نوع مقاله : مقاله پژوهشی- فارسی
نویسندگان
1 دانشجوی دکتری گروه مهندسی صنایع، دانشکده مهندسی صنایع واحد تهران جنوب، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 استاد دانشکده مهندسی صنایع، دانشگاه علم و صنعت ایران، تهران، ایران
چکیده
کلیدواژهها
موضوعات
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
Purpose: This paper aims to study the effect of inertia on the performance of the EWMA control chart for attribute characteristics and to investigate the effects of inertia properties on control charts with attribute characteristics.
Design/methodology/approach: By calculating the inertia criterion, the effectiveness of the control chart can be measured in identifying changes and how one can reduce the inertial properties of the control charts. MATLAB software has been used to conduct simulation studies. The effect of inertia on the performance of an exponentially weighted moving average control chart and modified exponentially weighted moving average control chart for observations caused by correlated processes based on Poisson distribution has been investigated.
Findings: After calculating and analyzing the results, it was determined that the modified exponential moving average control chart performs better than the exponential moving average control chart based on the Poisson distribution in the worst-case signal resistance. Also, by decreasing the parameter λ, the inertia value of the control charts increased.
Research limitations/implications: Other control charts that follow different distributions can be used, or the effect of inertia on the performance of control charts in multivariable processes can be considered as a subject for further study.
Practical implications: After analyzing the positive properties of inertia, it is possible to increase productivity in production processes. This research purposed new indicators to evaluate the performance of control charts in terms of inertial properties.
Social implications: In the field of manufacturing industries, it is possible to increase productivity by examining the appropriate characteristics of inertia. On the other hand, regarding the use of control charts for monitoring chemical and petrochemical processes and evaluating the inertia index, it is possible to reduce the variability of the process in long term, which will have an impact on environmental issues.
Originality/value: Measuring the inertia of the exponentially weighted moving average control chart when the observations are independent and follow the Poisson distribution, in addition to measuring the inertia of the exponentially weighted moving average control chart in the presence of correlated observations distinguishes this research from previous studies.
کلیدواژهها [English]
زمانی که از یک نمودار کنترل، که از اطلاعات ترکیبی در طول زمان استفاده میکند، مانند نمودار کنترل جمع تجمعی[i] (CUSUM) یا نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی[ii] (EWMA) استفاده میشود، این امکان وجود دارد که آمارۀ نمودار کنترل بلافاصله قبل از تغییر در پارامتر فرآیند، در موقعیت نامطلوب قرار گیرد؛ بهطور مثال، چنانچه آمارۀ نمودار کنترل میانگین متحرک موزون نمایی به حد کنترل پایین نزدیک باشد و یک تغییر رو به بالا در میانگین فرآیند رخ دهد، نزدیکبودن به حد کنترل پایین باعث میشود که زمان لازم برای رسیدن به حد کنترل بالا، هشدار اعلام خارج از کنترل، بیشتر از زمانی باشد که آمارۀ نمودار کنترل به خط مرکز نزدیک و یا نزدیک به حد کنترل بالا باشد که این مسئله باعث کاهش کارایی نمودارها در شناسایی تغییرات در فرآیند است. تعریف معیارهایی برای اندازهگیری اینرسی نمودارهای کنترل، میتواند بهعنوان روشی استاندارد برای مقایسۀ نمودارها از این دیدگاه در نظر گرفته شود. این معیارها را میتوان در کنار پارامترهای طول دنباله قرار داد. با این کار علاوه بر مطالعۀ نمودارها در مواجهه با یک تغییر پایدار، آنها را در مواجهه با تغییرات گذرا نیز میتوان بررسی و جنبههای دیگر از رفتار نمودارها را آشکار کرد.
یاشچین[iii] (1987 و 1993) در نظر گرفتن «سناریوی بدترین حالت»[iv] را در انتخاب نمودارهای کنترل توصیه کرد. لوری و همکاران[v] (1992)، وودال و آدامز[vi] (1998) بر اهمیت تأخیر بالقوه در هشدار، بهعنوان پیامد «مسئلۀ اینرسی»[vii] تأکید کردند. تنها معیار رسمی تعریفشده برای بررسی اینرسی، مطالعۀ آقای وودال و محمود[viii] (2005) است که برای اندازهگیری اینرسی، مفهوم «پایداری در مقابل هشدار»[ix] را ارائه کردند و با استفاده از این مفهوم، تاثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل میانگین متحرک موزون نمایی و کنترل جمع تجمعی تک متغیره و چند متغیره را بررسی و مقایسه کردند. طبق مطالعات انجام شده، اندازهگیری و تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و جمع تجمعی زمانی بررسی شده است که مشخصههای کیفی مطالعهشده از نوع پیوسته بودهاند. با بررسی تحقیقات قبلی، مشخص شد تاکنون تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و کنترل جمع تجمعی برای مشخصههای کیفی وصفی بررسی نشده است و در این حوزه، شکاف تحقیقاتی وجود دارد؛ بنابراین در این مقاله تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی برای مشخصۀ کیفی وصفی، که از توزیع پواسون تبعیت میکند، در حالت همبستگی و نبود همبستگی بین دادهها بررسی میشود.
