انتقال مواد و قطعات بین ایستگاه‌ها، عوامل دیگری نیز مؤثر هستند و بر یکدیگر کنش هم‌زمان دارند؛ به‌طوری‌که بر شرایط و محدودیت‌های مسأله جانمایی تأثیرگذار هستند. از جملۀ این عوامل کارکردهای زیر هستند:
- مهندسی محصول؛
- انتخاب فرآیند ساخت محصولات؛
- تعیین ایستگاه‌های کاری و دستگاه‌ها؛
- انتخاب مسیر ساخت و جریان مواد؛
- تعیین زمان‌بندی و توالی عملیات؛
- فضای در دسترس کارخانه؛
- انتخاب سیستم‌های حمل و نقل؛
- سیاست‌های انبارش و انبارهای میانی؛
- محدودیت‌های چیدمان مانند ایستگاه‌های ثابت، درب‌های ورودی و خروجی، محدودیت‌های ایمنی دستگاه‌ها.
هرکدام از موارد فوق تأثیر به‌سزایی در خروجی حاصل از مسأله جانمایی دارد و در نظر نگرفتن هریک ممکن است سبب شود چیدمان حاصل اثربخشی لازم را نداشته باشد؛ بنابراین تابع هدف در مسأله جانمایی عمدتاً متناسب با حوزه‌های مختلف مدنظر طراحان جانمایی در کارخانه است؛ به‌طوری‌که علاوه بر حداقل‌کردن هزینۀ حمل و انتقال مواد و قطعات بین ایستگاه‌ها، بهینه‌کردن هم‌زمان هرکدام از عوامل فوق را نیز در بر می‌گیرد. کارشناسان برای لحاظ‌کردن عوامل فوق در مسأله چیدمان تجهیزات، از دو رویکرد فرمول‌بندی سلسله‌مراتبی و یکپارچه استفاده کرده‌اند. این رویکرد در ادامه شرح داده خواهد شد.
فرمول‌بندی سلسله‌مراتبی (تک‌هدفه): در این رویکرد، چیدمان تجهیزات و ایستگاه‌ها بخش مهمی از فاز طراحی کارخانه بهصورت سلسله‌مراتبی بعد از مراحل طراحی فرآیند و عملیات انجام می‌شود (اپل، 1991). هدف مدل‌های ارائه‌شده در این رویکرد عمدتاً چیدمان ایستگاه‌ها و تجهیزات به‌نحوی است که هزینۀ حمل و انتقال مواد حداقل شود. مهم‌ترین اطلاعات ورودی مسأله جانمایی در این رویکرد، ایستگاه‌های کاری، نمودار از- به جریان مواد و قطعات و هزینۀ حمل و نقل بین ایستگاه‌ها است. این اطلاعات خروجی فازهای فرآیند و عملیات هستند که پس از انتخاب فرآیند و عملیات ساخت مناسب محصول مدنظر، انتخاب ماشین‌آلات و تجهیزات تولیدی، همچنین تعیین مسیر تولید و توالی عملیات محصولات روی تجهیزات و ایستگاه‌های کاری به دست می‌آیند.
فرمول‌بندی یکپارچه (چند‌هدفه): همان‌طور‌که عنوان شد در مسأله جانمایی عوامل مختلفی تأثیرگذار هستند؛ برای مثال کارکردهای طراحی محصول، فرآیند، برنامۀ زمانی و چیدمان مطابق شکل 1 برهم‌کنش دارند (فرانسیس[xxi]، 1992).
|
طراحی محصول |
|
طراحی برنامه زمانی |
|
طراحی چیدمان |
|
طراحی فرآیند |
شکل 1- تأثیر عوامل مختلف بر طراحی چیدمان
در رویکرد فرمول‌بندی سلسله‌مراتبی به‌علت فقدان دید یکپارچه و کل‌نگر در فرمول‌بندی‌ها، ممکن است تصمیماتی اخذ شود که تا آن مرحله بهترین راه‌حل باشد؛ ولی در مراحل بعد با ایجاد شرایط و محدودیت‌های جدید بهترین گزینه نباشد؛ به‌عبارت‌دیگر در این رویکرد به این دلیل که همواره با تعدادی مسأله کوچک و محدودتر مواجه هستیم ممکن است راه‌حل‌هایی را از دست دهیم که می‌توانست برای سیستم کاملاً مقرون به صرفه باشد.
در همین راستا پژوهش‌هایی منتشر شده است که هدف آنها علاوه بر حداقل‌کردن هزینۀ طراحی چیدمان کارخانه، حداقل‌کردن هزینۀ طراحی ایستگاه‌ها، انتخاب بهینۀ ساختار ارتباطی، طراحی مسیرهای حمل و نقل، زمان‌بندی، برنامۀ تولید و ... بهصورت هم‌زمان است. از جملۀ این پژوهش‌ها مقالۀ رالف[xxii]و همکاران در سال 1996 است که هدف آن ارائۀ مدلی یکپارچه برای انتخاب دستگاه‌ها، زمان‌بندی و جانمایی ایستگاه‌ها و در نظر گرفتن انبارهای میانی در کارخانه‌های تولید پیوسته بود (رالف و همکاران، 1996). در این سال، پنتآدو[xxiii] و سیریک[xxiv] نیز یک مدل برنامه‌ریزی غیرخطی مختلط عدد صحیح برای تعیین چیدمان تجهیزات، تعیین تعداد دستگاه‌های حفاظتی و ریسک‌های مالی و امواج منتشرشده از آنها ارائه کردند (پنتآدو و سیریک 1996).
در سال 2002، باربوساو همکاران مقاله‌ای با رویکرد انتخاب دستگاه‌های موردنیاز برای تولید محصولات و جانمایی آنها به‌طور هم‌زمان منتشر کردند (باربوسا و همکاران، 2002). در سال 2005، پاتسیاتزیس و همکاران نیز یک مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط برای فرمول‌بندی چیدمان، طراحی ساختار ارتباطی و برنامه‌ریزی تولید بهصورت هم‌زمان ارائه دادند (پاتسیاتزیس و همکاران، 2005).
بوک[xxv] و هوبرگ[xxvi] در سال 2007، یک رویکرد یکپارچه برای جانمایی و طراحی مسیرهای حمل و نقل بهصورت هم‌زمان ارائه دادند (بوک و هوبرگ، 2007). در این رویکرد ابتدا فضا به سلول‌های واحد تقسیم می‌شود، سپس فرآیند استقرار و طراحی مسیرهای حمل و نقل انجام می‌شود. تقوی[xxvii]و مورات[xxviii] نیز در سال 2011 یک مدل غیرخطی برای طراحی جانمایی ایستگاه‌ها و جریان مواد بین آنها به‌طور هم‌زمان ارائه کردند و با رویکردی ابتکاری مدل را حل کردند (تقوی و مورات، 2011).
باربوسا در سال 2007، مروری از پژوهش‌های منتشرشده در زمینۀ طراحی و جانمایی تجهیزات در کارخانه‌های تولید دسته‌ای[xxix] یا کارگاهی ارائه کرد (باربوسا، 2007). برخی نقاط ضعف پژوهش‌های منتشرشده با رویکرد طراحی و جانمایی هم‌زمان که در این مقاله ذکر شده است، به‌شرح ذیل است:
- باتوجهبه اینکه توابع هدف این رویکرد چند‌هدفه هستند، موازنه‌کردن اهداف متناسب با ماهیت آنها چالش ایجاد می‌کند؛
- طراحی یکپارچه در حوزه‌های مختلف طراحی کارخانه، هزینه‌های مالی زیادی (از نظر منابع و زمان) دارد؛
- مدل‌های ارائه‌شده دارای پیچیدگی محاسباتی زیادی هستند.
