محاسبۀ میزان اقتصادی‌بودن فرایندهای مالی سرمایه‌گذاری فازی با به‌کارگیری شاخص نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد

نوع مقاله : مقاله پژوهشی- فارسی

نویسندگان

1 دانشجوی دکتری گروه مهندسی سیستم، دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ایران

2 استاد گروه مدیریت سیستم و بهره وری، دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه علم و صنعت ایران، تهران، ایران

چکیده

شاخص نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی، یکی از سنجه‌های مناسبی است که در سال‌های اخیر برای تعیین اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری ارائه شده است. شاخص مذکور از مراحل حل ساده‌، توانایی حل مشکلات چندنرخی و نبود نرخ بازده سرمایه برخوردار است؛ اما این شاخص، نواقص مهمی دارد که کاربرد آن را با محدودیت‌های جدی مواجه کرده است. بر این اساس، این پژوهش، شاخص جدیدی را با نام نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد معرفی می‌کند که از شاخص یادشده نشئت گرفته؛ اما معایب آن را به‌طور کامل رفع کرده است. همچنین، در برخی از مواقع، برآورد مقادیر فرایندهای مالی به‌صورت عددی قطعی، امر دشواری است که ممکن است به اتخاذ تصمیم اشتباه در پذیرش یا رد پروژه‌ها منجر شود؛ به همین منظور، این پژوهش با تعریف مقادیر فرایند مالی برحسب اعداد فازی، راهکار جدیدی را معرفی می‌کند تا ضمن محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد تحت محیط فازی، درجۀ امکان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری را نیز با قابلیت اطمینان بالا و سازگار با روش ارزش فعلی تعیین کند. درنهایت، این مقاله با استفاده از نرم‌افزار @RISK از روش شبیه‌سازی مونت کارلو برای تحلیل و اعتبارسنجی نتایج استفاده کرده است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

Calculation of the profitability of fuzzy investment cash flows using the reliable economic rate of return measure

نویسندگان [English]

  • behnam babaie 1
  • Abdollah Jasbi 2
1 System Engineering Department, Faculty of the industrial engineering, University of Science and Technology of Iran, Tehran, Iran
2 System Management and Productivity Department, Faculty of the industrial engineering, University of Science and Technology of Iran, Tehran, Iran
چکیده [English]

 
Purpose - Today, due to the breadth, diversity and multiplicity of investment projects, decision makers and investors are faced with the issue of choosing the most profitable project. The economic rate of return (ERR) index is one of the proper indices that has been presented to determine the profitability of the projects. However, the ERR index has important shortcomings that have led to serious limitations in its use. In this regard, this paper introduces a new measure called the reliable economic rate of return (RERR), which has originated from ERR measure, but it has resolved the drawbacks of ERR index. On the other hand, this paper proposes a new solution by considering the values of the cash flow in terms of fuzzy numbers. After calculating the fuzzy economic rate of return, the profitability potentiality degree of the investment projects can be determined as well as their reliability based on the net present value (NPV) method.
 
Design/methodology/approach - This paper proves that if we equate the initial cash flow of investment projects with the sum of the negative values ​​of the relevant cash flow stream, then the RERR value would be greater than ‘-1’. In this regard, this paper proposes a solution to modify the initial and final values ​​of the investment cash flow stream, merely without changing middle values. Thereby, the NPV of the modified cash flow does not change. On the other hand, it is sometimes difficult to estimate the values of cash flows as a crisp number, which may lead to a wrong decision in accepting or rejecting projects. For this purpose, this paper considers the values of cash flow stream as fuzzy numbers and describes a solution for calculating the fuzzy RERR using the α-cut method and the RERR index. The proposed solution is compatible with the NPV method and also has fewer calculations than the other methods. This paper also proposes a method that calculates the profitability potentiality degree of projects and provides more comprehensive information to the decision makers by examining the intervals obtained from cutting the fuzzy values of the projects and presenting a new and reliable solution.
 
Findings - Using the @RISK software, it was found that the estimation of fuzzy return rate using RERR index and α-cut method is very close to the simulation result. It confirms the appropriate accuracy of the proposed solution. Also, the results obtained from the software in determining the profitability of projects indicated that the proposed solution is more accurate than the methods of ‘comparison of the expected intervals’ and ‘strict exceedance possibility’. It is also fully compatible with the NPV method.
 
Research limitations/implications - In this research the market rate is assumed constant, while, in practice it can vary over the periods. Defining the market rate as an inconstant parameter, using the robust optimization approach and investigating the subject of this paper under other uncertainty environments are future study suggestions to both researchers and practitioners.
Practical implications - One of the most important applications of this study is in risky projects wherein estimating the values of cash flow stream as a crisp number is difficult. The results of this paper help decision makers in reducing risk and determining the project profitability. It is worth mentioning that the solution proposed in this paper can be used for all projects with any cash flow stream value.
 
Social implications - Failure to make the correct decision regarding the acceptance or rejection of the projects could have major negative consequences for the companies, organizations and even society. This paper helps decision makers, investors and organizations to determine the projects profitability that could benefit organizations and society.
 
Originality/value - This paper proposes the RERR measure as a profitability index such with several favorable properties: (ⅰ) it exists and is unique, (ⅱ) it is NPV-consistent in accepting/rejecting decisions, (ⅲ) it provides values greater than ‘-1’, (ⅳ) it takes into account all of the project’s outflows which may be regarded by some practitioners as an appropriate indicator of the overall investment. Furthermore, this paper proposes an appropriate method for calculating the fuzzy RERR and a new method for determining the profitability potentiality degree of the investment projects based on the NPV method.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Economic evaluation of the investment projects
  • Fuzzy investments cash flows
  • Fuzzy reliable economic rate of return
  • Profitability potentiality degree
  • Monte Carlo simulation

اصل مقاله

1.               1- مقدمه

شاخص‌های گوناگونی برای ارزیابی اقتصادی پروژه‌ها وجود دارد که پژوهشگران و تصمیم‌گیرندگان مختلف از آنها استفاده می‌کنند. در این میان، شاخص نرخ بازده سرمایۀ داخلی[i] (IRR) به علل مختلفی از جذاب‌ترین روش‌هاست؛ اما این شاخص، معایب مهمی دارد که در سال‌های اخیر، کوشش‌های گوناگونی انجام شده است تا مشکلات روش مذکور را مرتفع کند. بر این اساس، پیرو[ii] (2010)، مفهوم IRR را تعریف و بیان کرد کلیّۀ نرخ‌های بازده داخلی یک فرایند مالی اعم از حقیقی یا مختلط، معنی ساده‌ای دارد و آنها را به‌عنوان یک بازده انتظاری پرتفوی می‌توان در نظر گرفت.

درادامه، مگنی[iii] (2010)، دیدگاه جدیدی را در موضوع، مطرح و با معرفی شاخص متوسط نرخ بازده سرمایۀ داخلی[iv] (AIRR) مشکلات شاخص IRR را برطرف کرد؛ اما شاخص مزبور، توانایی محاسبۀ یک مقدار منحصربه‌فرد به‌عنوان نرخ بازده سرمایه را برای کلیّۀ فرایندهای مالی ندارد.

سپس، مگنی (2013)، شاخص دیگری را به نام متوسط نرخ بازگشت سرمایۀ داخلی اقتصادی[v] (EAIRR) معرفی کرد که نرخ بازده سرمایۀ پروژه را ازنظر بازار محاسبه و مقدار منحصربه‌فردی را به نرخ یادشده اطلاق کرد. همچنین، مگنی (2016، 2020) چگونگی استفاده از شاخص AIRR را در شرایط عملی تشریح کرد و نشان داد چگونه از شاخص مورد اشاره در مبحث ارزیابی عملکرد سرمایه‌گذاری[vi] می‌توان استفاده کرد (مگنی، 2014).

بابایی، زندی و اصل حداد (2015)، شاخص جدیدی را معرفی کردند که از رویکرد مگنی نشئت گرفته است و علاوه بر مزایای رویکرد مگنی، محاسبات ساده‌تر و توانایی محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ منحصربه‌فردی برای کلیّۀ پروژه‌ها دارد؛ اما شاخص پیشنهادی آنها و شاخص EAIRR، ممکن است در شرایطی خاص، مقدار کمتر از 1- را برای نرخ بازده سرمایه تعیین کند که نرخی ناصحیح است.

درادامه، ملیچامپ[vii] (2017)، دیدگاه متفاوتی را ارائه و بیان کرد که نقص اصلی شاخص IRR، نبود مؤلفه‌های نرخ سرمایه‌گذاری مجدد و نرخ مالی است و پیشنهاد کرد شاخص IRR باید برحسب ارزش فعلی نرمال‌شده[viii] ارزیابی شود.

ناگارس، سیسون و مدینا[ix] (2019) با استفاده از الگوریتم نیوتن– رافسون، یک الگوریتم ریشه‌یاب تکرارشوندۀ[x] جدید مبتنی بر نقطۀ میانی را برای محاسبۀIRR  معرفی کردند؛ به‌گونه‌ای که مطابق الگوریتم مذکور، همگرایی به یک جواب نهایی تضمین‌ شده بود و علاوه بر این، نشان دادند الگوریتم پیشنهادی آنها دقت و سرعت مناسبی نیز دارد. در این میان، باری و روبیسون[xi] (2014)، شاخصی با نام نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی[xii] (ERR) را معرفی کردند که شاخص مذکور، مراحل حل ساده‌، توانایی پوشش مشکلات چندنرخی و نبود نرخ بازده سرمایه را دارد؛ لیکن شاخص مزبور نیز ممکن است نرخ بازده سرمایه را کوچک‌تر از 1- محاسبه کند و در برخی موارد، حساسیت زیاد و غیرمنطقی به تغییر نرخ بازار داشته باشد.