ساختار مقاله به این صورت است که در بخش 2، پیشینۀ پژوهش نقد و بررسی خواهد شد، در بخش3، به نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی برای توزیع پواسون و نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی اصلاحشده با همبستگی بالا اشاره و این نمودارها شرح داده میشود؛ سپس نحوۀ اندازهگیری اینرسی و تأثیر آن بر عملکرد نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی اصلاحشده برای مشخصۀ کیفی وصفی پواسون بررسی میشود. در بخش 4، رویکرد شبیهسازی برای ارزیابی عملکرد نمودارهای توسعه داده شده بیان میشود و در بخش 5 به بحث، تحلیل و مقایسۀ عملکرد نمودارهای بیانشده با تحقیقات مشابه پرداخته خواهد شد و درنهایت نتیجهگیری و پیشنهادهایی برای تحقیقات آتی ارائه میشود.
نمودارهای کنترل بهعنوان یکی از ابزارهای قدرتمند کنترل فرآیند آماری برای کنترل مشخصات یک محصول و پایش فرآیندهای تولید، بهمنظور افزایش کیفیت فرآیند تولید و محصول، به کار برده میشوند. نمودارهای کنترل را برای نخستینبار والتر شوهارت[x] (1930) بهعنوان ابزاری برای کاهش انحرافات فرآیند معرفی کرد. نمودارهای کنترل شوهارت، به این دلیل که از اطلاعات آخرین نمونه استفاده میکنند، در شناسایی تغییرات کوچک در فرآیند، حساسیت پایینتری دارند، در مقابل نمودارهای کنترل همچون نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و نمودار کنترل جمع تجمعی نسبتبه شناسایی تغییرات کوچک بسیار حساس هستند؛ زیرا علاوه بر اطلاعات آخرین نمونه، از اطلاعات نمونههای گذشته هم استفاده میکنند. رابرتز[xi] (1959)، نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی را برای اولینبار ارائه کرد. فرض اساسی در تمامی نمودارهای کنترل، نرمالبودن دادههاست؛ در صورتی که در رسم نمودار میانگین متحرک موزوننمایی، هیچگونه حساسیتی برای نرمالبودن دادهها وجود ندارد.
مشخصههای کیفی وصفی، کاربردهای بسیاری در کنترل فرآیند آماری دارند. هنگامی که اندازهگیری کیفیت،X ، تعداد عدم انطباق در یک واحد از یک فرآیند تولید باشد، از توزیع پواسون بیشتر بهعنوان یک مدل استفاده میشود. گان[xii] (1990) نسخۀ اصلاحشدهای از نمودار میانگین متحرک موزوننمایی را برای پایش میانگین مبتنی بر توزیع پواسون با استفاده از روشی معرفی کرد که در آن مقادیر صحیحی برای آمارۀ نمودار به دست میآید؛ او همچنین، سه نمودار اصلاحشدۀ میانگین متحرک موزون نمایی را نیز برای پایش تعداد نقصها یا عدم انطباقها معرفی کرد. بارور[xiii] و همکاران (1998) توسعهای از نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی را برای دادههای پواسون انجام دادند، آنها با استفاده از زنجیرۀ مارکوف، شاخص متوسط طول دنبالۀ[xiv] (ARL) نمودار را محاسبه کردند و نشان دادند شاخص متوسط طول دنبالۀ نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی بر پایۀ توزیع پواسون، معمولاً کوچکتر از شاخص متوسط طول دنبالۀ مربوط به نمودار C شوهارت و نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی اصلاحشده توسط گان (1990) است. در این پژوهش از مباحث ارائهشده در مرجع مربوط به بارور و همکاران (1998) استفاده شده است. چن[xv] (2012) نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی را براساس توزیع پواسون هندسی ارائه کرد و نتایج به دست آمده حاکی از آن بود که با انتخاب مناسب ARL و واریانس شاخص طول اجرا[xvi]، هر تغییر کوچکی در میانگین فرآیند، ازطریق نمودار کنترل پواسون هندسی EWMA قابل تشخیص است.