علاوه بر موارد فوق، مدل‌ها متناسب با هدف پژوهشگران تنها به یک یا چند جنبۀ طراحی فرآیند، طراحی عملیات و طراحی کارخانه ( مانند انتخاب تجهیزات متناسب با ظرفیت تولیدی آنها، طراحی ساختار ارتباطی دستگاه‌ها، زمان‌بندی و جانمایی تجهیزات) توجه کرده‌اند و سایر جوانب آن مانند مشخصه‌های کیفی دستگاه‌ها، تحلیل روش‌های تولید، نیروی انسانی، استراتژی‌های تولید و انبارش و تحلیل جریان مواد را در نظر نگرفته‌اند.
ضرورت پژوهش
همان‌طور‌که قبلاً ذکر شد در طراحی کارخانه، اطلاعات ورودی برخی مراحل، وابسته به کارکردهای قبلی است؛ برای مثال انتخاب زمان‌بندی تولید به انتخاب مسیر تولید محصول و انتخاب مسیر تولید به عواملی مانند عملیات موردنیاز ساخت، کیفیت محصول و ظرفیت ماشین‌آلات وابسته است. در پیش گرفتن رویکردهای یکپارچه سبب می‌شود تا ناحیۀ جواب با به وجود آمدن حالت‌های احتمالی ممکن به‌شدت وسیع شود. این امر رسیدن به جواب‌های بهینه را دشوار می‌کند. از طرفی باتوجهبه ماهیت مدل‌های ریاضی، برای ساده‌کردن سیستم‌های پیچیده با توسعۀ ابعاد مدل‌ها، ممکن است برخی از جوانب تاًثیرگذار در طراحی کارخانه در نظر گرفته نشود. این امر باعث می شود جواب‌های به‌دست‌آمده کاملاً عملیاتی و اجرایی نباشند.
با وجود این مباحث، این پرسش مطرح می‌شود که مسأله باید در چه سطحی از یکپارچه‌سازی حوزه‌های مختلف طراحی یک کارخانه فرمول‌بندی شود؟ پاسخ این سؤال را فرانسیس در کتاب خود بهصورت زیر مطرح می‌کند: « به‌طور‌کلی مسأله باید چنان فرمول‌بندی شود که در آن موقعیت اقتصادی، محدودیت‌های زمانی و امکانات سازمانی را در بر گیرد » (فرانسیس، 1992).به‌عبارت‌دیگر طراحان کارخانه باید در مراحل مختلف، کارکردهای طراحی کارخانه را چنان فرمول‌بندی کنند که:
1- منابع و امکانات ( نیروی انسانی، زمان و هزینه) صرف‌شده سازمان برای ایجاد و استفاده از این فرمول‌بندی‌ها موجه باشند؛
2- فرمول‌بندی‌های ارائه‌شده حل‌شدنی بوده و راه‌حل‌های حاصل نیز قابل استفاده و اجرایی باشند؛
بر این اساس، هدف این پژوهش ارائۀ رویکردی برای فرمول‌بندی مسأله جانمایی با در نظر گرفتن کارکردهای حوزه‌های مختلف مسأله طراحی کارخانه ( که دارای برهم‌کنش هستند) است. برای جلوگیری از پیچیدگی فرمول‌بندی مدل (به‌علت استفاده از رویکرد یکپارچه‌سازی) فرض می‌شود در مراحل قبل از فاز جانمایی مسأله طراحی کارخانه، ابتدا تیم مهندسی و طراحی متناسب با نظر طراحان، کارکردها را مدل‌سازی می‌کنند. سپس مدل‌های حاصل به‌گونه‌ای حل می‌شوند که بجای یک جواب بهینه مجموعه‌ای از جواب‌های برتر در قالب گروه‌های کاندید ایجاد شود، به‌طوری‌که این مجموعه جواب‌ها به‌عنوان ورودی مسأله جانمایی استفاده شوند. به‌عبارت‌دیگر نوآوری این رویکرد، ارائۀ مدلی برای چیدمان ایستگاه‌ها با ویژگی‌های زیر است:
- اخذ نمودارهای متفاوت جریان در قالب گروه‌های کاندید از خروجی فاز طراحی فرآیند و عملیات به‌طوری‌که هر مسأله می‌تواند شامل چند گروه کاندید باشد. هر گروه کاندید دارای چند ساختار ارتباطی متفاوت است.
- قابلیت حذف یا اضافه‌کردن ایستگاه‌ها در گروه‌های کاندید.
- هر ایستگاه می‌تواند در ساختارهای متفاوت گروه‌های کاندید ابعاد متفاوتی داشته باشد.
روش ارائه‌شده نوعی رویکرد یکپارچه است که در آن ناحیۀ جواب مسأله در بخش‌های غیر از چیدمان (مانند بخش‌های طراحی فرایند و عملیات ساخت، طراحی ایستگاه‌ها، طراحی توالی عملیات، طراحی سیستم‌های حمل و نقل، طراحی انبارها، کیفیت محصول، بالانس ایستگاه‌ها) به تعداد محدودی از ساختارهای کاندید طراحان فرآیند و عملیات محدود شده است؛ به‌عبارت‌دیگر در این رویکرد، ناحیۀ جواب مسأله جانمایی تنها حوزه‌هایی از فازهای طراحی فرآیند و عملیات را در بر می‌گیرد که طراحان کارخانه مشخص می‌کنند. این امر سبب می‌شود رویکرد ارائه‌شده مزایای رویکردهای جانمایی سلسله‌مراتبی مانند هزینۀ کمتر، سرعت بالاتر در مدل‌سازی و حل، کاهش پیچیدگی محاسباتی مسأله حاصل و همچنین مزایای رویکرد یکپارچه به‌خاطر تصمیم‌گیری دربارۀ نحوۀ چیدمان ایستگاه‌ها باتوجهبه کارکردهای مختلف که به‌طور هم‌زمان بر مسأله جانمایی تأثیر دارند را توأماً داشته باشد. در این پژوهش از رویکرد فوق با عنوان رویکرد جانمایی براساس گروه‌های کاندید استفاده می‌شود.
شرح مسأله
در این رویکرد فرض می‌شود ابتدا طراحان، فاز طراحی و عملیات را با طی مراحل ذیربط آن با استفاده از روش و ابزارهای موجود در آن حوزه انجام می‌دهند. سپس بجای انتخاب یک طرح (یک نمودار از-به جریان) و معرفی آن به‌عنوان خروجی به مراحل بعد (چیدمان ایستگاه‌ها)، مجموعه‌ای از طرح‌های برتر را ارائه می‌کنند و تصمیم‌گیری برای انتخاب بهترین طرح (نمودار از-به جریان) را به مسأله جانمایی واگذار می‌کنند. برای ساده‌شدن مسأله فرض می‌شود مجموعۀ چند ایستگاه که دارای چند ساختار ارتباطی (نمودار از-به) هستند بهصورت مجازی تشکیل یک گروه کاندید را می‌دهند. به این ترتیب هدف از حل مسأله جانمایی، تعیین چیدمان بهینۀ ایستگاه‌ها و انتخاب ساختار ارتباطی بهینۀ گروه‌های کاندید است.