بر این اساس، در این پژوهش، شاخص جدیدی با نام نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد[xiii] (RERR) معرفی می‌شود که از شاخصERR  نشئت گرفته؛ اما معایب شاخص مذکور را برطرف کرده است؛ به این صورت که قطعاً به مقدار بزرگ‌تر از 1- منجر می‌شود و حساسیت نامناسبی در مقابل تغییر در مؤلفۀ نرخ بازار ندارد.

گفتنی است برخی از پژوهشگران، ‌حساسیت تصمیم‌های سرمایه‌گذاری را تحلیل کردند که به کوشش‌های دانیلسون[xiv] (2018) و مارکیونی و مگنی[xv](2018) می‌توان اشاره کرد. همچنین، برخی نیز از شاخص نرخ بازده سرمایه در حل مسائل دیگر استفاده کردند؛ به‌عنوان مثال، نخعی‌نژاد و مؤمن شاد (2020)، مسئلۀ انتخاب پورتفوی پروژه مبتنی براثر متقابل سه‌گانه بین پروژه‌ها را بررسی کردند و برای ارزیابی اعتبار نتایج از برنامه‌ریزی خطی دوهدفه بهره بردند که یکی از اهداف بیشینه‌سازی نرخ بازده سرمایه بود. علاوه بر این، الفت، قاضی نوری و قاسمی (2019) از شاخص‌های سودآوری ازجمله نرخ بازده سرمایه برای سنجش عملکرد کلی کسب‌وکار استفاده کردند. پرول و استینینگر[xvi](2020) نیز با استفاده از شاخص IRR، تأثیر مقررات جدید وضع‌شده در کشور اسپانیا در حوزۀ انرژی را بر میزان سودآوری بخش‌های مختلف، تحلیل و بررسی کردند.

همچنین، بنا به علل گوناگونی، تخمین مقادیر فرایند مالی به‌صورت عددی قطعی در برخی از موارد دشوار است و درواقع، تصمیم‌گیرنده با مسئلۀ عدم قطعیت مواجه است. یکی از پرکاربردترین ابزارها برای بررسی مسائل در محیط عدم قطعیت، مجموعه‌های فازی است که پژوهشگران زیادی کوشیده‌اند نرخ بازده سرمایۀ فازی را محاسبه و به تبع آن، میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها را تعیین کنند که در این ارتباط به پژوهش‌های ذیل می‌توان اشاره کرد:

کوچتا[xvii] (2008) با استفاده از مفهوم برش اعداد فازی، روشی را برای به دست آوردن نرخ بازده سرمایۀ فازی[xviii] (FIRR) با استفاده از شاخص‌های IRR و نرخ بازده سرمایۀ داخلی تعدیل‌شده[xix] (MIRR) پیشنهاد کرد. گوئرا، سورینی و استفانینی[xx] (2008) نیز رویکرد کوچتا را با نگاهی دقیق در نمایش پارامتری اعداد فازی توسعه دادند.

سپس، گوئرا، مگنی و استفانینی[xxi] (2014) با به‌کارگیری اعداد فازی و فاصله‌ای، رابطۀ شاخص AIRR فازی را با معیار ارزش فعلی خالص فازی بررسی کردند.

درادامه، خاتمی (2012) با به‌کارگیری روش رأس[xxii] (Vertex) و شاخص متوسط سادۀ نرخ بازده سرمایۀ داخلی[xxiii] (SAIRR)، روش جدیدی را برای محاسبۀ FIRR ارائه کرد که توانایی محاسبۀ نرخ مزبور را حتی در صورت مواجهه با حالت‌های چندنرخی و نبود نرخ داشته باشد. بابایی، غفاری و اصل حداد (2015) معتقد بودند در بین شاخص‌های ارائه‌شده در موضوع، شاخص EAIRR نسبت به سایر روش‌ها مطمئن‌تر است؛ بنابراین، با استفاده از شاخص مذکور، FIRR را محاسبه کردند؛ اما نقص مهم دو روش مورد اشاره این است که تمامی آنها مبتنی بر شاخص AIRR است؛ بنابراین، امکان برآورد عدد کمتر از 1- برای IRR وجود دارد.

غفاری و قضاوتی (2019) با به‌کارگیری روش Vertex و معرفی شاخص جدید متوسط نرخ بازده سرمایۀ داخلی اصلاح‌شده[xxiv] (MAIRR)، اقتصادی‌بودن پروژه‌ها را تحت محیط فازی تعیین کردند. مهم‌ترین عیب روش مذکور نیز این است که محاسبۀ شاخص MAIRR پیچیده است و استفاده از روش Vertex نیز مراحل حل را بسیار طولانی کرده است. خاتمی (2012) و غفاری و قضاوتی (2019) به‌ترتیب از روش‌های «مقایسۀ متوسط فواصل مورد انتظار» و «امکان بزرگ‌تربودن محض» در تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها استفاده کردند که این پژوهش نشان می‌دهد استفاده از روش‌های مذکور برای تمامی پروژه‌ها قابل اطمینان نیست.

گیسین و ولکوفا[xxv] (2020) با فرض قطعی‌بودن مقادیر ورودی و فازی تعاملی‌بودن مقادیر خروجی فرایند مالی، موضوع را بررسی کردند و نشان دادند در این صورت، مقدار IRR حاصل نیز عددی فازی است. همچنین، نشان دادند میزان عدم قطعیت شاخص NPV با افزایش تعداد مقادیر خروجی فازی فرایند مالی افزایش پیدا نکرده است و فقط به میزان عدم قطعیت مقادیر خروجی فازی بستگی دارد. مهم‌ترین نقص روش مذکور این است که فقط مقادیر خروجی فرایند مالی را به‌صورت اعداد فازی تعریف می‌کند که بر قابلیت کاربردی روش مذکور اثر می‌گذارد.

کاساینوف و علیارف[xxvi] (2021) با استفاده از نظریۀ منطق فازی، موضوع طبقه‌بندی ریسک سرمایه‌گذاری پروژه‌های فازی را بررسی کردند. براساس رویکرد پیشنهادی آنها و با فرض فازی‌بودن مقادیر فرایند مالی پروژه‌ها، درابتدا میزان اقتصادی‌بودن کلیّۀ پروژه‌های سرمایه‌گذاری براساس شاخص‌های ارزیابی اقتصادی مختلف ازجمله شاخص IRR تحلیل و سپس با ایجاد مدلی تحلیلی، پروژه‌های مذکور براساس میزان ریسک سرمایه‌گذاری مربوط طبقه‌بندی می‌شود.

همچنین، هازن و مگنی[xxvii] (2021)، ارزیابی اقتصادی پروژه‌های پرخطر را با استفاده از شاخص AIRR بررسی کردند و نشان دادندAIRR  انتظاری پروژه‌های مذکور، برابر باAIRR  متوسط مقادیر فرایند مالی آنهاست. همانگونه که پیش‌تر نیز گفته شد، نقص جدی و مهم شاخص AIRR، امکان محاسبۀ نرخ‌های کوچک‌تر از 1- به‌عنوان نرخ بازده سرمایه است.

با توجه به توضیحات مذکور، خلأهای پژوهش‌های مذکور به‌شرح ذیل تبیین می‌شود:

  • در برخی از شاخص‌های ارائه‌شده، توانایی محاسبۀ مقداری منحصربه‌فرد برای نرخ بازده سرمایه وجود ندارد و نرخ مزبور بنا بر نظر تصمیم‌گیرندگان مختلف، می‌تواند تغییر کند.
  • در برخی از روش‌های معرفی‌شده در مبانی نظری موضوع، ممکن است در شرایطی خاص، مقداری کمتر از 1- برای نرخ بازده سرمایه تعیین شود که ازنظر اقتصادی بدون مفهوم است.
  • در برخی از روش‌های معرفی‌شده برای محاسبۀ نرخ بازده سرمایه، حساسیت غیرمنطقی‌ و بیشتری به تغییر در نرخ بازار وجود دارد که با توجه به متغیربودن مقدار مؤلفۀ نرخ بازار مبتنی بر شرایط پروژه و نظر تصمیم‌گیرنده، بر اعتبار نتایج اثر می‌گذارد.
  • در برخی از روش‌های ارائه‌شده برای محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ فازی، از روش رأس استفاده می‌شود که مراحل حل را بسیار طولانی و پیچیده می‌کند.
  • برخی از پژوهشگران در موضوع تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها تحت محیط فازی، از روش‌هایی استفاده کرده‌اند که اعتبار مناسبی ندارد و ممکن است به نتایج غیردقیق منجر شود.

