نوع مقاله : مقاله پژوهشی- فارسی
نویسندگان
1 استادیار گروه مدیریت صنعتی، دانشکده علوم اداری و اقتصاد، دانشگاه اراک، اراک، ایران
2 فارغ التحصیل دکتری گروه مدیریت صنعتی، دانشکده مدیریت، دانشگاه تهران- پردیس کیش، کیش، ایران
3 دانشیار گروه حسابداری، دانشکده مدیریت، دانشگاه تهران، تهران، ایران
4 استاد گروه مدیریت صنعتی، دانشکده مدیریت، دانشگاه تهران، تهران، ایران
چکیده
کلیدواژه‌ها
موضوعات
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
Purpose: Perishable products suffer from spoilage and quality loss after a period, so their demand decreases. To raise the level of demand and reduce the cost due to product spoilage and increase in waste, a markdown policy is used. This paper aims to find the optimal amount of discount and the initial order amount so that the total profit is maximized. The discount is offered twice during the sales period; the first discount is provided before the onset of deterioration, when and attractiveness of the product for purchase decreases. The second one is given after the deterioration starts when product spoilage is visible.
Design/methodology/approach: After an extensive literature review, the initial mathematical model has been shaped and solved using an analytical approach. Considering experts' opinions, the internal validity of the proposed model has been checked and confirmed. Also, the concavity conditions of the objective function and the existence of the global optimal point of the model have been investigated. Then, the values of parameters have been determined by experts and placed in the model. Finally, Ofoq Kourosh Chain Stores' original sales data have been collected as a case study and the model has been solved in MATLAB software.
Findings: In this paper, the amount of the initial order was determined. Then, the optimal amount of the discount was obtained to reach the maximum profit. In this paper, the authors’ observation indicated that using the markdown pricing strategy is more profitable than the fixed pricing strategy during the sales period. This result is the most important finding of the paper, which can be calculated during the sales period examined in the Ofoq Kourosh Chain Stores. It can help decision makers of the discount chain store to set better strategies for their fresh and dairy products.
Research limitations/implications: Choosing a demand function that takes into account all factors affecting demand; also, Considering the optimal discount times, corresponding to the optimal discount values as decision variables, complicates the model. It should be mentioned that due to limitations in the IT infrastructure of the case study and our boundaries to get information from these brick-and-mortar chain stores, it is not possible to record data in short periods (hourly) and the warehouse inventory is only available daily.
Practical implications: Since one of the main goals of the institution is to obtain maximum profit, by applying the markdown pricing strategy on perishable products, due to the quality of perishable goods being proportional to their price from the customer's point of view, it is possible to encourage them to buy the product and increase their demand. Besides, it can reduce waste which also leads to the maximization of profit. It should be noted that with the implementation of the proposed model in Ofoq Kourosh Chain Stores, it is practically shown that its implementation can make an important contribution to increasing profits.
Social implications: The results of this research can be used to improve the sales of perishable products, seasonal products, and fashion goods and can increase the profitability of products and reduce waste. This is also possible for consumers to have access to fresh or seasonal products at various and lower prices with different income levels. Such changes can lead to greater equality in society.
Originality/value: The literature review shows that the inventory control models have discussed more optimal order amount and time and less about pricing strategies and price discounts, simultaneously. The subject that is less considered in the literature, to the best of the authors’ knowledge, is the determination of discount values to maximize profit, which was considered in this paper.
کلیدواژه‌ها [English]
مقدمه
یکی از هدفهای اصلی اغلب مؤسسات، کسب حداکثر سود است که مدیریت درآمد و مدیریت عملیات دو رکن اساسی برای دستیابی به حداکثر سود میباشد (جوبر[i]، 1998). مهم‌ترین پارامتر مدیریت عملیات، کنترل موجودی است که به‌دنبال حداقل‌کردن هزینهها و تصمیمگیری دربارۀ مقدار بهینۀ سفارش و زمان بهینۀ سفارش است (جعفرنژاد، 1390) و مدیریت درآمد به‌دنبال حداکثرکردن سود یا درآمد حاصل از فروش ظرفیت محدودی از یک محصول فسادپذیر، در طی افق زمانی مشخص به مشتری مناسب با قیمت بهینه است و مهم‌ترین پارامتر آن قیمت‌گذاری است (تالوری و ون رایزن[ii]، 2005).
قیمت چه از دیدگاه مالی و چه از دیدگاه عملیاتی یکی از مؤثرترین عامل‌ها بر میزان و نوع تقاضا برای دستیابی به سود بالاتر است و به‌عنوان یک ابزار کمک‌کننده به تنظیم و تعادل موجودی و فشار تولید به حساب میآید (جیا و هو[iii]، 2011). مدیران می‌توانند با تغییر قیمت علاوه بر تنظیم موجودی در دست، بر میزان تقاضا اثر بگذارند و تقاضا را در کوتاه‌‌مدت تقویت یا محدود کنند (بیتران وکالدنتی[iv]، 2003). سیاستها و تاکتیکهای بسیاری مانند قیمت‌گذاری پویا[v] و قیمت‌گذاری کاهشی[vi] وجود دارند که مؤسسات به‌منظور دستیابی به سود بیشتر از آنها استفاده می‌کنند. قیمت‌گذاری پویا به‌عنوان یک سیاست قیمت‌گذاری قدرتمند به وجود آمده است که فرصت تغییر قیمت را در طول زمان به‌دلیل عواملی مانند تغییرات در سطح موجودی، تغییر در میزان تقاضا و تغییر در کیفیت محصول به خرده‌فروشان می‌دهد (ربانی[vii] و همکاران، 2016). بسیاری از صنایع وقتی به پایان فصل فروش خود میرسند، به‌منظور کاهش ضایعات و ضررهای متحمل‌شده، استراتژی کاهش قیمت را به کار میگیرند (لونتال و برور[viii]، 2012).
