توسعۀ مدل استوار تحلیل پوششی داده‌ها برای شبکۀ‌‍ ترکیبی ناهمگن با ساختار باز در هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای

1- مقدمه
در مدل‌های سنتی تحلیل پوششی داده‌ها  (DEA)، بدون توجه به ارتباطات بخش‌های داخلی واحدهای تصمیم‌گیری، کارآیی محاسبه می‌شود؛ اما در دنیای واقعی، ممکن است فرآیندهای داخلی بسیار زیادی وجود داشته ‍باشد که محاسبۀ کارایی را با مشکل مواجه کند (یانگ ، هسیه  و یو ، 2008). برای رفع این مشکل، فار  و گراسکف  (2000)، تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای را مطرح و اهمیت آن ‍را در تحلیل دقیق‌تر کارآیی واحدهای تصمیم‌گیری بیان کرده‌اند. واحدهای تصمیم‌گیری شبکه‌ای ازلحاظ ساختار به سه گروه پایه‌ای تقسیم می‌شوند: واحدهای تصمیم‌‍گیری موازی؛ واحدهای تصمیم‌‍گیری سری؛ واحدهای تصمیم‌‍گیری ترکیبی که شامل هر دو ساختار سری و موازی است (برات، توحیدی و صانعی، 2018). 
موارد بسیاری وجود دارد که مجموعه‌ای از واحدهای تصمیم‌‍گیری با ساختار داخلی موازی، سری و زیر واحدهای ناهمگن است. به‌عنوان یک نمونۀ معمول، می‌توان از شرکت‌های پتروشیمی نام برد. هر شرکت از چهار بخش تشکیل ‌شده است که از طریق شبکه به هم متصل می‌شوند. زیر واحد یک، اوره  و آمونیاک  را به ملامین و کربنات  تبدیل می‌کند. ورودی و خروجی زیر واحد دو، به ترتیب، گوگرد  و اسیدسولفوریک  است. یکی از خروجی‌های زیر واحد یک (ملامین)، ورودی زیر واحد سه و کریستال ملامین  خروجی تولیدشدۀ این زیر واحد است. خروجی دیگر زیر واحد یک (کربنات) با خروجی زیر واحد دو (اسیدسولفوریک) ورودی‌‍هایی است که در زیر واحد چهار برای تولید سولفات آمونیوم  ترکیب می‌شود. ساختار فوق در شکل 1 نشان داده شده است. در این مثال، هر واحد تصمیم‌گیری دارای یک ساختار شبکه‌ای بسته، متشکل از چهار زیر واحد است که در دو ساختار موازی و سری سازمان یافته‌اند. این موارد، باعث پیدایش ساختارهای ترکیبی و غیرهمگن می‌شود (برات، توحیدی و صانعی، 2018).

 
شکل 1- شرکت پتروشیمی (برات، توحیدی و صانعی، 2018).

مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن، به مدل‌هایی با ساختار بسته و باز تقسیم‌‍ می‌شود. در مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار بسته، خروجی‌های میانی از یک مرحله ‌به‌ مرحلۀ بعد، بدون تغییر انتقال می‌یابد و فرآیندهای داخلی، خروجی‌های نهایی تولید نمی‌کند. در مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار باز، قسمتی از خروجی‌های میانی (خروجی‌های نهایی) از سیستم خارج و قسمتی از آن (ورودی‌ها) در همان لایه یا لایۀ دیگر (ارتباطات بین لایه‌ای) به مرحلۀ بعد وارد می‌شود (مقبولی، امیر تیموری و کردرستمی، 2014). 
یکی از چالش‌های اصلی و مهم در استفاده از مدل‌هایDEA ، عدم ‍قطعیت داده‌ها است. درواقع، بسیاری از مسائل زندگی واقعی با داده‌های غیرقطعی روبه‌رو است که بر نتایج کارایی اثر می‌گذارد. در بدترین حالت، ممکن است جواب‌های بهینۀ مدل‌ها غیرقابل‌قبول و رتبه‌‍بندیDMU ها نامعتبر شود؛ به‌ویژه هنگامی‌که امتیازات کارایی DMU‌ها به هم نزدیک باشد؛ بنابراین در سال‌های اخیر، مدل‌های مختلف تحلیل پوششی داده‌های نادقیق (UDEA)، ارائه‌شده است (پیکانی، محمدی، فرضی‌پور و همکاران، 2020). مدل‌هایی که برای مقابله با عدم قطعیت داده‌ها در DEA توسعه یافته است، مدل‌های UDEA نامیده می‌شود.
پیکانی، محمدی، فرضی‌پور و همکاران (2020)، برخی از مشکلات موجود در مدل‌های UDEA را بررسی کرده‌اند. آنها به این نتیجه رسیدند که بهینه‌‍سازی استوار DEA ، یک ابزار جدید است که می‌تواند مشکلات موجود در رویکردهای بهینه‌‍سازی در حالت عدم ‍قطعیت DEA را برطرف کند. مدل استوار DEA، آخرین رویکرد برای ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم‌‍گیری، در حضور داده‌های غیرقطعی است. توجه داشته باشید که رویکرد بهینه‌سازی استوار، یکی از رویکردهای اجرایی و محبوب در مقابله با عدم‌‍ قطعیت در مسائل واقعی است که به داده‌های تاریخی و تابع توزیع احتمال نیاز ندارد (برتیسماس ، براون  و کارامانیس ، 2011). در این مقاله، مدل جدید تحلیل پوششی داد‌‍ه‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن، با ساختار باز و ارتباطات بین لایه‌ای ارائه شده است. با توجه به توضیحات بالا، دربارۀ UDEA، از بهینه‌‍سازی استوار، برای مقابله با عدم‌‍ قطعیت هم‌زمان در ورودی‌ها، خروجی‌ها و محصولات میانیِ مدل ارائه‌شده، استفاده شده‌‍ است.
این مقاله، در شش بخش ارائه و ادبیات مرتبط در بخش 2 گردآوری شده است. در بخش 3 و 4، جزئیات ریاضی مدل‌های جدید پیشنهادی را می‌توان مشاهده و بررسی کرد. مطالعۀ موردی از باغ‌های پستۀ 10 شهرستان استان یزد، در بخش 5، ارائه شده است. علاوه بر این، در این بخش نتایج حاصل از اجرای مدل‌های پیشنهادی و اعتبارسنجی آنها نشان داده و مقایسه می‌شود. در پایان، نتیجه‌‍گیری‌‍ و پیشنهاد‌های آتی، به‌صورت خلاصه ارائه شده است.