با توجه به خلأهای پژوهشی مذکور، در این پژوهش از شاخص RERR استفاده می‌شود که حتماً به نتایج بزرگ‌تر از 1- می‌انجامد و سپس، با تعریف مقادیر فرایند مالی برحسب اعداد فازی، روشی برای محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد فازی[xxviii] (FRERR) ارائه و برای تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها نیز راهکاری جدید با قابلیت اطمینان بالا و سازگار با روش ارزش فعلی معرفی می‌شود؛ بنابراین، نوآوری‌های این پژوهش در مقایسه با کوشش‌های پیشین به‌شرح ذیل است:

  • نرخ بازده سرمایۀ محاسبه‌شده، مطابق شاخص RERR، نرخی منحصربه‌فرد و حتماً بزرگ‌تر از 1- است.
  • شاخص RERR مراحل حل ساده‌ای دارد و حساسیت غیرمنطقی در مقابل تغییر مؤلفۀ نرخ بازار ندارد که مؤید قابلیت کاربردی مناسب آن روش است.
  • مقدار شاخص RERR با افزایش نرخ بازار افزایش می‌یابد؛ بنابراین، به استفاده از روش رأس در محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ فازی نیازی نیست که تا حد زیادی، مراحل حل را کاهش می‌دهد.
  • این پژوهش در تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری تحت محیط فازی، روش جدیدی را معرفی می‌کند که نسبت به سایر روش‌ها دقیق‌تر است.

ادامۀ مقاله به‌صورت ذیل، سازماندهی شده است:

در بخش دوم، «نشانه‌گذاری ریاضی و نتایج مقدماتی» و در بخش سوم، «روش‌شناسی پژوهش» بیان شده است. بخش چهارم به یافته‌های پژوهش اختصاص داده شده است که در این بخش، چگونگی محاسبۀ شاخص‌های RERR، FRERR و چگونگی تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری تحت محیط فازی به همراه تحلیل و اعتبار سنجی مربوط تشریح شده است؛ سپس، در بخش پنجم، کارایی شاخص پیشنهادی مقاله برای یک نمونۀ موردی، بررسی و درنهایت، بخش‌های ششم و هفتم به‌ترتیب به بحث و نتیجه‌گیری اختصاص داده شده است.

 

2.               2- نشانه‌گذاری ریاضی و نتایج مقدماتی

جریان فرایند مالی سرمایه‌گذاری X را به‌صورت  با تعداد دورۀ n در نظر بگیرید. مقدار ارزش فعلی خالص[xxix] (NPV) فرایند مالی X تحت نرخ بازار r به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

(1)

 

 

بدیهی است پروژۀ X اقتصادی به شمار می‌آید، اگر مقدار NPV مربوط بزرگ‌تر از صفر باشد. همچنین، در مبانی نظری موضوع، روش NPV روشی مبنا محسوب می‌شود؛ به‌گونه‌ای ‌که صحت نتایج از سایر روش‌ها برحسب میزان سازگاری با نتایج از روش NPV تعیین می‌شود.

همچنین، شاخص IRR به علت‌های مختلفی مانند قابل فهم و ملموس‌بودن برای عموم پژوهشگران و امکان مقایسۀ نرخ مزبور با نرخ بازار، نرخ تورم، حداقل نرخ جذب‌کننده و ... از جذاب‌ترین روش‌ها بوده است. شاخص IRR برابر با نرخی است که به‌ازای آن، درآمدها و هزینه‌های پروژه به تعادل می‌رسد و NPV پروژه برابر با صفر می‌شود. براساس شاخص IRR، فرایند مالی سرمایه‌گذاری، اقتصادی خواهد بود، اگر و فقط اگر شاخص IRR بزرگ‌تر از نرخ بازار باشد؛ اما شاخص IRR معایبی مانند نبود نرخ بازده و وجود چند نرخ بازده سرمایۀ داخلی دارد که بر این اساس، پژوهشگران گوناگونی کوشیدند مشکلات شاخص IRR را حل کنند که در این میان به شاخص ERR، که باری و روبیسون (2014) معرفی کردند، به‌عنوان شاخص مناسبی می‌توان اشاره کرد.

 برای محاسبۀ شاخص ERR، ارزش بازار فرایند مالی  در دوره‌های مختلف (Vt) را به‌صورت ذیل در نظر بگیرید:

(2)

 

 

 

بنابراین، ارزش بازار پروژۀ X در دورۀ صفر به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

(3)

 

 

با توجه به تعریف‌های مذکور، باری و روبیسون (2014) نرخ بهرۀ اولین دوره (i1) را به‌صورت ذیل تعریف کردند:

(4)

 

 

جایی که  است و C0 مقدار سرمایه‌گذاری در دورۀ صفر و برابر با قرینۀ مقدار فرایند مالی در دورۀ صفر (-R0) است، آنها رابطۀ ذیل را برای محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی (ERR) معرفی کردند:

 

(5)

 

 

درنهایت، اگر شاخص ERR بزرگ‌تر از نرخ بازار r باشد، آنگاه فرایند مالی سرمایه‌گذاری X اقتصادی خواهد بود.

همچنین، به‌علت عدم قطعیت موجود در محاسبۀ مقادیر فرایند مالی برخی از پروژه‌ها، تعدادی از پژوهشگران، موضوع را تحت محیط فازی بررسی کردند که درنهایت، برای تعیین درجۀ امکان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها، روش‌های موجود در مبحث رتبه‌بندی اعداد فازی را به کار بردند.

خیمنز[xxx] (1996) نیز رابطه‌ای را معرفی کرد که با استفاده از آن، درجۀ امکان بزرگ‌تربودن عدد فازی  را نسبت به عدد فازی  ( ) به‌صورت ذیل می‌توان محاسبه کرد:

 

(6)

 

 

جایی ‌که  و  به‌ترتیب، نشان‌دهندۀ فواصل انتظاری اعداد فازی  و  است. همچنین، اگر عدد فازی  برابر با عدد فازی مثلثی (a1, a2, a3) باشد، آنگاه فاصلۀ انتظاری  به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

(7)

 

 

همچنین، دوبویس و پراد[xxxi] (2012)، روش «امکان بزرگ‌تربودن محض» را برای محاسبۀ درجۀ امکان بزرگ‌تربودن عدد فازی  نسبت به عدد فازی   به‌صورت ذیل پیشنهاد کردند:

 

(8)

 

3.               3- روش‌شناسی پژوهش

پژوهش حاضر، پژوهشی کمّی- کاربردی و هدف آن، تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری تحت محیط فازی است. روش پایۀ پژوهش، روش نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی است که در این پژوهش، علاوه بر مرتفع‌کردن نقص روش مذکور، شاخص جدیدی به نام شاخص نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد معرفی می‌شود؛ سپس، برای بررسی موضوع تحت محیط فازی، مقادیر جریان فرایند مالی برحسب اعداد فازی، تعریف و با استفاده از مفهوم برش اعداد فازی، روشی برای محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی فازی تبیین می‌شود.

درادامه، برای تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری، این مقاله، روش جدیدی را معرفی می‌کند که نسبت به سایر روش‌های مورد استفاده در مبانی نظری موضوع، دقیق‌تر است و برای اعتبارسنجی نتایج از روش شبیه‌سازی مونت کارلو استفاده شده است.

 

4- یافته‌های پژوهش

در سال‌های گذشته، پژوهشگران گوناگونی، روش‌هایی را برای محاسبۀ IRR معرفی کردند که در این میان به شاخص ERR به‌عنوان یکی از مناسب‌ترین شاخص‌های ارائه‌شده می‌توان اشاره کرد؛ اما شاخص مذکور، نواقص مهمی دارد که برای تبیین بهتر موضوع، مثال ذیل ارائه می‌شود:

مثال 4-1- پروژۀ سرمایه‌گذاری X را به‌صورت (750 ,700 ,1250- ,10-) در نظر بگیرید و فرض کنید مقدار نرخ بازار برابر با 15 درصد باشد. مقدار NPV پروژۀ مذکور تحت نرخ بازار 15 درصد برابر با 52/74- است؛ بنابراین، براساس روش NPV، پروژۀ X غیراقتصادی است. برای محاسبۀ شاخص ERR، درابتدا با استفاده از معادلۀ (2)، ارزش بازار پروژۀ مذکور در دوره‌های صفر و یک به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

 

 

 

در ادامه، مقدار مؤلفه‌های C0،α  و نرخ بهرۀ اولین دوره (i1) با استفاده از معادلۀ (4) به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

 

 

 

با توجه به مقادیر مذکور، مقدار شاخص ERR با استفاده از معادلۀ (5) به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

 

 

مقدار شاخصERR  (09/314-%) کوچک‌تر از مقدار نرخ بازار (15%) است، بنابراین، فرایند مالی مذکور، غیراقتصادی است و نتیجۀ حاصل با روش ارزش فعلی سازگاری دارد؛ اما همانگونه که ملاحظه می‌شود، مقدار شاخصERR  کوچک‌تر از 1- است که نرخی ناصحیح است و موجب کاهش اعتبار شاخص مذکور می‌شود.

قضیۀ 1- فرایند مالی سرمایه‌گذاری  را در نظر بگیرید، اگر مقدار اولیۀ پروژه، کوچک‌تر از ارزش فعلی خالص فرایند مالی X باشد، آنگاه مقدار شاخص ERR قطعاً بزرگ‌تر از 1- است.