برای شرح مدل فرض می‌شود، طراحان فرآیند و عملیات، مطابق شکل 2 ساختارهای ارتباطی (نمودار از-به) یک خط تولید شامل 11 ایستگاه کاری را با دو گروه کاندید مشخص کرده‌اند. هر گروه کاندید شامل دو طرح مجزا و مستقل با ویژگی‌های از پیش تعیین شده است.
|
نمودار از- به جریان گروه‌های کاندید |
ساختار ارتباطی گروه‌های کاندید |
ساختار |
گروه کاندید |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
سایر ارتباطات |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
شکل 2- ساختارهای ارتباطی پیشنهادی طراحان فرآیند و عملیات
در این مثال، ایستگاه 1 و 2 از نوع اَرّه‌کاری، ایستگاه 3 و 4 تراش‌کاری، ایستگاه 5 پولیش‌کاری، ایستگاه‌های 6، 7 و 8 ایستگاه‌های مونتاژ، ایستگاه 9 انبارش قطعات نیمه‌ساخته و ایستگاه‌های 10 و 11 بسته‌بندی هستند. همان‌طور‌که در شکل مشاهده می‌شود در گروه کاندید 1 ایستگاه‌های 1 الی 5 متناسب با قابلیت ایستگاه‌ها و ماهیت فرآیند دارای دو توالی جریان است. چنانچه ساختار 1 عملیات را تقسیم می‌کند و بخشی را روی دستگاه 3 و بخش تکمیلی را روی دستگاه 4 برای همۀ قطعات ورودی انجام می‌دهد؛ ولی در ساختار 2 عملیات به‌طور مجتمع ولی موازی روی دستگاه‌های 3 و4 انجام می‌شود. در گروه کاندیدِ 2 نیز جریان مواد بین ایستگاه‌های 5 الی 8 مستقیم یا با واسطۀ انبار میانی (ایستگاه 9) بین ایستگاه‌ها برقرار می‌شود.
لازم به ذکر است که هریک از ساختارهای گروه‌های کاندید دارای هزینه‌های مجزا از قبیل هزینۀ دستگاه‌ها، هزینۀ موجودی نیمه‌ساخته، هزینۀ توقف ایستگاه‌ها به‌علت نبود قطعه و هزینۀ حمل و نقل متناسب با ویژگی‌های آن ساختار هستند.
در این رویکرد وجود و یا نبود برخی ایستگاه‌ها بستگی به ساختارهای گروه کاندید دارد؛ برای مثال در جواب نهایی شکل 2، اگر در گروه کاندید دوم ساختار 2 انتخاب شود، ایستگاه 9 (انبارش) وجود دارد؛ در‌غیر‌این‌صورت ایستگاه 9 تخصیص پیدا نمی‌کند. برای سهولت، ایستگاه‌هایی که وجود یا نبود آنها وابسته به ساختارهای گروه‌های کاندید است، ایستگاه‌های کاندید نامیده می‌شوند.
یکی از کاربردهای مهم جانمایی ایستگاه‌ها با رویکرد گروه‌های کاندید در حیطۀ چگونگی انبارش قطعات نیمه‌ساخته است. انبارهای نیمه‌ساخته اهمیت زیادی دارند؛ این اهمیت به‌دلیل تأثیر زیادی است که بر هزینۀ موجودی نیمه‌ساختۀ در جریان تولید، توقفات ایستگاه‌ها به‌دلیل کسری قطعات، فضای در دسترس و حمل و نقل دارند. این رویکرد در تعیین تعداد و ابعاد انبارهای میانی و ساختارهای ارتباطی انبار با سایر ایستگاه‌ها به‌کار می‌رود. در این روش انبارهای میانی نقش ایستگاه‌های کاندید و مراکز توزیع را ایفا می‌کنند و وظیفۀ تقسیم جریان مواد بین ایستگاه‌ها را دارند.
یکی دیگر از کاربردهای جانمایی ایستگاه‌ها با رویکرد گروه‌های کاندید، تفکیک یا الحاق چند ایستگاه به یکدیگر است؛ برای مثال چند فعالیت می‌تواند در ایستگاه‌های مجزا و یا در یک ایستگاه بزرگتر انجام شود. در این شرایط انواع حالت‌ها و ساختارهای مختلف ایستگاه‌ها تحت گروه‌های کاندید در مسأله جانمایی با رویکرد گروه‌های کاندید هستند.
توالی عملیات قطعات در تولید کارگاهی نیز یکی دیگر از کاربردهای این رویکرد است. تعیین مسیر جریان قطعات مختلف در تولید کارگاهی ممکن است به چند روش با هزینه‌های یکسان و یا نزدیک به‌هم امکان‌پذیر باشد. در این شرایط انواع مسیرهای تولید بهینه که از مرحلۀ تعیین توالی عملیات به دست می‌آید، تحت عنوان گروه‌های کاندید تعریف می‌شوند.
فرمول‌بندی مسأله: این مسأله بهصورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط فرمول‌بندی شده است که در آن متغیرهای صفر و یک بیانگر مشخصه‌های مکانی- ارتباطی و متغیرهای پیوسته بیانگر فاصله و مختصات ایستگاه‌ها هستند. در این مدل چیدمان ایستگاه‌ها در فضایی باز، پیوسته و دوبعدی مدنظر است. همچنین افق جانمایی برای دوره‌ای طولانی فرض و مفروضات ذیل در نظر گرفته شده است:
- هر مدل می‌تواند شامل چند گروه کاندید باشد؛
- هر گروه کاندید حداقل شامل دو ساختار ارتباطی (نمودار از-به جریان) متفاوت است؛
- طراحان فرایند و عملیات، ساختار ارتباطی (نمودارهای از-به جریان) ایستگاه‌ها در هر ساختار گروه‌های کاندید و سایر ارتباطات ایستگاه‌ها را از پیش مشخص کرده‌اند؛
- ایستگاه‌های کاندید (در صورت وجود) در هر گروه کاندید، مشخص است؛
- هزینۀ حمل و نقل قطعات بین ایستگاه‌ها، هزینۀ مربوط به ساختارهای گروه‌های کاندید (تجهیزات اضافی، تأسیسات، موجودی نیمه‌ساخته) و سایر هزینه‌ها پیش‌بینی شده است؛
- ایستگاه‌ها دارای شکل هندسی مستطیلی و ابعاد آنها در یک فضای دوبعدی است و قابلیت چرخش بهصورت 0 و 90 درجه را دارند؛
- ابعاد یک ایستگاه، متناسب با فضای موردنیاز برای انبارش قطعات و مواد اولیه در ساختارهای گروه‌های کاندید، متفاوت است و نسبت به یکدیگر وابستگی خطی داشته دارند؛
- فضای مدل محدود است؛
- فواصل بین ایستگاه‌ها بهصورت پله‌ای و بین مراکز آنها است و ملاحظات ایمنی برای فواصل دستگاه‌ها در نظر گرفته می‌شود.
در این مدل فرض می‌شود ماتریس هزینه از حاصل‌ضرب ماتریس جریان (نمودار از-به جریان) در ماتریس هزینۀ حمل و نقل مواد بین ایستگاه‌ها به دست می‌آید. همچنین پاسخ مدل، موارد زیر را تعیین می‌کند:
- جانمایی بهینۀ کارخانه (مختصات و جهت قرار گرفتن ایستگاه‌ها)؛
- انتخاب ساختار بهینۀ ارتباطی ایستگاه‌ها (ارتباط ایستگاه‌ها با یکدیگر در گروه‌های کاندید، همچنین انتخاب و تخصیص ایستگاه‌های کاندید موردنیاز) باتوجهبه ساختار بهینۀ گروه‌های کاندید براساس هزینه‌های موجودی در جریان ساخت، هزینۀ ارتباط ایستگاه‌ها، فضای در دسترس و سایر هزینه‌ها.