در کنترل فرآیند آماری، «اینرسی» میتواند به میزان مقاومت نمودار در برابر ایجاد هشدار در یک تغییر فرآیند خاص اشاره کند. بزرگترین انحراف استاندارد شدۀ میانگین نمونه از هدف یا مقدار تحت کنترل که فوراً به یک هشدار خارج از کنترل منجر نشود، بهعنوان «پایداری در مقابل هشدار» یک نمودار کنترل یا «اینرسی» تعریف میشود. بهعبارتی در نمودارهایی همچون نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و نمودار کنترل جمع تجمعی که در آنها علاوه بر اطلاعات نمونۀ آخر، از اطلاعات نمونههای قبلی برای کنترل و پایش فرآیند استفاده میشود، ممکن است تغییری در فرآیند اتفاق افتاده باشد، ولی هنوز شناسایی نشده باشد که این وضعیت موجب فاصلهگرفتن آماره از مقدار هدف میشود. در این حالت اگر تغییری در جهت مخالف رخ دهد، نمودار نمیتواند این تغییر را با سرعت معمول کشف کند که این خاصیت اثر اینرسی یا پایداری در مقابل هشدار تعریف میشود. شاخص پایداری در مقابل هشدار، بیانگر حداکثر تغییر در فرآیند است که به صدور فوری وضعیت خارج از کنترل، منجر نمیشود. درواقع مسئلۀ اینرسی باعث کاهش قدرت نمودارها در تشخیص تغییرات در فرآیند میشود. شایان ذکر است که مسئلۀ اینرسی همیشه وجود ندارد و مقدار آن به مقدار آمارۀ نمودار کنترل مربوطه بستگی دارد. اگر نمودار کنترل در زمان وقوع تغییر در نزدیکی حد مناسب قرار داشته باشد، مقدار اینرسی کم خواهد بود.
از طرفی معمولاً ابزار پایش فرآیندها براساس پارامترهای توزیع طول دنباله مقایسه میشوند؛ فرض چنین پارامترهایی، وجود یک تغییر بلندمدت و پایدار در فرآیند است. استفاده از چنین ابزاری برای پایش فرآیندهایی که در آنها تغییرات موقت با دلیل رخ میدهد، نامناسب خواهد بود و باعث گمراهی میشود. چنانچه نموداری با آنکه توانایی بسیار بالایی در کشف تغییرات کوچک و متوسط در زمان بلند دارد، از کشف یک تغییر بزرگ، که بهصورت موقتی مثلاً نیم ساعت در فرآیند رخ میدهد، ناتوان باشد، قابلیت فرآیند بهطور جدی کاهش مییابد و پراکندگی فرآیند در بلندمدت زیاد میشود. وجود خصوصیت مناسب شاخص اینرسی برای نمودارها به این معنا است که نمودارها در مقابل تغییرات ناگهانی از خود عکسالعمل مثبت نشان دهند. خو و ته[xvii] (2009) تأثیر اینرسی را بر عملکرد نمودارهای کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و جمع تجمعی بررسی و مفهوم اینرسی را در نمودارهای بیانشده معرفی کردند. یاشچین (1987 و 1993) تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و جمع تجمعی در دو سناریوی بهترین و بدترین حالت را بررسی و مقایسه کرد و نشان داد که عملکرد هر دو نمودار از اینرسی تأثیر میپذیرد؛ اما افزایش مقدار ARL خارج از کنترل و کاهش توان تشخیص تغییرات در نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی بیشتر از نمودار کنترل جمع تجمعی است. مراجعی نظیر لوکاس و ساکوسی[xviii] (1990)، لوری و همکاران (1992)، وودال و آدامز (1998) و ریان[xix] (2011) مطالعاتی دربارۀ تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل انجام دادند. وودال و محمود (2005) مفهوم پایداری در مقابل هشدار را برای نشاندادن تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و کنترل جمع تجمعی تکمتغیره و چندمتغیره ارائه کردند. آنها پایداری در مقابل هشدار از سناریوی بدترین تا بهترین حالت را برای انواع بسیاری از نمودارهای تکمتغیره و چندمتغیره محاسبه کردند و دریافتند که نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی تکمتغیره و چندمتغیره با مقدار کوچک پارامتر هموارسازی، عملکرد ضعیفی ازنظر اندازهگیری پایداری در مقابل هشدار دارد. آنها نشان دادند حداکثر مقدار پایداری در مقابل هشدار نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی تکمتغیره و چندمتغیره، با کاهش مقدار ثابت پارامتر هموارسازی افزایش مییابد. همچنین طبق نتایج و تحلیلهای صورتگرفته، استفاده از حدود شوهارت بههمراه نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی تکمتغیره و چندمتغیره، بهویژه با مقدار کوچک پارامتر هموارسازی، برای حذف بیشتر آثار نامطلوب اینرسی پیشنهاد دادند. یک بررسی دقیق از عملکرد نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی دوگانه[xx] برای پایش میانگین براساس ARL «حالت صفر» و «بدترین حالت» توسط محمود و وودال[xxi] (2010) انجام گرفت و عملکرد نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی دوگانه با نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی مقایسه شد. آنها نشان دادند که نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی استاندارد، عملکرد بهتری نسبتبه نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی دوگانه ازلحاظ «بدترین حالت» ARL دارد، بهخصوص زمانی که پارامتر هموارسازی (λ) بسیار کوچک باشد و نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی دوگانه، اینرسی زیادی را در هنگام پایش میانگین فرآیند ایجاد میکند و میتواند تأثیر کمتری در واکنش سریع به برخی تغییرات در میانگین فرآیند داشته باشد. نورالسنا و واقفی[xxii] (2007) تأثیر تغییرات کشفنشده را بر خصوصیات اینرسی در نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی بررسی کردند. آنها شاخص جدیدی را با عنوان «احتمال پایداری در مقابل هشدار»[xxiii] معرفی کردند. این شاخص بیانگر احتمال قرارگرفتن آمارۀ نمودار کنترل بین حدود کنترل زمانی است که تغییری به اندازۀ در نمونۀ متوالی در فرآیند مربوطه اتفاق میافتد. آنها اینرسی نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی را در حالتهای مختلف (با تغییر مقادیر ، و ضریب هموارسازی) با استفاده از این شاخص محاسبه کردند. نتایج آنها حاکی از آن بود که کاهش مقادیر ، و ضریب هموارسازی به افزایش مقدار منجر میشود و همچنین زمانی که مقدار احتمال پایداری در مقابل هشدار زیاد باشد، اینرسی میتواند یک مشکل جدی تلقی شود. مددی و نوجوان[xxiv] (1392) تأثیر اینرسی را بر عملکرد نمودارهای ناپارمتری علامت از نوع جمع تجمعی و میانگین متحرک موزوننمایی بررسی کردند و طبق نتایج به دست آمده از مطالعات نشان دادند که تأثیر منفی اینرسی بر عملکرد نمودار علامت از نوع جمع تجمعی، کمتر از نمودار علامت از نوع میانگین متحرک موزوننمایی است. صادقی اقدم و همکاران[xxv] (1393) نمودار کنترل را برای پایش پروفایلهای خطی ساده در فاز ازنظر خواص اینرسی و معیار متوسط طول دنباله در بدترین حالت مطالعه کردند و با بررسی اثر پارامتر هموارسازی بر نمودار کنترل نشان دادند که با افزایش پارامتر هموارسازی، مقدار اینرسی کاهش مییابد. ریان و وودال[xxvi] (2010) نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی جدید (EWMA-M) را با در نظرگیری بحث اینرسی برای دادههای شمارشی، با توزیع پواسون معرفی کردند.
دو فرض اساسی در طراحی نمودارهای کنترل سنتی وجود دارد. فرض اول نرمالبودن دادههای فرآیند و فرض دوم استقلال مشاهدات است. نظر به اینکه در عمل، یکی یا هر دو این فرضها اغلب نقض میشوند، این امر به جایگزینیهای اشتباه در حدود کنترل و درنتیجه کاهش کارایی آن منجر خواهد شد. این نمودارها نمیتوانند مستقیماً در صنایع شیمیایی و دارویی استفاده شوند؛ زیرا مشاهدات حاصل از فرآیندهای این صنایع اغلب بهصورت خودهمبستهاند و یا گاهیاوقات، برخی از فرآیندها بهطور ذاتی دادههایی تولید میکنند که بهطور خودکار بین آنها همبستگی وجود دارد. این همبستگی خودکار تأثیر زیادی بر عملکرد نمودارهای کنترل دارد که تحت فرض استقلال ایجاد شدهاند. چنانچه همبستگی در دادهها وجود داشته باشد، این همبستگی اثر بیشتری بر نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی استاندارد نسبتبه نمودار شوهارت استاندارد میگذارد و به ازای این نمودار بسیار کماثرتر عمل میکند و به ازای نمودار زنگ خطرهای اشتباه بیشتری تولید میکند. پاتل و دیوچا[xxvii] (2011) نمودار میانگین متحرک موزون نمایی اصلاحشده[xxviii] (Modified EWMA) را برای پایش تغییرات کوچک و ناگهانی برای مشاهدات مستقل و مشاهداتی ارائه کردند که از همبستگی بالایی برخوردارند و تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودار ارائهشده را ارزیابی کردند. همچنین آنها نشان دادند به کمک این روش، میتوان مشاهدات دورۀ بعدی را پیشبینی کرد و درنتیجه میتوان نشان داد در چه مواقعی اجرای فعالیتهای پیشگیرانه قبل از آنکه فرآیند به حالت خارج از کنترل انتقال یابد، لازم است. در همین راستا هردیانی[xxix] و همکاران (2018) روش پاتل و دیوچا (2011) را برای نمودار میانگین متحرک موزوننمایی اصلاحشده توسعه دادند. آنها مقادیر گستردهتری را از در محاسبات لحاظ کردند، در حالی که در روش پاتل و دیوچا (2011) محاسبات تنها برای حالت در نظر گرفته شده بود.