اثبات: معادلۀ (5) را در نظر بگیرید:

 

برای برقراری نامعادلۀ ERR>-1 خواهیم داشت:

 

(9)

 

 

مقدار نرخ بازار (r) عددی نامنفی است؛ بنابراین:

 

(10)

 

 

با توجه به معادله‌های (9) و (10) خواهیم داشت:

(11)

 

 

نتیجۀ مذکور، یعنی مقدار شاخص ERR بزرگ‌تر از 1- منفی است، اگر و فقط اگر مقدار نرخ بهرۀ اولین دوره (i1)، بزرگ‌تر از 1- باشد. درادامه، با در نظر گرفتن معادلۀ (4) و جایگزینی مؤلفۀ α ( ) در آن خواهیم داشت:

 

(12)

 

سپس، معادلۀ (2) را در نظر بگیرید:

(13)

 

 

بنابراین،  را به‌صورت ذیل می‌توان بازنویسی کرد:

 

(14)

 

 

 

با جایگزینی عبارت  به جای  در رابطۀ (12) و با توجه به معادلۀ (3) و مثبت‌بودن مقدار مؤلفۀ C0، خواهیم داشت:

 

(15)

 

 

رابطۀ مذکور را به‌صورت ذیل می‌توان بیان کرد:

(16)

 

 

در واقع، مقدار نرخ بهرۀ اولین دوره (i1)، بزرگ‌تر از 1- است، اگر و فقط اگر مقدار اولیۀ فرایند مالی، کوچک‌تر از NPV پروژۀ X باشد؛ بنابراین، با توجه به رابطه‌های (11) و (16) خواهیم داشت:

 

(17)

 

 

با توجه به رابطۀ مذکور، مقدار شاخص ERR بزرگ‌تر از 1- است، اگر و فقط اگر مقدار اولیۀ فرایند مالی، کوچک‌تر از NPV پروژۀ X باشد.

 

1-4- شاخص نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد (RERR)

با توجه به قضیۀ 1، مشخص شد مقدار اولیۀ فرایند مالی، تأثیر زیادی در تعیین ERR دارد؛ به‌ عبارت دیگر، مقدار اولیۀ فرایند مالی باید به‌صورت مناسبی، نشان‌دهندۀ میزان سرمایه‌گذاری کلی[xxxii] انجام‌شده در پروژه باشد؛ به‌ همین علت، در این مقاله، مقدار اولیۀ پروژۀ سرمایه‌گذاری، برابر با مجموع مقادیر منفی فرایند مالی در نظر گرفته می‌شود که به‌صورت مناسبی، نشان‌دهندۀ میزان سرمایه‌گذاری کلی پروژه است و گام‌های ذیل برای محاسبۀ شاخص RERR و تعیین اقتصادی‌بودن فرایندهای مالی پیشنهاد می‌شود:

اول) مقدار اولیۀ فرایند مالی را معادل مجموع مقادیر منفی فرایند مالی X ( ) قرار دهید و آن را A0 بنامید.

دوم) مقدار  را به مقدار نهایی فرایند مالی اضافه کنید و مقدار حاصل را An  بنامید. با این عمل، مقدار اولیه و نهایی فرایند مالی به‌گونه‌ای تصحیح شود که ارزش فعلی پروژه تغییر نکند.

سوم) فرایند مالی جدید را با مقدار اولیۀ A0، مقدار نهایی An و مقادیر میانی فرایند مالی اولیه تشکیل دهید و آن را Xnew بنامید ( ). گفتنی است NPV فرایند مالی جدید، برابر با NPV فرایند مالی اولیه است ( ).

چهارم) مقدار مؤلفه‌های V0، V1، C0 و α را برای فرایند مالی Xnew محاسبه کنید و آنها را به‌ترتیب، ، ،  و  بنامید؛ سپس، مقدار نرخ بهرۀ اولین دوره را محاسبه کنید و آن را   بنامید.

پنجم) مقدار شاخص نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد (RERR) را با استفاده از معادلۀ ذیل محاسبه کنید:

 

(18)

 

 

ششم) اگر مقدار شاخص RERR بزرگ‌تر از نرخ بازار r باشد، آنگاه فرایند مالی سرمایه‌گذاری X اقتصادی است.

قضیۀ 2- فرایند مالی  و فرایند مالی جدید  را در نظر بگیرید، اگر مقدار A0 برابر با مجموع مقادیر منفی فرایند مالی X باشد، آنگاه مقدار شاخص RERR قطعاً بزرگ‌تر از 1- خواهد بود.

اثبات: با توجه به تعریف‌های مذکور و معادلۀ (17) خواهیم داشت:

(19)

 

حال، رابطۀ ذیل را در نظر بگیرید:

(20)

 

 

جایی که  و  به‌ترتیب، نشان‌دهندۀ NPV مقادیر منفی و مثبت فرایند مالی X است؛ سپس با در نظر گرفتن  به‌ جای A0 و با توجه به برابری  با ، معادلۀ (19) را به‌صورت ذیل می‌توان بازنویسی کرد:

(21)

 

 

بنابراین، اگر مقدار اولیۀ فرایند مالی برابر با  باشد، آنگاه قطعاً مقدار شاخص RERR بزرگ‌تر از 1- خواهد بود.

مثال 4-2- فرایند مالی X را دوباره به‌صورت (750 ,700 ,1250- ,10-) با نرخ بازار 15 درصد و ارزش فعلی خالص 52/74- در نظر بگیرید. برای محاسبۀ شاخص RERR، درابتدا مقدار مؤلفه‌های A0 و An به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

 

 

درادامه، فرایند مالی جدید با مقادیر اولیه و نهایی مذکور و مقادیر میانی اولیه به‌صورت ذیل تشکیل می‌شود:

 

 

 

با توجه به فرایند مالی جدید مذکور، سایر مؤلفه‌ها به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

 ,

 

 

 

با توجه به مقادیر مذکور، مقدار شاخص RERR با استفاده از معادلۀ (18) به‌صورت ذیل محاسبه می‌شود:

 

 

 

مقدار شاخصRERR  (69/12%) کوچک‌تر از مقدار نرخ بازار (15%) است؛ بنابراین، فرایند مالی مذکور، غیراقتصادی است و نتیجۀ حاصل با روش NPV سازگار است؛ اما همانگونه که ملاحظه می‌شود، نرخ سرمایۀ حاصل، بزرگ‌تر از 1- به دست آمد. همچنین، در جدول شمارۀ 1، مقدار شاخص‌های ERR، RERR و SAIRR که خاتمی (2012) برای محاسبۀ FIRR استفاده کرد، به‌ازای مقادیر مختلف نرخ بازار آورده شده است:

 

جدول 1- مقدار شاخص‏های ERR،RERR  و SAIRR به‌ازای مقادیر مختلف نرخ بازار

SAIRR

RERR

ERR

نرخ بازار

17/109%

80/8%

69/68%

8%

87/50%

33/9%

74/40%

9%

01/6-%

87/9%

14/9-%

10%

51/61-%

42/10%

49/209-%

11%

68/115-%

98/10%

37/250-%

12%

57/168-%

54/11%

65/276-%

13%

21/220-%

11/12%

04/279-%

14%

66/270-%

69/12%

09/314-%

15%

همانگونه که مشاهده می‌شود، مقدار شاخص ERR به‌ازای نرخ‌های بازار، بزرگ‌تر از 10 کمتر از 1- به دست می‌آید؛ در حالی که مقدار شاخص پیشنهادی مقاله (RERR)، نرخی مناسب و بزرگ‌تر از 1- حاصل می‌شود. همچنین، شاخص ERR حساسیتی زیاد و غیرمنطقی‌ به تغییر در مقدار نرخ بازار دارد؛ به‌گونه‌ای که فقط با یک درصد افزایش در مقدار نرخ بازار از 10 به 11 درصد، مقدار شاخص مزبور از 14/9-% به نرخ غیرصحیح 49/209%- کاهش می‌یابد؛ در حالی ‌که مقدار شاخص RERR فقط از نرخ 87/9 به‌ترتیب به 42/10% افزایش پیدا کرده است. همچنین، براساس اطلاعات مندرج در جدول شمارۀ 1، شاخص SAIRR نیز دقیقاً معایب مذکور شاخص ERR را دارد.

مثال 4-3- فرایند مالی X را به‌صورت (6 ,11- ,6 ,1-) در نظر بگیرید. در جدول شمارۀ 2، مقدار شاخص RERR و شاخص EAIRR، که بابایی، غفاری و اصل حداد (2015) برای محاسبۀ FIRR استفاده کردند، به‌ازای مقادیر مختلف نرخ بازار آورده شده است:

 

جدول 2- مقایسۀ شاخص‌هایRERR  و EAIRR

EAIRR

RERR

نرخ بازار

45/45-%

32/21%

20%

53/93-%

37/24%

23%

30/125-%

38/25%

24%

70/2559-%

40/29%

28%

68/1077%

40/30%

29%

58/480%

39/31%

30%

 

همانگونه که ملاحظه می‌شود، مقدار شاخصEAIRR  به‌ازای نرخ‌های بازار، بزرگ‌تر از 23% کمتر از 1- به ‌دست می‌آید. همچنین، شاخص EAIRR فقط با یک درصد تغییر در مقدار نرخ بازار از 28% به 29% از مقدار 70/2559-% به مقدار 68/1077% تغییر می‌یابد که صحیح نیست؛ در حالی که شاخص RERR، معایب ذکرشده را دارد.