در این مدل مطابق شکل 3، ایستگاه‌ها با نماد i یا j و مرکز هندسی (xj , yj) و ابعاد (aj , bj) در راستای محورهای x و y مشخص می‌شوند. همچنین ایستگاه‌ها دارای ابعاد متفاوت (αرjkh , βjkh ) متناسب با فضای مورد نیازشان (تجهیزات، انبارش و ...) در ساختار k ام گروه کاندید h ام هستند. در این حالت ابعاد ایستگاه‌ها متناسب با ساختار انتخابی در حل نهایی مشخص می‌شود.
|
bj |
|
x |
|
y |
|
aj |
|
xj |
|
yj |
شکل 3- موقعیت پایه‌ای و شکل هندسی ایستگاه j
برای سهولت شرح مدل، مجموعه GH، مجموعۀ تمام ایستگاه‌های کاندید مدل در نظر گرفته می‌شود و وجود یا نبود آنها متناسب با ساختار انتخابی گروه‌های کاندید است. در ادامه تابع هدف و محدودیت‌های مدل شرح داده می‌شود.
تابع هدف
تابع هدف براساس حداقل‌کردن مجموع هزینۀ حمل و نقل قطعات بین ایستگاه‌ها و حداقل‌کردن هزینۀ ساختار ارتباطی گروه‌های کاندید مطابق رابطۀ (2) تعریف می‌شود.
|
(2) |
در رابطۀ (2)، linksh بیانگر مجموعۀ ایستگاه‌های گروه کاندید h ام است. عبارت نخست بیانگر هزینۀ حمل و انتقال مواد و قطعات بین ایستگاه‌هایی است که دو ایستگاه عضو یک گروه کاندید نباشند ، عبارت دوم بیانگر هزینۀ حمل و انتقال مواد و قطعات ایستگاه‌های عضو گروه‌های کاندید و هزینۀ موجودی نیمه‌ساخته و سایر هزینه‌هایی است که طراحان فرآیند و عملیات مشخص می‌کنند. این موارد مطابق محدودیت رابطۀ (3) محاسبه می‌شود ( میری و رضوی, 1391).
|
(3) |
|
|
(4) |
در رابطۀ (3) عبارت نخست بیانگر هزینۀ حمل و انتقال مواد و قطعات بین ایستگاه‌ها در ساختار k ام گروه کاندید h ام است. توجه شود که در گروه کاندید hام، ارتباط ایستگاه‌ها باید تنها از طریق یکی از ساختارهای معرفی‌شده بوسیلۀ طراحان فرآیند و عملیات برقرار شود؛ به‌عبارت‌دیگر در هر گروه کاندید از بین چند نمودار از- به جریان معرفی‌شده نهایتاً یک نمودار انتخاب خواهد شد. Πhk نیز اختلاف هزینه‌ای است که در صورت انتخاب ساختار ارتباطی k ام گروه کاندید hبه هزینۀ چیدمان افزوده می‌شود که متناسب با نرخ تولید، سطح موجودی نیمه‌ساخته، میزان توقفات ایستگاه مقصد به دلایل ناشی از کمبود قطعه و هزینۀ تجهیزات و تأسیسات هر ساختار است. رابطۀ (4) نیز تضمین می‌کند تنها یکی از ساختارهای طراحی‌شده برای گروه کاندید h ام انتخاب می‌شود. در روابط بالا whk متغیر صفر و یک انتخاب یا عدم انتخاب kامین ساختار ارتباطی گروه کاندید hام است (علی اصغر میری و رضوی, 1391).
محدودیت‌های تخصیص ایستگاه‌های کاندید
وجود و نبود ایستگاه‌های کاندید وابسته به ساختار انتخابی گروه کاندید است؛ برای مثال در شکل 2، ارتباط ایستگاه‌های 1 الی 6 در ساختار 2، با واسطۀ انبار میانی و در ساختار 1، بدون واسطۀ انبار میانی برقرار می‌شود. درصورتی به این گروه، انبار میانی (ایستگاه 9) تخصیص پیدا می‌کند که ساختار2 انتخاب شود. برای این منظور رابطۀ (5) معرفی شده است ( میری و رضوی، 1391).
|
(5) |
در رابطۀ (5)، k نمایانگر شمارۀ ساختار گروه کاندید hام و Structurejh مجموعه ساختارهای گروه کاندید hام است که در آن ایستگاه کاندید j وجود دارد. Ej متغیر صفر و یک تخصیص ایستگاه j ام است که از مجموع متغیرهای صفر و یک ساختارهای گروه کاندید hام به دست می‌آید که در آن ایستگاه j ام وجود دارد .
محدودیت‌های جهت ایستگاه: مطابق مفروضات مدل، ایستگاه‌ها قابلیت چرخش در راستای افقی و عمودی را دارند. برای تعیین جهت و ابعاد ایستگاه j ام با ابعاد ثابت از محدودیت‌های (6) تا (9) استفاده می‌شود.
|
(6) |
|
|
(7) |
|
|
(8) |
|
|
(9) |
در روابط (6) الی (9)، lj و dj به‌ترتیب بیانگر طول و عرض (در راستای محور x و y) و rj متغیر صفر و یک، جهت ایستگاه است که در صورت صفرشدن محدودیت‌های (6) و (7) مؤثر است؛ در نتیجه دستگاه در حالت پایه (افقی) قرار می‌گیرد و در‌صورتی‌که مقدار 1 را بپذیرد، محدودیت (8) و (9) مؤثر است و ایستگاه در حالت عمودی واقع می‌شود. گاهی مواقع، ابعاد ایستگاه‌ها متناسب با ماهیت آنان (برای مثال ایستگاه‌های انبارش و مونتاژ) با رابطه‌ای خطی به یکدیگر وابسته می‌شوند. در این حالت ابعاد و جهت ایستگاه‌ها مطابق روابط (10) تا (12) محاسبه می‌شوند.
|
(10) |
|
|
(11) |
|
|
(12) |
در این حالت طول و عرض ایستگاه مطابق رابطۀ (10) بهصورت خطی به یکدیگر وابسته هستند. روابط (11) و (12) نیز مشخص می‌کنند ابعاد ایستگاه باید از حداقل طول و عرض موردنیاز آن در ساختار k ام که بوسیلۀ طراحان فرآیند تعیین شده است، بیشتر باشد. در شرایطی که ایستگاه j ، عضو هیچ گروه کاندیدی نباشد یا در تمام ساختارهای گروه‌های کاندید دارای طول و عرض ثابت aj و bj باشد از محدودیت‌های (13) و (14) ( که مشابه آن پاپاجورجیو و روستین ، در سال 1998 معرفی کرده است) برای تعیین ابعاد و جهت آن استفاده می‌شود (پاپاجورجیو و روستین، 1998).
|
(13) |
|
|
(14) |
در شرایطی که ابعاد ایستگاه‌ها به یکدیگر وابسته باشند از روابط (15) تا (17) استفاده می‌شود.
|
(15) |
|
|
(16) |
|
|
(17) |
در روابط بالا Md یک حد بالای مناسب برای فواصل ایستگاه‌ها است.