یک فرآیند تولیدی با تکرار را در نظر بگیرید که مشخصههای از فرآیند مذکور گرفته شده است. فرض میکنیم که مشاهدات مستقل از هم هستند و همگی از توزیع یکسانی پیروی میکنند. X متغیر تصادفی پواسون با میانگین است. زمانی که فرآیند تحت کنترل باشد ، میتوان برای پایش فرآیند از نمودار کنترل مبتنی بر آمارۀ میانگین متحرک موزوننمایی طبق مراجع رابرتز (1959) و بارور و همکاران (1998)، مطابق با رابطۀ (1) استفاده کرد:
|
(1) |
|
پارامتر هموارسازی نامیده میشود و وزن دادههای گذشته را تعیین میکند. برای شناسایی تغییرات کوچک در میانگین فرآیند، انتخاب مقدار کوچک از پیشنهاد میشود. میانگین و واریانس آمارۀ نمودار کنترل برابر است با:
|
(2) |
|
برای مقادیر بزرگ t، واریانس بهصورت زیر خواهد بود:
|
(3) |
|
نمودار PEWMA هشدار خارج از کنترل خواهد داد، زمانی که یا باشد و طبق رابطۀ (3)، حدود کنترل آمارۀ فوق بهصورت زیر خواهد بود:
|
(4) |
|
فرض شده است ؛ بنابراین حدود کنترل نمودار متقارن خواهد بود. اگر متغیرهای تصادفی از نوع پواسون باشند، آنگاه آمارۀ نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی ارائهشده در رابطۀ (1) غیرمنفی خواهد بود و در صورتی که مقدار حدود کنترل پایین، کمتر از صفر باشد، باید قرار دهیم. حدود کنترل پایین برای نمودار PEWMA معمولاً مثبت است؛ بنابراین تغییرات رو به پایین در میانگین فرآیند قابل شناسایی است.
بارور و همکاران (1998) کارایی نمودار کنترل PEWMA را با توجه به شاخص متوسط طول دنباله، با استفاده از زنجیرۀ مارکوف محاسبه کردند و نشان دادند که ARL نمودار PEWMA معمولاً کوچکتر از ARL نمودار C-شوهارت و نمودار اصلاحشدۀ میانگین متحرک موزوننمایی توسط گان (1990) است.
در استفاده از نمودارهای کنترل، دو فرض اساسی وجود دارد. اولاً فرض میشود که تابع توزیع احتمال مشاهدات ناشی از یک مشخصۀ کیفی نرمال است. ثانیاً فرض میشود که دادههای فرآیند بهطور مستقل توزیع شدهاند؛ اما در عمل یک یا هر دو این فرضها نقض میشوند. در عمل با موارد بسیاری مواجهیم که در آنها دادهها ناشی از فرآیند همبستهاند و با نقض فرض استقلال، عملکرد نمودارهای کنترل دچار اختلال میشود؛ بهطوری که نقاط رسمشده بر این نمودارها دیگر قابل تعبیر و تفسیر نخواهند بود و نتایج نامطلوبی ارائه میدهند و همچنین بسته به نوع همبستگی، زنگ خطرهای اشتباهی تولید میکنند. برای کنترل دادههای همبسته، کارایی نمودارهای کنترل استاندارد برای مشاهدات مستقل بسیار پایین است. به همین دلیل، شناسایی و توسعۀ نمودارهای کنترلی که در کنترل این گونه دادهها کاربرد داشته باشند، اهمیت ویژهای دارد. ازجمله ویژگیهای مطلوب یک نمودار کنترل این است که اجرای آن آسان باشد و برای شناسایی تغییرات با اندازههای مختلف مطابق مشخصات فنی مؤثر باشد.
پاتل و دیوچا (2011) نمودار Modified EWMA را معرفی کردند. نمودار Modified EWMA مشاهدات گذشته را مشابه نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی در نظر میگیرد و علاوه بر آن تغییرات گذشته و نیز آخرین تغییرات را در فرآیند در نظر میگیرد. آمارۀ نمودار کنترل Modified EWMA بهصورت ذیل است:
|
(5) |
|
میانگین دادههای گذشته، مشاهده در زمان t برای ، مشاهدات قبلی و ضریب هموارسازی است. میانگین و واریانس آمارۀ نمودار کنترل به ترتیب برابر و است. همبستگی مشاهدات در مطالعات پاتل و دیوچا (2011) از نوع [xxxi]AR(1) در نظر گرفته شده است که در آن مقدار را برای عبارت لحاظ کردند. حدود کنترل بالا و پایین نمودار Modified EWMA برابر است با:
|
(6) |
|
میانگین هدف و واریانس فرآیند، و ثابتهای طرح Modified EWMA هستند که نشاندهندۀ وزننمایی و پهنای حدود تحت کنترلاند. این نمودار به نمودار شوهارت تبدیل میشود، زمانی که فرآیند از همبستگی بالایی، و برخوردار باشد. نمودار Modified EWMA قادر به شناسایی سریع تغییرات کوچک در فرآیند، به خوبی شناسایی تغییرات ناگهانی در یک فرآیند همبسته است و تا زمانی که مقادیر بین حدود کنترل ترسیم شوند، فرآیند تحت کنترل خواهد بود. نقطۀ خارج از حدود کنترل بهعنوان شواهدی مبنی بر خارج از کنترل بودن فرآیند تفسیر میشود و باید اقدامات لازم برای یافتن، حذف انحرافات با دلیل و علل به وجود آمدن آن، انجام گیرد.
ما در این بخش، پایداری در مقابل هشدار یا اینرسی نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی را زمانی محاسبه میکنیم که دادهها مستقلاند و از توزیع پواسون پیروی میکنند. در نمودارهای کنترل تکمتغیره، بزرگترین انحراف استاندارد شدۀ میانگین نمونه از هدف یا مقدار تحت کنترل که فوراً به یک هشدار خارج از کنترل منجر نمیشود، بهعنوان «پایداری در مقابل هشدار» یک نمودار کنترل یا «اینرسی» تعریف میشود. این اندازهگیری بیشتر برای زمانی مناسب است که علاقهمند به شناسایی انحرافات با دلیلی باشیم که بر توزیع میانگین نمونه تأثیر میگذارد؛ اگرچه دربارۀ عملکرد نمودار در تشخیص تغییرات پایدار در میانگین، نشانههایی را ارائه میدهد. عملکرد طول اجرا زمانی مناسب نیست که یک انحراف با دلیل، تنها بر یک نمونۀ تکی تأثیر میگذارد. گفتنی است که تعیین مقدار اینرسی به هیچ فرض توزیعی نیاز ندارد (وودال و محمود، 2005).
وودال و محمود (2005) شاخص را برای نمودار کنترل میانگین متحرک موزون نمایی، زمانی که مشاهدات از توزیع نرمال پیروی میکنند، بهصورت ذیل محاسبه کردند:
|
(7) |
|
طبق تعاریف ذکرشده میتوان دریافت که بدترین حالت زمانی اتفاق میافتد که یک تغییر رو به بالا در میانگین فرآیند رخ دهد و مقدار آمارۀ نمودار کنترل در نزدیکی حد کنترل پایین باشد؛ به عبارتی در کمترین مقدار خود یعنی باشد که در این صورت ماکزیمم مقدار برابر خواهد بود.
اگر فرض شود که خط مرکز نمودار کنترل برابر صفر است، آنگاه در تعریف SR فقط میزان شیفت تأثیرگذار خواهد بود. برای محاسبۀ شاخص SR برای نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی بر پایۀ توزیع پواسون، خواهیم داشت:
|
(8) |
|
w مقدار آمارۀ نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی بر پایۀ توزیع پواسون در زمان و h، حد کنترل بالای نمودار است. این نمودار کنترل در عبارات میانگین و واریانس دارای پارامتر مشترک است؛ بنابراین در تعریف SR برای این نمودار کنترل، به نظر میرسد مقدار هدف نیز باید لحاظ شود. مقدار میانگین را برابر در نظر میگیریم و مطابق آن SR محاسبه میشود.
با توجه به بررسیهای وودال و محمود (2005)، مشخص شد نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی بهدلیل «خطا» در آمارۀ نمودار، اینرسی بالایی دارد. آمارۀ نمودار کنترل Modified EWMA، تصحیحشدۀ آمارۀ نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی است، همچنین نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی، بهترین پیشبینیکننده در طبقۀ پیشبینیکنندههای خطی است (یاشچین، 1993)؛ از این رو، نمودار کنترل
Modified EWMA بهترین پیشبینیکنندۀ میانگین فرآیند است، خطای میانگین مربعات[xxxii] آن برای فرآیند خودهمبسته با همبستگی تقریباً نزدیک به یک ( ) برابر صفر است. این وضعیت میانگین فرآیند را با دقت پیشبینی میکند و درنهایت باعث میشود نمودار Modified EWMA عاری از مسئلۀ اینرسی باشد. پاتل و دیوچا (2011) پایداری در مقابل هشدار برای نمودار Modified EWMA را به شرح ذیل محاسبه کردند:
|
(9) |
|
مقدار آمارۀ Modified EWMA است که و حدود تصمیم است.
با توجه به ویژگیهای توزیع پواسون و اینرسی محاسبهشده برای نمودار کنترل Modified EWMA که همبستگی بین مشاهدات از نوع AR(1) بود؛ بنابراین چنانچه فرض کنیم مشاهدات از توزیع پواسون پیروی میکنند، معادله (9) را میتوان بهصورت زیر بازنویسی کرد:
|
(10) |
|
که و حدود تصمیم است.
در این بخش، عملکرد نمودار کنترل PEWMA و Modified PEWMA با استفاده از اندازهگیری پایداری در مقابل هشدار، ارزیابی میشود. برای شبیهسازی مدلهای توسعه داده شده، از نرمافزار متلب استفاده شده است. همچنین برای تعیین مقادیر پارامترهای مسئله، با توجه به مطالعۀ انجامشده توسط وودال و محمود (2005) دربارۀ مفهوم اینرسی در نمودار کنترل EWMA، مقادیر λ از کار ایشان استنتاج شده است. نکتۀ درخور توجه این است که در مطالعات وودال و محمود (2005)، تعداد 10000 شبیهسازی انجام شده است تا مقادیر پارامترها تخمین زده شود؛ از این رو در این پژوهش از پارامترهای مقالۀ ایشان بهمنظور ارزیابی عملکرد نمودارهای بیانشده، استفاده شده است.
شکل 1 پایداری در مقابل هشدار نمودار کنترل PEWMA(λ=0.15, ) را نشان میدهد. پایداری در مقابل هشدار نمودار PEWMA در بدترین حالت برابر 14 برای w=-1 است؛ به این معنا که میانگین نمونه میتواند بیش از 14 خطای استاندارد از مقدار هدف باشد، بدون آنکه لزوماً به یک هشدار فوری خارج از کنترل منجر شود. همچنین پایداری در مقابل هشدار در بهترین حالت برای نمودار PEWMA برابر 0 است.
شکل 1- پایداری در مقابل هشدار نمودار PEWMA با λ=0.15 و
Fig.1- The Signal Resistance for the PEWMA control chart with λ=0.15 and
وودال و محمود (2005) اظهار داشتند که حداکثر پایداری در مقابل هشدار همۀ مقادیر ممکن آمارۀ نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی برابر است که این ماکزیمم مقدار پایداری در مقابل هشدار نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی با کاهش مقدار پارامتر هموارسازی (λ) افزایش مییابد. بارور و همکاران (1999) مقدار λ=0.05 را برای دستیابی به عملکرد پایدار نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی برای حالت غیرنرمال توصیه کردند؛ بنابراین این مورد برای آمارۀ نمودار PEWMA بررسی شد.
درنهایت پایداری در مقابل هشدار برای نمودار PEWMA طبق توصیۀ بارور و همکاران (1999) با λ=0.05 در شکل 2 نشان داده شده است.
شکل 2- پایداری در مقابل هشدار نمودار PEWMA با λ=0.05 و
Fig. 2- The Signal Resistance for the PEWMA control chart with λ=0.05 and
همانطور که از شکل فوق پیداست، در بدترین حالت، میانگین نمونه میتواند بیش از 43 خطای استاندارد از مقدار هدف باشد، بدون آنکه لزوماً به یک هشدار فوری خارج از کنترل منجر شود و در بهترین حالت مقدار اینرسی برابر 2 مربوط به w=0.7 است.
شکل 3 پایداری در مقابل هشدار در برابر مقدار آمارۀ نمودار Modified PEWMA را نشان میدهد. پایداری در مقابل هشدار در بدترین حالت برابر 13 برای مقدار آمارۀ 1- و در بهترین حالت برابر 0 برای مقدار آمارۀ 8/0 است.
شکل 3- پایداری در مقابل هشدار نمودار Modified PEWMA با λ=0.15 و
Fig. 3- The Signal Resistance for the Modified PEWMA control chart with λ=0.15 and
پژوهش حاضر با هدف اندازهگیری تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی زمانی که مشاهدات از توزیع پواسون پیروی میکنند، بهمنظور شناسایی سریع تغییرات ایجادشده در میانگین فرآیند و کاهش تعداد محصولات معیوب در فرآیندهای تولیدی انجام شد. ضرورت پرداختن به این مسئله در تأثیرگذاری فاحش مسئلۀ اینرسی بر کاهش عملکرد نمودارهای کنترل در پایش فرآیند بود.
برای بررسی اثر اینرسی بر عملکرد نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی و حالت اصلاحشدۀ آن، زمانی که مشخصههای کیفی از نوع وصفیاند، یک برنامۀ شبیهسازی در نرمافزار متلب نوشته شده و با استفاده از آن مقادیر ARL نمودارها در حالت تحت کنترل و خارج از کنترل محاسبه شد که تقریباً 370 بوده است. هر محدودۀ نمودار کنترل بهطور مستقل از 50000 شبیهسازی در فاز II برآورد شده است.
بررسیهای وودال و محمود (2005) نشان داد که ماکزیمم مقدار پایداری در مقابل هشدار نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی با کاهش مقدار پارامتر هموارسازی λ افزایش مییابد. مقدار کوچک (λ) به این معناست که مشاهدۀ فعلی وزن کوچکی، λ، را دریافت میکند و مشاهدهای که بسیار دورتر از مقدار هدف باشد، ممکن است به یک سیگنال فوری خارج از کنترل منجر نشود. همانطور که وودال و محمود (2005) بیان کردند، برخی از نویسندگان در پژوهشهای خود نظیر بارور و همکاران (1999) و استومبوس و رینولدز[xxxiii] (2000) مقادیر بسیار کوچک پارامتر هموارسازی ،λ، را برای دستیابی به عملکرد پایدار نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی برای حالت غیرنرمال توصیه کردند. بارور و همکاران (1999) مقدار λ=0.05 را برای دستیابی به عملکرد پایدار نمودار کنترل میانگین متحرک موزوننمایی برای حالت غیرنرمال توصیه کردند. مونتگومری[xxxiv] (2020) مقادیر λ بین 05/0 و 2/0 را توصیه کرد و بیان کرد از بین مقادیر انتخابشده برای λ مقادیر 05/0، 1/0و 2/0 انتخابهای متداولیاند. پایداری در مقابل هشدار برای نمودار با مقدار پارامتر هموارسازی کوچک (λ=0.05) بررسی و به نتایج مشابهی با نتایج تحقیقات وودال و محمود (2005) منجر شد.
با توجه به مطالعات انجامشده، چندین مزیت را میتوان با استفاده از پایداری در مقابل هشدار، بهعنوان معیاری برای اندازهگیری عملکرد نمودارهای کنترل ارائه داد. زمانی که یک تغییر فوری در میانگین فرآیند ایجاد میشود، میتوان از این معیار برای مقایسۀ نمودارهای کنترل استفاده کرد. همچنین پایداری در مقابل هشدار، یک اندازهگیری آسان برای اینرسی است که به هیچ فرض توزیعی نیاز ندارد. علاوه بر اندازهگیریهای طول اجرا، پایداری در مقابل هشدار میتواند نقش بسیاری در طراحی بهینۀ طرحهای نمودار کنترل ایفا کند.
همچنین با مقایسه شکلهای 1 و 3 میتوان نتیجه گرفت که در شرایط یکسان و با در نظر گرفتن پارامترهای برابر، نمودارModified EWMA نسبتاً عملکرد بهتری در مقایسه با نمودار PEWMA در بدترین حالت پایداری در مقابل هشدار دارد و در مورد بهترین حالت، هر دو عملکرد یکسانی دارند.
در سالیان اخیر توجه به تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل در کنترل فرآیندهای غیرنرمال افزایش یافته است. طبق توصیۀ وودال و محمود (2005) باید ویژگی اینرسی نمودارها بهعنوان یک عامل مهم در انتخاب نمودار کنترل برای تکمیل استفاده از خواص طول اجرا در نظر گرفته شود. در این مقاله برای محاسبۀ اینرسی از شاخص پایداری در مقابل هشدار، که بزرگترین انحراف استاندارد شدۀ میانگین نمونه از مقدار هدف است و فوراً به هشدار خارج از کنترل منجر نمیشود، استفاده شده است. در این مقاله تأثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل PEWMA و Modified PEWMA مبتنی بر توزیع پواسون بررسی و مقایسه شد. نتایج نشان داد که نمودار Modified PEWMA در بدترین حالت، عملکرد بهتری نسبتبه نمودار PEWMA دارد و طبق نتایج پاتل و دیوچا (2011) که بیان داشتند نمودار Modified EWMA در حالت توزیع نرمال عاری از مسئلۀ اینرسی است، میتواند تأییدی بر عملکرد مطلوب این نمودار باشد. نتایج نشان داد با کاهش پارامتر λ مقدار اینرسی نمودارهای کنترل افزایش یافته است؛ بنابراین میتوان نتیجه گرفت که با افزایش مقادیر این پارامتر، میتوان عملکرد نمودارها را در مواجهه با تأثیر اینرسی بهبود داد.
به منظور مطالعات آتی میتوان از نمودارهای کنترل دیگری که از توزیعهای متفاوتی پیروی میکنند، استفاده کرد و یا تاثیر اینرسی بر عملکرد نمودارهای کنترل در فرآیندهای چندمتغیره را بررسی نمود.
[i] Cumulative Sum Control Chart (CUSUM)
[ii] Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
[iii] Yashchin
[iv] Worst case scenario
[v] Lowry et. al
[vi] Woodall & Adams
[vii] Ineria problem
[viii] Woodall & Mahmoud
[ix] Signal Resistance (SR)
[x] Shewhart
[xi] Roberts
[xii] Gan
[xiii] Borror et. al
[xiv] Average Run Length (ARL)
[xv] Chen
[xvi] Run Length (RL)
[xvii] Khoo & Teh
[xviii] Lucas & Saccucci
[xix] Ryan
[xx] Double Exponentially Weighted Moving Average (DEWMA)
[xxi] Mahmoud & Woodall
[xxii] Noorossana & Vaghefi
[xxiii] Probability of Signal Resistance (PSR)
[xxiv] Madadi & Nojavan
[xxv] Sadeghi aghdam et. al
[xxvi] Ryan & Woodall
[xxvii] Patel & Divecha
[xxviii] Modified Exponentially Weighted Moving Average (Modified -EWMA)
[xxix] Herdiani er. al
[xxx] Poisson EWMA
[xxxi] Auto- Regresive (1) (AR(1))
[xxxii] Mean Squared Error (MSE)
[xxxiii] Stoumbos & Reynolds
[xxxiv] Montgomery
)