2- پیشینه تحقیق
محققان زیادی در حوزۀ ناهمگنی ورودی‌ها و خروجی‌های فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ واحدهای تصمیم‌‍گیری شبکه‌ای ترکیبی، تحقیق کرده‌اند. کاستلی و همکارانش، کارایی مجموعه‌ای از واحدهای تصمیم‌‍گیری ناهمگن را ارزیابی کرده‌اند. در این واحدهای تصمیم‌‍گیری، بخشی از خروجی‌هایی که هر یک از این زیر واحدها تولید کرده‌اند، در بخشی از ورودی‌های سایر زیر واحدها، مصرف می‌شود. شبکۀ ارزیابی‌شده در این تحقیق، دارای ساختار بسته است (کاستلی ، پسنتی  و یکویچ ، 2001). یو  (2010)، عملکرد فرودگاه را با تجزیۀ آن به دو مرحلۀ تولید و خدمات بررسی کرد. مرحلۀ خدمات نیز شامل دو زیرفرآیند خدمات هوایی و زمینی است. در این مقاله، مدل تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار بسته توسعه داده شده است که نشان می‌دهد، بهره‌‍وری واحد تصمیم‌‍گیری فرودگاه، حاصل کارآیی تولید و خدمات است. این مدل برای اندازه‌‍گیری عملکرد 15 فرودگاه داخلی در تایوان استفاده شده‌‍ است. کوک ، ژو ، بی  و همکاران (2010)، مدل شبکه‌ای سری چندمرحله‌ای ناهمگنی را معرفی کرده‌اند که خروجی‌های هر مرحله می‌تواند محصول نهایی تلقی و از سیستم خارج و یا به‌منزلۀ ورودی به مرحلۀ بعد وارد شود؛ همچنین ورودی‌های جدید نیز در هر مرحله می‌تواند به سیستم وارد شود. آدلر ، لیبرت  و یاژامسکی ، (2013)، عملکرد 43 فرودگاه در 13 کشور اروپایی را که به دو مرحلۀ عملیاتی ناهمگن تفکیک شده‌‍است، تجزیه و تحلیل کردند. مرحلۀ اول، یک فرایند دارد که خروجی‌های آن مسافران و محموله‌ها است. مرحلۀ دوم، دو فرآیند فعالیت‌های هوایی و غیرهوایی دارد. این دو مرحله که در یک ساختار شبکه‌ای بسته قرار می‌گیرد، به‌طور مستقل ارزیابی شد. ابراهیم‌‍نژاد، توانا و لطفی (2014)، مدلی را ارائه کردند که در آن یک واحد تصمیم‌‍گیری دارای سه زیرفرآیند است. در بخش اول، دو زیرفرآیند به‌صورت موازی قرار دارد و خروجی‌های آن‌ها، ورودی‌هایی‌ است که در زیرفرآیند سوم استفاده می‌شود. این مدل برای ارزیابی کارآیی شعب بانک‌های تجارت به‌ کار رفته ‍است. دو ، چن  و هو  (2015)، مدلی را پیشنهاد دادند که در آن یک واحد تصمیم‌‍گیری با زیرمجموعه‌های ناهمگن در یک ساختار موازی بسته ارزیابی می‌شود؛ به‌صورتی‌که زیر واحدها دارای ارتباطات داخلی باشند. در این مدل پیشنهادی، کارآیی کل واحد تصمیم‌‍گیری، براساس میانگین وزنی فرآیندها اندازه‌‍گیری می‌شود. آنها برای اعتبارسنجی مدل پیشنهادی خود، نتایج را با مدل‌های سنتی مقایسه کردند. سون ، وانگ ، جی  و همکارانش (2017)، مدل دومرحله‌ای تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای را با فرض ناهمگن‌بودن مراحل شبکه معرفی کردند. آنها با فرض اینکه واحدهای تصمیم‌‍گیری دارای ساختارهای داخلی دومرحله‌ای و ناهمگن است، مدل پیشنهادی خود را در سیستم‌های مختلف زنجیره تأمین و اجرا کردند. لی ، لیانگ  و کوک (2016)، ناهمگن‌بودن در سمت ورودی‌ها را بررسی کردند. معمولاً در کارخانه‌های تولیدی رخ می‌دهد؛ مثلاً: زمانی‌که بسته‌بندی خروجی را می‌توان با استفاده از مخلوط‌های مختلف ماشین‌‍آلات، روبات‌ها و کارگران تولید کرد. بنابراین در این موارد، پیکربندی ورودی موجود در یک واحد تصمیم‌‍گیری، می‌تواند از پیکربندی در واحد تصمیم‌گیری دیگر متفاوت باشد. آنها مدل جدید تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار بسته را توسعه دادند و برای ارزیابی کارآیی استان‌های چین به کار بردند. برات، توحیدی و صانعی (2018)، مدل تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی بسته با ورودی‌ها و خروجی‌های ناهمگن را ارائه کردند. با این روش، کارآیی کل و اجزای تشکیل‌دهندۀ واحد تصمیم‌‍گیری را می‌توان اندازه‌‍گیری کرد. درواقع، مدل آنها توسعه‌ای از مدل دو و همکارش است. ژو ، لیو ، یائو  و همکارانش (2018)، مدل DEA شبکه‌ای ترکیبی ناهمگنی را با درنظر گرفتن خروجی نامطلوب ارائه کردند. ساختار این شبکه، دو مرحلۀ سری است که مرحلۀ اول دارای دو فرآیند موازی است. بین دو فرآیند موازی ارتباطی وجود ندارد. این مدل برای اندازه‌‍گیری کارآیی صنعت آب در چین استفاده شده است. سرخوش، توصلی و هشمتی (2020)، یک مدل جدید تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای سری باز را برای ارزیابی پایداری کشورهایی با درآمدهای بالا، متوسط ‌‌و کم‌درآمد ارائه کردند. مدل پیشنهادی آن‌ها، مراحل تولید و توزیع پایدار را در یک چارچوب یکپارچه در حضور داده‌های صفر و خروجی‌های نامطلوب ارزیابی می‌‌‌کند. استورتو  (2020)، مدل DEA شبکه‌ای موازی ناهمگنی ارائه کرد. مدل پیشنهادی او نارسایی‌های موجود در مدل‌های سنتی را بررسی می‌کند و لایه‌ها مستقل از هم در واحد تصمیم‌‍گیری قرار گرفته‌اند. با استفاده از این مدل، کارآیی صنعت آب ایتالیا، باتوجه‌به سرویس ارائه‌شده به سه مرحلۀ موازی ناهمگن (آب آشامیدنی، فاضلاب و تصفیۀ فاضلاب) تقسیم و ارزیابی شد. استفانیک ، حسینی، ایکسی  و همکاران (2020)، مدل DEA شبکه‌ای موازی ناهمگن با ورودی‌های مشترک و بدون ارتباطات بین لایه‌ای را ارائه و با استفاده از این مدل، کارآیی صنعت حمل‌ونقل داخلی چین را اندازه‌‍گیری کردند. با بررسی ادبیات حوزۀ تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن، مشخص می‌شود که تاکنون مطالعه‌ای در این حوزه، با فرض وجود ساختار باز و ارتباطات بین لایه‌ای در زیرمجموعه‌های تشکیل‌‍دهندۀ واحدهای تصمیم‌گیری، صورت نگرفته است.
در دنیای واقعی، معمولاً وضعیت به‌گونه‌ای است که داده‌ها ‍قطعیت ندارد؛ بنابراین، استفاده از مدل‌های قطعی DEA، ممکن است به نتایج نادرست منجر شود. رویکرد بهینه‌‍سازی استوار که اخیراً به آن توجه شده مشکلات دیگر رویکردها را در مواجهِ با عدم‌‍ قطعیت برطرف کرده است؛ بنابراین، محققان به‌طور وسیعی در مدل‌های DEA سنتی (مدل‌های CCR و BCC) از این رویکرد برای مقابله با عدم ‍قطعیت بهره برده‌اند. از آن جمله موارد زیر را می‌توان نام برد: سجادی و عمرانی، مدل‌های استوار DEA را با فرض عدم‌‍ قطعیت در داده‌های خروجی، برای ارزیابی عملکرد شرکت‌های توزیع برق پیشنهاد کردند. نتایج نشان می‌دهد که با افزایش عدم ‍قطعیت، کارایی واحدها به شکل واقعی‌تر در مدل نشان داده می‌شود (سجادی و عمرانی، 2008). شکوهی، حاتمی مردانی و توانا (2010)، مدل‌های استوار DEA را با فرض عدم قطعیت در داده‌های ورودی و خروجی توسعه دادند. نتایج اجرایی این مدل نشان داده است که هرچقدر تعداد پارامترهای غیرقطعی افزایش پیدا کند، پیچیدگی حل مدل ریاضی بالاتر می‌رود. گفتنی است که هر دو مقاله از رویکرد برتیسماس و سیم  (2003) در مدل سنتی CCR استفاده کرده است. وانگ  و وی  (2010)، مدل‌های استوار CCR را به دو صورت ورودی-محور و خروجی-محور براساس رویکرد بنتال و نیمروفسکی توسعه دادند. لو  (2015)، دو مدل استوار BCCرا براساس رویکردهای بنتال و نمیروفسکی و برتیسماس و سیم ارائه و برای تعیین کارآیی الگوریتم‌های فراابتکاری از آنها استفاده کرد. طلوع و همکارش، یک مدل جدید استوار BCC را برای متغیرهای غیرمنفی ارائه کردند. مدل ارائه‌شده، پیچیدگی مدل‌های قبلی را به حداقل می‌رساند و بیش از 50 درصد، بار محاسباتی لازم برای حل DEA با متغیرهای تصمیم غیرمنفی را نیز کاهش می‌دهد (طلوع و منساه ، 2018). تقریباً تمام مطالعات صورت گرفته DEA در حوزۀ بهینه‌سازی استوار، به مدل‌های سنتی(CCR و BCC) مربوط است. مطالعات صورت‌گرفته در حوزۀ مدل‌های استوار تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای، در چهار مورد زیر خلاصه می‌شود. اردکانی، حسینی‌نسب، خادمی‌زارع و همکاران (2016)، مدل استوار تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای دومرحله‌ای ناهمگن با ساختار بسته را ارائه و از آن برای ارزیابی کارآیی شرکت‌های برق منطقه‌ای ایران استفاده کردند. آنها برای محاسبات خود از مدل ورودی-محور استفاده کردند و عدم ‍قطعیت را فقط در خروجی‌های نهایی و محصولات میانی در نظر گرفتند. بیاتی و سجادی (2017)، مدل استوار تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای سری ناهمگن با ساختار باز را برای ارزیابی کارآیی شرکت‌‌های برق منطقه‌ای ایران ارائه کردند. مدل ارائه‌شده، عدم ‍قطعیت را به‌‍صورت هم‌زمان در ورودی‌ها، خروجی‌ها و محصولات میانی در نظر می‌گیرد. اسفندیاری، حافظ الکتوب، خلیلی دامغانی و همکاران (2016)، با استفاده از رویکردهای استاکلبرگ (رهبر-پیرو) و تئوری بازی، دو مدل استوار DEA دومرحله‌ای با ساختار بسته را ارائه کردند. در مدل‌های ارائه‌شدۀ آن‌ها، ورودی‌ها، خروجی‌ها و محصولات میانی به‌صورت هم‌زمان غیرقطعی فرض شده است. مدل‌های پیشنهادی برای ارزیابی کارآیی20 شعبۀ بانکی در ایالت ویرجینیای شرقی استفاده شده است. شکوری، صالحی و کردرستمی (2019)، نیز مانند مقالۀ قبل با استفاده از رویکردهای استاکلبرگ و تئوری بازی، مدل‌های استوار DEA دومرحله‌ای با ساختار بسته را ارائه کردند. همانطورکه ملاحظه می‌شود تاکنون در حوزۀ تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار باز و ارتباطات بین لایه‌ای، با فرض عدم ‍قطعیت در ورودی‌ها، خروجی‌ها و محصولات میانی به‌صورت هم‌زمان، مطالعه‌ای صورت نگرفته است.
در این مقاله، یک مدل جدید تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار باز، برای ارزیابی کارآیی باغ‌های پستۀ استان یزد، در حضور داده‌های غیر قطعی ارائه شده است. به‌‍طور خلاصه، نوآوری مقاله به شرح زیر است: 
    ارائۀ یک مدل جدید تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن  که لایه‌ها در واحدهای تصمیم‌گیری دارای ارتباط است. مدل ارائه‌شده ساختار کاملاً باز دارد؛ یعنی هر فرآیند در DMUها، دارای ورودی‌های مستقل و خروجی‌های نهایی است؛
    ارائۀ یک مدل جدید استوار تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن  که عدم ‍قطعیت در داده‌ها به‌طور هم‌زمان در ورودی‌ها، خروجی‌ها و محصولات میانی واحدهای تصمیم‌‍گیری لحاظ شده است؛
    اجراکردن مدل‌های ارائه‌شده برای یک مورد مطالعاتی واقعی از باغ‌های پستۀ 10 شهرستان استان یزد؛ 
    بررسی و تایید اعتبار مدل‌های توسعه داده‌شده با استفاده از آزمون همبستگی پیرسن.