محدودیت‌های عدم‌تداخل و ایمنی: دو ایستگاه نباید فضای مشترکی را اشغال کنند؛ به‌همین منظور از مجموعه محدودیت‌های (15) تا (17) برای کنترل عدم‌تداخل و فاصلۀ ایمنی دو ایستگاه غیرکاندید j و i استفاده می‌شود (باربوسا و همکاران، 2001). این محدودیت‌ها در مدل باربوسا و همکاران (2001) معرفی شد. در این روابط متغیرهای صفر و یک E1ji و E2ji برای عدم تداخل ایستگاه‌ها استفاده شده‌اند. همواره یکی از محدودیت‌های (18) تا (21) مؤثر خواهد بود.
|
(18) |
|
|
(19) |
|
|
(20) |
|
|
(21) |
برای ایجاد شرایط ایمنی در کارخانه‌ها، برخی از ایستگاه‌ها باید دارای حداقل فاصلۀ ایمنی مشخصی از یکدیگر باشند. در روابط بالا Zxjimin و Zyjiminبیانگر حداقل فاصلۀ ایمنی بین دو دستگاه j و i است که براساس شرایط ایمنی دستگاه‌ها توسط طراحان فرآیند مشخص می‌شود.
برای کنترل عدم تداخل ایستگاه j و ایستگاه کاندید i نیز مجموعه محدودیت‌های (22) تا (24) معرفی شده‌اند. در این روابط، Ei متغیر صفر و یک، وجود یا نبود ایستگاه کاندید i ام است و در صورت صفرشدن سبب می‌شود محدودیت‌های (22) تا (24) غیر‌مؤثر شوند؛ این محدودیت‌ها به‌معنی نبود ایستگاه iام است. رابطۀ (25) نیز برای محدودکردن فضای جواب برای حل سریع‌تر مدل است (باربوسا و همکاران، 2001).
|
(22) |
|
|
(23) |
|
|
(24) |
|
|
(25) |
هنگامی‌که در ساختارهای ارتباطی ارائه‌شده بوسیلۀ طراحان بیش از دو ایستگاه کاندید وجود داشته باشد از مجموعه محدودیت‌های (26) - (29) برای کنترل عدم تداخل آنها استفاده می‌شود. در این روابط هنگامی‌که هر دو متغیر صفر و یک Ei و Ej مقدار یک را بگیرند همواره یکی از محدودیت‌های (26) الی (29) مؤثر است.
|
(26) |
|
|
(27) |
|
|
(28) |
|
|
(29) |
|
|
(30) |
|
|
(31) |
از محدودیت‌های (30) و (31) نیز برای محدودکردن فضای جواب برای حل سریع‌تر مدل استفاده می‌شود (باربوسا و همکاران، 2001).
محدودیت‌های فاصله: فاصلۀ بین دو ایستگاه jو i (Dji) برمبنای فاصلۀ مراکز هندسی آنها مطابق رابطۀ (32) بهصورت پله‌ای محاسبه می‌شود (فرانسیس، 1992).
|
(32) |
برای خطی‌شدن رابطۀ (32)، روابط (33) الی (35) معرفی شده است.
|
(33) |
|
|
(34) |
|
|
(35) |
محدودیت‌های فضای در دسترس کارخانه
محدودیت‌های (36)- (39) نیز باید باتوجهبه فضای در دسترس کارخانه تعریف شود. در این محدودیت‌ها Xmax و Ymax به‌ترتیب حداکثر طول و عرض مجاز برای استقرار ایستگاه‌ها در کارخانه هستند.
|
(36) |
|
|
(37) |
|
|
(38) |
|
|
(39) |
برای تبیین مدل ارائه‌شده، در ادامه چند مثال بیان و با نرم‌افزارILOG CPLEX 12.1(Cplex, 2010) حل دقیق می‌شود. ضمناً ابعاد بهصورت بدون واحد بیان شده‌اند؛ ولی همگی برحسب واحد مشترک و قابل مقایسه هستند. این موضوع برای هزینه‌ها نیز صادق است. همچنین باید توجه شود در کلیۀ نماهای چیدمان که برای مثال‌های مختلف آمده است، مبدأ مختصات در گوشۀ سمت چپ پائین تصویر فرض می‌شود.
مسائل موردی: در ادامه، دو مثال مطرح و بررسی می‌شود. در مثال نخست مسأله مربوط به مقالۀ سال 1998 پاپاجورجیو بررسی شده است (پاپاجورجیو و روتستین، 1998). مسأله دوم نیز بهصورت تصادفی ایجاد شده است. اطلاعات و پارامترهای ورودی مثال‌ها (به‌جز مثال 1) مانند ابعاد ایستگاه‌ها و هزینۀ ارتباط بین ایستگاه‌ها باتوجهبه مسائل جانمایی موجود در حوزۀ جانمایی بهصورت تصادفی ایجاد شده است. ابعاد ایستگاه‌ها با تابع یکنواخت بین 1 و 11 متر و هزینۀ ارتباط بین ایستگاه‌ها نیز با تابع یکنواخت بین 1 و 30 ایجاد شده‌اند.
مسأله 1: پاپاجورجیو و روستین (1998)، این مسأله را مطرح کرده‌اند. در این مسأله، استقرار 11 ایستگاه در کارگاهی در نظر گرفته شده است. طراحان فرآیند تولید، ساختار ارتباطی ایستگاه‌ها را مطابق شکل 4 ارائه کرده‌اند. جریان مواد بین ایستگاه‌ها و ابعادشان مطابق جداول 1 و 2 است.
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
5 |
|
7 |
|
8 |
|
10 |
|
11 |
|
9 |
شکل 4- ساختارهای ارتباطی ایستگاه‌ها در مسأله 1
جدول 1- نمودار جریان بین ایستگاه‌ها
|
جریان مواد بین ایستگاه‌هاi و j |
جریان مواد بین ایستگاه‌هاi و j |
||||
|
Cij |
j |
i |
Cij |
j |
i |
|
5 |
7 |
6 |
1 |
3 |
1 |
|
10 |
8 |
5 |
20 |
4 |
2 |
|
10 |
9 |
5 |
5 |
6 |
2 |
|
1 |
10 |
7 |
10 |
5 |
3 |
|
1 |
11 |
7 |
1 |
7 |
3 |
|
|
|
|
20 |
5 |
4 |
جدول 2- نمودار جریان بین ایستگاه‌ها
|
ابعاد ایستگاه‌ها |
ابعاد ایستگاه‌ها |
||||
|
j |
aj |
bj |
j |
aj |
bj |
|
1 |
5 |
3 |
7 |
5 |
5 |
|
2 |
6 |
6 |
8 |
5 |
3 |
|
3 |
6 |
6 |
9 |
6 |
6 |
|
4 |
5 |
5 |
10 |
2 |
1 |
|
5 |
6 |
6 |
11 |
3 |
2 |
|
6 |
5/4 |
5/4 |
|
|
|
جواب بهینه مطابق جدول 3 با مقدار تابع هدف 470 حاصل شده است.