 

2-4- چگونگی محاسبۀ نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد فازی (FRERR)

در این پژوهش با تعریف مقادیر فرایند مالی و نرخ بازار به‌صورت اعداد فازی و با به‌کارگیری روش برش اعداد فازی، گام‌های ذیل برای محاسبۀFRERR  پیشنهاد می‌شود:

اول) مقادیر فرایند مالی و نرخ بازار فازی را تحت برش‌های مختلف α به فواصل متمایز تبدیل کنید.

دوم) تحت هر برش α، دو جریان فرایند مالی از ترکیب نقاط ابتدایی و انتهایی فواصل به‌دست‌آمده از گام قبلی تشکیل دهید و به‌ترتیب، آن را جریان فرایند مالی بدبینانه و خوش‌بینانه تحت برش α بنامید.

سوم) به‌ازای هر برش α، شاخص RERR را برای فرایندهای مالی جدید بدبینانه و خوش‌بینانه به‌ترتیب، تحت کران پایین و بالای نرخ بازار محاسبه کنید تا به‌ازای هر برش، یک فاصله برای RERR به دست آید؛ سپس، فواصل حاصل را به یکدیگر متصل کنید تا FRERR حاصل شود.

مثال 4-4- نرخ بازار  را به‌صورت عدد فازی مثلثی (15%، 10%، 5%) و جریان فرایند مالی  را برحسب اعداد فازی مثلثی و به‌صورت ذیل در نظر بگیرید:

 

3

2

1

0

دوره

(650 ،600 ،550)

(1000- ،1100- ،1200-)

(650 ،620 ،600)

(80- ،100- ،120-)

فرآیند مالی

 

براساس راهکار پیشنهادی پژوهش، مقدار شاخص RERR برای فرایندهای مالی جدید بدبینانه و خوش‌بینانه به‌ازای برش‌های α برابر با 0، 2/0، 4/0، 6/0، 8/0 و 1 به‌شرح جدول شمارۀ 3 محاسبه می‌شود:

 

جدول 3- مقدار RERR فرآیند مالی  به ازای برش‌های مختلف α

برش

دوره

0

1

2

3

R

RERR

α = 0

بدبینانه

-1320

600

-1200

15/1939

%0/5

%52/0

خوش‌بینانه

-1080

650

-1000

88/2170

%0/15

%30/20

α = 0.2

بدبینانه

-1296

604

-1180

4/1965

%0/6

%44/2

خوش‌بینانه

-1104

644

-1020

17/2151

%0/14

%25/18

α = 0.4

بدبینانه

-1272

608

-1160

05/1991

%0/7

%37/4

خوش‌بینانه

-1128

638

-1040

61/2130

%0/13

%21/16

α = 0.6

بدبینانه

-1248

612

-1140

07/2016

%0/8

%29/6

خوش‌بینانه

-1152

632

-1060

22/2109

%0/12

%18/14

α = 0.8

بدبینانه

-1224

616

-1120

43/2040

%0/9

%22/8

خوش‌بینانه

-1176

626

-1080

04/2087

%0/11

%17/12

α = 1

بدبینانه

-1200

620

-1100

10/2064

%0/10

%16/10

خوش‌بینانه

-1200

620

-1100

10/2064

%0/10

%16/10

 

سپس، با وصل‌کردن فواصل مذکور تحت برش‌های مختلف با یکدیگر، FRERR براساس شکل شمارۀ 1 حاصل می‌شود:

 

 

شکل 1- نمودار FRERR برای فرایند مالی فازی

 

ضریب تعیین توابع تقریب‌زده‌شده برای بال‌های چپ و راست نمودار مذکور، برابر با 1 است؛ بنابراین، FRERR برابر با عدد فازی مثلثی (30/20%، 16/10%، 52/0%) با میانگین 29/10% است. درادامه، برای اعتبارسنجی نتیجۀ حاصل از نرم‌افزار @RISK استفاده شد که نمودار RERR مربوط بعد از یک‌میلیون بار تکرار شبیه‌سازی به‌صورت شکل شمارۀ 2 حاصل شد:

 

 

شکل 2- نمودار RERR برای فرایند مالی فازی  با نرم‌افزار @RISK

 

مقادیر کمینه، میانگین و بیشینه برای RERR براساس نرم‌افزار @RISK و راهکار پیشنهادی مقاله برای فرایند مالی فازی  به‌شرح ذیل است:

 

 

کمینه

میانگین

بیشینه

RERR براساس نرم‌افزار @RISK

01/2%

28/10%

77/18%

FRERR براساس راهکار پیشنهادی مقاله

52/0%

29/10%

30/20%

 

همانگونه که مشاهده می‌شود، نتایج حاصل براساس راهکار پیشنهادی به نتایج به‌دست‌آمده از شبیه‌سازی بسیار نزدیک است که مؤید دقت مناسب روش پیشنهادی مقاله در محاسبۀ FRERR است.

 

3-4- چگونگی محاسبۀ درجۀ امکان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری فازی

در این مقاله، راهکار جدیدی برای محاسبۀ میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری فازی به شرح ذیل پیشنهاد می‌شود:

گام اول) شاخص RERR را برای حالت بدبینانه (خوش‌بینانه) فرایند مالی فازی محاسبه ‌کنید و اگر نرخ مذکور از مقدار بیشینۀ (کمینه) نرخ بازار، بزرگ‌تر (کوچک‌تر) باشد، آنگاه فرایند مالی با درجۀ امکان 100 درصد، اقتصادی (غیراقتصادی) است. در غیر این‌صورت به گام دوم بروید.

گام دوم) شاخص RERR را برای حالت محتمل محاسبه کنید و در صورتی که حالت محتمل فرایند مالی اقتصادی بود، به گام سوم بروید. در غیر این‌صورت، فرایند مالی، غیراقتصادی تلقی می‌شود.

گام سوم) برای محاسبۀ درجۀ امکان اقتصادی‌بودن، مراحل ذیل را انجام دهید:

الف) نرخ بازار فازی را تحت برش‌های مختلف α به فواصل متمایز تبدیل و میانگین هر فاصله را محاسبه کنید و آن را  بنامید.

ب) به‌ازای هر برش، اختلاف بین جریان مالی بدبینانه و خوش‌بینانه را محاسبه کنید. درادامه، با توجه به میزان اختلاف به‌دست‌آمده، مقادیر جریان فرایند مالی بدبینانه را به میزان یک درصد به مقادیر جریان خوش‌بینانه نزدیک کنید (ازنظر محاسباتی، یک درصد اختلاف بین مقادیر جریان مالی بدبینانه و خوش‌بینانه به مقادیر جریان مالی بدبینانه اضافه کنید) و RERR مربوط را محاسبه کنید. تحت هر برشα ، این عمل را آنقدر تکرار کنید تا مشخص شود حداقل باید چند درصد جریان فرایند مالی بدبینانه به جریان فرایند مالی خوش‌بینانه نزدیک شود تا فرایند مالی حاصل اقتصادی شود؛ سپس، نرخ حاصل را  بنامید.

ج) به‌ازای هر برشα ، مقدار ( -1) را محاسبه کنید و آن را  بنامید و سپس، نمودار مربوط را ترسیم کنید (با نمایش مقادیر  در محور عرض و مقادیر α در محور طول)؛ سپس، مساحت زیر نمودار حاصل را محاسبه کنید. نرخ به‌دست‌آمده، نشان‌دهندۀ درجۀ امکان اقتصادی‌بودن فرایند مالی است.

مثال 4-5- فرایند مالی فازی  را دوباره در نظر بگیرید. براساس اطلاعات مندرج در بخش قبلی، مقدار شاخص FRERR برابر با عدد فازی مثلثی (30/20%، 16/10%، 52/0%) به ‌دست آمد. درجۀ امکان اقتصادی‌بودن فرایند مالی مذکور براساس روش‌های مختلف به‌شرح ذیل است:

1-3-4- روش مقایسۀ فواصل مورد انتظار

فواصل انتظاری FRERR و نرخ بازار r مطابق معادلG (7) به‌ترتیب، برابر با ] 23/15%، 34/5 %[ و ] 5/12%، 5/7% [ است؛ بنابراین، درجۀ امکان اقتصادی‌بودن فرایند مالی  مطابق روش مزبور (معادلۀ 6) به‌شرح ذیل است:

 

 

بنابراین، مطابق روش مذکور، فرایند مالی فازی  با درجۀ امکان 9/51 درصد، اقتصادی است.

 

2-3-4- روش امکان بزرگ‌تربودن محض

درجۀ امکان اقتصادی‌بودن فرایند مالی  مطابق روش مزبور (معادلۀ 8) به‌شرح ذیل است:

 

 

بنابراین، براساس روش مذکور، فرایند مالی فازی  با درجۀ امکان 1/68 درصد، اقتصادی است.