    روش‌شناسی پژوهش 
    توسعۀ مدل تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار باز در هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای
     تشریح مدل 
در دنیای واقعی، تعداد زیادی از سیستم‌های تولیدی و تحقیقاتی با ساختار شبکه‌ای ترکیبی باز وجود دارد؛ یعنی خروجی‌های هر مرحله، می‌تواند به‌عنوان ورودی‌هایی باشد که به مرحلۀ بعد وارد می‌شود و یا به‌عنوان خروجی‌های نهایی منظور شود. برای روشن‌شدن موضوع، همانطورکه در شکل 2 مشاهده می‌شود، هر واحد تصمیم‌گیری (DMUj , j=1, 2, 3, …, n) دارای L لایه، سطح یا ردیف است که هرکدام از لایه‌ها از P مرحلۀ سری تشکیل شده است. ورودی‌های مرحلۀ اول برای هر لایه با x_(i_l1 )، مشخص می‌شود. در هر لایه‌بردار، خروجی از مرحله P(P=1, 2, …, P) به دو فرم 〖y̅〗_(t_lp ) و 〖 y〗_(r_lp )، است. 〖 y〗_(r_lp )، معرف خروجی‌هایی است که در این مرحله فرآیند را ترک می‌کند و به مرحلۀ بعد وارد نمی‌شود (خروجی‌های نهایی). 〖y̅〗_(t_lp )، مجموع خروجی‌هایی است که به مرحلۀ P+1، در لایه‌های مختلف وارد می‌شود (〖y̅〗_(t_lp )=∑_(b=1)^L▒z_(t_lp)^lb ). ورودی‌های مستقل هر مرحله در هر لایه با x_(i_lp )، مشخص شده است. 
 
شکل 2- ساختار شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ورودی‌ها و خروجی‌های مستقل در هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای

    مدل‌سازی مسئله
برای مدل‌‍سازی ساختار شبکه‌ای ترکیبی باز با ورودی‌ها و خروجی‌های ناهمگن، پارامترهای زیر تعریف می‌شود:
i امین ورودی مستقل مرحله p واحد تصمیم‌‍گیری j در لایۀ l (i_lp  ∈ I_lp  )    x_(i_lp j):
 r امین خروجی مرحلۀ p واحد تصمیم‌‍گیری j در لایۀ l که در این مرحله سیستم را ترک می‌کند و ورودی مرحلۀ بعد نمی‌شود (r_lp  ∈ R_lp  )    y_(r_lp j):
 t امین خروجی مرحلۀ p واحد تصمیم‌‍گیری j در لایۀ l که ورودی مرحله بعد p+1 می‌شود (t_lp  ∈ T_lp  )    〖y̅〗_(t_lp j):
k امین ورودی مرحلۀp+1 که از مرحلۀ p در لایۀ a، وارد لایۀ l می‌شود (k_lp  ∈ k_lp  )    z_(k_lp j)^al:
t امین خروجی مرحلۀ p که از این مرحله در لایۀ l، وارد مرحلۀ p+1 در لایۀ b می‌شود (t_lp  ∈ T_lp  )    z_(t_lp j)^lb:

در مرحلۀ P ام هر لایه، تمام خروجی‌ها با y_(r_lp j)، نشان داده‌شده و به عنوان خروجی نهایی است که سیستم را ترک می‌کند. ضریب فاکتورهای بالا به‌صورت زیر تعریف می‌شود: 
وزن‌ها برای متغیر x_(i_lp j)     v_(i_lp ):
وزن‌ها برای متغیر y_(r_lp j)     u_(r_lp ):
وزن‌ها برای متغیرهای 〖y̅〗_(t_lp j) و z_(t_lp j)^lb    u_(t_lp ):
وزن‌ها برای متغیر z_(k_lp j)^al    v_(k_lp ):
 
    محاسبۀ کارایی کل
فرض کنید محاسبۀ کارآیی n واحد تصمیم‌‍گیری (DMU) که هر کدام از آن‌ها، به مقدار x_j=(x_1j,…,x_mj)∈R_+^m، به‌عنوان ورودی برای تولید y_j=(y_1j,…,y_sj )∈R_+^s، به‌عنوان خروجی مصرف می‌کند، مدنظر است. چارنز ، کوپر  و رودز  (1978)، برای محاسبۀ کارآیی DMU0، مدل DEA زیر را که به مدل CCR معروف است، ارائه کردند:
(1)    Max     〖 θ〗_0=∑_(r=1)^S▒u_r  y_r0/∑_(i=1)^m▒v_i  x_i0
s.t.
(∑_(r=1)^S▒u_r  y_rj)/(∑_(i=1)^m▒v_i  x_ij )≤1,j=1,2,…,n
u_r,v_i≥ε,   r=1,2,3,…,s,       i=1,2,3,…,m

محاسبۀ کارآیی مرحله اول (θ_(S_0^l1 )) در هر لایه، نسبت خروجی‌ها به ورودی‌ها در نظر گرفته می‌شود، همان‌طورکه در شکل 2 مشاهده می‌شود، مرحلۀ اول در هر لایه فقط یک نوع ورودی مستقل دارد؛ ولی خروجی‌های آن مانند مراحل دیگر شامل محصولات میانی (〖y̅〗_(t_l1 0)) و خروجی نهایی (y_(r_l1 o)) است؛ بنابراین، کارآیی مرحله اول در هر لایه، براساس مدل CCR، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

(2)
    〖Max        θ〗_(S_o^l1 )=(∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 o)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 o) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗) 
S.t:   
(∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n
t_l1∈T_l1, r_l1∈R_l1, i_l1∈I_l1,     u_(t_l1 )   , u_(r_l1 ), v_(i_l1 )≥ε

به‌طور مشابه محاسبۀ کارآیی مراحل p=2,3,…,m-1، براساس مدل CCR، به‌صورت زیراست: 

(3)    〖Max        θ〗_(S_o^lp )=(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)/(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) 
S.t:   
(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗)/(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n
k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp, t_lp∈T_lp,       v_(k_lp ) , u_(t_lp ), u_(r_lp ), v_(i_lp )≥ε

مرحلۀ آخر هر لایه، فقط خروجی نهایی (y_(r_lm o)) دارد و محصولات میانی را برای مراحل دیگر تولید نمی‌کند. ورودی‌های آن همانند مراحل دیگر، شامل ورودی‌های مستقل (x_(i_lm o)) و محصولات میانی (z_(k_lm o)^al) است. برای محاسبۀ کارآیی مرحلۀ آخر (θ_(S_0^lm )) در هر لایه، نسبت خروجی‌ها به ورودی‌ها در نظر گرفته می‌شود؛ بنابراین، کارآیی این مرحله براساس مدل CCR، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:
(4)    〖Max        θ〗_(S_o^lm )=(∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗)/(∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm o)^al +∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm o) 〗) 
S.t:   
(∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j) 〗)/(∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al +∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n
k_lm∈K_lm, r_lm∈R_lm, i_lm∈I_lm,     v_(k_lm )   , u_(r_lm ), v_(i_lm )≥ε

برای اندازه‌‍گیری کارآیی کل هر واحد تصمیم‌‍گیری، ابتدا کارآیی هر لایه با استفاده از میانگین وزنی محاسبه می‌شود. برای محاسبۀ کارآیی هر لایه، پیشنهاد می‌شود از میانگین وزنی توابع هدف مدل‌های (2)، (3) و (4) استفاده شود. محدودیت‌های مدل برای محاسبۀ کارآیی هر لایه، باید به‌گونه‌ای تعیین شود که کارایی هر مرحله بیش از یک نباشد. محدودیت‌های موجود در مدل‌های (2)، (3) و (4) این شرط را تضمین می‌کند. مقادیر پارامترهای w_l1 ، w_lm و w_lp، اوزان (در ادامه توضیح داده خواهد شد) مراحل مختلف را در هر لایه مشخص می‌‌کند؛ بنابراین، میزان کارایی هر لایه با حل مدل زیر محاسبه می‌شود:

(5)    Max        θ_l^o= w_l1×(∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 o)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 o) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗)+∑_(p=2)^(m-1)▒w_lp ×(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)/(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗)+ w_lm×(∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗)/(∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm o)^al +∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm o) 〗)
S.t:   
(∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n
(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗)/(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n,    p=2,3,…,m-1
(∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j) 〗)/(∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al +∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n
k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp,     v_(k_lp )   , u_(r_lp ), v_(i_lp )≥ε,     p=1,2,…,m,     l=1,2,…,L

مقادیر پارامترهای w_l1، w_lp و w_lm، مشخص‌‍کنندۀ وزن‌های مراحل در لایه l است و باید مقداری منطقی برای آنها انتخاب شود. وزن‌های اختصاص‌‌‌داده‌‌شده به مراحل در لایه‌ها، مشخص‌‍کنندۀ اهمیت یا سهم هر مرحله نسبت به کل لایه در واحد تصمیم‌‍گیری است. یک انتخاب منطقی و پذیرفتنی برای وزن‌‍ هر مرحله در هر لایه، نسبت منابع ورودی به آن مرحله، به کل منابع ورودی تمام مراحل در همان لایه است که درواقع این نسبت، به‌خوبی اهمیت هر مرحله را در لایه نشان می‌دهد. همان‌‍طورکه مشخص است ∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ، نشان‌‍دهندۀ کل ورودی‌ها به تمام مراحل لایه l است و ∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗 و ∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗 به ترتیب ورودی‌ها به مرحلۀ اول و p=2,3,…,m در لایه l است؛ بنابراین، باتوجه‌به انتخاب صورت‌‍گرفته، روابط زیر نشان‌‍دهندۀ وزن‌های مراحل در لایه l است: 
(6)    w_l1=(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) )   
w_lp=(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) )  ,   p=2,3,…,m 

با جایگذاری روابط (6) در مدل (5)، مدل محاسبۀ کارآیی لایه l، به‌‌صورت زیر است: 

(7)    Max        θ_l^o=  (∑_(p=1)^(m-1)▒〖(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)+∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) )
S.t:   
(∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n
(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗)/(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n,    p=2,3,…,m-1
(∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j) 〗)/(∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al +∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n
t_lp∈T_lp,k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp,     v_(k_lp )   , u_(t_lp ), u_(r_lp ), v_(i_lp )≥ε,     p=1,2,…,m,     l=1,2,…,L

با حل مدل (7)، کارآیی هر لایۀ (l) واحدهای تصمیم‌‍گیری محاسبه می‌شود. برای محاسبۀ کارآیی کل DMUo، مجدداً از میانگین وزنی کارآیی لایه‌ها استفاده خواهد شد؛ بنابراین، مدل اندازه‌‍گیری کارآیی کل هر واحد تصمیم‌‍گیری، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:
(8)    Max        θ_(DMU_o )= ∑_(l=1)^L▒〖w_l^o×〗  (∑_(p=1)^(m-1)▒〖(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)+∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) )
S.t:   
(∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j) 〗)/(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗)≤1,j=1,2,…,n,l=1,2,…,L
(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗)/(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗)≤1,
 j=1,2,…,n,p=2,3,…,m-1,l=1,2,…,L
(∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j) 〗)/(∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al +∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗)≤1,    j=1,2,…,n,l=1,2,…,L
t_lp∈T_lp,k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp,     v_(k_lp )   , u_(t_lp ), u_(r_lp ), v_(i_lp )≥ε,     p=1,2,…,m,     l=1,2,…,L
پارامتر w_l^o، مشخص‌‍کنندۀ وزن‌‍ لایه‌ها در هر واحد تصمیم‌‍گیری(DMUo) است. در اینجا نیز وزن‌‍ هر لایه در هر واحد تصمیم‌‍گیری، نسبت منابع ورودی به آن لایه، به کل منابع ورودی در تمام مراحل همان واحد تصمیم‌‍گیری است که درواقع این نسبت، به‌خوبی اهمیت هر لایه را در واحد تصمیم‌‍گیری نشان می‌دهد. همان‌‍طورکه مشخص است؛ ∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) )  نشان‌دهندۀ کل ورودی‌ها به تمام مراحل DMUo است و ∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ، نشان‌‍دهندۀ کل ورودی‌ها به لایه l، در واحد تصمیم‌‍گیری o است (l=1,2,…,L و o=1,2,…,n)؛ بنابراین، رابطۀ زیر نشان‌‍دهندۀ وزن‌‍ لایه‌ها در هر واحد تصمیم‌‍گیری است: 

(9)    w_l^o=(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) )/(∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ) )   ,  
 l=2,3,…,L,    o=1,2,…,n

با جایگذاری رابطۀ (9) در مدل (8) و تبدیل آن به فرم خطی، مدل محاسبۀ کارآیی کل DMUo براساس مدل CCR، به‌صورت زیر است: 

(10)    Max        θ_(DMU_o )=∑_(l=1)^L▒(∑_(p=1)^(m-1)▒〖(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)+∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗〗)  
S.t:   
∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ) =1 
∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j )-∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗〗≤0, 
j=1,2,…,n,l=1,2,…,L 
∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗 -∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al -∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗≤0,
j=1,2,…,n,    p=2,3,…,m-1,    l=1,2,…,L
∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j) 〗 –∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al -∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗≤0,
j=1,2,…,n,   l=1,2,…,L 
t_lp∈T_lp,k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp,     v_(k_lp )   , u_(r_lp ), u_(t_lp ), v_(i_lp )≥ε,
p=1,2,…,m,     l=1,2,…,L

مدل پیشنهادی فوق، برای تخمین کارآیی واحدهای تصمیم‌‍گیری ناهمگن در یک ساختار شبکه‌ای ترکیبی باز ارائه شد. در آن ورودی‌ها و خروجی‌ها به‌صورت قطعی در نظر گرفته شده‌‍است؛ درحالی‌که، این فرض همیشه برقرار نخواهد بود. برای برطرف‌کردن این مشکل در بخش بعدی، یک مدل جدید استوار تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار باز در هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای توسعه داده شده است.
 
    توسعۀ مدل "استوار" تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار باز در هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای
 برای استوارکردن مدل (10)، لازم است محدودیت تساوی این مدل، باتوجه‌به وجود پارامترهای غیرقطعی در این محدودیت، به محدودیت نامساوی تبدیل شود. چون این گونه محدودیت‌ها، منطقۀ موجه را به‌طرزچشمگیری محدود می‌کند و یا حتی به نپذیرفتن آن منجر می‌شود (بنتال  و نیمروفسکی ، 2000). محدودیت تساوی ∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ) =1، در مدل (10)، اجازۀ غیرقطعی بودن به ورودی‌ها را نمی‌دهد. برای غلبه بر این مشکل، براساس پیشنهاد عربمالدار، جابلونکی  و سلجوقی (2017)، می‌توان محدودیت ورودی‌ها (که به‌صورت تساوی است) را به‌صورت ∑_(i=1)^m▒x_io  v_i≤t، در مدل CCR، بازنویسی کرد؛ بنابراین، مدل (10)، به‌صورت زیر تغییر داده شده است: 

(11)    Max        θ_(DMU_o )=∑_(l=1)^L▒(∑_(p=1)^(m-1)▒〖(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)+∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗〗)  
S.t:   
∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ) ≤t 
∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j )-∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗〗≤0, 
j=1,2,…,n,l=1,2,…,L 
∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗 -∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al -∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗≤0,
j=1,2,…,n,    p=2,3,…,m-1,    l=1,2,…,L
∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j) 〗 –∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al -∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗≤0,
j=1,2,…,n,   l=1,2,…,L 
t_lp∈T_lp,k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp,     v_(k_lp )   , u_(r_lp ), u_(t_lp ), v_(i_lp )≥ε,
p=1,2,…,m,     l=1,2,…,L

در این مدل، بدون از دست‌دادن کلیات مسئله، می‌توان t را مساوی با یک قرار داد. همان‌‍طورکه مشاهده می‌شود، تمام محدودیت‌های مدل فوق در حالت نامساوی است. با اضافه‌کردن تابع هدف به محدودیت‌ها، می‌توان وضعیت عدم ‍قطعیت را برای ورودی‌ها، خروجی‌ها و محصولات میانی (تمام داده‌های مدل)، به‌صورت هم‌زمان در نظر گرفت. بنابراین، مدل (11) به‌صورت زیر بازنویسی می‌شود:
 (12)    Max        θ_(DMU_o ) 
S.t:   
θ_(DMU_o )-∑_(l=1)^L▒(∑_(p=1)^(m-1)▒〖(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)+∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗〗) ≤0 
∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ) ≤1 
∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j )-∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗〗≤0, 
j=1,2,…,n,l=1,2,…,L 
∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗 -∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al -∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗≤0,
j=1,2,…,n,    p=2,3,…,m-1,    l=1,2,…,L
∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j) 〗 –∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al -∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗≤0,
j=1,2,…,n,   l=1,2,…,L 
t_lp∈T_lp,k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp,     v_(k_lp )   , u_(r_lp ), u_(t_lp ), v_(i_lp )≥ε,
p=1,2,…,m,     l=1,2,…,L

برای استوارکردن مدل فوق با استفاده از رویکرد برتیسماس و سیم (2003)، می‌توان به‌‌صورت زیر اقدام کرد. مسئلۀ بهینه‌‍سازی خطی زیر را در نظر گرفته است:
(13)    Max      cx
s.t.       ∑_j▒〖〖α̃〗_ij x〗≤ b_i     ∀i
x≥0.

پارامترهای 〖α̃〗_ij(ضرایب فنی محدودیت‌ها)، دارای عدم ‍قطعیت است. فرض می‌شود که عدم ‍قطعیت در محدودیت‌ها از یکدیگر مستقل است. پارامتر دارای عدم‌‍ قطعیت به‌صورت زیر تعریف می‌شود: 

(14)    〖α̃〗_ij=α_ij+ ξ_ij 〖α̂〗_ij    

در این تساوی، α_ij، مقادیر اسمی و 〖α̂〗_ij، درصد مشخص شده‌ای از مقدار اسمی (مثال 10 درصد α_ij است درواقع بیان‌کنندۀ سطح عدم‌‍اطمینان است)، پارامترهای دارای عدم قطعیت 〖α̃〗_ij است. ξ_ij، بیانگر متغیرهای تصادفی مستقلی است که به‌صورت یکنواخت در بازۀ [-1,1]  توزیع شده است. 
فرم استوار مدل (13) با رویکرد برتیسماس و سیم (2003)، به‌صورت زیراست: 
(15)    Max      cx
s.t.       ∑_j▒〖〖α̃〗_ij x〗+ ∑_j▒p_ij + z_i Г≤ b_i     ∀i
z_i+ p_ij≥〖α̂〗_ij  x_j     ∀j
z_i,p_ij,x_j  ≥0.

Г، سطح محافظه‌‍کاری را در هر محدودیت تعیین می‌کند. چنانچه در Г=0، هیچ‌‍گونه محافظه‌‍کاری در مقابل انحراف در داده‌ها وجود ندارد و چنانچهГ ، برابر تعداد داده‌های نامطمئن سیستم باشد، بیشترین سطح محافظه‌‍کاری در نظر گرفته شده است (برتیسماس و سیم، 2003). 
بنابراین، با استفاده از رویکرد بهینه‌‍سازی استوار که برتیسماس و سیم (2003)، ارائه داده‌اند، فرم استوار مدل (12)، به‌صورت زیراست: 
(16)    Max        θ_(DMU_o ) 
S.t:   
θ_(DMU_o )-∑_(l=1)^L▒(∑_(p=1)^(m-1)▒〖(∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp o) 〗)+∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm o) 〗〗) +∑_(l=1)^L▒(∑_(p=1)^(m-1)▒〖(∑_(t_lp∈T_lp)▒∑_(b=1)^L▒g_(t_lp o)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒g_(r_lp o) )+∑_(r_lm∈R_lm)▒g_(r_lm o) 〗) + z_0 Г≤0 
z_0+g_(t_lp o)^lb≥α ̂_(t_lp o)^lb u_(t_lp ),     z_0+g_(r_lp o)≥α ̂_(r_lp o) u_(r_lp ),     z_0+g_(r_lm o)≥α ̂_(r_lm o) u_(r_lm ),     b,l=1,2,…,L,     p=1,2,…,m-1
∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 o) 〗+∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp o) 〗) ) +∑_(l=1)^L▒(∑_(i_l1∈I_l1)▒h_(i_l1 o) +∑_(p=2)^m▒(∑_(k_lp∈K_lp)▒∑_(a=1)^L▒h_(k_lp o)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒h_(i_lp o) ) ) +z_1 Г≤1 
z_1+h_(i_l1 o)≥α ̂_(i_l1 o) v_(i_l1 ),     z_1+h_(k_lp o)^al≥α ̂_(k_lp o)^al v_(k_lp ),     z_1+h_(i_lp o)≥α ̂_(i_l1 o) v_(i_lp ),     a,l=1,2,…,L,     p=2,3,…,m,
∑_(t_l1∈T_l1)▒u_(t_l1 )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖u_(r_l1 ) y_(r_l1 j )-∑_(i_l1∈I_l1)▒〖v_(i_l1 ) x_(i_l1 j) 〗〗+∑_(t_l1∈T_l1)▒∑_(b=1)^L▒w_(t_l1 j)^lb +∑_(r_l1∈R_l1)▒〖w_(r_l1 j )+∑_(i_l1∈I_l1)▒〖w_(i_l1 j)+z_lj^1 〗 Г〗≤0, 
z_lj^1+w_(t_l1 j)^lb≥α ̂_(t_l1 j)^lb u_(t_l1 ),     z_lj^1+w_(r_l1 j )≥α ̂_(r_l1 j ) u_(r_l1 ),     z_lj^1+w_(i_l1 j )≥α ̂_(i_l1 j ) v_(i_l1 ),     l,b=1,2,…,L,     j=1,2,…,n,
∑_(t_lp∈T_lp)▒u_(t_lp )  ∑_(b=1)^L▒z_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒〖u_(r_lp ) y_(r_lp j) 〗-∑_(k_lp∈K_lp)▒v_(k_lp )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lp j)^al -∑_(i_lp∈I_lp)▒〖v_(i_lp ) x_(i_lp j) 〗+∑_(t_lp∈T_lp)▒∑_(b=1)^L▒w_(t_lp j)^lb +∑_(r_lp∈R_lp)▒w_(r_lp j) +∑_(k_lp∈K_lp)▒∑_(a=1)^L▒w_(k_lp j)^al +∑_(i_lp∈I_lp)▒w_(i_lp j) +z_lj^p Г≤0, 
z_lj^p+w_(t_lp j)^lb≥α ̂_(t_lp j)^lb u_(t_lp ),     z_lj^p+w_(r_lp j)≥α ̂_(r_lp j ) u_(r_lp ),     z_lj^p+w_(k_lp j)^al≥α ̂_(k_lp j)^al v_(k_lp ),     z_lj^p+w_(i_lp j)≥α ̂_(i_lp j ) v_(i_lp ),     j=1,2,…,n,    p=2,3,…,m-1,    l,b=1,2,…,L,
∑_(r_lm∈R_lm)▒〖u_(r_lm ) y_(r_lm j)  –∑_(k_lm∈K_lm)▒v_(k_lm )  ∑_(a=1)^L▒z_(k_lm j)^al -∑_(i_lm∈I_lm)▒〖v_(i_lm ) x_(i_lm j) 〗+∑_(r_lm∈R_lm)▒〖w_(r_lm j)+∑_(k_lm∈K_lm)▒∑_(a=1)^L▒w_(k_lm j)^al +∑_(i_lm∈I_lm)▒w_(i_lm j) +z_lj^m Г≤0,〗〗   
z_lj^m+w_(r_lm j)≥α ̂_(r_lm j) u_(r_lm ),    z_lj^m+w_(k_lm j)^al≥α ̂_(k_lm j)^al v_(k_lm ),     z_lj^m+w_(i_lm j)≥α ̂_(i_lm j) u_(i_lm ),j=1,2,…,n,   a,l=1,2,…,L
t_lp∈T_lp,k_lp∈K_lp, r_lp∈R_lp, i_lp∈I_lp,     v_(k_lp )   , u_(r_lp ), u_(t_lp ), v_(i_lp )≥ε,

برای نشان‌‌دادن کارایی مدل فوق، اطلاعات نمونۀ مطالعاتی واقعی در مثال زیر بررسی شده است.

    مطالعۀ کاربردی و یافته‌‌ها
در این بخش، از مدل‌های پیشنهادی، برای ارزیابی کارآیی باغ‌های پستۀ استان یزد در ایران استفاده شده است. بیشترین محصول پستۀ استان از انواع کله‌‍قوچی (نوع 1) و احمدآقایی (نوع 2) است. مطابق شکل 3، فرآیند تولید هریک از این نوع پسته‌ها، از دو مرحلۀ کاشت و فرآوری پسته تشکیل شده است. هر مرحله دارای ورودی‌ها و خروجی‌های مستقل و محصولات میانی است. در مرحلۀ کاشت؛ هکتار زمین زیر کشت، میزان آب مصرفی و تعداد نهال پسته، ورودی‌های مستقل این مرحله است. بخشی از پستۀ برداشت‌شده، به‌‌صورت خام (محصول نهایی) فروخته و مابقی به مرحلۀ فرآوری (محصول میانی) منتقل می‌شود. درنهایت، درآمد فروش و تناژ پستۀ تولیدی، خروجی‌های نهایی و تعداد کارگر مورد نیاز، ورودی مستقل مرحلۀ فرآوری است. 
داده‌ها و اطلاعات مربوط به مطالعۀ موردی، از سازمان جهاد کشاورزی و نمونه‌گیری از باغ‌های پستۀ 10 شهرستان استان یزد گردآوری شده‌ و به سال 1398 مربوط است. ساختار باغ‌های شهرستان‌ها و ورودی‌ها، خروجی‌ها و اقدامات میانی در نظر گرفته شده برای هر مرحله، در شکل 3 نشان داده شده است. داده‌های مربوط به مطالعۀ موردی در جدول 1، ملاحظه می‌شود. 
نتایج DEA، به ورودی‌ها و خروجی‌های انتخاب‌شده وابسته است. برای حل این مشکل باید تاجایی که می‌توان تمامی ورودی‌ها و خروجی‌های مرتبط را در نظر گرفت. البته بهتر است با بررسی همبستگی بین ورودی‌ها/خروجی‌ها، از بین ورودی‌هایی/خروجی‌هایی که ضریب همبستگی بالایی دارند (نزدیک به یک)، تنها یکی را ورودی/خروجی در نظر گرفت. در مرحلۀ کاشت، ورودی کارگر با سایر ورودی‌ها دارای همبستگی بالایی است؛ بنابراین، در نظر گرفته نشده است. 
 
شکل 3: ساختار باغ‌های پستۀ شهرستان‌های استان یزد

جدول 1- خلاصه‌ای از داده‌های مورد مطالعاتی
میانگین    ماکزیمم    مینیمم            مراحل
290803    432553    98643    آب مصرفی (مترمکعب)    ورودی‌‌های مستقل    کاشت پستۀ نوع 1
22500    32800    7150    تعداد نهال نوع 1        
7/22    33    7    زمین زیر کشت        
22381    38210    9056    تناژ پستۀ تولیدی خام نوع 1 (کیلوگرم)    خروجی‌های نهایی    
1762945    3591785    470932    درآمد فروش پستۀ خام نوع 1        
29332    48600    6037    باقیماندۀ پستۀ خام نوع 1 (کیلوگرم)    محصول میانی    
3/28    3/5    5/0    تعداد کارگر    ورودی مستقل    فرآوری در لایۀ اول
22269    26651    17675    باقیماندۀ پستۀ خام نوع 1    محصولات میانی    
16096    19783    13474    باقیماندۀ پستۀ خام نوع 2        
28301    47658    5916    تناژ پستۀ تولیدی (کیلوگرم)    خروجی‌ها    
4005397    6680991    911194    درآمد فروش پسته          
357057    541901    179285    آب مصرفی (مترمکعب)    ورودی‌ها    کاشت پستۀ نوع 2
29300    61500    15200    تعداد نهال نوع 2        
5/28    56    15    زمین زیر کشت        
30969    56390    14747    تناژ پستۀ تولیدی خام نوع 2 (کیلوگرم)    خروجی‌های نهایی    
2199545    3890912    1312500    درآمد فروش پستۀ خام نوع 2        
51256    100248    25925    باقیماندۀ پستۀ خام نوع 2    محصول میانی    
3    5    2    تعداد کارگر    ورودی مستقل    فرآوری در لایۀ دوم
9118    11450    5814    باقیماندۀ پستۀ خام نوع 1    محصولات میانی    
35721    44534    28245    باقیمانده پستۀ خام نوع 2        
48473    93231    24888    تناژ پستۀ تولیدی (کیلوگرم)    خروجی‌ها    
6228670    13611804    3310130    درآمد فروش پسته         

    ‍های مدل‌های سنتی
جدول 2، نتایج حاصل از اجرای مدل تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن است که آن را با ساختار باز برای هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای (مدل 10) و مدل‌‍ CCR (مدل 1) را برای 10 واحد تصمیم‌‍گیری، شامل دو لایه و چهار فرآیند نشان می‌دهد:

جدول 2- نتایج رتبه و کارآیی کل و لایه‌های تشکیل‌دهنده DMU ها
نتایج مدل (1)    نتایج مدل (10)- با درنظر گرفتن روابط داخل DMU ها    DMU
کل DMU    کل DMU    لایۀ دوم    لایۀ اول    
رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    وزن    رتبه    کارآیی    وزن    رتبه    کارآیی    
10    719/0    10    829/0    692/0    10    556/0    307/0    8    908/0    1
1    1    2    986/0    104/0    8    858/0    903/0    1    1    2
1    1    2    986/0    535/0    2    983/0    464/0    4    989/0    3
1    1    6    969/0    737/0    3    977/0    262/0    7    947/0    4
9    773/0    7    948/0    902/0    5    961/0    097/0    10    828/0    5
8    856/0    9    931/0    898/0    6    935/0    101/0    9    884/0    6
7    926/0    8    937/0    236/0    9    827/0    763/0    6    971/0    7
1    1    1    1    458/0    1    1    541/0    1    1    8
6    941/0    4    973/0    539/0    4    969/0    461/0    5    976/0    9
1    1    5    970/0    239/0    7    885/0    761/0    3    997/0    10
    921/0
    953/0    534/0        895/0    466/0        950/0    میانگین

در جدول 3، رتبه و کارآیی (ستون‌های 2 تا 9)، تمام مراحل تشکیل‌‍دهندۀ DMUها با اجرای مدل (10)، نشان داده شده است. با اجرای این مدل، مقادیر بهینۀ متغیرهای تصمیم‌‍گیری تعیین و با جایگذاری در تابع هدف مدل‌های (2 و 4)، مقادیر بهینۀ کارآیی هر یک از مراحل مشخص می‌شود. مدل (10) برای این مثال، شامل 18 متغیر و 60 محدودیت است که نرم‌‍افزار لینگو  آن را کدنویسی و حل کرده ‍است. 
 
جدول 3- نتایج کارآیی و رتبۀ فرآیندهای تشکیل‌دهندۀ DMU ها با استفاده از مدل (10)
مرحلۀ فرآوری در لایۀ دوم    مرحلۀ کاشت پستۀ نوع 2    مرحلۀ فرآوری در لایۀ اول    مرحله کاشت پستۀ نوع 1    DMU
رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    
10    511/0    10    668/0    8    911/0    9    876/0    1
5    817/0    6    989/0    1    1    1    1    2
4    931/0    1    1    6    953/0    1    1    3
6    788/0    1    1    1    1    7    935/0    4
8    595/0    1    1    9    732/0    6    950/0    5
1    1    9    932/0    1    1    10    785/0    6
9    581/0    1    1    10    602/0    1    1    7
1    1    1    1    1    1    1    1    8
3    963/0    7    974/0    7    931/0    1    1    9
7    749/0    8    966/0    1    1    8    913/0    10
    794/0        953/0        913/0        946/0    میانگین

    یافته‌های مدل‌های "استوار" تحلیل پوششی داده‌های شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن با ساختار باز در هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای
برای بررسی آثار عدم‌‍ قطعیت در میزان کارآیی و رتبه DMUها، از مدل (16) استفاده می‌شود. برای اجرای این مدل استوار، تعداد متغیرهای غیرقطعی (شامل ورودی‌ها، خروجی‌ها و محصولات میانی) برابر 18 است؛ بنابراین متغیر Г، برای تمام محدودیت‌ها برابر 18 فرض و میزان درصد خطا α ̂ برای متغیرهای غیرقطعی، مقادیر 01/0 و 10/0 منظورشد. جدول 4، نتایج حاصل از اجرای مدل‌‍ (16) با میزان درصد خطای 01/0 (α ̂=0.01) را برای 10 واحد تصمیم‌گیری (شهرستان‌های استان یزد) نشان می‌دهد. 

جدول 4- نتایج مدل استوار (16) (α ̂=0.01)
کل DMU    لایۀ دوم    لایۀ اول    فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ DMUها    DMU
            فرآوری پستۀ نوع 2    کاشت پستۀ نوع 2    فرآوری پستۀ نوع 1    کاشت پستۀ نوع 1    
رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    
10    775/0    10    531/0    8    817/0    10    491/0    10    667/0    5    813/0    7    854/0    1
4    961/0    8    818/0    2    985/0    5    810/0    7    956/0    6    804/0    1    999/0    2
2    985/0    2    982/0    1    987/0    4    925/0    1    999/0    2    944/0    1    999/0    3
6    951/0    9    804/0    6    845/0    6    779/0    5    995/0    3    934/0    10    825/0    4
7    937/0    3    956/0    7    822/0    8    586/0    4    996/0    7    697/0    8    845/0    5
9    905/0    5    907/0    5    865/0    2    983/0    9    891/0    1    999/0    6    882/0    6
8    912/0    7    820/0    3    951/0    9    562/0    1    999/0    10    591/0    1    999/0    7
1    985/0    1    999/0    9    802/0    1    999/0    1    0.999    9    663/0    4    960/0    8
5    955/0    4    939/0    10    747/0    3    959/0    6    988/0    8    680/0    5    950/0    9
3    962/0    6    855/0    4    878/0    7    721/0    8    939/0    4    918/0    9    832/0    10
    933/0        861/0        870/0        782/0        943/0        804/0        915/0    میانگین

جدول 5، نتایج حاصل از اجرای مدل‌‍ استوار (16) با میزان درصد خطای 01/0 (α ̂=0.1) را برای 10 واحد تصمیم‌‍گیری (شهرستان‌های استان یزد) نشان می‌دهد. 

جدول 5- نتایج مدل استوار (16) (α ̂=0.1)
کارآیی کل    لایۀ دوم    لایۀ اول    فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ DMUها    DMU
            فرآوری در لایۀ دوم    کاشت پستۀ نوع 2    فرآوری در لایۀ اول    کاشت پستۀ نوع 1    
رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    رتبه    کارآیی    
10    751/0    10    501/0    7    791/0    10    453/0    10    640/0    5    782/0    7    826/0    1
4    953/0    8    800/0    2    977/0    5    804/0    6    923/0    6    708/0    3    989/0    2
1    979/0    2    980/0    1    980/0    4    901/0    1    994/0    2    943/0    2    991/0    3
3    949/0    9    781/0    5    834/0    6    751/0    4    971/0    3    891/0    9    767/0    4
6    922/0    3    942/0    8    772/0    9    535/0    3    981/0    7    651/0    10    733/0    5
9    882/0    5    872/0    4    860/0    2    964/0    9    837/0    1    989/0    5    879/0    6
7    901/0    7    802/0    3    935/0    8    547/0    5    969/0    8    551/0    1    997/0    7
2    969/0    1    997/0    10    638/0    1    981/0    1    994/0    9    538/0    4    950/0    8
8    888/0    4    916/0    9    726/0    3    939/0    8    896/0    10    536/0    6    859/0    9
5    951/0    6    810/0    6    818/0    7    706/0    7    922/0    4    826/0    8    811/0    10
    915/0        840/0        833/0        758/0        913/0        742/0        880/0    میانگین

    بحث
در این مطالعه، ارزیابی کارآیی باغ‌های پستۀ شهرستان‌های استان یزد با استفاده از مدل‌های پیشنهادی صورت گرفته است. در این قسمت، یافته‌های پژوهش بررسی و تفسیر می‌شود.

    تفسیر یافته‌های مدل‌های سنتی
 همان‌‍طورکه در ستون‌های 10 و 11 جدول 2 مشاهده می‌شود، تعداد 5 واحد (واحدهای 2، 3، 4، 8 و 10) از 10 واحد تصمیم‌‍گیری با استفاده از مدل CCR روی مرز کارآ قرار گرفته و دارای رتبه یک است. سایر واحدهای تصمیم‌‍گیری نمره‌ها، کارایی بین 719/0 (واحد تصمیم‌‍گیری 1) و 941/0 (واحد تصمیم‌گیری 9) دارد. با استفاده از مدل 10، فقط واحد 8 روی مرز کارآ قرار گرفته است و سایر واحدهای تصمیم‌‍گیری نمره‌ها، کارایی بین 829/0(واحد تصمیم‌‍گیری 1) و 986/0 (واحدهای تصمیم‌گیری 2 و3) دارد (ستون 8 جدول 2). واحد تصمیم‌‌گیری 8 و دارای کارآیی یک، لایه‌های تشکیل‌دهندۀ آن نیز دارای کارآیی یک است. درواقع، یک واحد تصمیم‌‍گیری زمانی کارآ خواهد بود که تمام زیرفرآیندهای تشکیل‌دهندۀ آن نیز به‌طور کامل کارآ باشد.
نکتۀ حائز اهمیت در این قسمت برای مسئولان مربوطه، میزان کارآیی استخراج‌شده (ستون 8 جدول 3) است که برای مرحلۀ فرآوری در لایۀ دوم، در مقایسه با سایر مراحل، برای تمام واحدهای تصمیم‌‍گیری به‌‍طور قابل‌ملاحظه‌ای کاهش نشان می‌دهد. این کاهش در مقایسۀ میزان میانگین کارآیی این مرحله (794/0) با میانگین کارآیی مراحل دیگر (946/0، 913/0 و 953/0) نیز محسوس است (سطر آخر ستون‌های 2، 4، 6 و 8 جدول 3). در اینجا لازم است، مسئولان جهاد کشاورزی استان به‌‌صورت دقیق و ریشه‌ای، علت کاهش کارآیی این مرحله را بررسی کرده و برای برطرف‌کردن آن تصمیمات لازم را بگیرند تا موجب بهبود کارآیی کل واحدهای تصمیم‌گیری و کاهش ضایعات شود.

    تفسیر و مقایسۀ یافته‌های مدل‌های سنتی و استوار
نتایج حاصل از اجرای مدل‌های استوار نشان می‌دهد (جداول 4 و 5) با افزایش میزان انحراف در داده‌های غیرقطعی، از 01/0 به 1/0 میانگین کارایی کل از 933/0 به 915/0 (ستون 14 جداول 4 و 5)، میانگین کارآیی لایه‌‌‌ها (ستون‌های 10 و 12 جداول 4 و 5) و فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ DMUها کاهش یافته است. همچنین این کاهش، در نمرۀ کارآیی هر یک از DMUها و فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ آنها نیز مشاهده می‌شود (جداول 4 و 5). 
 با اجرای مدل سنتی، تعداد فرآیندهای کارا (میزان کارآیی یک) در هر یک از مراحل کاشت پستۀ نوع 1، فرآوری در لایۀ اول و کاشت پستۀ نوع 2، 5 فرآیند (ستون‌های 2، 4 و 6 جدول 3) و در مرحلۀ فرآوری لایۀ دوم، 2 فرآیند است. درحالی‌که، با اجرای مدل استوار با انحرافات 01/0 و 1/0 (جداول 4 و 5)، فرآیندی با کارآیی یک وجود ندارد؛ بنابراین، با اجرای این مدل قدرت تفکیک‌‍پذیری میزان کارآیی‌‍های به‌‍دست‌آمده افزایش می‌یابد و نیازی به استفاده از مدل‌های ابرکارآ نیست. شکل‌های 4، 5 و 6 مقایسۀ نتایج کارآیی کل هر واحد تصمیم‌‍گیری و لایه‌ها را که با استفاده از مدل‌ها به‌دست‌آمده است،‍ به‌صورت گرافیکی نشان می‌دهد.

 
شکل 4- مقایسه کارآیی کل هر واحد تصمیم‌‍گیری با استفاده از مدل‌های سنتی و استوار

 
شکل 5- مقایسه کارآیی لایۀ اول واحدهای تصمیم‌‍گیری با استفاده از مدل‌های استوار و سنتی

 
شکل 6- مقایسه کارآیی لایۀ دوم واحدهای تصمیم‌‍گیری با استفاده از مدل‌های استوار و سنتی

با استفاده از انحرافات مختلف، نتایج نشان می‌دهد که با افزایش انحراف از 01/0 به 1/0، میانگین کارایی لایۀ اول از 870/0 به 833/0 کاهش می‌یابد (ستون 10 جداول 4 و 5). نتایج مشابه برای لایۀ دوم و فرآیندهای تشکیل‌دهندۀ واحدهای تصمیم‌‍گیری مشاهده می‌شود. 

    ‍گیری و تحقیقات آینده
این مطالعه، چارچوبی برای ارزیابی کارآیی واحدهای تصمیم‌‍گیری با ساختار شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن، با ساختار باز در هر مرحله و ارتباطات بین لایه‌ای، تحت عدم ‍قطعیت در تمام داده‌ها، مبتنی بر رویکرد برتیسماس و سیم است. مدل‌های استوار پیشنهادی، عدم‌‍ قطعیت در داده‌های ورودی، خروجی و محصولات میانی را بدون نیاز به شناسایی توزیع داده‌ها کنترل می‌کند. مدل‌های ارائه‌شده، برای اندازه‌‍گیری کارآیی باغ‌های پستۀ استان یزد به کار برده شده است. نتایج نشان می‌دهد (جداول 4 و 5)، با افزایش میزان انحراف در داده‌های غیرقطعی، از 01/0 به 1/0 میانگین کارایی کل از 933/0 به 915/0 (ستون 14 جداول 4 و 5)، میانگین کارآیی لایه‌ها (ستون‌های 10 و 12 جداول 4 و 5) و فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ DMUها کاهش یافته است. همچنین این کاهش در نمرۀ کارآیی هر یک از DMUها، لایه‌ها و فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ آنها نیز مشاهده می‌شود (جداول 4 و 5). درنظر گرفتن عدم‌‍ قطعیت در داده‌ها و استفاده از مدل استوار برای ارزیابی کارایی و استراتژی‌های رتبه‌‍بندی واحدهای تصمیم‌‍گیری قابل‌اطمینان‌تر است. برای اعتبارسنجی مدل‌های توسعه‌یافته، از آزمون همبستگی پیرسون استفاده شد. نتایج این آزمون، نشان‌دهندۀ ارتباط مستقیم بین مدل‌های استوار پیشنهادی و مدل DEA شبکه‌ای ترکیبی ناهمگن است.
گفتنی است؛ باتوجه‌به سخت‌‍گیرانه‌‍ترشدن محدودیت‌ها در مدل‌های پیشنهادی و کاهش میانگین سطوح کارآیی در این مدل‌ها‌‍، تعداد واحدهای روی مرز کارآیی کمتر می‌شود و درنتیجه نیازی به استفاده از مدل‌های ابر کارا برای ارزیابی مجدد واحدهای کارا نیست. به‌عبارتی، قدرت تفکیک‌‍پذیری مدل‌های پیشنهادی، در محاسبۀ کارآیی کل واحدهای تصمیم‌‍گیری و فرآیندهای تشکیل‌‍دهندۀ آنها ارتقا یافته است. روش ارائه‌شده در این مقاله با فرض ثابت‌بودن بازده به مقیاس است. تحقیقات آتی را با فرض متغیربودن بازده به مقیاس، می‌توان ادامه داد؛ همچنین می‌توان در مدل ارائه‌شده در این مقاله، خروجی‌های نامطلوب را در نظر گرفت و مدلی جدید ارائه کرد.