جدول3- مختصات بهینۀ ایستگاه‌ها مسأله 1
|
مختصات ایستگاه‌ها |
مختصات ایستگاه‌ها |
||||||
|
rj |
yj |
xj |
j |
rj |
yj |
xj |
j |
|
0 |
75/7 |
5/14 |
7 |
0 |
5/9 |
3 |
1 |
|
1 |
14 |
5/13 |
8 |
0 |
3 |
9 |
2 |
|
0 |
20 |
9 |
9 |
0 |
14 |
3 |
3 |
|
1 |
25/11 |
5/15 |
10 |
0 |
5/8 |
9 |
4 |
|
0 |
25/4 |
18 |
11 |
0 |
14 |
9 |
5 |
|
|
|
|
|
0 |
3 |
25/14 |
6 |
در جدول 3 بهترین چیدمان (براساس تابع هدف مدنظر) باتوجهبه نمودار جریانی مشخص می‌شود که طراحان فرآیند تولید در مراحل قبل تعیین کرده‌اند. در مراحل قبل ممکن است طراحان فرآیند تولید با چندین طرح مواجه بوده باشند که باتوجهبه مقتضیات مرحلۀ طراحی، یک طرح را انتخاب کرده‌اند؛ برای مثال ممکن است نمودار جریان مواد «ایستگاه‌های 1، 2، 3، 4 و 6»، «ایستگاه‌های 3، 4، 5، 7»، «ایستگاه‌های 5، 8، 9» یا «ایستگاه‌های 7، 10، 11» در حالت‌هایی غیر از حالت ارائه‌شده با اضافه‌کردن یا حذف‌کردن برخی ایستگاه‌های کاندید امکان‌پذیر باشد. برخی حالت‌های محتمل در شکل 5 نمایش داده شده است.
رویکرد ارائه‌شده در این مقاله این امکان را برای طراحان فرآیند و عملیات فراهم کرده است که نمودارهای جریان متنوعی در قالب گروه‌های کاندید ارائه کنند و انتخاب نهایی نمودار جریان مواد در مرحلۀ طراحی چیدمان ایستگاه‌ها انجام شود.
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
کاندید |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
7 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
7 |
|
کاندید |
|
6 |
|
6 |
|
5 |
|
8 |
|
9 |
|
5 |
|
8 |
|
9 |
|
کاندید |
|
7 |
|
10 |
|
11 |
|
7 |
|
10 |
|
11 |
|
کاندید |
|
الف |
|
ب |
|
ج |
|
د |
شکل 5- ساختارهای ارتباطی محتمل ایستگاه‌ها مسأله 1
برای شرح بیشتر فرض کنید طراحان فرآیند تولید نمودار جریان مواد را در قالب دو گروه کاندید مطابق شکل 6 ارائه کرده‌اند. مطابق شکل، ساختارها در هر گروه دارای هزینه‌ای مختص خود هستند. ایستگاه‌های 12 و 13 ایستگاه کاندید هستند و در صورت انتخاب ساختارهای ارتباطی دوم تخصیص می‌یابند.
مطابق روش‌های توضیح داده‌شده، مسأله فرمول‌بندی و با استفاده از نرم‌افزار ILOG CPLEX 12.1 با رایانه‌ای به مشخصاتCor(TM)i7 CPU2.1 GHz وRAM 6GB در مدت زمان 5/461 ثانیه با تابع هدف 451 واحد حل شد. جواب بهینه و ساختار بهینه در جدول 4 نمایش داده شده است. برای رعایت اختصار متغیرهای واسطه از جدول 4 حذف و تنها متغیرهای نهایی آورده شده است. در جواب بهینه گروه‌های 1 و 2 به‌ترتیب ساختار 2 و 1 ساختار بهینه هستند (w11=0 , w12=1, w21=1 , w22=0) که در‌نتیجه، ایستگاه شمارۀ 12 به آن تخصیص پیدا کرده است.
ارتباطات گروه‌های کاندید |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ابعاد ایستگاه‌ها (وابسته به گروه‌های کاندید) |
نمودار از- به هزینه (Cpijkh×fpijkh) |
ساختار ارتباطی ایستگاه‌ها |
πhk |
k |
h |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
سایر ارتباطات (غیر کاندید) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ابعاد ایستگاه‌ها |
نمودار از- به هزینه(Cij×pij) |
ساختار ارتباطی ایستگاه‌ها |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
شکل 6- ساختارهای ارتباطی پیشنهادی طراحان فرآیند و عملیات برای مسأله 1 بر مبنای گروه‌های کاندی
جدول 4- مختصات بهینۀ ایستگاه‌های مسأله1 با رویکرد گروه‌های کاندید
|
مختصات ایستگاه‌ها |
مختصات ایستگاه‌ها |
||||||
|
rj |
yj |
xj |
j |
rj |
yj |
xj |
j |
|
0 |
14 |
25/5 |
8 |
0 |
5/8 |
75/14 |
1 |
|
0 |
20 |
75/9 |
9 |
0 |
26 |
3 |
2 |
|
0 |
5/0 |
5/17 |
10 |
0 |
14 |
75/15 |
3 |
|
0 |
5/3 |
21 |
11 |
0 |
5/8 |
75/9 |
4 |
|
0 |
5/8 |
75/12 |
12 |
0 |
14 |
75/9 |
5 |
|
- |
- |
- |
12 |
0 |
5/3 |
75/12 |
6 |
|
|
|
|
|
0 |
5/3 |
5/17 |
7 |
مسأله 2: فرض می‌شود استقرار 7 ایستگاه (6 دستگاه و یک انبار میانی) در کارگاهی به ابعاد 36×33 مدنظر است. مطابق شکل 4 طراحان ساختار ارتباطی ایستگاه‌های 1، 2، 3 و 4 را در دو ساختار براساس تخصیص و یا عدم تخصیص انبار میانی پیشنهاد داده‌اند. در این حالت فرض می‌شود دستگاه‌های مذکور تشکیل گروه کاندید را می‌دهند. مطابق شکل هر ساختار دارای مشخصات ابعادی و هزینه‌ای مختص خود است. ابعاد ایستگاه‌های 1 و 2 در دو ساختار یک و دو، متفاوت هستند. ایستگاه هفتم، کاندید است و درصورتی تخصیص می‌یابد که ساختار ارتباطی اول انتخاب شود. اختلاف هزینۀ سطح انبارش موجودی نیمه‌ساخته 100 واحد برای ساختار اول است.
مطابق روش‌های توضیح داده‌شده، مسأله فرمول‌بندی و در مدت زمان623/2 ثانیه با تابع هدف 5/917 واحد حل شد. جواب بهینه و ساختار بهینه در جدول 5 و شکل 8 نمایش داده شده است. برای رعایت اختصار متغیرهای واسطه از جدول 5 حذف و تنها متغیرهای نهایی آورده شده است. در گروه کاندید، ساختار 1، ساختار بهینه انتخاب شده است (w11=1) که در‌نتیجه، انبار میانی به آن تخصیص پیدا نکرده است.
|
ارتباطات گروه‌های کاندید |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ابعاد ایستگاه‌ها (وابسته به گروه‌های کاندید) |
نمودار از- به هزینه (Cpijkh×fpijkh) |
ساختار ارتباطی ایستگاه‌های |
πhk |
k |
h |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
100 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
سایر ارتباطات (غیر کاندید) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ابعاد ایستگاه‌ها |
نمودار از- به هزینه (Cij×pij) |
ساختار ارتباطی ایستگاه‌ها |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
شکل 7- ساختارهای ارتباطی پیشنهادی طراحان فرآیند و عملیات برای مسأله 1
در‌صورتی‌که فاصلۀ ایمنی بین ایستگاه‌ها مطابق جدول 6 باشد، جواب بهینه مطابق جدول 7 با مقدار تابع هدف 1165 حاصل می‌شود. این جواب در مدت زمان 92/2 ثانیه به دست آمده است. ساختار بهینۀ گروه کاندید نیز مجدداً ساختار 1 است و نتیجۀ آن عدم تخصیص انبار میانی است.
در ادامه عوامل تأثیرگذار در ساختار بهینۀ گروه‌های کاندید مانند هزینۀ ساختار گروه‌های کاندید (hkπ)، ابعاد کارگاه و هزینه‌های ارتباطی (حمل و نقل) بین ایستگاه‌ها بررسی می‌شود.
جدول 5- مختصات بهینۀ ایستگاه‌ها مسأله 1
|
مشخصات ایستگاه‌ها |
مشخصات ایستگاه‌ها |
||||||
|
rj |
yj |
xj |
j |
rj |
yj |
xj |
j |
|
1 |
5/18 |
5/5 |
5 |
0 |
5/3 |
5/5 |
1 |
|
0 |
11 |
13/5 |
6 |
1 |
5/18 |
20/5 |
2 |
|
- |
- |
- |
7 |
1 |
11 |
5/5 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
5/18 |
14 |
4 |
شکل 8- چیدمان بهینه ایستگاه‌ها مسأله 1
جدول 6- فاصلۀ ایمنی بین ایستگاه‌ها مسأله 1
|
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
|
|
3 |
0 |
5/2 |
5/2 |
0 |
||
|
4 |
0 |
5/2 |
5/2 |
|||
|
5 |
0 |
0 |
||||
|
6 |
0 |
جدول 7- مختصات بهینۀ ایستگاه‌ها مسأله 1 با فواصل ایمنی
|
مشخصات ایستگاه‌ها |
مشخصات ایستگاه‌ها |
||||||
|
rj |
yj |
xj |
j |
rj |
yj |
xj |
j |
|
1 |
5 |
13 |
5 |
1 |
15 |
5/3 |
1 |
|
0 |
15 |
24 |
6 |
1 |
5 |
5/32 |
2 |
|
- |
- |
- |
7 |
0 |
15 |
13 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
24 |
4 |
هزینۀ ساختار گروه‌های کاندید بوسیلۀ طراحان فرآیند و عملیات براساس هزینه‌های تجهیزات اضافی، هزینۀ موجودی‌های نیمه‌ساخته، نیروی انسانی و سایر عوامل مدنظر طراحان تعیین می‌شود و یکی از عوامل مهم و تأثیرگذار بر ساختار بهینه گروه‌های کاندید است؛ برای مثال در مسأله 1، در‌صورتی‌که اختلاف هزینۀ ساختار اول و دوم بیشتر از 327 باشد و بقیۀ پارامترهای ورودی مسأله تغییر نکند، جواب بهینه تغییر می‌کند و ساختار دوم انتخاب می‌شود. مثلاً در‌صورتی‌که هزینۀ ساختار اول گروه کاندید از 100 به 328 واحد تغییر کند در حل بهینه در گروه کاندید، ساختار دوم انتخاب می‌شود و مقدار تابع هدف بهینه برابر 5/1144 واحد و جواب مطابق جدول 8 و شکل 9 تغییر می‌کند.
جدول 8- مختصات بهینۀ ایستگاه‌ها مسأله 1 (11=328π)
|
مشخصات ایستگاه‌ها |
مشخصات ایستگاه‌ها |
||||||
|
rj |
yj |
xj |
j |
rj |
yj |
xj |
j |
|
1 |
15/5 |
22 |
5 |
0 |
29/5 |
10 |
1 |
|
0 |
22/5 |
15/5 |
6 |
0 |
22/5 |
4 |
2 |
|
0 |
22/5 |
10 |
7 |
1 |
15 |
12 |
3 |
|
|
1 |
22/5 |
22 |
4 |
|||
شکل 9- چیدمان بهینه ایستگاه‌ها مسأله 1 (11=328 π)
یکی دیگر از مسائل تأثیرگذار در انتخاب ساختار بهینۀ گروه‌های کاندید، فضای در دسترس برای استقرار ایستگاه‌ها است. گاهی مواقع، محدودیت فضا سبب می‌شود ساختاری که فضای کمتری اشغال می‌کند، ساختار بهینه انتخاب شود؛ برای مثال در حالت دوم مسأله 1 در صورتی که ابعاد کارخانه 24×24 باشد به‌علت کمبود فضا برای استقرار مناسب ایستگاه انبار میانی، ساختار اول، ساختار بهینه انتخاب می‌شود. در این حالت مطابق جدول 5، مقدار بهینۀ تابع هدف برابر 5/1145 واحد می‌شود.
جدول 10- مختصات بهینۀ ایستگاه‌ها مسأله 1 با ابعاد کارگاه 24×24
|
مشخصات ایستگاه‌ها |
مشخصات ایستگاه‌ها |
||||||
|
rj |
yj |
xj |
j |
rj |
yj |
xj |
j |
|
1 |
14/5 |
17/5 |
5 |
0 |
29/5 |
17/5 |
1 |
|
0 |
22 |
25/5 |
6 |
1 |
14/5 |
32/5 |
2 |
|
- |
- |
- |
7 |
1 |
22 |
17/5 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
14/5 |
26 |
4 |
در موارد بالا نشان داده شد که مواردی مانند هزینۀ ساختار گروه‌های کاندید، ابعاد کارگاه و هزینه‌های ارتباطی بین ایستگاه‌ها بر ساختار بهینۀ گروه‌های کاندید تأثیرگذار هستند؛ به‌گونه‌ای‌که تابع هدف و جواب بهینه را به‌طور کامل تغییر می‌دهد.
در جدول 10 تعداد 5 مسأله جدید با ابعاد متفاوت طراحی و با استفاده از نرم‌افزار ILOG CPLEX 12.1 حل شده است.
جدول 1- مسائل طراحی و حل شده با استفاده از نرم‌افزار CPLEX
|
زمان (ثانیه) |
جواب بهینه |
تعداد گروه‌های کاندید |
تعداد ایستگاه |
مسأله |
|
05/94 |
1217 |
2 |
9 |
P1 |
|
8/3934 |
1327.75 |
2 |
11 |
P2 |
|
52/25380 |
1641 |
2 |
13 |
P3 |
|
31803 |
8/1467 |
3 |
14 |
P4 |
|
40000 |
*1850 |
4 |
15 |
P5 |
* مقدار جواب با گپ 6 درصد در مدت زمان 40000 ثانیه به دست آمده است.
در جدول 10 مشاهده می‌شود زمان حل نرم‌افزار CPLEX برای حل مسائل بالاتر از 15 ایستگاه باتوجهبه سخت‌افزارهای موجود طولانی است و از آن می‌توان فقط برای حل مسائل جانمایی کارخانه‌هایی با کمتر از 15 ایستگاه استفاده کرد. برای حل مسائل بزرگتر می‌توان از روش‌های حل ابتکاری و فراابتکاری کمک گرفت که موضوعی برای انجام پژوهش‌های بعدی در این رویکرد است.
نتیجه‌گیری
در رویکرد فرمول‌بندی سلسله‌مراتبی طراحی کارخانه به‌علت فقدان دید یکپارچه و کل‌نگر در فرمول‌بندی‌ها، ممکن است در مرحلۀ طراحی فرآیند و عملیات تصمیماتی اخذ شود که تا آن مرحله بهترین راه‌حل باشد؛ ولی در فاز چیدمان ایستگاه‌ها با ایجاد شرایط و محدودیت‌های جدید بهترین گزینه نباشد. از طرف دیگر، در پیش گرفتن رویکردهای یکپارچه سبب می‌شود تا ناحیۀ جواب با به وجود آمدن حالت‌های احتمالی ممکن، به‌شدت وسیع شود؛ این امر رسیدن به جواب‌های بهینه را دشوار می‌کند و ممکن است جواب‌های به‌دست‌آمده کاملاً عملیاتی و اجرایی نباشند.
در این پژوهش رویکردی برای فرمول‌بندی مسأله جانمایی ارائه شد تا کارکردهای حوزه‌های مختلف مسأله طراحی کارخانه در مسأله جانمایی در نظر گرفته شود. همچنین از پیچیدگی فرمول‌بندی مدل (به‌علت استفاده از رویکرد یکپارچه‌سازی) جلوگیری شود. در این روش فرض می‌شود در مراحل قبل از انجام فاز جانمایی مسأله طراحی کارخانه، متناسب با نظر طراحان ابتدا کارکردها، مستقلاً بوسیلۀ تیم مهندسی و طراحی ذیربط آن با استفاده از روش‌های آن حوزه مدل‌سازی می‌شوند؛ سپس مدل‌های حاصل به‌گونه‌ای حل می‌شوند که بجای یک جواب بهینه مجموعه‌ای از جواب‌های برتر در قالب گروه‌های کاندید وجود داشته باشد؛ به‌نحوی‌که این مجموعه جواب‌ها به‌عنوان ورودی مسأله جانمایی استفاده شوند؛ به‌عبارت‌دیگر نوآوری این رویکرد ارائۀ مدلی برای چیدمان ایستگاه‌ها با ویژگی‌های ذیل است:
- اخذ نمودار جریان‌های متفاوت در قالب گروه‌های کاندید از خروجی فاز طراحی فرآیند و عملیات؛
- قابلیت حذف یا اضافه‌کردن ایستگاه‌ها در گروه‌های کاندید؛
- ابعاد متفاوت ایستگاه‌ها در ساختارهای متفاوت گروه‌های کاندید؛
- ارائۀ فرمول‌بندی برنامه‌ریزی خطی مختلط برای پشتیبانی خصوصیات مدل فوق.
در این رویکرد، ناحیۀ جواب مسأله جانمایی تنها حوزه‌هایی از فازهای طراحی فرآیند و عملیات را در بر می‌گیرد که طراحان کارخانه مشخص می‌کنند. این امر سبب می‌شود رویکرد ارائه‌شده مزایای رویکردهای جانمایی سلسله‌مراتبی مانند هزینۀ کمتر، سرعت بالاتر در مدل‌سازی و حل، کاهش پیچیدگی محاسباتی مسأله حاصل و مزایای رویکرد یکپارچه به‌خاطر تصمیم‌گیری دربارۀ نحوۀ چیدمان ایستگاه‌ها باتوجهبه کارکردهای مختلف که به‌طور هم‌زمان بر مسأله جانمایی تأثیر دارند را توأماً داشته باشد.
برای جانمایی ایستگاه‌ها، در کارخانه‌های تولید گسسته با رویکرد جدید، یک مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط با ویژگی‌های رویکرد مذکور توسعه داده شد و با ارائه و حل مثال‌هایی ویژگی‌های مدل بیان شد. همچنین نشان داده شد که عوامل هزینۀ ساختار گروه‌های کاندید، ابعاد کارگاه و هزینه‌های ارتباطی (حمل و نقل) بین ایستگاه‌ها بر انتخاب ساختار بهینۀ گروه‌های کاندید تأثیرگذار هستند.
حل مدل ارائه‌شده با استفاده از نرم‌افزار CPLEX انجام می‌شود که کاربرد آن بیشتر برای حل مسائل جانمایی کارخانه‌هایی با ایستگاه‌های کمتر از 15 ایستگاه است. پیشنهاد می‌شود در پژوهش‌های بعدی ورودی و خروجی جداگانه برای تسهیلات در نظر گرفته شود. همچنین با افزودن یا کاستن برخی محدودیت‌ها مانند چرخش تسهیلات می‌توان مدل های جدیدی تولید و حل کرد.
فهرست علائم
|
مجموعه ساختارهای گروه کاندید hام است که در آن ایستگاه کاندید j وجود دارد |
Structurejh |
پارامترها |
|
||
|
متغیرهای پیوسته |
|
نسبت ثابت بین طول و عرض ایستگاه iام |
λi |
||
|
متغیرهای طول و عرض ایستگاه (دستگاه) i در راستای محور x ها و y ها |
li, di |
پارامترهای طول و عرض ایستگاه iام در حالت پایه |
ai , bi |
||
|
فاصلۀ ورودی ایستگاه iام تا خروجی ایستگاه j ام. |
d(i , j) |
پارامترهای طول و عرض ایستگاه jام در ساختار kام گروه کاندید hام در حالت پایه |
αjkh , βjkh |
||
|
مختصات مرکز هندسی ایستگاه j |
xj , yj |
هزینۀ موجودی نیمه‌ساخته، تجهیزات و سایر هزینه‌های ساختار ارتباطی kام گروه کاندید hام |
Πhk |
||
|
فاصلۀ پله‌ای بین مراکز هندسی دو ایستگاه i و j |
Dij |
حد بالای مناسب برای فواصل ایستگاه‌ها |
Md |
||
|
هزینۀ گروه کاندید h ام |
CHh |
حداقل فاصلۀ ایمنی بین دو دستگاه j و i |
Zxjimin,Zyjimin |
||
|
فاصلۀ بین ایستگاه i و j در راستای محورهای مختصات در‌صورتی‌که yi-yj≥0, xi-xj≥0 |
∆yij+, ∆xij+ |
حداکثر طول و عرض مجاز برای استقرار ایستگاه‌ها در کارخانه |
Xmax,Ymax |
||
|
فاصلۀ بین ایستگاه i و j در راستای محورهای مختصات در‌صورتی‌که yi-yj≤0, xi-xj≤0 |
∆yij-, ∆xij- |
هزینۀ واحد جریان بین دو ایستگاه i و j |
Cij |
||
|
مقدار تابع هدف |
TC |
میزان جریان قطعات و مواد بین دو ایستگاه i و j |
fij |
||
|
متغیرهای صفر و یک |
|
تعداد گروه‌های کاندید |
H |
||
|
متغیر صفر و یک چرخش ایستگاه iام |
ri |
تعداد ایستگاه‌ها یا دستگاه‌ها |
m |
||
|
متغیر صفر و یک وجود و یا عدم وجود kامین ساختار ارتباطی گروه کاندید hام |
whk |
هزینه واحد جریان بین دو ایستگاه i و j در ساختار k ام که هر دو عضو گروه کاندید hام هستند. |
Cpijkh |
||
|
متغیر صفر و یک بودن یا نبودن ایستگاه jام در ساختار انتخابی |
Ej |
میزان جریان قطعات و مواد بین دو ایستگاه i و j در ساختار kام که هردو عضو گروه کاندید hام هستند. |
fpijkh |
||
|
متغیرهای صفر و یک عدم تداخل ایستگاه‌های i و j |
E1ji , E2ji |
مجموعه‌ها |
|
||
|
|
|
مجموعۀ تمام ایستگاه‌های کاندید مدل |
GH |
||
|
|
|
مجموعۀ ایستگاه‌ها یا ورودی و خروجی‌های عضو گروه کاندید hام |
linksh |
||
[i] Apple
[ii] Formulation
[iii] Montreuil
[iv] Sherali
[v] Castillo
[vi] Drira
[vii] Meller
[viii] Papageorgiou
[ix] Rotstein
[x] Kim
[xi] Barbosa
[xii] Patsiatzis
[xiii] Reducing problem symmetry
[xiv] Symmetry breaking constraints
[xv] Westerlund
[xvi] Jankovits
[xvii] Sharma
[xviii] Singhal
[xix] Anjos
[xx] Vieira
[xxi] Francis
[xxii] Ralff
[xxiii] Penteado
[xxiv] Ciric
[xxv] Bock
[xxvi] Hoberg
[xxvii] Taghavi
[xxviii] Murat
[xxix] Batch production
)