مدلهای سنتی موجودی دورۀ عمر محصول را نامحدود فرض میکردند؛ در حالی که این فرض با واقعیت صدق نمیکند. بیشتر کالاهای موجود در بازار فسادپذیرند. کالاهای فسادپذیر یعنی کالاهایی که در مقایسه با دیگر کالاها دورۀ عمر کوتاهی دارند و پس از آن، دیگر برای هدف اصلیشان مناسب نیستند (رافت[ix]، 1991). فساد میتواند درنتیجۀ ضربه‌خوردن، فاسدشدن، پوسیده‌شدن، خشک‌شدن یا تبخیر اتفاق بیافتد (گویال و گیری[x]، 2001). بسیاری از محصولات فسادپذیر مثل شاتوت، توت‌فرنگی، میوهها، سبزیجات، دونات، شیر، گوشت و ... چند روز ماندگاری دارند؛ بنابراین با نزدیک‌شدن به تاریخ انقضای خود، تقاضا برای خرید آنها به صفر می‌رسد و مصرف‌کنندگان ترجیح میدهند کالاهای تازه را انتخاب کنند (چونگ و لی[xi]، 2013). نظر به اینکه شیوههای کالاگیری دورهای باعث وجود محصولات با قیمت یکسان ولی تاریخهای انقضای مختلف در قفسهها میشود، مشتریان ترجیح میدهند محصولات تازهتر را انتخاب کنند، چون به نظرشان این محصولات کیفیت و ماندگاری بیشتری دارد. مطابق با نظر چونگ و لی (2013)، معمولاً 88درصد مصرف‌کنندگان هنگام خرید تاریخ انقضا را چک می‌کنند؛ واضح است که تعدیل قیمت با توجه به مشخصات محصول، به‌جای ارائۀ یک قیمت ثابت در طول زمان ماندگاری یک محصول، فروش را بالا می‌برد و درنتیجه ممکن است درآمد را نیز بالا ببرد و عرضه و تقاضا را برحسب اطلاعاتی مانند میزان موجودی و کشش قیمت متعادل کند (دیاز[xii]، 2017).
از سوی دیگر، بیش از 81درصد از صنعت خرده‌فروشی آمریکا در سال 2009 مربوط به غذا و نوشیدنی و 63درصد آنها محصولاتی با طول عمر محدود است؛ به عبارت دیگر، 50 درصد از فروش این صنعت را محصولات فسادپذیر تشکیل میدهند (لی و همکاران[xiii]، 2012). از طرفی، از دست دادن و ضایعات مواد غذایی به یک مشکل مهم در سراسر جهان تبدیل شده است؛ براساس حقایق منتشرشده از سازمان خواروبار و کشاورزی ملل متحد[xiv]، در سال 2013 تقریباً یک‌سوم مواد غذایی سالانۀ جهان از بین میرود یا دور ریخته میشود که در کشورهای صنعتی حدوداً 680 میلیارد دلار و در کشورهای در حال توسعه به 310 میلیارد دلار می‌رسد (چن و چن[xv]، 2020). از دست دادن مواد فسادپذیر عمدتاً ناشی از کنترل نامناسب موجودی تا ۱۵% در خرده‌فروشان مواد غذایی است (فرگوسن و کتزنبرگ[xvi]، 2006). همچنین نتایج آماری نشان می‌دهد میزان خرابی میوهها و سبزیجات تازه به ۲۰درصد می‌رسد و هزینۀ محصولات به فروش نرسیده قبل از رسیدن به تاریخ انقضا هرساله میلیونها دلار است (کین[xvii] و همکاران، 2014)؛ بنابراین با توجه به اهمیت نقش فساد در سیستم موجودی، نباید آن را نادیده گرفت. با ارائۀ راهکارهای مناسب قیمت‌گذاری مانند سیاست تخفیف، با ایجاد فرصت برای مشتری و ترغیب او به خرید، میتوان تقاضا را بالا برد؛ درنتیجه ممکن است باعث افزایش سود و همچنین کاهش هزینۀ ناشی از فساد شود. در این پژوهش سیاست کاهش قیمت برای فروش محصولات فسادپذیر با هدف دستیابی به حداکثر سود به کار گرفته شده است و حال آنکه هدف، به دست آوردن مقدار تخفیفی است که باید ارائه شود تا بیشترین سود حاصل شود؛ موضوعی که براساس جست‌وجوهای محقق تاکنون بررسی نشده است.
در ادامه ساختار مقاله به‌صورت زیر خواهد بود. بخش بعدی به پیشینۀ تحقیق اختصاص خواهد یافت، سپس مبانی نظری پژوهش ارائه خواهد شد، آنگاه روش‌شناسی پژوهش، نمادها، پارامترها، متغیرهای تصمیم، مفروضات و مدل ریاضی شرح داده خواهد شد. درنهایت، مطالعۀ موردی، تحلیل حساسیت، بحث، نتیجهگیری، پیشنهاد‌های آتی و فهرست منابع ارائه خواهد شد.
پیشینۀ تحقیق
مشهورترین و قدیمیترین سیاست کنترل موجودی، سیاست مقدار اقتصادی سفارش (EOQ) است که هریس[xviii] در سال 1913 ارائه کرده است و هنوز مدل پایه در اغلب پژوهش‌های کنترل موجودی به کار میرود. البته برای مطابقت با شرایط امروزی بنگاههای تولیدی، در مفروضات آن اصلاحات زیادی ایجاد شده است. اما قاره و شردر[xix] (1963) اولین کسانی بودند که مدل EOQ را برای موجودی با میزان فسادنمایی منفی و تقاضای ثابت توسعه دادند. با این فرض که تا قبل از شروع فساد، تغییر در سطح موجودی تنها به‌دلیل وجود تقاضا برای خرید محصول توسط مشتری است، پس از شروع خرابی علاوه بر عامل تقاضا، عامل فساد کالا نیز در آن نقش دارد که زمان کالاگیری مجدد و مقدار بهینۀ سفارش اقتصادی را به دست آوردند. سپس کوورت و فیلیپ[xx] (1973) با تحلیل و مدلی شبیه قیر و شردر (1963) فرض کردند که خرابی لحظهای (آنی) از توزیع وایبل به‌جای توزیع نمایی پیروی میکند. پس از آن فیلیپ[xxi](1974)، مدل EOQ را با میزان توزیع وایبل سه‌متغیره بررسی کرد؛ زمانی که کمبود در سیستم مجاز نیست. کوهن[xxii](1977) از نخستین کسانی بود که دربارۀ مسئلۀ موجودی و قیمت‌گذاری هم‌زمان برای کالاهای فاسدشدنی مطالعه کرد، او اولین گام را در تجزیه‌وتحلیل آثار متقابل فساد با تصمیمات سفارش‌دهی موجودی و قیمت‌گذاری برداشت. کوهن با واردکردن قیمت مانند سطح موجودی در مدل، مدل قیر و شردر (1963) را توسعه داد و میزان تقاضا را تابعی از قیمت فرض کرد (ناهمیاس[xxiii]، 2011). وی[xxiv] (1997) مدل کوهن را گسترش داد و علاوه بر در نظر گرفتن تقاضای وابسته به قیمت، فاسدشدن کالا را به‌صورت تابع وایبل[xxv] در نظر گرفت؛ سپس وی (1999) مدل را در حالت تخفیف قیمت و بدون تخفیف در نظر گرفت .راجان[xxvi] و همکاران (1992) و ابد[xxvii] (2001) سیستمی ترکیبی از قیمت‌گذاری و موجودی را در نظر گرفتند که تقاضا تحت تأثیر عمر باقی‌ماندۀ محصول و قیمت محصول است.