 

 

3-3-4- راهکار پیشنهادی مقاله

حالت‌های بدبینانه، خوش‌بینانه و محتمل فرایند مالی  به‌شرح جدول شمارۀ 4 است:

 

جدول 4- مقدار RERR برای حالت‌های مختلف فرایند مالی

حالت

فرایند مالی اولیه

فرایند مالی جدید

mr

RERR

0

1

2

3

0

1

2

3

بدبینانه

-120

600

-1200

550

-1320

600

-1200

15/1939

%0/5

%52/0

خوش‌بینانه

-80

650

-1000

650

-1080

650

-1000

88/2170

%0/15

%30/20

محتمل

-100

620

-1100

600

-1200

620

-1100

10/2064

%0/10

%16/10

 

مقدار RERR در حالت بدبینانه (52/0%) از مقدار بیشینۀ نرخ بازار (15%) بزرگ‌تر نیست و مقدار شاخص مذکور در حالت خوش‌بینانه (30/20%) از مقدار کمینۀ نرخ بازار (5%) کوچک‌تر نیست؛ بنابراین، فرایند مالی مذکور، صددرصد اقتصادی یا غیراقتصادی نیست.

سپس، مقدار RERR در حالت محتمل (16/10%) از مقدار محتمل نرخ بازار (10%) بزرگ‌تر است؛ بنابراین، پروژۀ  در این حالت، اقتصادی است؛ پس باید درجۀ امکان اقتصادی‌بودن آن را تعیین کرد. محاسبات مربوط به گام چهارم، راهکاری پیشنهادی مرتبط با برش 0 = α به‌شرح جدول‌های شمارۀ 5 و6 است:

 

جدول 5- میزان اختلاف مقادیر حالت‌های بدبینانه و خوش‌بینانۀ فرایند مالی

برش 0 = α

0

1

2

3

بدبینانه

-1320

600

-1200

15/1939

خوش‌بینانه

-1080

650

-1000

88/2170

اختلاف

240

50

200

72/231

 

در ادامه، با توجه به میزان اختلاف به‌دست‌آمده، مقادیر جریان فرایند مالی بدبینانه را به میزان یک درصد به مقادیر جریان خوش‌بینانه نزدیک و RERR مربوط را تحت نرخ بازار 10% =  محاسبه می‌کنیم. آنقدر این عمل را تکرار می‌کنیم تا RERR حاصل از مقدار  بزرگ‌تر و درواقع، فرایند مالی حاصل اقتصادی شود.

 

جدول 6- مقادیر مؤلفه‌های  و  فرایند مالی  برای برش 0 = α

درصد

0

1

2

3

RERR

0%

-0/1320

600

-1200

15/1939

%63/0

1%

-6/1317

5/600

-1198

47/1941

%82/0

2%

-2/1315

601

-1196

78/1943

%01/1

...

...

...

...

...

...

49%

-4/1202

5/624

-1102

70/2052

%90/9

50%

-0/1200

625

-1100

01/2055

%09/10

 

با توجه به اطلاعات مذکور، اگر حداقل 50 درصد ( ) فرایند مالی حالت بدبینانه را به خوش‌بینانه نزدیک کنیم، آنگاه مقدار RERR فرایند مالی مذکور (09/10%) از مقدار  (10%) بزرگ‌تر می‌شود و درنتیجه، مقدار مؤلفۀ  عدد 50/0 به دست می‌آید. همین محاسبات را برای سایر برش‌ها نیز انجام می‌دهیم. خلاصۀ نتایج به‌شرح جدول شمارۀ 7 است:

جدول 7- مقادیر مؤلفه‌های  و  فرایند مالی

برش α

 

 

α = 0.0

50/0

50/0

α = 0.2

50/0

50/0

α = 0.4

49/0

51/0

α = 0.6

48/0

52/0

α = 0.8

46/0

54/0

α = 1.0

0

1

 

نمودار مربوط، مطابق شکل شمارۀ 3 است:

 

 

شکل 3- نمودار  فرایند مالی فازی  به‌ازای 6 برش α

 

مساحت زیر نمودار مذکور برابر با 564/0 است؛ بنابراین، مطابق راهکار پیشنهادی مقاله، فرایند مالی فازی  با درجۀ امکان 4/56 درصد، اقتصادی است.

 

4-4- اعتبارسنجی نتایج

در این پژوهش برای اعتبارسنجی نتایج، از نرم‌افزار @RISK استفاده شده است. نمودار NPV فرایند مالی فازی  بعد یک‌میلیون بار تکرار شبیه‌سازی به‌صورت شکل شمارۀ 4 حاصل شد:

 

 

شکل 4- نمودارNPV  برای فرایند مالی فازی  با نرم‌افزار @RISK

 

همانگونه که مشاهده می‌شود، مطابق شبیه‌سازی مونت کارلو، مقدار شاخص NPV در 2/58 درصد از تکرارهای شبیه‌سازی مثبت و درواقع، فرایند مالی فازی  با احتمال 2/58 درصد، اقتصادی است. خلاصۀ نتایج به‌شرح جدول شمارۀ 8 است:

جدول 8- مقایسۀ میزان اقتصادی‌بودن فرایند مالی فازی  مطابق روش‌های مختلف

میزان اقتصادی بودن

عنوان روش

9/51%

روش مقایسۀ فواصل مورد انتظار

1/68%

روش امکان بزرگ‌تربودن محض

4/56%

راهکار پیشنهادی مقاله

2/58%

شبیه‌سازی مونت کارلو – نرم‌افزار @RISK

 

مطابق اطلاعات مذکور، نتیجۀ حاصل از راهکاری پیشنهادی نسبت به سایر روش‌ها به نتیجۀ به‌دست‌آمده از شبیه‌سازی نزدیک‌تر است که مؤید دقت مناسب راهکار مذکور است؛ البته میزان اقتصادی‌بودن فرایند مالی مذکور، مطابق روش «مقایسۀ فواصل مورد انتظار» نسبت به روش «امکان بزرگ‌تربودن محض»، دقیق‌تر است

همچنین، برای اعتبارسنجی شاخص RERR، نمودار تفاوت شاخص RERR و نرخ بازار (RERR-r) بعد از یک‌میلیون بار تکرار شبیه‌سازی به‌شکل ذیل حاصل شد:

 

 

شکل 5- نمودار تفاوت شاخص RERR و نرخ بازار برای فرایند مالی  با نرم‌افزار @RISK

در واقع، با استفاده از تکنیک شبیه‌سازی و شاخص RERR نیز فرایند مالی مذکور با احتمال 2/58 درصد، اقتصادی است که مؤید سازگاربودن و صحت نتایج حاصل از روش RERR با روش NPV است.

 

4.               5- بررسی نمونۀ موردی واقعی

در این بخش، کارایی روش پیشنهادی مقاله براساس پروژه‌ای واقعی ارزیابی می‌شود. بر این اساس، پروژۀ (25/2- ،5/1- ،75/0-،0 ،75/0 ،5/1 ،25/2 ،3 ،4-) = P، که در مبانی نظری موضوع به‌عنوان «پروژۀ استخراج مواد معدنی»[xxxiii] مطرح بود، بررسی شده است. برای تعریف مقادیر فرایند مالی پروژۀ مذکور برحسب اعداد فازی، مقادیر مذکور را به‌عنوان مقادیر محتمل و مقادیر کمینه و بیشینۀ اعداد فازی مثلثی مربوط را با دامنۀ تغییرات حدوداً 50 درصدی به‌شرح ذیل در نظر بگیرید:

 

8

7

6

5

4

3

2

1

0

دوره

38/3-

25/2-

13/1-

0

37/0

75/0

12/1

5/1

6-

کمینه

25/2-

5/1-

75/0-

0

75/0

5/1

25/2

3

4-

محتمل

12/1-

75/0-

37/0-

0

13/1

25/2

38/3

5/4

2-

بیشینه

 

با در نظر گرفتن نرخ بازار برابر با عدد فازی مثلثی (20%، 15%، 10%)، مطابق روش پیشنهادی مقالۀ مندرج در بخش 4-2، FRERR پروژۀ مذکور مطابق شکل شمارۀ 6 حاصل می‌شود:

 

 

شکل 6- نمودار FRERR برای پروژۀ استخراج مواد معدنی

 

توابع بال‌های چپ و راست نمودار مذکور، تقریباً به‌صورت خطی است؛ بنابراین، FRERR تقریباً برابر با عدد فازی مثلثی (89/32% ،17/15% ،10/1%) است. برای اعتبارسنجی نتیجۀ حاصل نیز از نرم‌افزار @RISK استفاده شد که نمودار RERR مربوط بعد از یک‌میلیون بار تکرار شبیه‌سازی به‌صورت شکل شمارۀ 7 حاصل شد:

 

 

شکل 7- نمودار RERR برای پروژۀ استخراج مواد معدنی

 

خلاصۀ نتایج به‌شرح ذیل است:

 

 

کمینه

میانه

بیشینه

RERR مطابق نرم‌افزار @RISK

59/4%

21/15%

25/27%

FRERR مطابق راهکار پیشنهادی مقاله

10/1%

08/16%

89/32%

 

همانگونه که مشاهده می‌شود، نتایج حاصل، مطابق راهکار پیشنهادی به نتایج به‌دست‌آمده از شبیه‌سازی نزدیک است که مؤید صحت روش پیشنهادی مقاله در محاسبۀ FRERR است. همچنین، مقدار RERR در حالت کمینه (10/1%) از مقدار بیشینۀ نرخ بازار (20%) بزرگ‌تر نیست و مقدار شاخص مذکور در حالت بیشینه (89/32%) از مقدار کمینۀ نرخ بازار (10%) کوچک‌تر نیست؛ بنابراین، پروژۀ استخراج مواد معدنی مذکور، صددرصد اقتصادی یا غیراقتصادی نیست؛ سپس، مقدار RERR در حالت محتمل (17/15%) از مقدار محتمل نرخ بازار (15%) بزرگ‌تر است؛ بنابراین، پروژۀ مزبور در این حالت، اقتصادی است؛ بنابراین، درجۀ امکان اقتصادی‌بودن آن را باید تعیین کرد. پس از انجام‌دادن محاسبات مندرج در بخش 4-3، نمودار مؤلفۀ Jα مطابق شکل شمارۀ 8 به ‌دست آمد:

 

 

شکل 8- نمودار  برای پروژۀ استخراج مواد معدنی به‌ازای 6 برش α

 

مساحت زیر نمودار مذکور، برابر با 54/0 است؛ بنابراین، مطابق راهکار پیشنهادی مقاله، پروژۀ استخراج مواد معدنی با درجۀ امکان 54 درصد اقتصادی است؛ سپس، برای اعتبارسنجی نتایج، از نرم‌افزار @RISK استفاده شده است. نمودار NPV برای پروژۀ استخراج مواد معدنی بعد از یک‌میلیون بار تکرار شبیه‌سازی به‌صورت شکل شمارۀ 9 حاصل شد:

 

شکل 9- نمودارNPV  برای پروژۀ استخراج مواد معدنی با نرم‌افزار @RISK

 

همانگونه که ملاحظه می‌شود، مطابق روش شبیه‌سازی مونت کارلو، مقدار شاخص NPV در 3/53 درصد از تکرارهای شبیه‌سازی مثبت است و درواقع، پروژۀ استخراج مواد معدنی با احتمال 3/53 درصد اقتصادی است؛ بنابراین، مطابق اطلاعات مذکور، درجۀ امکان اقتصادی‌بودن پروژۀ یادشده، مطابق راهکار پیشنهادی مقاله (54%) و بسیار نزدیک به خروجی شبیه‌سازی (3/53%) است که دقت مناسب روش پیشنهادی مقاله را نشان می‌دهد.

همچنین، برای اعتبارسنجی شاخص RERR، نمودار تفاوت شاخص RERR و نرخ بازار (RERR-r) بعد از یک‌میلیون بار تکرار شبیه‌سازی، مطابق شکل شمارۀ 10حاصل شد:

 

 

شکل 10- نمودار تفاوت شاخص RERR و نرخ بازار برای پروژۀ استخراج مواد معدنی

 

درواقع، با استفاده از تکنیک شبیه‌سازی و شاخص RERR نیز پروژۀ مذکور با احتمال 3/53 درصد اقتصادی است که مؤید سازگاری نتایج حاصل از روش RERR با روش NPV است.

5.               6- بحث

این مقاله نشان داد شاخص‌های SAIRR، EAIRR و ERR دربارۀ برخی از فرایندهای مالی ممکن است نرخ بازده سرمایه را کمتر از 1- محاسبه کند و حساسیت زیادی نیز نسبت به تغییر در مقدار نرخ بازار داشته باشد. شاخص ERR محاسبات ساده‌تری نسبت به سایر روش‌ها و در عین حال، توانایی پوشش مشکلات چندنرخی و نبود نرخ بازده سرمایه را نیز دارد؛ بنابراین، در این پژوهش کوشش شد شاخص ERR به صورتی اصلاح شود که مشکلات یادشده مرتفع شود. علت به ‌وجود آمدن معایب مذکور این است که مقدار شاخص ERR مبتنی بر مقدار نرخ بهرۀ اولین دوره و مقدار مؤلفۀ مذکور وابسته به مقدار سرمایه‌گذاری در دورۀ صفر است؛ بنابراین، مقدار اولیۀ فرایند مالی باید به‌صورت مناسبی، نشان‌دهندۀ میزان سرمایه‌گذاری کلی انجام‌شده در پروژه باشد؛ به همین علت، این مقاله، مقدار اولیۀ پروژۀ سرمایه‌گذاری را برابر با مجموع مقادیر منفی فرایند مالی، که به‌صورت مناسبی نشان‌دهندۀ میزان سرمایه‌گذاری کلی پروژه است، در نظر می‌گیرد و مقدار نهایی فرایند مالی را نیز به‌ صورتی اصلاح می‌کند تا NPV فرایند مالی تغییر نکند؛ سپس، اثبات می‌کند با این کار، مقدار نرخ بازده سرمایۀ حاصل (RERR) قطعاً بزرگ‌تر از 1- است و نرخ مناسبی به‌عنوان نرخ بازده سرمایه به ‌دست می‌آید.

درادامه و برای محاسبۀ شاخص RERR تحت محیط فازی، در این مقاله از روش برش اعداد فازی استفاده می‌شود و مقدار شاخص RERR با افزایش نرخ بازار، قطعاً افزایش می‌یابد؛ بنابراین، به محاسبۀ شاخص مذکور برای فرایندهای مالی بدبینانه و خوش‌بینانه تحت مقادیر مختلف نرخ بازار نیازی نیست و درواقع، این ویژگی شاخص RERR، موجب کاهش زیاد محاسبات مذکور نسبت به روش‌های ارائه‌شده مبتنی بر روش Vertex مانند خاتمی (2012)، بابایی، غفاری و اصل حداد (2015) و غفاری و قضاوتی (2019) است. همچنین، پژوهش‌های مذکور از شاخص‌های مبتنی بر روش AIRR برای محاسبۀ FIRR استفاده کرده‌اند که امکان برآورد نرخ بازده سرمایه با مقدار کمتر از 1- با شاخص‌های مذکور متصور است و درعمل، کاربرد و صحت روش‌های مذکور را در هاله‌ای از ابهام قرار داده است.

پس از محاسبۀ شاخص FRERR باید میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌های سرمایه‌گذاری تعیین شود. بر این اساس، ساده‌ترین روش ممکن این است که نرخ بازده سرمایۀ فازی و نرخ بازار فازی به یک عدد قطعی تبدیل و درنهایت، با مقایسۀ اعداد به‌دست‌آمده، فقط اقتصادی یا غیراقتصادی‌بودن پروژه‌ها مشخص شود؛ در حالی ‌که مطابق این روش، اطلاعات بسیار اندکی در اختیار تصمیم‌گیرنده قرار می‌گیرد. در این ارتباط، خاتمی ( 2012) و غفاری و قضاوتی (2019) به‌ترتیب، از روش‌های «مقایسۀ متوسط فواصل مورد انتظار» و «امکان بزرگ‌تربودن محض» استفاده و درجۀ امکان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها را محاسبه کردند. روش‌های مذکور، اطلاعات بیشتری در اختیار تصمیم‌گیرنده قرار می‌دهد؛ اما در این مقاله مشخص شد روش‌های مذکور برای تمامی پروژه‌ها قابل اطمینان نیست و ممکن است به نتایج غیردقیق منجر شود؛ بنابراین، این مقاله، راهکار جدیدی را پیشنهاد می‌کند که مطابق آن، فرایندهای مالی بدبینانه و خوش‌بینانه تحت هر برش تحلیل شود تا مشخص شود به چه میزان باید فرایند مالی بدبینانه را به خوش‌بینانه نزدیک کنیم تا فرایند مالی، اقتصادی شود. درنهایت، با جمع‌بندی نتایج به‌دست‌آمده از هر برش، درجۀ امکان اقتصادی‌بودن پروژۀ سرمایه‌گذاری به‌صورت مطمئن‌تری محاسبه می‌شود.

 

6.                 

7.               7- نتیجه‌گیری

روش IRR یکی از مرسوم‌ترین روش‌هایی است که پژوهشگران و تصمیم‌گیرندگان برای تعیین اقتصادی‌بودن فرایندهای مالی استفاده می‌کنند؛ اما روش مذکور، معایبی جدی دارد که کاربرد آن را با محدودیت‌های مهمی مواجه کرده است؛ بدین‌منظور، پژوهشگران گوناگونی کوشیدند ایرادهای موصوف را برطرف کنند که هر کدام از روش‌های ارائه‌شده، مزایا و معایب خاص خود را داشت. در این میان، باری و روبیسون (2014)، شاخص جدیدی با نام نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی (ERR) معرفی کردند که ازجمله شاخص‌های مناسب در مبانی نظری موضوع است؛ اما شاخص مزبور، نواقص مهمی به‌شرح ذیل دارد:

1) شاخص ERR برای برخی از فرایندهای مالی، نرخ بازده سرمایه را کوچک‌تر از 1- محاسبه می‌کند که بدیهی است نرخ مزبور، نرخی ناصحیح و بدون مفهوم اقتصادی است.

2) دربارۀ برخی از فرایندهای مالی، ممکن است مقدار شاخص ERR به‌ازای تغییر اندک در نرخ بازار، تغییر زیادی کند؛ به عبارت دیگر، برای برخی از پروژه‌ها، شاخص مذکور، حساسیت زیادی به تغییر در نرخ بازار دارد.