میهمی و نخعی[xxviii] (2012)، قیمت‌گذاری و کنترل موجودی را برای اقلام فاسدشدنی با یکدیگر ادغام کردند؛ تابع تقاضا وابسته به زمان و قیمت است. هدف اصلی این مقاله تعیین قیمت فروش بهینه، برنامۀ زمانبندی بهینه و مقدار سفارش بهینه و به‌طور هم‌زمان است، به‌طوری که سود حداکثر شود. کین[xxix] و همکاران (2014) مدل قیمت‌گذاری و کنترل موجودی را برای کالاهای فسادپذیر به‌طور هم‌زمان در نظر گرفتند. میزان تقاضا قطعی و وابسته به کیفیت کالا، قیمت فروش هر واحد و سطح موجودی در معرض نمایش است. نرخ فساد، آنی و از توزیع وایبل دو پارامتری پیروی میکند. ژانگ[xxx] و همکاران (2015) مسئلۀ تعیین بهینۀ قیمت‌گذاری پویا و دورۀ کالاگیری مجدد را برای اقلام فاسدشدنی ارائه کردند که تقاضا وابسته به قیمت فروش و موجودی در معرض نمایش است. آنها از استراتژی قانون ماکزیمم پونتریاگین[xxxi] در کنترل بهینه برای حل مدل استفاده کردند. ربانی و همکاران (2016) به‌طور هم‌زمان مدل قیمت‌گذاری پویا و سیاست‌های کالاگیری مجدد بهینه را برای کالاهای فسادپذیر در نظر گرفتند. آنها نرخ فساد از نظر کیفیت را به صورت آنی در نظر گرفتند که از توزیع وایبل دو متغیره و از نظر تعداد فیزیکی به صورت غیرآنی که از توزیع وایبل سه متغیره پیروی میکند و تقاضا را وابسته به قیمت، کیفیت، موجودی و تغییر قیمت در طول زمان گرفتند؛ همچنین قیمت فروش را تابعی وابسته به زمان از قیمت اولیه و نرخ تخفیف در نظر گرفتند، هدف آنها تعیین دوره زمانی بهینه برای کالاگیری مجدد و قیمت اولیه بود بهطوریکه سود کل ماکزیمم گردد. در پژوهشی دیگر، وو[xxxii] و همکاران (2016) بر مسائل حجم انباشته برای محصولات تازه کار کردند که در آنها میزان تقاضا هم‌زمان با نزدیک‌شدن به تاریخ انقضای محصول به‌تدریج به‌طور خطی به سمت صفر کاهش می‌یابد. آنها نیز برای افزایش سود کل، فرض سنتی موجودی نهایی صفر را به موجودی نهایی غیرصفر توسعه دادند. فنگ[xxxiii] و همکاران (2017)، یک مدل سیاست قیمت‌گذاری و حجم انباشته را برای کالای فسادپذیر ارائه دادند؛ به‌طوری که تقاضا به قیمت فروش، تاریخ انقضا و موجودی در معرض نمایش بستگی دارد و فرض موجودی پایانی صفر را به فرض موجودی پایانی غیرصفر تغییر دادند. تشکر[xxxiv] و همکاران (2018) بر بهینه‌سازی هم‌زمان قیمت‌گذاری پویا و چرخۀ کالاگیری، با در نظر گرفتن فساد غیرآنی و تقاضای وابسته به قیمت فروش و موجودی در معرض نمایش کار کردند. هدف آنها ماکزیممکردن سود است و میزان خرابی ثابت در نظر گرفته نشده است، اما پس از زمانی افزایش می‌یابد. تاریخ انقضا زمانی است که در آن موجودی فروخته‌نشده بیارزش میشود و باید دور ریخته شود (ارزش اسقاط صفر است). تقاضای مشتری وابسته به قیمت فروش و موجودی در معرض نمایش است. لی[xxxv] (2018) مدل هم‌زمان قیمت‌گذاری و اندازۀ انباشته را برای محصولات فسادپذیر ارائه داد که تقاضا وابسته به قیمت فروش، قیمت مرجع، تازگی محصول مرتبط با تاریخ انقضا و سطح موجودی در معرض نمایش است. خاکزار و ذبیحی[xxxvi] (2019) قیمت‌گذاری کالای فسادپذیر را در شرایط تخفیف مدنظر قرار دادند. همچنین سیاست تخفیف همراه با تغییر تابع میزان تقاضا را در دورۀ تخفیف در نظر گرفتند؛ در بازهای که تخفیف وجود ندارد میزان تقاضا، تابعی کاهشی از زمان و قیمت است و در دورۀ تخفیف، تابع میزان تقاضا ابتدا نسبت‌به زمان افزایشی است و با گذشت زمان کاهشی میشود. این مقاله میزان موجودی را در واحد زمان در نظر نگرفته است و هدف حداکثرکردن سود کل و تعیین قیمت و زمان بهینه برای کاهش قیمت فروش (تخفیف) است. همچنین میزان تقاضا تابعی از قیمت و زمان است. وانگ[xxxvii] و همکاران (2020) یک مدل قیمت‌گذاری پویا را برای محصولات فسادپذیر غیرآنی ارائه دادند که هدفش حداکثرکردن سود شرکت است. تقاضا به قیمت فروش و زمان بستگی دارد. استراتژی بهینۀ قیمت‌گذاری، دورۀ بهینۀ فروش و بیشترین مقدار سود از حل مسئله با استفاده از اصل ماکزیمم پونتریاگین حاصل شده است. جیحونی[xxxviii] و همکاران (2021) برای دستیابی به حداکثر سود حاصل از فروش محصولات فسادپذیر، سیاست کاهش قیمت یا تخفیف را به کار گرفتند. هدف، تعیین زمان و مقدار بهینۀ تخفیف و مقدار سفارش اولیه است؛ به‌طوری که سود کل ماکزیمم شود. تابع تقاضا وابسته به دو عامل قیمت فروش و موجودی در معرض نمایش است، سطح موجودی نهایی غیرصفر و میزان فساد ثابت است. سونی و شه[xxxix] (2021) یک مدل موجودی را ارائه دادند تا هنگامی که شاخص تازگی محصول بهحد معینی می‌رسد، محصول با قیمت تخفیف‌یافته به فروش برسد. هدف، پیداکردن قیمت فروش بهینه و زمان کالاگیری مجدد است؛ به‌طوری که سود کل ماکزیمم شود.
جدول 1، خلاصهای از تحقیقات مرتبط در این زمینه است که هدف همۀ آنها ماکزیممکردن سود است.
جدول 1- خلاصۀ پیشینۀ تحقیق مطالعات مرتبط
Table 1- Summary of the literature review of related studies
|
دیگر توضیحات |
هدف |
میزان فساد-روند خرابی |
متدولوژی حل |
عوامل تقاضا |
منبع |
|
کمبود مجاز و پس‌افت پاره‌ای |
قیمت، زمان کالاگیری مجدد بهینه و مقدار سفارش بهینه |
ثابت- غیرآنی |
رویکرد تحلیلی |
قیمت، زمان |
میهمی و نخعی (2012) |
|
کالاگیری مجدد نامحدود، افق زمانی نامحدود |
قیمت، مقدار سفارش بهینه و زمان بهینۀ سفارش |
وایبول- کمی و کیفی هم‌زمان-آنی |
رویکرد تحلیلی |
قیمت، موجودی، کیفیت |
کین (2014) |
|
- |
قیمت پویا و دورۀ کالاگیری مجدد |
ثابت- غیرآنی |
کنترل بهینه- اصل ماکزیمم پونتریاگین |
قیمت و موجودی |
ژانگ و همکاران (2015) |
|
قیمت تابعی از قیمت اولیه و تخفیف |
قیمت پویا و زمان بهینۀ کالاگیری مجدد |
وایبول، کمی و کیفی، کیفی آنی کمی غیرآنی |
رویکرد تحلیلی |
قیمت، تغییر قیمت، کیفیت |
ربانی (2016) |
|
موجودی پایانی غیرصفر، ارزش اسقاط ثابت |
زمان کالاگیری مجدد و سطح نهایی موجودی |
- |
رویکرد تحلیلی |
موجودی، تازگی، زمان |
وو و همکاران (2016) |
|
موجودی پایانی غیرصفر، ارزش اسقاط ثابت |
قیمت و مقدار بهینۀ سفارش |
- |
رویکرد تحلیلی |
قیمت، موجودی، تازگی |
فنگ (2017) |
|
چنددوره‌ای، قیمت اسقاطی ثابت، موجودی نهایی غیرصفر |
قیمت و مقدار بهینۀ سفارش |
- |
رویکرد تحلیلی |
قیمت، قیمت مرجع، تازگی، موجودی |
لی (2018) |
|
- |
قیمت‌گذاری پویا و دورۀ کالاگیری مجدد |
غیرثابت- غیرآنی |
کنترل بهینه- اصل ماکزیمم پونتریاگین |
قیمت و موجودی |
تشکر و همکاران (2018) |
|
کمبود مجاز، پس‌افت پاره‌ای، تورم |
قیمت فروش اولیۀ بهینه، مقدار سفارش بهینه و زمان بهینۀ کالاگیری مجدد |
- |
رویکرد تحلیلی |
قیمت و زمان |
یاوری و همکاران (2019) |
|
در دورۀ تخفیف، تابع میزان تقاضا ابتدا نسبت‌به زمان افزایشی است و با گذشت زمان کاهشی |
قیمت بهینۀ تخفیف و زمان بهینۀ تخفیف |
- |
رویکرد تحلیلی |
قیمت و زمان |
خاکزار و ذبیحی (2019) |
|
- |
استراتژی بهینۀ قیمت‌گذاری، دورۀ بهینۀ فروش |
غیرآنی |
کنترل بهینه- اصل ماکزیمم پونتریاگین |
قیمت فروش و زمان |
وانگ (2020) |
|
سطح موجودی نهایی غیرصفر |
زمان بهینۀ تخفیف، مقدار بهینۀ تخفیف و مقدار بهینۀ سفارش |
ثابت- غیرآنی |
رویکرد تحلیلی |
قیمت فروش و موجودی در معرض نمایش |
جیحونی و همکاران (2021) |
|
تخفیف با رسیدن شاخص تازگی محصول به سطح معینی |
قیمت فروش و زمان کالاگیری مجدد |
ثابت-آنی |
رویکرد تحلیلی |
قیمت و زمان |
سونی و شه (2021) |
|
- |
مقادیر تخفیف بهینه و مقدار بهینۀ سفارش |
ثابت- غیرآنی |
رویکرد تحلیلی |
قیمت و زمان |
پژوهش حاضر |
مرور پیشینۀ موضوع نشان می‌دهد مدلهای موجود بیشتر دربارۀ کنترل موجودی بحث می‌کنند و کمتر مباحث مربوط به قیمت‌گذاری و تخفیفات قیمتی برای مشتریان را بررسی می‌کنند (وانگ، 2012). موضوعی که کمتر در مقالات درخور توجه قرار گرفته است، تعیین مقادیر تخفیف بهینه به‌منظور حداکثرکردن سود کل است. بنابراین هدف این پژوهش تعیین مقادیر بهینۀ تخفیف و مقدار اولیۀ سفارش است؛ به‌طوری که سود کل بنگاه حداکثر شود؛ مسئله‌ای که براساس جست‌وجوهای محقق، در تحقیقات قبلی بررسی نشده است. این تحقیق براساس مدل قاره و شردر (1963) و کوهن (1977) دربارۀ محصولات فسادپذیر است که با توجه به شرایط امروزۀ محیط کسب‌وکار و نمونۀ موردی توسعه پیدا کرده است. تقاضا وابسته به دو عامل قیمت و زمان در نظر گرفته شده است و میزان فساد ثابت فرض میشود و در طول دورۀ فروش دوبار تحفیف ارائه میشود.
مبانی نظری
با در نظر گرفتن تغییر نیازهای مصرف‌کنندگان و کوتاهی دورۀ عمر محصولات فسادپذیر، برای افزایش سود میتوان ازطریق تحریک تقاضا با استفاده از استراتژیهایی مانند کاهش قیمت و همچنین کاهش هزینه‌های مرتبط با سیستم موجودی ازجمله کاهش ضایعات بهره جست.
قیمت‌گذاری، ابزاری سریع و مؤثر برای کنترل تقاضاست؛ با ارائۀ راهکارهای مناسب قیمت‌گذاری میتوان بین عرضه و تقاضا تعادل ایجاد کرد، تقاضای اقلام را تا حد زیادی مدیریت کرد و مانع از اتلاف سرمایه به‌دلیل فساد کالا شد (جیا و هو، 2011). قیمت‌گذاری پویا یکی از بنیادیترین و متداولترین ابزارهای استفاده‌شده است. این ابزار شرکت‌ها را قادر میکند تا با تنظیم بهتر عرضه و تقاضا، در پاسخ به تغییرات الگوی تقاضا و دستیابی به بخشهای مشتریان، درآمد را افزایش دهند )چن و چن[xl]، 2015). نظر به اینکه بیشتر کالاهایی که در بازار وجود دارد کالاهای فاسدشدنی است، مسئلۀ مهم و نگران‌کنندۀ خرده‌فروشان، مدیریت موجودی محصولات فاسدشدنی است. وقتی فساد در محصول شروع میشود، کیفیت، ارزش و میزان موجودی افت پیدا میکند و باعث میشود که هزینۀ اضافی (هزینۀ فساد) به سیستم موجودی تحمیل شود؛ بنابراین کنترل موجودی محصولات فاسدشدنی اهمیت بسیاری دارد. درنتیجه برای آنکه یک سازمان بتواند مدیریت عملیات و درآمد بهینه را در سیستم خود برقرار کند، باید کنترل موجودی و قیمت‌گذاری را بهینه کند. بنابراین تعیین این دو مقدار به‌عنوان یک هدف اصلی پیش روی تحقیقات صنعتی و آکادمیک قرار دارد.
قاره و شردر (1963) از اولین کسانی بودند که مدل EOQ را برای موجودی فسادپذیر توسعه دادند. کوهن (1977) هم قیمت را مثل سطح موجودی در مدل موجودی و قیمت‌گذاری هم‌زمان را برای کالاهای فاسدشدنی وارد کرد. این تحقیق نیز براساس مدل قاره و شردر (1963) و کوهن (1977) دربارۀ محصولات فسادپذیر، با توجه به شرایط امروزۀ محیط کسب‌وکار و نمونۀ موردی توسعه پیدا کرده است.
دو عامل کلیدی موجودی فسادپذیر، تقاضا و میزان فساد است. تقاضا، نیروی محرک کل سیستم موجودی و میزان فساد، نشاندهندۀ ویژگی‌های کالای فاسدشدنی است (لی و همکاران، 2012). تقاضا میتواند وابسته به عوامل مختلفی چون قیمت، زمان، موجودی، تازگی محصول، کیفیت، تاریخ انقضا، قیمت مرجع و غیره یا ترکیبی از این موارد باشد. از میان پژوهش‌های انجام‌شده به موارد زیر اشاره میشود: تقاضای وابسته به تازگی محصول و موجودی در معرض نمایش (بی و کندال[xli]، 2008)، تقاضای وابسته به تازگی محصول، سطح موجودی و تاریخ انقضا (چن و همکاران، 2016) و (وو و همکاران، 2016)، تقاضای وابسته به قیمت و موجودی در معرض نمایش (لو و همکاران[xlii]، 2014)؛ (جیحونی و همکاران، 2021)، تقاضای وابسته به تازگی و قیمت (هربن[xliii]، 2014)، تقاضای وابسته به قیمت، تازگی و موجودی (فنگ و همکاران، 2017)، تقاضای وابسته به قیمت و زمان (میهمی و نخعی ، 2012) و (خاکزار و ذبیحی، 2019) که در این تحقیق تقاضا مطابق میهمی و نخعی (2012) وابسته به دو عامل قیمت و زمان در نظر گرفته شده است. میزان فساد هم میتواند ثابت (قاره و شردر، 1963) و (فنگ، 2017)، دارای توزیع وایبل دو پارامتری (کوورت و فیلیپ، 1973) و (کین، 2014)، توزیع وایبل سه پارامتری (فیلیپ، 1974) و (ربانی، 2016) و تابعی از زمان (ابد، 2001) باشد که در این پژوهش میزان فساد مطابق با قٍاره و شردر (1963) ثابت فرض میشود.
در این مقاله در طول دورۀ فروش دوبار تحفیف ارائه میشود که بار اول قبل از شروع فساد و بار دوم بعد از شروع فساد است. موضوعی که براساس جست‌وجوهای محقق در مقالات درخور توجه قرار نگرفته است، تعیین مقدار بهینۀ تخفیف است. بنابراین هدف این مقاله، تعیین مقادیر بهینۀ تخفیف و مقدار سفارش اولیه است؛ به‌طوری که سود کل بنگاه حداکثر شود.
روش‌شناسی پژوهش
در این پژوهش ابتدا پس از مرور گستردهای بر سابقۀ تحقیق، مدل اولیۀ ریاضی ایجاد و حل شد، سپس با نظر خبرگان فروشگاه افق کوروش، اعتبار درونی مدل ازنظر درست‌بودن منطق مدل و معقول‌بودن مفروضات مدل و همچنین پشتوانۀ تئوریک آنها بررسی و تأیید شد. پس از آن مقادیر پارامترها تعیین و دادههای فروشگاه افق کوروش جمعآوری و درنهایت مدل حل شد.
تعریف مسئله
در این پژوهش دو بار در طول دورۀ تخفیف ارائه خواهد شد؛ ابتدا قبل از اینکه علائم فساد در محصول ظاهر شود و کاهش جذابیت ظاهری محصول به وجود آید ( ) و تخفیف دوم زمانی ارائه میشود که محصول ازنظر شکل ظاهری جذابیت لازم را برای مشتری نداشته باشد و لازم است ترخیص یا پاکسازی[xliv] شود ( ). نظر به اینکه اگر مقادیر تخفیفی که ارائه میشود بیشتر از مقادیر بهینه باشد، حداکثر سود به دست نمیآید، پس هدف تعیین مقدار بهینۀ تخفیف و مقدار سفارش اولیه است؛ به‌طوری که سود کل ماکزیمم شود (محصول در بازۀ زمانی0 تا ، با قیمت اولیه ، در بازۀ زمانی تا با درصد تخفیف و در بازۀ تا با درصد تخفیف ارائه میشود).
مفروضات
مفروضات مسئله بهشرح ذیل است:
نمادها، پارامترها و متغیرهای تصمیم
نمادها، پارامترها و متغیرهای تصمیم مسئله به شرح ذیل است:
|
|
پتانسیل بازار (تقاضای بالقوه وقتی قیمت صفر باشد) |
|
|
حساسیت به قیمت |
|
|
قیمت اولیه |
|
|
زمان اولین تخفیف زمان دومین تخفیف |
|
|
زمان شروع فساد یا زمان کاهش جذابیت محصول |
|
|
زمان کالاگیری مجدد یا بازپرسازی |
|
|
میزان خرابی |
|
|
عامل زمان |
|
|
موجودی اولیه یا مقدار سفارش اولیه |
|
|
میزان موجودی i=1,2,3,4 |
|
|
میزان تقاضا i=1,2,3,4 |
|
|
هزینۀ ثابت سفارش |
|
|
هزینۀ خرید هر واحد |
|
|
هزینۀ نگهداری هر واحد |
|
|
هزینۀ خرابی هر واحد |
|
|
قیمت اسقاط هر واحد کالا ( ) |
|
|
میزان تخفیف بار اول (متغیر تصمیم) میزان تخفیف بار دوم (متغیر تصمیم) |
مدل ریاضی
تابع تقاضا قبل و بعد از ارائۀ تخفیف وابسته به قیمت محصول و زمان و به‌صورت زیر است:
|
(1) |
|
نمودار تقاضا برحسب زمان به‌صورت زیر است:
شکل1- نمودار تقاضا برحسب زمان
Fig. 1. Demand chart by time
تابع قیمت نیز به‌صورت زیر در نظر گرفته میشود: ( )
|
(2) |
|
سطح موجودی در بازۀ زمانی از حل معادلۀ دیفرانسیل زیر به دست میآید؛ زیرا در این بازه تقاضا عامل تغییر سطح موجودی است:
|
(3) |
|
و در بازۀ ، تغییر در سطح موجودی به‌دلیل افزایش تقاضای ناشی از کاهش درصدی قیمت است:
|
(4) |
|
و در بازۀ ، تغییر در سطح موجودی به دو عامل تقاضا و فساد بستگی دارد:
|
|
(5) |
و در بازۀ ، تغییر در سطح موجودی باز هم به دو عامل تقاضا و فساد بستگی دارد:
|
|
(6) |
با جایگذاری شرط مرزی در رابطۀ (6)، رابطۀ زیر به دست میآید:
|
(7) |
|
رابطۀ (7) در (6) قرار داده میشود:
|
(8) |
|
نظر به اینکه ؛ بنابراین با مساوی قرار دادن روابط (8) و (5) نتیجه میشود:
|
(9) |
|
رابطۀ (9) در (5) جایگذاری میشود:
|
(10) |
|
از طرفی:
|
(11) |
|
با قراردادن رابطۀ (11) در (4) رابطۀ زیر به دست میآید:
|
(12) |
|
با مساوی قرار دادن مقدار سفارش اولیه به دست میآید:
|
(13) |
|
رابطۀ (13) را در (3) قرار میدهیم و رابطۀ زیر به دست میآید:
|
(14) |
|
هزینه‌های موجودی و درآمد فروش هر دوره عبارت است از:
|
(15) |
|
|
(16) |
|
|
(17) |
|
|
(18) |
|
|
(19) |
|
|
(20) |
|
هدف این مقاله به دست آوردن مقادیر بهینۀ تخفیف و مقدار سفارش اولیه است؛ به‌طوری که سود کل حداکثر شود. سود کل برابر است با:
ارزش اسقاط+ هزینۀ دور ریزی -هزینۀ نگهداری- هزینۀ خرید -هزینۀ سفارش -درآمد کل= سود کل
|
|
(21) |
که پس از جایگذاری برابر است با:
|
|
(22) |
تابعی از و است. بنابراین شرایط لازم برای اینکه سود کل در هر واحد زمانی حداکثر شود، این است که به‌طور هم‌زمان و باشد؛ پس داریم:
|
|
(23) |
پس به‌صورت زیر به دست میآید:
|
(24) |
|
همچنین داریم:
|
(25) |
|
بنابراین:
|
(26) |
|
و برای اینکه تابع هدف دارای سود حداکثر سراسری باشد، باید و دترمینان ماتریس هسین مثبت باشد:
|
|
(27) |
|
|
(28) |
بنابراین تابع سود کل دارای حداکثر سراسری نسبت‌به پارامترهای و است.
مطالعۀ موردی و حل مدل
شرکت فروشگاههای زنجیره‌ای افق کوروش در سال 1388، به‌منظور ارائۀ محصولات تندگردش (خواروبار) ازطریق خرده‌فروشی خواروبار تأسیس شده است. حوزۀ فعالیت این مجموعه، ارائۀ کالاهای تندگردش با ارائۀ تخفیفات همیشگی بر تمامی کالاها نسبت‌به قیمت درج‌شده بر محصول است که این کالاها عمدتاً برای مصرف روزانه، هفتگی و یا ماهانۀ خانوار ایرانی تهیه میشود. کالاهای عرضه‌شده در این فروشگاه از برندهای معتبر داخلی تأمین و به مصرف‌کننده ارائه میشود. در حال حاضر فروشگاههای زنجیره‌ای افق کوروش در31 استان مشغول فعالیت است. تعداد شعب این فروشگاهها در 406 شهر ایران، 3100 شعبه و 28000 کارمند و 400 تأمین‌کننده و 600 هزارتن گردش روزانۀ کالا، 250 انبار و 600 ماشین حمل بار و 20 میلیون مشتری است، 2750 نوع محصول متنوع اعم از فسادپذیر و غیر فسادپذیر ارائه می‌دهد و حدود 30درصد محصولات آن فسادپذیر است که بالغ بر 360 نوع کالاست. این پژوهش در 120 فروشگاه منتخب و بر محصولات فسادپذیری ازقبیل پیاز، سیب‌زمینی، سیب و خیار به‌صورت بسته‌بندی ارائه شده است که برچسب تاریخ تولید دارند. دادههای این فروشگاه بهدلایل مسائل امنیتی کسب‌وکار بیمقیاس شده است.
پارامترهای بی مقیاس شده مربوط به محصول فسادپذیری با قیمت اولیۀ 420 واحد پول و زمان سفارش‌دهی مجدد 6 واحد زمانی است، هزینۀ ثابت سفارش صفر، هزینۀ خرید هر واحد کالا 252، میزان خرابی 1/0، ضریب اسقاط هر واحد 4/0 و قیمت اسقاط هر واحد 168 واحد پول، تقاضای بالقوه 900، حساسیت به قیمت 2، زمان شروع فساد 4، عامل زمان 2- و هزینۀ نگهداری 1، زمان اولین بار تخفیف 1 و زمان دومین بار تخفیف 5 است:
|
|
(29) |
پس از جایگذاری در مدل و حل مدل و بررسی شرایط، جواب بهینه به این صورت به دست میآید:
|
(30) |
|
شکل2- نمایش تابع سود کل برحسب متغیرهای تصمیم به ازای پارامترهای مفروض
Fig. 2-Display of the total profit function according to the decision variables and for the assumed parameters
در حالت استفاده از استراتژی، کاهش قیمت سود کل حاصل 25/850 است؛ حال آنکه اگر برای محصول تخفیف در نظر گرفته نشود و محصول در طول دورۀ فروش با قیمت ثابت ارائه شود، سودی معادل با3/837 خواهد شد. در مقایسۀ استراتژی فروش با قیمت ثابت در تمام دورۀ فروش با استراتژی کاهش قیمت، سود کل افزایش خواهد یافت.
تحلیل حساسیت
در این قسمت تأثیر تغییرات پارامترهای مسئله بر بررسی میشود.
جدول 2- تحلیل حساسیت پارامتر T
Table 2- Sensitivity analysis of parameter T
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
زمان بازپرسازی |
6 |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
|
7 |
161/0 |
871/0 |
69/728 |
|
|
8 |
161/0 |
886/0 |
59/637 |
از جدول2 مشاهده میشود که اگر تمام پارامترهای مدل ثابت نگه داشته شود و زمان بازپرسازی محصول از 6 روز به 8 روز تغییر یابد، مقدار سود کل از 25/850 به 59/637 تغییر خواهد یافت. این تغییرات بر مقدار بهینۀ اولین تخفیف اثری ندارد، ولی مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف به میزان10درصد افزایش می‌یابد.
جدول 3- تحلیل حساسیت پارامتر t1d
Table 3- Sensitivity analysis of parameter t1d
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
(زمان اولین بار تخفیف) |
1 |
162/0 |
78/0 |
31/941 |
|
2 |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
|
|
3 |
157/0 |
78/0 |
11/838 |
همان‌طور که در جدول3 مشاهده میشود، با ثابت نگه داشتن دیگر پارامترها، اگر زمان اولین تخفیف از روز اول به روز سوم تغییر یابد، قبل از زمان شروع فساد، مقدار سود کل از 31/941 به 11/838 تغییر میکند و بر مقادیر بهینۀ تخفیف اثری ندارد.
جدول 4- تحلیل حساسیت پارامتر t2d
Table 4- Sensitivity analysis of parameter t2d
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
(زمان دومین بار تخفیف) |
4 |
161/0 |
8/0 |
49/836 |
|
5 |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
|
|
6 |
161/0 |
464/0 |
26/851 |
مطابق جدول 4، اگر دومین بار تخفیف بعد از زمان شروع فساد در محصول ارائه داده شود، با فرض ثابت‌بودن دیگر پارامترها، این زمان از روز چهارم به روز ششم تغییر یابد، مقدار سود کل از 49/836 به 26/851 تغییر خواهد کرد. این تغییرات بر مقدار بهینۀ اولین تخفیف اثری ندارد، ولی مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف از 80 درصد به 46درصد تغییر می‌یابد.
جدول 5- تحلیل حساسیت پارامتر
Table 5- Sensitivity analysis of parameter
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
زمان شروع فساد |
3 |
157/0 |
84/0 |
14/849 |
|
4 |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
|
|
5 |
161/0 |
726/0 |
48/850 |
از جدول 5 مشاهده میشود که با فرض ثابت‌بودن دیگر پارامترها، اگر زمان شروع فساد در محصول روز سوم باشد، مقدار سود کل 14/849 و اگر روز پنجم باشد، 48/850 خواهد بود؛ این تغییرات بر مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف اثری ندارد، ولی مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف حدوداً 10درصد کاهش می‌یابد.
جدول 6- تحلیل حساسیت پارامتر
Table 6- Sensitivity analysis of parameter
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
عامل زمان |
1- |
158/0 |
658/0 |
8/1592 |
|
5/1- |
16/0 |
729/0 |
1150 |
|
|
2- |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
مطابق جدول 6، با ثابت نگه داشتن دیگر پارامترها و تغییر عامل زمان، ، به‌تدریج از 1- به 2- ، مقدار سود کل از8/1592 به 25/850 تغییر می‌یابد. این تغییرات بر مقدار بهینۀ اولین تخفیف اثری ندارد، ولی مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف به اندازۀ 12درصد افزایش می‌یابد.
جدول 7- تحلیل حساسیت پارامتر d0
Table 7- Sensitivity analysis of parameter d0
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
(تقاضای بالقوه) |
900 |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
|
1000 |
1/0 |
72/0 |
7/2237 |
|
|
1100 |
042/0 |
601/0 |
3628 |
در جدول 7 مشاهده میشود که با ثابت نگه داشتن دیگر پارامترها و تغییر پتانسیل بازار (تقاضای بالقوۀ بازار وقتی قیمت صفر باشد)، اگر مقدار پتانسیل بازار 900 باشد، سود کل 25/850 و اگر 1100 باشد، سود کل 3628 خواهد بود. این تغییرات باعث تغییر مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف از 16درصد به 4درصد و تغییر دومین مقدار بهینۀ تخفیف از 78درصد به 60درصد است.
جدول 8-تحلیل حساسیت پارامتر a
Table 8- Sensitivity analysis of parameter a
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
حساسیت به قیمت |
75/1 |
084/0 |
703/0 |
4/2305 |
|
2 |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
|
|
1/2 |
186/0 |
806/0 |
91/269 |
از جدول 8 مشاهده میشود که با ثابت نگه داشتن دیگر پارامترها، با مقدار حساسیت به قیمت 75/1، سود کل 4/2305 خواهد بود و با مقدار 1/2، 91/269 خواهد بود. این تغییرات مقدار بهینۀ اولین تخفیف را از 8درصد به 18درصد افزایش می‌دهد و همچنین مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف نیز از 70درصد به 80درصد افزایش می‌یابد.
جدول 9- تحلیل حساسیت پارامتر P0
Table 9- Sensitivity analysis of parameter P0
|
پارامتر |
مقدار |
(مقدار بهینۀ اولین بار تخفیف) |
(مقدار بهینۀ دومین بار تخفیف) |
(سود کل) |
|
(قیمت اولیه) |
350 |
0532/0 |
674/0 |
1/2325 |
|
400 |
131/0 |
753/0 |
1337 |
|
|
420 |
161/0 |
78/0 |
25/850 |
همان‌طور که در جدول 9 مشاهده میشود، اگر قیمت از مقدار 350 به مقدار420 تغییر کند، با فرض ثابت‌ماندن دیگر پارامترها، سود کل از 1/2325 به 25/850 تغییر خواهد یافت. این تغییرات باعث تغییر اولین مقدار بهینۀ تخفیف از 5درصد به 16درصد و دومین مقدار بهینۀ تخفیف از 67درصد به 78درصد است.
بحث
مطابق جداول 2 تا 9، همان‌طور که انتظار میرفت با تغییر پارامترهای مدل در بازۀ مجازشان، نتایج به‌‌دست‌آمده تأیید‌کنندۀ موارد زیر است:
نتیجهگیری
در این مقاله مدل قیمت‌گذاری کاهشی برای کالاهای فاسدشدنی ارائه شد که در ابتدا محصول با قیمت اولیه برای فروش گذاشته میشود. نظر به اینکه با گذشت زمان و نزدیک‌شدن به تاریخ انقضای محصول فسادپذیر، تقاضا برای خرید آن محصول کاهش می‌یابد، به‌منظور افزایش تقاضا برای دستیابی به سود بالاتر و کاهش ضایعات از سیاست کاهش قیمت استفاده شده است. در ابتدا قبل از شروع فساد، مقداری تخفیف در نظر گرفته شده است، سپس بعد از شروع فساد در محصول، برای بار دوم تخفیف داده میشود. هدف این مقاله پیداکردن مقادیر بهینۀ تخفیفات است؛ به‌طوری که سود کل حداکثر شود. تقاضا وابسته به قیمت و زمان است. پس از به دست آوردن جواب بهینه، اثبات شد که مسئله، جواب بهینۀ سراسری دارد. در پایان، مدل با دادههای واقعی فروشگاه زنجیره‌ای افق کوروش اجرا و پس از تحلیل حساسیت، نتایج حاصل تشریح شد. همچنین جواب‌های حاصل از به‌کارگیری دو استراتژی قیمت‌گذاری کاهشی و قیمت‌گذاری ثابت با هم مقایسه شد.
در پژوهش‌های آینده میتوان مدل را برای حالتی در نظر گرفت که قیمت‌ها به‌صورت لحظهای تغییر میکند یا میتوان مدل را احتمالی در نظر گرفت. در این مقاله تابع تقاضا وابسته به دو عامل قیمت و زمان است، عواملی مانند موجودی در معرض نمایش، قیمت ذهنی مشتری و تبلیغات نیز میتواند در تقاضا اثرگذار باشد. همچنین قیمت‌گذاری پویا در محیطی رقابتی با اقلام جایگزین و مکمل، موضوع جالبی برای تحقیقات آینده است.
[i] Jobber
[ii] Talluri & Van Ryzin
[iii] Jia & Hu
[iv] Bitran& Coldentey
[v] Dynamic Pricing
[vi] Markdown Pricing
[vii] Rabbani
[viii] Leventhal & Breur
[ix] Raafat
[x] Goyal & Giri
[xi] Chung & Li
[xii] Diaz
[xiii] Li
[xiv] FAO
[xv] Chen & Chen
[xvi] Ferguson & Ketzenberg
[xvii] Qin
[xviii] Harris
[xix] Ghare & Schrader
[xx] Covert & Philip
[xxi] Philip
[xxii] Cohen
[xxiii] Nahmias
[xxiv] Wee
[xxv] Weibull
[xxvi] Rajan
[xxvii] Abad
[xxviii] Maihami & Nakhai
[xxix] Qin
[xxx] Zhang
[xxxi] Pontryagin Maximum Principle
[xxxii] Wu
[xxxiii] Feng
[xxxiv] Tashakkor
[xxxv] Li
[xxxvi] Khakzar & Zabihi
[xxxvii] Wang
[xxxviii] Jeihouni
[xxxix] Soni & Shah
[xl] Chen & Chen
[xli] Bai & Kendal
[xlii] Lu & Zhang
[xliii] Herbon
[xliv] Clearance
)