بر این اساس، این مقاله، شاخص جدیدی را با نام نرخ بازده سرمایۀ اقتصادی قابل اعتماد (RERR) معرفی می‌کند که از شاخصERR  نشئت گرفته است؛ اما قطعاً به مقدار بزرگ‌تر از 1- منجر می‌شود و در مواردی که شاخص ERR به تغییر در نرخ بازار، حساسیت غیرمنطقی دارد، شاخص RERR نقص یادشده را ندارد. در این باره، این مقاله اثبات می‌کند اگر مقدار اولیۀ پروژه‌های سرمایه‌گذاری را برابر با مجموع مقادیر منفی فرایند مالی مربوط قرار دهیم، آنگاه نرخ بازده سرمایۀ حاصل (RERR) قطعاً بزرگ‌تر از 1- منفی خواهد بود. در این ارتباط، این مقاله، راهکاری را پیشنهاد می‌کند که بدون تغییر در مقادیر میانی فرایند مالی، فقط مقادیر اولیه و نهایی فرایند مالی سرمایه‌گذاری به صورتی اصلاح می‌شود که ارزش فعلی فرایند مالی جدید تغییر نکند.

همچنین، در بعضی از مواقع به علل گوناگونی، برآورد مقادیر فرایندهای مالی به‌صورت قطعی امکان‌پذیر نیست؛ بنابراین، کوشش‌های زیادی برای محاسبۀ نرخ بازده سرمایه تحت محیط فازی انجام شده است؛ بدین‌منظور، در این مقاله از روش برش اعداد فازی و شاخص RERR استفاده شد که قطعاً نرخ بازده سرمایه را بزرگ‌تر از عدد 1- محاسبه می‌کند و نسبت به سایر روش‌ها، محاسبات به‌مراتب کمتری دارد؛ سپس، با بررسی فواصل به‌دست‌آمده از برش مقادیر فازی فرایند مالی و با ارائۀ راهکاری جدید و مطمئن، روشی معرفی شد که میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها را برحسب درجۀ امکان مربوط به‌طور صحیح محاسبه کند و اطلاعات جامع‌تر و دقیق‌تری را نسبت به سایر روش‌ها در اختیار تصمیم‌گیرنده قرار دهد.

درنهایت، در این مقاله برای اعتبارسنجی نتایج، از نرم‌افزار @RISK استفاده شد که مطابق نتایج، مشخص شد برآورد نرخ بازده سرمایۀ فازی با استفاده از شاخص RERR و روش برش اعداد فازی بسیار نزدیک به نتیجۀ حاصل از شبیه‌سازی است که مؤید دقت مناسب راهکار معرفی‌شده است. همچنین، نتایج به‌دست‌آمده از نرم‌افزار @RISK در تعیین میزان اقتصادی‌بودن پروژه‌ها نشان داد راهکار پیشنهادی مقاله در این باره نیز نسبت به روش‌های «مقایسۀ متوسط فواصل مورد انتظار» و «امکان بزرگ‌تربودن محض» دقیق‌تر است و به‌طور کامل با روش ارزش فعلی نیز سازگاری دارد.

بررسی مسئلۀ رتبه‌بندی پروژه‌های رقابتی تحت محیط فازی، بررسی موضوع تحت سایر محیط‌های عدم قطعیت و استفاده از رویکرد بهینه‌سازی استوار در این زمینه، ازجمله پیشنهادها برای پژوهش‌های آتی است.

 

[i]. Internal Rate of Return

[ii]. Pierru, A.

[iii]. Magni, C.A.

[iv]. Average Internal Rate of Return

[v]. Economic Average Internal rate of Return

[vi]. Investment Performance

[vii]. Mellichamp, D.A.

[viii]. Normalized Present Worth

[ix]. Nagares, N., Sison, A., and Medina, R.

[x]. Iterative root-finding algorithm

[xi]. Barry, P.J. and Robison, L.J.

[xii]. Economic Rate of Return

[xiii]. Reliable Economic Rate of Return

[xiv]. Danielson, M.G.

[xv]. Marchioni, A. and Magni, C.A.

[xvi]. Prol, J.L., and Steininger, K.W.

[xvii]. Kuchta, D.

[xviii]. Fuzzy Internal Rate of Return

[xix]. Modified Internal Rate of Return

[xx]. Guerra, M.L., Sorini, L. and Stefanini, L.

[xxi]. Guerra, M.L., Magni, C.A. and Stefanini, L.

[xxii]. Vertex Method

[xxiii]. Simple Average Internal Rate of Return

[xxiv]. Modified Average Internal Rate of Return

[xxv]. Gisin V.B. and Volkova E.S.

[xxvi]. Kussainov, C., and Alliyarov, A.

[xxvii]. Hazen, G. and Magni, C.A.

[xxviii]. Fuzzy Reliable Economic Rate of Return

[xxix]. Net Present Value

[xxx]. Jiménez, M.

[xxxi]. Dubois, D. and Prade, H.

[xxxii]. Overall Investment

[xxxiii]. Mineral Extraction Project

مراجع

- Babaie, B., Ghaffari, H.A., and Aslhadad, A. (2015). “A New Method to Calculate Fuzzy Internal Rate of Return Using the Economic Average IRR Index and Vertex Method”. 11th International Industrial Engineering Conference, Tehran. (in Persian).
- Babaie, B., Zandi, A., and Aslhadad, A. (2015). “A new method to calculate internal rate of return”. Journal of Production and Operations Management, 6(1): 113-126. (in Persian).
- Barry, P.J., and Robison, L.J. (2014). “Technical Note: Economic Rates of Return and Investment Analysis”. The engineering economist, 59(3), 231-236.
- Danielson, M.G. (2018). “Double vision: Insights about the origin and interpretation of multiple IRRs”. The engineering economist, 63(3), 217-235.
- Dubois, D., and Prade, H. (2012). Possibility theory: an approach to computerized processing of uncertainty. New York: Springer Science and Business Media.
- Ghaffari, H.A., and Ghezavati, V. (2019). “A fuzzy modeling for determining feasibility of cash flows using an efficient and novel IRR metric”. Economic Computation and Economic Cybernetics Studies and Research, 53(1): 231-246.
- Gisin, V.B., and Volkova, E.S. (2020). “Net present value and internal rate of cash flows with fuzzy payments”. Мягкие измерения и вычисления, 28(3): 33-54.
- Guerra, M.L., Magni, C.A., and Stefanini, L. (2014). “Interval and fuzzy average internal rate of return for investment appraisal”. Fuzzy Sets and Systems, 257: 217-241.
- Guerra, M.L., Sorini, L., and Stefanini, L. (2008). “Fuzzy Investment Decision Making”. Proceedings of IPMU 08 Torremolinos (Malaga). June 22-27. 2008. 848-854.
- Hazen, G., and Magni, C.A. (2021). “Average internal rate of return for risky projects”. The Engineering Economist, 66(2): 1-31.
- Jiménez, M. (1996). “Ranking fuzzy numbers through the comparison of its expected intervals”. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 4(04): 379-388.
- Kussainov, C., and Alliyarov, A. (2021). “Classification of investment risks with fuzzy financial indicators”. Scientific Collection «InterConf», 50: 631-637.
- Khatami, H. (2012). Internal rate of return under fuzzy environment. Master of science thesis in industrial engineering, K.N. Toosi University of Technology, Not published.
- Kuchta, D. (2008). Fuzzy rate of return analysis and applications. In Fuzzy Engineering Economics with Applications (pp 97-104): Berlin, Heidelberg: Springer.
- Magni, C.A. (2010). “Average internal rate of return and investment decisions: a new perspective”. The engineering economist, 55(2): 150-180.
- Magni, C.A. (2013). “The internal rate of return approach and the AIRR paradigm: a refutation and a corroboration”. The engineering economist, 58(2): 73-111.
- Magni, C.A. (2014). “Arithmetic returns for investment performance measurement”. Insurance: Mathematics and Economics, 55: 291-300.
- Magni, C.A. (2016). “Capital depreciation and the underdetermination of rate of return: A unifying perspective”. Journal of Mathematical Economics, 67: 54-79.
- Magni, C.A. (2020) Investment Decisions and the Logic of Valuation. Springer.
- Marchioni, A., and Magni, C.A. (2018). “Investment decisions and sensitivity analysis: NPV-consistency of rates of return”. European Journal of Operational Research, 268(1): 361-372.
- Mellichamp, D.A. (2017). Internal rate of return: “Good and bad features, and a new way of interpreting the historic measure”. Computers and Chemical Engineering, 106: 396-406.
- Nagares, N., Sison, A., and Medina, R. (2019). “An Optimized Newton-Raphson Algorithm for Approximating Internal Rate of Return”. International Journal of Advanced Trends in Computer Science and Engineering, 8(6): 3265-3268.
- Nakhaeinejad, M., and MomenShad, N. (2020). “Project portfolio selection by considering triple-wise interaction among projects”. Journal of Production and Operations Management, 11(20): 1-22. (in Persian).
- Olfat, L., Ghazinoori, S., and Ghasemi, M. (2019). “The relationship between manufacturing strategic decisions, competitive priorities and firm performance in the automotive supply industry of Iran”. Journal of Production and Operations Management, 10(2): 17-35. (in Persian).
- Pierru, A. (2010). “The simple meaning of complex rates of return”. The engineering economist, 55(2): 105-117.
- Prol, J.L., and Steininger, K.W. (2020). “Photovoltaic self-consumption is now profitable in Spain: Effects of the new regulation on prosumers’ internal rate of return”. Energy Policy, 146, 111793.

فایل ها

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار