پایش پروفایل ‎‍های خطی سادۀ چندمتغیره در فاز 2 با نمودارهای MHWMA

نوع مقاله : مقاله پژوهشی- فارسی

نویسندگان

1 دانش‌آموخته دکتری، دانشکده مهندسی صنایع و سیستم‌ها، دانشگاه صنعتی اصفهان، اصفهان، ایران

2 استادیار گروه مهندسی صنایع، دانشکده فنی و مهندسی، دانشگاه یزد، یزد، ایران

چکیده

در بسیاری از فرآیندهای صنعتی پیچیده، کیفیت محصول با استفاده از مدل پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره توصیف می‎‍شود که شامل روابط رگرسیونی میان متغیرهای پاسخ وابسته و یک متغیر توضیحی است. در این پژوهش، سه روش کنترلی جدید مبتنی بر نمودار MHWMA برای پایش پروفایل‌های خطی سادۀ چندمتغیره در فاز دوم کنترل فرآیند پیشنهاد شده است. این نمودارها با بهره‌گیری از ساختار میانگین متحرک وزنی یکنواخت، توانایی بالایی در شناسایی تغییرات ناگهانی در پارامترهای مدل پروفایل دارند. سه روش پیشنهادی با عناوین  MHWMA، MHWMA/χ²و MHWMA-2/MMECD به‌گونه‌ای طراحی شده‌اند که هر‎‍یک با رویکردی خاص، ضرایب مدل و ساختار پراکندگی پروفایل‌ها را تحلیل می‎‍کنند. به‎‍منظور ارزیابی عملکرد این روش‌ها، شاخص CVRL در یک مطالعۀ شبیه‌سازی به کار رفت و نتایج به دست آمده نشان داد روش پایش  در بیشتر موارد، نسبت‎‍به دیگر روش‌ها عملکرد بهتری در تشخیص انحرافات دارد. علاوه بر این، به‌منظور ارزیابی پایداری و کارایی روش‌های پیشنهادی، تحلیل حساسیت بر‎‍ پارامترهای روش‎‍های کنترلی انجام شد و نتایج آن، پایداری عملکرد نمودارهای پیشنهادی را نشان داد. در‎‍نهایت، برای ارزیابی کاربردپذیری روش‌های پیشنهادی در محیط واقعی، دو مطالعۀ موردی بررسی‎‍ و اثربخشی نمودارهای کنترلی پیشنهادی در شرایط عملیاتی نیز‎‍ تأیید شد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

Monitoring Simple Multivariate linear Profiles in Phase II using MHWMA Charts

نویسندگان [English]

  • Zohre Ghasemi 1
  • Ahmad Ahmadi Yazdi 2
1 Department of Industrial and Systems Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran
2 Department of Industrial and Systems Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran
چکیده [English]

Purpose: This paper aims to develop and propose three new multivariate control charts based on the MHWMA (Multivariate Homogeneously Weighted Moving Average) approach for monitoring multivariate simple linear profiles in Phase II of statistical process control. The primary motivations for this research are the limitations of existing methods in effectively detecting sudden shifts in profile parameters and the need for more sensitive monitoring schemes that accommodate the multivariate nature of regression relationships between dependent response variables and a single explanatory variable.
Design/methodology/approach: To achieve the research objectives, three control methods—MHWMA, MHWMA/χ², and MHWMA-2/MMECD—are developed, each employing a distinct strategy for analyzing profile coefficients and covariance structures. The proposed charts use a uniformly weighted moving average to enhance detection capability. Performance is evaluated using the CVRL (Cumulative Variance of the Run Length) criterion via an extensive simulation study. Additionally, a sensitivity analysis assesses the robustness and efficiency of the proposed methods with respect to their design parameters. Finally, two real-world case studies validate the applicability and operational effectiveness of the proposed control charts.
Findings: The simulation results indicate that the MHWMA/χ² monitoring method generally outperforms the other two proposed methods in detecting deviations in multivariate simple linear profiles across most scenarios. The sensitivity analysis demonstrates the stability and robustness of the proposed charts under various parameter settings. Furthermore, the two case studies confirm the effectiveness and practical applicability of the proposed control charts in real operational conditions.
Research limitations/implications: This research is limited to Phase II monitoring of multivariate simple linear profiles. The proposed methods assume a known in-control profile model and normally distributed errors. Future research directions include extending the proposed approaches to nonlinear profiles, multivariate profiles with more than one explanatory variable, and Phase I analysis. Additionally, investigating the performance of the proposed charts under non-normal error distributions and auto-correlated data would be valuable.
Practical implications: The proposed control charts provide quality engineers and process managers with effective tools for real‑time monitoring of complex industrial processes in which product quality is characterized by multivariate linear profile relationships. Implementing these charts can lead to earlier detection of process disturbances, reduced nonconforming output, lower rework and scrap costs, and improved overall process efficiency. The ease of interpretation and the demonstrated superior performance of the MHWMA/χ² method make it a practical choice for industrial applications.
Social implications: By enabling more effective quality monitoring in complex industrial processes, this research contributes to improved product reliability and safety, directly benefiting consumers and society at large. Enhanced process control can reduce material waste and energy consumption, supporting environmental sustainability goals. Furthermore, the methodologies developed here can inform industry standards and regulatory policies related to statistical quality control practices, ultimately contributing to a higher quality of life through more consistent and reliable manufactured products.
Originality/value: This paper introduces three novel control charts (MHWMA, MHWMA/χ², and MHWMA‑2/MMECD) for monitoring multivariate simple linear profiles, extending the application of the MHWMA framework to a previously unaddressed area. The proposed MHWMA/χ² method, in particular, demonstrates superior detection performance compared to existing alternatives. The comprehensive evaluation using the CVRL criterion, sensitivity analysis, and real case studies provides strong empirical support for the proposed methods. This research offers significant value to academic researchers in statistical process control as well as industrial practitioners seeking more sensitive tools for profile monitoring.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Profile monitoring
  • MHWMA chart
  • Multivariate simple linear profile
  • CVRL Index

اصل مقاله

1- معرفی و مرور پیشینه

در بیشتر کاربردهای کنترل فرآیند آماری، کیفیت یک محصول یا فرآیند با یک مشخصۀ کیفی، توزیع معین و یا در حالت کلی ازطریق چندین مشخصۀ کیفی یا‎‍ توزیع چندمتغیره توصیف می‌شود و پارامترهای توزیع با استفاده از نمودارهای کنترل، تحت پایش قرار می‌گیر‎‍د. با این حال‎‍ در سال‌های اخیر، رویکرد دیگری در کنترل کیفیت محصول یا عملکرد فرآیند مطرح شده است. در این رویکرد، کیفیت با یک رابطۀ رگرسیونی بین متغیر(های) پاسخ و متغیر(های) مستقل توصیف می‌شود‎‍ (Noorossana et al., 2011)‎‍. محققان این رابطۀ رگرسیونی را «پروفایل» نامیده‌اند که باید در طول زمان کنترل و پایش شود. پایش پروفایل‌ها در سال‌های اخیر، به‎‍عنوان موضوعی با کاربرد فراوان مطرح شده است.

گاهی کیفیت یک فرآیند یا محصول با چند پروفایل به‎‍طور هم‌زمان توصیف می‎‍شود که متغیرهای پاسخ در آنها به یکدیگر وابسته‌اند. در این شرایط، چنانچه وابستگی بین متغیرهای پاسخ در نظر گرفته نشود و پروفایل‌ها جداگانه پایش شوند، ممکن است نتایج گمراه‌کننده‌ای به وجود بیاید. برای رفع این مشکل، در نظر گرفتن ساختار چندمتغیره برای متغیرهای پاسخ ‎‍‌اجتناب‎‍ناپذیر است. در میان مدل‌های مختلف، پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره، یکی از مهم‌ترین حالت‌ها‎‍ست که در آن واژۀ «ساده» به وجود یک متغیر مستقل اشاره دارد و واژۀ «چندمتغیره»، بیانگر تعدد متغیرهای وابسته است. در این نوع پروفایل، دو یا چند متغیر پاسخ، که به هم وابسته‎‍اند، به‌صورت توابع‎‍ خطی از یک متغیر مستقل تعریف می‌شوند.

پژوهشگران متعددی، پایش فاز دوم پروفایل‌های خطی سادۀ چندمتغیره را بررسی کرده‎‍اند. نورالسنا و همکاران[i] (2010) سه روش مبتنی بر نمودارهای MEWMA و  را ارائه کردند‎‍ که شامل پایش پارامترهای رگرسیونی و پراکندگی خطاها بود. سقایی و همکاران[ii] (2008) و ایوبی و همکاران[iii] (2014) روش‌های دیگری را برای برآورد نقطۀ تغییر و پایش پارامترهای پروفایل معرفی کردند. ادیبی و همکاران[iv] (2014) روش p-value و مجیکا و همکاران[v] (2022) نمودارهای ترکیبی EWMA را توسعه دادند؛ در حالی که حق[vi] (2022) و حق و همکاران[vii] (2021) روش‎‍هایی مبتنی بر نمودار MEWMA را برای داده‌های تک‌مشاهده‌ای و با فاصلۀ نمونه‌گیری متغیر ارائه کردند. احمدی کرویق و امیری[viii] (2024) و قاسمی و همکاران[ix] (2025) نیز روش‌های جدیدی را مبتنی بر نمودارهای MEWMA و MHWMA با قواعد دنباله‌ای ارائه و عملکرد آنها را با روش‌های پیشین خود مقایسه کردند.

یکی از مفروضات رایج در روش‌های پایش مطرح‌شده، مستقل‎‍بودن مشاهدات و زیرگروه‎‍هاست که نقض آن بر عملکرد نمودارهای کنترل تأثیر می‎‍گذارد و درنهایت به نتایج گمراه‌کننده منجر می‎‍شود. پژوهش‌هایی مانند سلیمانی و همکاران[x] (2013)، خدمتی و نیاکی[xi] (2016)، رحیمی و همکاران[xii] (2019) و جهانی و همکاران[xiii] (2018)، روش‌هایی را برای حذف اثر خودهمبستگی ارائه کردند. همچنین‎‍ امیری و همکاران[xiv] (2018)، بهرامی و همکاران[xv] (2019) و احمدی یزدی و همکاران[xvi] (2023)‎‍، پایش پروفایل‌های وابسته و چندمرحله‌ای و توسعۀ نمودارهای مقاوم را بررسی کردند.

همان‌طور که اشاره شد، پایش پروفایل‌ها ازطریق نمودارهای کنترل انجام می‌شود که نقش اساسی آنها، تعیین وضعیت فرآیند است. نمودارهای کنترل به دو گروه نمودارهای بدون حافظه و‎‍ حافظه‌دار تقسیم‌ می‌شوند. در صنایع تولیدی و خدماتی، نمودارهای کنترل حافظه‌دار به‌طور گسترده‌ای برای پایش فرآیندها استفاده می‌‎‍شوند. یکی از انواع نمودارهای حافظه‌دار، نمودار کنترل میانگین متحرک وزنی یکنواخت[xvii] است که عباس[xviii] (2018) آن را معرفی کرد. این نمودار‎‍ به مشاهدۀ فعلی وزن مشخصی تخصیص داده و وزن باقیمانده به‌طور مساوی میان تمامی مشاهدات قبلی توزیع می‎‍شود. این ویژگی به توانایی بهتر نمودار در تشخیص تغییرات پارامترهای فرآیند، به‌ویژه تغییرات کوچک، منجر می‌شود. ادگوک و همکاران[xix] (2019) برای پایش بردار میانگین در یک فرآیند چندمتغیره، نمودار میانگین متحرک موزون همگن چندمتغیره[xx] را معرفی کردند. این نمودار، تعمیم نمودار HWMA برای پایش فرآیند چندمتغیره است. آنها عملکرد این نمودار را با نمودارهای کنترل در پیشینۀ موضوع و بر‎‍اساس شاخص ARL مقایسه کردند. نتایج به‌دست‌آمده نشان داد نمودار  در مقایسه با دیگر روش‌ها، مقادیر ARL خارج از کنترل کمتری دارد و در تشخیص شیفت‌های کوچک مؤثرتر است. یوسفی و همکاران[xxi] (2023)، ادگوک و همکاران (2021) و پیترز و همکاران[xxii] (2023) عملکرد این نمودار را در شرایط مختلف بررسی کردند و برتری آن را نسبت به نمودارهای پیشین نشان دادند.

با وجود مطالعات متعدد در حوزۀ پایش پروفایل‌ها، تمرکز بسیاری از پژوهش‌ها بر پروفایل‌های تک‎‍متغیره مانند پروفایل‌ خطی ساده بوده و به بررسی پروفایل‌های خطی سادۀ چندمتغیره، به‌ویژه در فاز دوم کنترل فرآیند، کمتر توجه شده است. همچنین‎‍ در معدود مطالعات انجام‌شده در حوزۀ پروفایل‌های چندمتغیره، عمدتاً از نمودارهای کلاسیک حافظه‌دار مانند MEWMA استفاده شده است که در بسیاری از موارد، در شناسایی سریع شیفت‌های کوچک و ناگهانی با تأخیر عمل می‌کنند؛ ازجمله این مطالعات، به نورالسنا و همکاران (2010)، ادیبی و همکاران (2014) و حق (2022). از سوی دیگر، اگرچه نمودارهای MHWMA طبق نتایج گزارش‌شده در پیشینۀ موضوع، حساسیت بالاتری نسبت‎‍به تغییرات کوچک دارند، توسعه و کاربرد آنها در پایش پروفایل‌های خطی چندمتغیره بسیار محدود است و پژوهش‌های موجود، عملکرد آماری این نمودارها را به‎‍صورت جامع ارزیابی نکرده‎‍اند. در راستای پوشش این شکاف تحقیقاتی، در این پژوهش سه روش کنترلی جدید مبتنی بر نمودار MHWMA برای پایش پروفایل‌های خطی سادۀ چندمتغیره در فاز دوم پیشنهاد شده‌ است. این روش‌ها با هدف افزایش سرعت تشخیص انحرافات و بهبود عملکرد آماری نسبت‎‍به رویکردهای پیشین طراحی شده‌اند.

در ادامه، ساختار مقاله به‎‍تفصیل شرح داده شده است. در بخش دوم، مدل پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره تعریف می‎‍شود و در بخش سوم، روش‌های کنترلی پیشنهادی به‌تفصیل معرفی می‌شوند. بخش چهارم به طراحی و اجرای مطالعات شبیه‌سازی اختصاص دارد که عملکرد روش‌ها را ارزیابی می‎‍کند. در بخش پنجم یک مطالعۀ موردی واقعی برای بررسی اثربخشی عملی روش‌های پیشنهادی ارائه می‎‍شود. در‎‍نهایت در بخش ششم، نتایج کلی جمع‌بندی ‎‍و پیشنهادهایی برای پژوهش‌های آتی ارائه می‌‎‍شود.

2- مدل رگرسیونی پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره

گاهی کیفیت یک محصول یا فرایند با پروفایل‌های خطی سادۀ چندمتغیره بیان می‎‍شود. در این نوع پروفایل، تنها یک متغیر مستقل وجود دارد و متغیرهای پاسخ‎‍ توابع خطی از آن‎‍اند. در هر زیرگروه، n مقدار برای متغیر مستقل در نظر گرفته می‎‍شود و به ازای هر مقدار آن، p مقدار متناظر برای متغیرهای پاسخ وجود دارد. هر مشاهده در زیرگروه k ام، به‌صورت رابطۀ (1) خواهد بود که در آن  مقدار i ام متغیر مستقل و  مقادیر متناظر متغیرهای پاسخ‎‍اند.

(1)

 

مدل پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره در هر زیرگروه به‌صورت رابطۀ  است که مدل مبسوط آن در رابطۀ (2) نشان داده شده است.

(2)

 

 

 ماتریس  متغیرهای پاسخ در زیرگروه k ام است که هر سطر آن متناظر با یکی از مقادیر متغیر مستقل است.  ماتریس  متغیر مستقل است که ستون دوم آن، سطوح متغیر مستقل را نشان می‌دهد.  ماتریس  پارامترهای مدل رگرسیونی است که در فاز 2 و در حالت تحت کنترل، معلوم فرض می‌شود. برآورد این ضرایب در هر زیرگروه ( )، با استفاده از روش حداقل مربعات به‌صورت رابطۀ (3) خواهد بود.

(3)

 

عناصر این ماتریس به‌صورت رابطۀ (4) هستند:

(4)

     

که در آن  ، ،  و  است.

ماتریس  با ابعاد  عناصر خطا را نشان می‌دهد که هر سطر آن با یک سطر از ماتریس متغیرهای پاسخ متناظر است. متغیرهای تصادفی خطا در هر سطر از این ماتریس، دارای توزیع نرمال p متغیره با بردار میانگین  با مقادیر صفر و ماتریس کوواریانس معلوم  با ابعاد  هستند؛ درحالی‌که هر سطر از سطر دیگر مستقل است. ماتریس کوواریانس  در رابطۀ (5) نشان داده شده است.

(5)

      

3- نمودارهای کنترلی پیشنهادی برای پایش پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره در فاز 2

در این بخش، سه روش پایش جدید مبتنی بر نمودار کنترل MHWMA برای پایش پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره ارائه می‌شود. در ادامه، جزئیات هر روش به‎‍تفصیل شرح داده خواهد شد.

3-1 نمودار کنترلی MHWMA

در این روش، از یک نمودار MHWMA برای پایش کلیۀ پارامترهای پروفایل استفاده می‌شود. در زیرگروه  ام، ماتریس  را ‎‍به‌صورت یک بردار تصادفی چندمتغیره با ابعاد ، که طبق رابطۀ (6) با  نمایش داده می‌شود، بازنویسی می‎‍شود.

(6)

 

اگر فرآیند تحت کنترل باشد، بردار  دارای توزیع نرمال چندمتغیره با بردار میانگین مطابق رابطۀ (7):

(7)

 

و ماتریس کوواریانس  با ابعاد  است که عناصر آن به‌صورت رابطۀ (8) به دست می‌آیند:

(8)

 

 

 

که  عنصر سطر ام و ستون ام ماتریس  است.  عنصر سطر ام و ستون ام ماتریس همبستگی بین متغیرهای پاسخ است.

بر این اساس، نمودار MHWMA برای پایش بردار  به‌صورت رابطۀ (9) استفاده می‌شود:

(9)

 

که در آن  یک بردار  و  پارامتر هموارسازی ( ) است و  میانگین بردار پارامترها را در نمونه‌های قبلی تا  امین نمونه‎‍ نشان می‌دهد.  برابر با  در نظر گرفته می‌شود. هنگامی‌که فرآیند تحت کنترل است،  دارای توزیع نرمال چندمتغیره با بردار میانگین  و ماتریس کوواریانس  است.

 یک ماتریس  است که با استفاده از رابطۀ (10) محاسبه می‌شود.

(10)

 

بنابراین برای زیرگروه  ام، مقدار آمارۀ  به‌صورت رابطۀ (11) تعریف می‌شود:

(11)

 

اگر مقدار آمارۀ  از حد بالای  بیشتر شود، نمودار هشدار خارج از کنترل خواهد داد. همچنین مقدار  براساس شبیه‌سازی مونت‌کارلو و به‌گونه‌ای تعیین می‌شود که  تحت کنترل مورد انتظار به دست آید.

3-2 نمودار کنترلی MHWMA/

در روش دوم که توسعه‌ای از رویکرد  پیشنهادشده از سوی کنگ و آلبین[xxiii] (2000) است، از نمودارهای MHWMA و  برای پایش تفاوت پروفایل مرجع و پروفایل نمونه استفاده می‌شود. این تفاوت همان ماتریس  در رابطۀ (2) است که در یک فرآیند خارج از کنترل، درایه‌های آن مقادیر زیادی دارند.

در این روش برای زیرگروه  ام، که در طول زمان جمع‌آوری ‌شده است، بردار میانگین خطاها، یک بردار  و به‌صورت رابطۀ (12) تعریف می‌شود.

(12)

 

که در آن  میانگین مقادیر  است؛

(13)

 

وقتی فرآیند تحت کنترل است، بردار میانگین خطاها ( ) دارای توزیع نرمال  متغیره با بردار میانگین صفر و ماتریس کوواریانس  است.

حال برای پایش بردار میانگین خطاها، از نمودار MHWMA مطابق رابطۀ (14) استفاده می‎‍شود:

(14)

 

که در آن  یک بردار  و  پارامتر هموارسازی ( ) است و  میانگین بردارهای میانگین خطا را در نمونه‌های قبلی تا  امین نمونه‎‍ نشان می‌دهد.  بردار صفر در نظر گرفته می‌شود. اگر فرآیند تحت کنترل باشد،  دارای توزیع نرمال چندمتغیره با بردار میانگین صفر و ماتریس کوواریانس  است. در این حالت  یک ماتریس  و به‌صورت رابطۀ (15) است:

(15)

 

آمارۀ  برای زیرگروه  ام، با رابطۀ (16) برابر است‎‍:

(16)

 

حد بالای کنترل نمودار برابر با  در نظر گرفته و به‌گونه‌ای حساب می‌شود که  تحت کنترل خاصی حاصل شود.

به‌منظور پایش تغییرپذیری فرآیند، از آمارۀ  پیشنهادشده از سوی نورالسنا و همکاران (2010) استفاده می‌شود. آمارۀ  برای زیرگروه  ام به‌صورت رابطۀ (17) محاسبه می‌شود.

(17)

 

که در آن  یک بردار تصادفی و بیانگر سطر  ام ماتریس ، دارای توزیع نرمال چندمتغیره با بردار میانگین صفر و ماتریس کوواریانس  است. در این شرایط‎‍ اگر فرآیند تحت کنترل باشد،  دارای توزیع کای دو با  درجۀ آزادی و بنابراین آمارۀ  یک متغیر تصادفی کای دو با  درجۀ آزادی است؛ پس حد بالای این نمودار کنترل‎‍ برابر با  یا  امین صدک توزیع کای دو با  درجۀ آزادی در نظر گرفته می‎‍شود. مقایسۀ آمارۀ  با حد بالای  وضعیت فرآیند را مشخص می‌کند.

آمارۀ  که برای مشاهدۀ  ام داخل زیرگروه  ام به دست می‌آید و مشابه آمارۀ  است؛ پس این آماره برای تشخیص تغییرات بزرگ در درایه‌های بردار میانگین خطاها نیز‎‍ کاربرد دارد و مکمل مناسبی برای نمودار  است.

 

 

3-3 نمودار کنترلی MHWMA-2/MMECD

نورالسنا و همکاران (2010) برای پایش پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره در فاز 2، روش MEWMA-3 را پیشنهاد کردند که توسعه‌ای از روش EWMA-3 پیشنهادشده از سوی کیم و همکاران[xxiv] (2003) است. در این روش‌ها مقادیر متغیر مستقل به‌گونه‌ای کدگذاری شده است که میانگین آنها صفر شود. این امر سبب می‌شود کوواریانس برآوردکننده‌های شیب و عرض ‌از مبدأ صفر و بردارهای  عرض ‌از مبدأ و شیب از یکدیگر مستقل شوند؛ بنابراین به‌طور جداگانه و با استفاده از نمودارهای کنترلی مجزا پایش می‎‍شوند. روش پیشنهادی MHWMA-2/MMECD با توسعۀ ‌این روش‌ها، از دو نمودار MHWMA برای پایش بردارهای شیب و عرض ‌از مبدأ و یک نمودار MMECD برای پایش تغییرپذیری فرآیند استفاده می‌کند. نمودار کنترل MMECD [xxv] را ریاض و همکاران[xxvi] (2019) برای پایش ماتریس کوواریانس مطرح کردند.

پس از کدگذاری مقادیر ، رابطۀ میان متغیرهای پاسخ و متغیر مستقل کدگذاری‎‍شده در هر زیرگروه به‌صورت رابطۀ (18) خواهد بود:

(18)

 

 که در آن  (  بردار  و شامل مقادیر 1 است) و  است. کدگذاری مقادیر  نیز به‌صورت  است. نورالسنا و همکاران (2010) نشان دادند در مدل جدید، برآورد حداقل مربعات بردار عرض ‌از مبدأ در هر زیرگروه ( ) به  تغییر می‌کند؛ اما برآورد بردار شیب‎‍ها ( ) همانند روش اصلی است. در یک فرآیند تحت کنترل،  و  دارای توزیع نرمال چندمتغیره با میانگین‌های  و  و واریانس‌های  و  هستند. همچنین کوواریانس بین هر‎‍یک از عناصر  و  صفر است؛ بنابراین برای پایش  و  از نمودارهای کنترل جداگانه استفاده می‎‍شود. پایش بردارهای عرض ‌از مبدأ و شیب، با دو نمودار مجزای MHWMA و پایش تغییرپذیری فرایند ازطریق نمودار MMECD انجام می‌شود. درنهایت هر سه نمودار به‌صورت هم‌زمان، پایش پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره را انجام می‌دهند و به‌محض آنکه اولین نمودار، هشدار خارج از کنترل دهد، وضعیت فرآیند خارج از کنترل شناخته می‌شود. استفاده از نمودارهای کنترل جداگانه برای پایش پارامترهای پروفایل، سبب می‌شود که در صورت مشاهدۀ یک هشدار، تفسیر حالت خارج از کنترل فرایند ساده‌تر باشد.

آمارۀ MHWMA طراحی‌شده برای پایش عرض‌ از مبدأ، با استفاده از برآورد بردار عرض ‌از مبدأ در زیرگروه  به‌صورت رابطۀ (19) محاسبه می‌شود:

(19)

 

که در آن  پارامتر هموارسازی ( )،  بردار  عرض ‌از مبدأ ( ) است. در یک فرآیند تحت کنترل،  دارای توزیع نرمال چندمتغیره با بردار میانگین  و ماتریس کوواریانس ، مطابق رابطۀ (20) است‎‍.

(20)

 

آمارۀ  برای زیرگروه  ام، با رابطۀ (21) برابر است‎‍:

(21)

 

تا زمانی که آمارۀ  کمتر از حد کنترل بالای  باشد، فرایند تحت کنترل خواهد بود.  و  به‌گونه‌ای انتخاب می‌شوند که  تحت کنترل مطلوب حاصل شود.

در نمودار MHWMA طراحی‌شده برای پایش شیب‌ها نیز، از بردار برآورد شیب‌ها ( ) استفاده می‎‍شود و آمارۀ آن برابر‎‍ با رابطۀ (22) است.

(22)

 

 پارامتر هموارسازی ( ) و  بردار  شیب ( ) است. در یک فرآیند تحت کنترل،  دارای توزیع نرمال چندمتغیره با بردار میانگین  و ماتریس کوواریانس ، مطابق رابطۀ (23) است.

(23)

 

 آمارۀ  به ازای زیرگروه  به‌صورت رابطۀ (24) حاصل می‌شود:

(24)

 

حد کنترل بالای نمودار ( ) و  به‌گونه‌ای انتخاب شده است که  مدنظر حاصل شود.

نمودار سوم برای پایش تغییرپذیری فرآیند، نمودار MMECD است که از ترکیب ویژگی‌های نمودار MEWMA، مطرح‌شده از سوی چن و همکاران[xxvii] (2005)‎‍ و نمودار MCUSUM، مطرح‌شده از طرف هیلی[xxviii] (1987) ‎‍حاصل شده است. در زیرگروه  ام، آمارۀ  با رابطۀ (25) برابر است‎‍:

(25)

 

 بیانگر سطر  ام ماتریس  و  مطابق رابطۀ (12) است.

حال آمارۀ  به مقدار کای دو با درجۀ آزادی تبدیل می‌شود؛ سپس با استفاده از تابع توزیع تجمعی معکوس نرمال، به‌صورت رابطۀ (26) استاندارد می‌شود:

(26)

 

 دارای توزیع کای دو با  درجۀ آزادی و  بیانگر معکوس تابع توزیع تجمعی نرمال است.

در این صورت، آمارۀ  بر‎‍اساس  با رابطه‎‍های (27) و (28) برابر است‎‍:

(27)

 

(28)

 

 پارامتر هموارسازی است.

با استفاده از ، آمارۀ  با رابطۀ (29) برابر است‎‍:

(29)

 

که در آن  و  برابر با نصف تغییر ایجادشده برحسب انحراف استاندارد در نظر گرفته می‌شود.

زمانی که آمارۀ  از حد بالای نمودار ( ) بیشتر شود، فرآیند خارج از کنترل خواهد بود.  به‎‍نحوی انتخاب شده است که  مطلوب حاصل شود.

4- مقایسۀ عملکرد نمودارهای کنترلی پیشنهادی

برای مقایسۀ عملکرد روش‎‍های پیشنهادی، پارامتر هموارسازی ( ) در نمودارهای  برابر با 03/0 و پارامتر هموارسازی نمودار  در روش‎‍  نیز برابر با 1/0 در نظر گرفته شده است. حدود بالای نمودارهای کنترلی، همانگونه که در جدول (1) نشان داده شده است، به‌گونه‌ای طراحی شده‌اند که مقدار ARL تحت کنترل برابر با 200 به دست آید. مقادیر ARL و SDRL طی 10.000 تکرار از شبیه‌سازی مونت‌کارلو تخمین زده شده است. تجزیه‌وتحلیل و مقایسۀ روش‌های پیشنهادی، به‎‍ازای مقادیر مختلف ‎‍ انجام داده می‎‍شود. مثال ‎‍استفاده‎‍شده در این بخش، در رابطۀ (30) نشان داده می‎‍شود:

(30)

 

که در آن مقادیر متغیر مستقل (  ها)، برابر با 2، 4، 6 و 8 (با میانگین 5) در نظر گرفته شده است. بردار مقادیر خطای ، یک بردار تصادفی نرمال دومتغیره با بردار میانگین صفر و ماتریس کوواریانس
 است.

که در آن  است. مقدار ضریب همبستگی نیز، برابر با  در نظر گرفته می‎‍شود.

                                               i.            جدول 1- حدود بالای کنترلی نمودارهای کنترلی برای دستیابی به  

1. Table 1- UCL of proposed charts to achieve

روش

نمودار کنترل

حد بالای کنترلی

 

 

80/8

MHWMA/

 

98/6

 

77/23

MHWMA-2/MMECD

 

75/8

 

75/8

 

0/46

 

تغییرات در نظر گرفته ‌شده برای بررسی عملکرد روش‌های پیشنهادی، شامل تغییر در 1) عرض ‌از مبدأ پروفایل اول ( )؛ 2) تغییر در شیب پروفایل اول ( )؛ 3) تغییر در پراکندگی پروفایل اول( ) و 4) تغییرات هم‎‍زمان در پارامترهاست. شاخص‌های ‎‍استفاده‎‍شده برای ارزیابی و مقایسۀ روش‎‍ها، ARL، SDRL و شاخص ضریب تغییرات ( ) است. شاخص CVRL برای اندازه‎‍گیری پراکندگی داده‎‍های آماری به کار می‎‍رود. این شاخص را بت[xxix] (2021) معرفی و میزان پراکندگی را به‎‍ازای یک واحد از میانگین بیان کرد. مقدار  با استفاده از رابطۀ (31) به ‎‍دست می‎‍آید.

(31)

 

نتایج حاصل‌شده از شبیه‌سازی در جداول (2) تا (7) ارائه و با عملکرد روش  نورالسنا و همکاران (2010) براساس شاخص CVRL مقایسه شده است. نورالسنا و همکاران (2010) در مطالعۀ خود، سه روش پایش برای پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره را مطرح کردند که از میان آنها روش  به‌طور کلی بهترین عملکرد را داشت.

جدول (2) مقادیر  شبیه‌سازی‌شده را برای شیفت‌های عرض ‌از مبدأ اولین پروفایل ( )، برحسب واحدهای  نشان می‌دهد. کلیۀ روش‌های پیشنهادی عملکرد مناسبی دارند و تغییرات ایجادشده را با سرعت پذیرفتنی تشخیص می‌دهند. با این حال، نمودار کنترلی به ازای همۀ تغییرات در نظر گرفته‌ شده، به‌طور یکنواخت بهتر از دیگر روش‌ها عمل می‌کند. مقایسۀ دو روش دیگر نیز نشان می‎‍دهد که روش  در تشخیص تغییرات بزرگ‎‍تر عملکرد بهتری دارد. هر سه روش در مقایسه با روش عملکرد بهتری دارند. همچنین به‎‍جهت تشخیص تغییرات عرض ‌از مبدأ، نتایج مشابهی در دومین پروفایل (برحسب واحد ) حاصل می‌شود که به‎‍جهت جلوگیری از طولانی‎‍شدن متن، از ارائۀ نتایج خودداری شده است.

مقادیر  شبیه‌سازی‌شده برای تغییر در شیب اولین پروفایل از  به ، در جدول (3) نشان داده شده است. روش‌های پیشنهادی عملکرد مناسبی دارند و تغییرات ایجادشده را به‌خوبی تشخیص می‌دهند. نتایج به‌ دست ‌آمده نشان می‌دهد عملکرد روش در تشخیص تغییرات پارامتر، شیب بهتری از روش‌های دیگر است. همچنین روش‌های  و  در مقایسه با روش عملکرد بهتری دارند. مشابه این نتایج برای پارامترهای ،  و  نیز، به دست می‌آید که به‎‍دلیل تشابه ذکر نشده است.

جدول (4) مقادیر شبیه‌سازی‌شده  را برای انحراف ‌معیار پروفایل، اول از  به  نشان می‌دهد. مقایسۀ روش‌های پیشنهادی بر‎‍اساس شاخص  نشان می‌دهد روش MHWMA-2/MMECD در تشخیص تغییرات کوچک تا متوسط و روش  در تشخیص تغییرات بزرگ پراکندگی، عملکرد مناسبی دارند. همچنین روش‌های  و MHWMA-2/MMECD در مقایسه با روش عملکرد بهتری دارند. بررسی نتایج نشان می‌دهد که هر دو روش نسبت‎‍به روش MHWMA عملکرد مناسب‌تری دارند. در صورت ایجاد تغییر در پارامتر  نیز، نتایج مشابهی حاصل شده است که ذکر نشده است.

به‌منظور بررسی اثر تغییرات هم‌زمان پارامترها در عملکرد روش‌ها، چندین نوع تغییر هم‌زمان در پارامترها انجام شده است. این تغییرات عبارت‌اند از: 1) تغییر هم‌زمان در عرض ‌از مبدأ هر دو پروفایل؛ 2) تغییر هم‌زمان در شیب هر دو پروفایل؛ 3) تغییر هم‌زمان در انحراف‌معیار هر دو پروفایل.

عملکرد روش‌های پیشنهادی به ازای این تغییرات هم‌زمان، در جداول (5) تا (7) ارائه شده است. ضریب همبستگی متغیرهای پاسخ برابر با 5/0 در نظر گرفته شده است. همان‌طور که در جداول مشخص است، نتایج کلی، مشابه نتایجی است که تنها در یک پارامتر تغییر ایجاد شده است. روش  در تشخیص تغییرات هم‌زمان عرض ‌از مبدأ و شیب پروفایل‌ها، عملکرد مطلوب‌تری نسبت‎‍‎‍به دو روش دیگر دارد. با ایجاد تغییرات هم‌زمان در انحراف‌معیارها، روش  عملکرد مطلوبی دارد.

                                           ii.                  جدول 2- مقایسۀ عملکرد خارج از کنترل روش‎‍های پایش در زمان تغییر پارامتر  به  

1. Table 2 - The simulated values when  shifts to

روش

شاخص

 

2/0

4/0

6/0

8/0

1

2/1

4/1

6/1

8/1

2

MHWMA

ARL

6/21

6/7

3/4

0/3

2/2

7/1

4/1

2/1

0/1

0/1

SDRL

2/16

5/4

2/2

4/1

1/1

8/0

6/0

5/0

3/0

2/0

CVRL

0/75

7/59

9/50

2/47

1/47

6/47

0/47

8/42

3/33

1/18

MHWMA/

ARL

7/23

0/8

4/4

0/3

2/2

7/1

4/1

2/1

0/1

0/1

SDRL

1/16

3/4

0/2

3/1

9/0

8/0

6/0

4/0

2/0

1/0

CVRL

9/67

0/54

2/46

4/44

4/44

9/44

1/42

2/36

0/25

1/9

MHWMA-2/MMECD

ARL

0/29

6/9

2/5

5/3

6/2

0/2

6/1

3/1

1/1

0/1

SDRL

4/21

3/6

8/2

8/1

2/1

0/1

8/0

7/0

5/0

4/0

CVRL

9/73

5/65

6/54

0/50

8/46

0/46

0/55

9/52

0/50

6/41

MEWMA/

CVRL

4/77

2/69

5/56

0/52

3/51

5/48

2/47

8/41

9/38

4/34

                                        iii.                  جدول 3- مقایسۀ عملکرد خارج از کنترل روش‎‍های پایش در زمان تغییر پارامتر  به  ‎‍

1. Table 3 - The simulated values when  shifts to

روش

شاخص

 

025/0

05/0

075/0

1/0

125/0

15/0

175/0

2/0

225/0

25/0

MHWMA

ARL

8/36

5/13

3/7

8/4

6/3

8/2

3/2

0/2

7/1

4/1

SDRL

3/36

0/11

1/5

1/3

1/2

6/1

3/1

1/1

0/1

8/0

CVRL

6/98

4/81

8/69

5/64

3/58

1/57

5/56

0/55

8/54

1/54

MHWMA/

ARL

4/54

8/16

7/8

7/5

2/4

3/3

7/2

2/2

9/1

6/1

SDRL

9/48

6/12

9/5

5/3

4/2

8/1

4/1

2/1

1/1

9/0

CVRL

8/89

0/75

8/67

4/61

1/57

5/54

8/51

5/51

8/47

2/46

MHWMA-2/MMECD

ARL

4/50

6/17

2/9

0/6

4/4

4/3

8/2

3/2

0/2

7/1

SDRL

0/131

6/64

5/35

7/22

3/15

9/10

0/8

2/6

9/4

0/4

CVRL

9/259

0/367

8/365

3/368

7/347

5/320

7/285

5/269

0/245

2/235

MEWMA/

CVRL

1/115

4/100

6/95

9/89

8/81

5/75

4/68

5/62

7/60

6/59

                                                  iv.                  جدول 4- مقایسۀ عملکرد خارج از کنترل روش‎‍های پایش در زمان تغییر پارامتر  به  ‎‍

1. Table 4 - The simulated values when  shifts to  

روش

شاخص

 

2/1

4/1

6/1

8/1

2

2/2

4/2

6/2

8/2

3

MHWMA

ARL

0/88

2/40

0/19

6/10

4/6

3/4

1/3

5/2

2/2

0/2

SDRL

6/158

1/99

4/60

9/34

0/19

1/12

9/6

3/4

8/3

8/2

CVRL

2/180

7/246

0/330

1/318

8/297

8/281

0/223

7/172

6/172

1/141

MHWMA/

ARL

6/44

3/9

3/4

8/2

1/2

7/1

5/1

3/1

2/1

1/1

SDRL

8/72

9/14

9/5

2/3

1/2

4/1

1/1

7/0

6/0

4/0

CVRL

2/163

2/160

2/137

2/114

0/100

3/82

3/73

3/58

1/55

6/41

MHWMA-2/MMECD

ARL

5/32

3/11

4/10

4/7

6/5

5/4

7/3

0/3

7/2

3/2

SDRL

0/30

2/10

4/10

9/7

4/6

3/5

5/4

6/3

1/3

6/2

CVRL

4/92

0/91

0/100

4/107

6/114

1/118

2/122

7/121

0/115

6/116

MEWMA/

CVRL

5/195

8/190

1/183

8/179

8/173

1/164

8/160

3/154

2/150

9/143

             v.                  جدول 5- عملکرد CVRL خارج ازکنترل به‎‍ازای تغییرات هم‌زمان در پارامترها در زمان تغییر  به  و  به  

1. Table 5 - CVRL comparisons under combinations of intercepts shifts from  to  and  to

 

 

روش

5/0

3/0

1/0

8/68

5/83

8/105

1/0

MHWMA

0/62

4/73

7/85

MHWMA/

1/65

1/76

9/90

MHWMA-2/MMECD

6/69

7/82

5/83

3/0

MHWMA

3/65

4/72

3/75

MHWMA/

7/65

0/76

4/77

MHWMA-2/MMECD

6/66

6/69

7/67

5/0

MHWMA

6/59

0/64

0/62

MHWMA/

1/63

2/64

6/64

MHWMA-2/MMECD

          vi.                  جدول 6- عملکرد CVRL خارج از کنترل به‎‍ازای تغییرات هم‌زمان در پارامترها در زمان تغییر  به  و  به  

1. Table 6 - CVRL comparisons under combinations of intercepts shifts from  to  and  to

 

 

روش

1/0

06/0

02/0

4/80

2/84

2/100

02/0

MHWMA

6/64

6/77

0/90

MHWMA/

2/77

8/82

0/94

MHWMA-2/MMECD

5/65

0/81

4/80

06/0

MHWMA

7/63

3/75

2/78

MHWMA/

3/78

8/81

4/81

MHWMA-2/MMECD

5/64

9/68

6/66

1/0

MHWMA

4/61

7/63

6/64

MHWMA/

0/77

8/78

7/75

MHWMA-2/MMECD

           vii.                  جدول 7- عملکرد CVRL خارج از کنترل به‎‍ازای تغییرات هم‌زمان در پارامترها در زمان تغییر  به  و  به  

1. Table 7 - CVRL comparisons under combinations of standard deviations shifts from  to  and  to  

 

 

روش

5/1

3/1

1/1

7/213

8/196

2/71

1/1

MHWMA

1/104

1/115

7/121

MHWMA/

7/70

6/67

2/71

MHWMA-2/MMECD

5/220

8/214

6/64

3/1

MHWMA

0/100

0/109

4/116

MHWMA/

0/73

4/69

4/64

MHWMA-2/MMECD

2/242

3/229

5/69

5/1

MHWMA

4/91

0/98

9/106

MHWMA/

4/77

2/72

5/69

MHWMA-2/MMECD

 

به‌منظور بررسی اثر ضریب همبستگی بر عملکرد روش‌های پیشنهادی، مقادیر شاخص CVRL برای تغییرات عرض ‎‍از‎‍ مبدأ و به‌ازای مقادیر  و در جدول (8) ارائه شده است. نتایج حاصل از شبیه‌سازی نشان می‌دهد که با افزایش مقدار ، عملکرد کلیۀ روش‌ها بهبود می‌یابد. بررسی اثر ضریب همبستگی بر تغییرات پارامتر شیب و انحراف‌ معیار نیز بر‎‍اساس مقادیر CVRL نشان داد که روند تغییرات مشابه است؛ به‌طوری ‌که افزایش مقدار  در تمامی حالت‌ها به بهبود عملکرد روش‌ها منجر می‌شود.

                     viii.            جدول 8- مقادیر CVRL شبیه‌سازی‌شده به‌ازای مقادیر مختلف  و زمان تغییر پارامتر  به  

1. Table 8 - Simulated CVRL values for different values of  when  shifts to

روش

 

 

2/0

4/0

6/0

8/0

1

2/1

4/1

6/1

8/1

2

MHWMA

1/0

2/82

8/70

3/60

3/55

2/55

9/57

5/58

8/55

5/45

4/34

9/0

2/70

0/51

9/46

2/44

8/44

2/45

3/44

2/40

4/29

5/5

MHWMA/

1/0

8/80

7/65

9/54

4/50

3/50

0/50

5/51

6/44

6/37

8/23

9/0

3/61

3/52

5/44

2/40

2/16

0/2

0/1

0/0

0/0

0/0

MHWMA-2/MMECD

1/0

8/86

0/66

0/59

9/51

1/51

0/51

6/56

2/53

6/52

2/48

9/0

2/73

5/58

7/49

6/44

9/42

1/45

4/45

4/41

2/30

1/12

 

در ادامه، اثر پارامتر هموارسازی بر عملکرد روش‌های پیشنهادی ‎‍بررسی شد. به‌منظور تحلیل حساسیت، مقادیر شاخص CVRL حاصل از شبیه‌سازی برای تغییرات عرض از مبدأ و به‌ازای مقدار ، در جدول (9) ارائه شده است. نتایج نشان می‌دهد که با افزایش پارامتر هموارسازی، عملکرد کلیۀ روش‌ها ضعیف می‌شود. بررسی اثر پارامتر هموارسازی بر تغییرات شیب و انحراف معیار نیز نشان داد که روند تغییرات مشابه است؛ به‌طوری‌ که افزایش مقدار  در تمامی حالت‌ها به تضعیف عملکرد روش‌های پایش منجر می‌شود.

نتایج شبیه‌سازی‌های انجام‌شده در بخش‌های پیشین، به ارزیابی عملکرد خارج از کنترل نمودارهای کنترل پیشنهادی در فاز دوم و در حالت صفر[xxx] مربوط بوده است. در این حالت، با فرض آنکه تغییر درست در ابتدای پایش ایجاد می‎‍شود، معیار CVRL با استفاده از شاخص‎‍های ARL و SDRL، محاسبه شده است؛ اما ارزیابی عملکرد روش‌های پایش در حالت صفر به‌تنهایی کافی نیست؛ زیرا ‎‍در عمل، تغییرات فرآیند لزوماً در ابتدای پایش رخ نمی‌دهند، بلکه ممکن است فرآیند مدت‌زمانی ( ) تحت کنترل باشد و بعد تغییر ایجاد شود. در این شرایط که حالت پایدار[xxxi] نامیده می‌شود، لازم است عملکرد Steady-State روش‎‍های پیشنهادی نیز بررسی شود. برای بررسی عملکرد حالت پایدار روش‌های پیشنهادی‎‍ با استفاده از مثال عددی بخش قبل، تغییرات مختلفی در پارامترهای پروفایل‎‍ها ( ) و در مقاطع زمانی مختلف ( ) ایجاد شد و مقادیر Steady-State ARL با استفاده از الگوریتم شبیه‌سازی مونت‌کارلو با  تکرار به دست آمد. شکل (1) عملکرد حالت پایدار، روش‎‍های ‎‍بررسی‎‍شده را با در نظر گرفتن تغییری به‎‍اندازۀ 2/0 در پارامتر  و بر‎‍اساس مقادیر مختلف t نشان می‎‍دهد. نتایج حاصل بیانگر آن است که روش MHWMA/  تغییر ایجادشده را سریع‌تر از دیگر روش‌ها شناسایی می‌کند. همچنین با افزایش مقدار تغییر ایجادشده، عملکرد تمامی روش‌ها بهبود می‌یابد. بررسی تغییرات پارامتر  نیز نشان می‎‍دهد که روند نتایج مشابه حالت، به  مربوط است. به‌منظور جلوگیری از طولانی‎‍شدن متن، از ارائۀ نتایج مربوط به دیگر مقادیر صرف‌نظر شده است. ‎‍در شکل (1)، محور افقی به‎‍دلیل گستردگی دامنه، در دو بازۀ مجزا نمایش داده شده است.‎‍

                              ix.            جدول 9- مقادیر CVRL شبیه‌سازی‌شده به‌ازای 2/0  و زمان تغییر پارامتر  به  ‎‍

1. Table 9 - Simulated CVRL values for 0.2 when  shifts to

روش

 

2/0

4/0

6/0

8/0

1

2/1

4/1

6/1

8/1

2

MHWMA

2/80

8/65

4/55

8/53

5/54

2/53

1/53

3/49

7/38

7/25

MHWMA/

5/76

8/59

4/52

2/50

9/51

5/52

6/48

8/41

1/29

6/13

MHWMA-2/MMECD

4/78

3/69

4/60

7/56

3/54

6/54

8/55

9/54

7/52

8/46

 

 

                                  x.                  شکل 1- منحنی SARL روش‎‍های ‎‍بررسی‎‍شده ‎‍ساس مقادیر t و در زمان تغییر پارامتر  به  ‎‍

1. Fig. 1- SARL values as a function of t, when  shifts to

5- مطالعۀ موردی

به‌منظور نشان‎‍دادن کاربرد روش‌های پیشنهادی، از دو مثال مطرح‌شده در مطالعۀ نورالسنا و همکاران (2010) و ایوبی و همکاران (2014) استفاده شده است.

5-1 فرآیند کالیبراسیون دستگاه پرس در ایران‌خودرو

نورالسنا و همکاران (2010) مثالی از فرآیند کالیبراسیون یک دستگاه پرس 1600 تن را در سالن بدنه‎‍سازی ایران‌خودرو ارائه کردند. در این دستگاه، نیروی اعمال‌شده به قطعات تحت پرس با چهار سیلندر موجود، متفاوت از مقدار نیروی تنظیم‌شده بود؛ بنابراین، تعیین رابطه میان نیروهای تنظیم‌شده و اعمال‌شده، سبب تنظیم بهتر نیروها می‎‍شود تا نیروهای واقعی به مقادیر مورد انتظار نزدیک‌تر باشند. آ‌نها در مطالعۀ خود، هریک از نیروهای اعمال‌شده در سیلندرها را یک متغیر پاسخ و به‌صورت یک تابع خطی ساده از نیروی تنظیم‌شده مدل‌سازی کردند؛ درحالی‌که نیروهای اعمال‌شده به یکدیگر وابسته بودند؛ بنابراین مدل نهایی به‌صورت یک پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره حاصل شد. به‌منظور پایش این پروفایل، 11 مقدار مختلف برای متغیر  (نیروی تنظیم‌شده) برابر با 80،50، 110، 140، 170، 200، 230، 260، 290، 320 و 350 در نظر گرفته و در فاز 1 پایش، برآورد حداقل مربعات پارامترهای این پروفایل به‌صورت رابطۀ (32) حاصل شد:

(32)

 

                                          

 

 

 ( ) دارای توزیع نرمال 4 متغیره با بردار میانگین صفر و ماتریس کوواریانس رابطۀ (33) است:

(33)

 

برای بررسی عملکرد روش‌های پیشنهادی، ابتدا 10 پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره تحت کنترل و طبق روابط بالا، تولید می‌شود؛ سپس 10 پروفایل بعدی خارج از کنترل تولید می‌شود که در آنها مقدار  از 5/8- به 4- تغییر یافته است. تغییر در نظر گرفته ‌شده مطابق با مطالعۀ نورالسنا و همکاران (2010) است تا امکان مقایسۀ عملکرد روش‌ها فراهم باشد.

نمودارهای کنترل روش‌های پیشنهادی در شکل‌های (2) تا (4) نشان داده شده است. در کلیۀ روش‌ها، حد کنترل بالا برای دستیابی به  تحت کنترل 200 انتخاب شده است. حد کنترل بالا در نمودار  برابر با  و در دیگر نمودارها با شبیه‌سازی به دست آمده است.

همان‌طور که از نتایج به دست آمده مشخص است، بر‎‍اساس روش‌ ، بلافاصله پس از ایجاد تغییر و در پروفایل یازدهم، هشدار خارج از کنترل می‌دهد. روش‌های  و  نیز، وجود تغییر را در پروفایل دوازدهم تشخیص می‌دهند. در کلیۀ روش‌ها، نمودار  که برای تشخیص تغییرات پارامترهای رگرسیونی طراحی شده است، تغییر ایجادشده را هشدار می‌دهد و در مقایسه با روش‌های پیشین و دیگر نمودارها ازجمله ، سریع‌تر عمل می‌کند؛ بنابراین عملکرد مطلوب این نمودار‎‍ در تشخیص تغییرات پارامترهای پروفایل تأیید می‎‍شود.

 

     xi.            (الف) نمودار MHWMA برای پایش ضرایب پروفایل

1. (a). MHWMA chart for coefficients of regression line

 

 

  xii.            (ب) نمودار  برای پایش ماتریس کوواریانس

1. (b).  chart for covariance matrix

 

               xiii.            شکل 2- عملکرد روش MHWMA در مطالعۀ موردی اول با تغییر از  به  در زیرگروه 11

1. Fig 2. MHWMA control chart for the first case study with a shift of  in the  in the 11th sample

 

    xiv.            (الف) نمودار MHWMA برای پایش عرض ‌از مبدأ

1. (a). MHWMA chart for y-intercepts

 

 

  xv.            (ب) نمودار MHWMA برای پایش شیب

1. (b). MHWMA chart for slops

 

 

  xvi.            (پ) نمودارMMECD  برای پایش ماتریس کوواریانس

1. (c). MMECD chart for covariance matrix

                 xvii.                  شکل 3- عملکرد روش MHWMA/ در مطالعۀ موردی اول با تغییر از  به  در زیرگروه 11

1. Fig 3. MHWMA/  control chart for the first case study with a shift of  in the  in the 11th sample

 

 xviii.            شکل 4- عملکرد روش MHWMA_2/MMECD در مطالعۀ موردی اول با تغییر از  به  در زیرگروه 11

1. Fig 4. MHWMA_2/MMECD control chart for the first case study with a shift of  in the  in the 11th sample

5-2 فرآیند کالیبراسیون در یک گشتاورسنج الکتریکی

دومین مطالعۀ موردی در این بخش را ایوبی و همکاران (2014) مطرح و‎‍ فرآیند کالیبراسیون یک گشتاورسنج الکتریکی را برای اندازه‌گیری گشتاور در بخشی از فرایند تولید شرکت ایران‌خودرو بررسی کردند. در این مثال، مقدار گشتاور در سه نوع اتصال مختلف به‌صورت سخت، نیمه‎‍سخت و نرم مطالعه شده است که مقادیر اسمی گشتاورها متغیر مستقل و مقادیر اندازه‌گیری‌شدۀ آنها، متغیر پاسخ در نظر گرفته می‌شود. متغیرهای پاسخ به یکدیگر وابسته‎‍اند؛ بنابراین مدل کلی به‌صورت یک پروفایل خطی سادۀ چندمتغیره خواهد بود. با در نظر گرفتن مقادیر ثابت 20، 25، 30، 35 و 40 برای مقدار اسمی گشتاور، اطلاعات موردنیاز در فاز 1 کنترلی جمع‎‍آوری و درنهایت پارامترهای پروفایل به‌صورت رابطۀ (34) برآورد شده است:

(34)

 

                                         

 

بردار  دارای توزیع نرمال 3 متغیره با بردار میانگین صفر و ماتریس کوواریانس رابطۀ (35) است.

(35)

 

مشابه مطالعۀ موردی قبل، به‎‍جهت بررسی عملکرد روش‌های پیشنهادی، ابتدا 10 پروفایل تحت کنترل تولید و سپس در پروفایل یازدهم، یک تغییر هم‌زمان در عرض ‌از مبدأ و شیب پروفایل سوم ایجاد می‌شود. تغییر در عرض ‌از مبدأ به میزان 5/0+ و تغییر در شیب به میزان 003/0+ است و5 پروفایل تحت این تغییر، تولید می‎‍شود.

نمودارهای کنترل روش‌های پیشنهادی در شکل‌های (5) تا (7) نشان داده شده است. در کلیۀ روش‌ها، حد کنترل بالا برای دستیابی به  تحت کنترل 200 انتخاب شده است. حد کنترل بالا در نمودار  برابر با  و در دیگر نمودارها با شبیه‌سازی به دست آمده است.

نتایج به‌ دست ‌آمده نشان می‌دهد روش  وضعیت خارج از کنترل فرآیند را سریع‌تر از دیگر روش‌ها و در پروفایل یازدهم، بلافاصله پس از ایجاد تغییر‎‍ شناسایی می‌کند. آمارۀ نمودار  در روش  در زیرگروه دوازدهم بسیار نزدیک به حد کنترل بالاست و این نمودار در زیرگروه سیزدهم، هشدار خارج از کنترل می‌دهد. در روش  نیز هر دو نمودار  برای پایش عرض ‌از مبدأ و شیب، به ترتیب در زیرگروه‌های 12 و 13، هشدار خارج از کنترل می‌دهند. مطالعۀ‎‍ بررسی‎‍شده نشان می‌دهد روش‌های پیشنهادی در تشخیص تغییرات هم‌زمان پارامترهای پروفایل نیز، عملکرد مطلوبی دارند.

 

   xix.            (الف) نمودار MHWMA برای پایش ضرایب پروفایل

1. (a). MHWMA chart for coefficients of regression line

 

 

  xx.            (ب) نمودار  برای پایش ماتریس کوواریانس

1. (b).  chart for covariance matrix

                xxi.                  شکل 5- عملکرد روش MHWMA در مطالعۀ موردی دوم با تغییر هم‌زمان در پارامترهای  و  در زیرگروه 11

1. Fig 5. MHWMA control chart for the second case study with a simultaneous shift of  and  in the 11th sample

 

  xxii.            (الف) نمودار MHWMA برای پایش عرض ‌از مبدأ

1. (a). MHWMA chart for y-intercepts

 

  xxiii.            (ب) نمودار MHWMA برای پایش شیب

1. (b). MHWMA chart for slops

 

xxiv.            (پ) نمودارMMECD برای پایش ماتریس کوواریانس

1. (c). MMECD chart for covariance matrix

         xxv.                  شکل 6-  عملکرد روش MHWMA/ در مطالعۀ موردی دوم با تغییر هم‌زمان در پارامترهای  و  در زیرگروه 11

1. Fig 6. MHWMA/  control chart for the second case study with a simultaneous shift of  and  in the 11th sample

 

                                                                                                                 xxvi.             

xxvii.                  شکل 7-  عملکرد روش MHWMA2/MMECD در مطالعۀ موردی دوم با تغییر هم‌زمان در پارامترهای  و  در زیرگروه 11

1. Fig 7. MHWMA2/MMECD control chart for the second case study with a simultaneous shift of  and  in the 11th sample

6- نتیجه‌گیری

در این مطالعه، سه روش برای پایش پروفایل خطی چندگانه چندمتغیره در فاز 2 ارائه شد. در این روش‌ها، از نمودار کنترل  برای پایش پارامترهای رگرسیونی پروفایل و از نمودارهای  و MMECD برای پایش پراکندگی پروفایل استفاده شده است. عملکرد روش‌های پیشنهادی با استفاده از شبیه‌سازی و معیار ، با یکدیگر مقایسه شد. مطالعات شبیه‌سازی نشان داد روش‌های پیشنهادی در تشخیص تغییرات پله‌ای ضرایب رگرسیونی پروفایل، عملکرد مطلوبی دارند. روش MHWMA/  در تشخیص تغییرات پارامترهای رگرسیونی پروفایل بهترین عملکرد را دارد و در تشخیص تغییرات بزرگ پراکندگی نیز، سریع‌تر از دیگر روش‌ها عمل می‌کند. در تشخیص تغییرات کوچک‎‍تر‎‍ پراکندگی پروفایل نیز، روش MHWMA-2/MMECD عملکرد مناسبی دارد. در‎‍نهایت با استفاده از دو مثال واقعی در فرآیند کالیبراسیون، عملکرد روش‌های پیشنهادی در دنیای واقعی نیز بررسی شد و نتایج به‌ دست ‌آمده، عملکرد مناسب این روش‌ها را تأیید کرد.

ارزیابی روش‌های پیشنهادی در این مطالعه، با تمرکز بر شناسایی تغییرات پله‌ای انجام شده است. بررسی عملکرد این روش‌ها در شرایطی نظیر داده‌های مفقودشده، حضور داده‌های پرت و تغییرات تدریجی، به‌عنوان مسیرهای پژوهشی آینده مدنظر قرار می‎‍گیرد. همچنین استفاده از نمودارهای MHWMA وHWMA در پایش انواع پروفایل‌ها و به‌کارگیری نمودارهای MHWMA توسعه‎‍یافته در پایش پروفایل خطی ساده،‎‍ برای زمینه‌های تحقیقاتی آتی پیشنهاد می‌‎‍شود. 

 

[i] Noorossana et al

[ii] Saghaei et al.

[iii] Ayoubi et al.

[iv] Adibi et al.

[v] Majika et al.

[vi] Haq

[vii] Haq et al.

[viii] Ahmadi Karavigh & Amiri

[ix] Ghasemi et al.

[x] Soleimani et al.

[xi] Khedmati & Niaki

[xii] Rahimi et al.

[xiii] Jahani et al.

[xiv] Amiri et al.

[xv] Bahrami et al.

[xvi] Ahmadi Yazdi et al.

[xvii] Homogeneously Weighted Moving Average - HWMA

[xviii] Abbas

[xix] Adegok et al.

[xx] Multivariate Homogeneously Weighted Moving Average - MHWMA

[xxi] Yousefi et al.

[xxii] Pieters et al.

[xxiii] Kang & Albin

[xxiv] Kim et al.

[xxv] Multivariate Mixed EWMA-CUSUM-MMECD

[xxvi] Riaz et al.

[xxvii]Chen et al.

[xxviii] Healy

[xxix] Bhat

[xxx] Zero-State

[xxxi] Steady-State

مراجع

Abbas, N. (2018). Homogeneously weighted moving average control chart with an application in substrate manufacturing process. Computers & Industrial Engineering, 120, 460-470. https://doi.org/10.1016/j.cie.2018.05.009.
Adegoke, N. A., Abbasi, S. A., Smith, A. N., Anderson, M. J., & Pawley, M. D .(2019) .A multivariate homogeneously weighted moving average control chart. IEEE Access, 7, 9586-9597. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2019.2891988.
Adegoke, N. A., Riaz, M., Ganiyu, K. O., & Abbasi, S. A. (2021). One-sided and two one-sided multivariate homogeneously weighted moving charts for monitoring process mean. IEEE Access, 9, 80388-80404. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2021.3085349.
Adibi, A., Montgomery, D. C., & Borror, C. M. (2014). A P-value approach for Phase II monitoring of multivariate profiles. International Journal of Quality Engineering and Technology, 4(2), 133-143 https://doi.org/10.1504/IJQET.2014.060432.
Ahmadi Karavigh, M. H., & Amiri, A. (2024). MEWMA based control charts with runs rules for monitoring multivariate simple linear regression profiles in Phase II. Communications in Statistics - Simulation and Computation, 53(3), 1107-1134. https://doi.org/10.1080/03610918.2022.2028833.
Ahmadi Yazdi, A., Shafiee Kamalabad, M., Oberski, D. L., & Grzegorczyk, M. (2023). Bayesian multivariate control charts for multivariate profiles monitoring. Quality Technology & Quantitative Management, 1-36 . https://doi.org/10.1080/16843703.2023.2214386.
Amiri, A., Sogandi, F., & Ayoubi, M. (2018). Simultaneous monitoring of correlated multivariate linear and GLM regression profiles in Phase II. Quality Technology & Quantitative Management, 15(4), 435-458. https://doi.org/10.1080/16843703.2016.1226706.
Ayoubi, M., Kazemzadeh, R., & Noorossana, R. (2014). Estimating multivariate linear profiles change point with a monotonic change in the mean of response variables. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 75(9-12), 1537-1556. https://doi.org/10.1007/s00170-014-6208-6
Bahrami, H., Niaki, S. T. A., & Khedmati, M. (2019). Monitoring multivariate profiles in multistage processes. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 1-29. https://doi.org/10.1080/03610918.2019.1626882.
Bhat, S. V. a. M. C. (2021). R-Posterior Control Charts for Process Variation. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES), 9(6), 14-33.
Chen, G., Cheng, S. W., & Xie, H. (2005). A new multivariate control chart for monitoring both location and dispersion. Communications in Statistics—Simulation and Computation®, 34(1), 203-217. https://doi.org/10.1081/SAC-200047087.
Ghasemi, Z., Zeinal Hamadani, A., & Ahmadi Yazdi, A. (2025). New methods for phase II monitoring of multivariate simple linear profiles. Communications in Statistics - Simulation and Computation, 54(1), 193-217. https://doi.org/10.1080/03610918.2023.2249268.
Haq, A. (2022). Adaptive MEWMA charts for univariate and multivariate simple linear profiles. Communications in Statistics-Theory and Methods, 51(16), 5383-5411. https://doi.org/10.1080/03610926.2020.1839100.
Haq, A., Bibi, M., & Brown, J. (2021). Monitoring multivariate simple linear profiles using individual observations. Journal of Statistical Computation and Simulation, 91(17), 3573-3592. https://doi.org/10.1080/00949655.2021.1943665.
Healy, J. D. (1987). A note on multivariate CUSUM procedures. Technometrics, 29(4), 409-412. https://doi.org/10.1080/00401706.1987.10488268.
Jahani, S., Kontar, R., Veeramani, D., & Zhou, S. (2018). Statistical monitoring of multiple profiles simultaneously using Gaussian processes. Quality and Reliability Engineering International, 34(8), 1510-1529. https://doi.org/10.1002/qre.2326.
Kang, L., & Albin, S. L. (2000). On-line monitoring when the process yields a linear profile. Journal of quality Technology, 32(4), 418-426. https://doi.org/10.1080/00224065.2000.11980027.
Khedmati, M., & Niaki, S. T. A. (2016). Phase II monitoring of general linear profiles in the presence of between‐profile autocorrelation. Quality and Reliability Engineering International, 32(2), 443-452. https://doi.org/10.1002/qre.1762.
Kim, K., Mahmoud, M. A., & Woodall, W. H. (2003). On the monitoring of linear profiles. Journal of quality Technology, 35(3), 317-328. https://doi.org/10.1080/00224065.2003.11980225.
Majika, J.-C., Shongwe, S. C., Chatterjee, K., & Koukouvinos, C. (2022). Monitoring univariate and multivariate profiles using the triple exponentially weighted moving average scheme with fixed and random explanatory variables. Computers & Industrial Engineering, 163, 107846. https://doi.org/10.1016/j.cie.2021.107846.
Noorossana, R., Eyvazian, M., & Vaghefi, A. (2010). Phase II monitoring of multivariate simple linear profiles. Computers & Industrial Engineering, 58(4), 563-570. https://doi.org/10.1016/j.cie.2009.12.003.
Noorossana, R., Saghaei, A., & Amiri, A. (2011). Statistical analysis of profile monitoring (Vol. 865). John Wiley & Sons.
Pieters, L., Malela‐Majika, J. C., Human, S., & Castagliola, P. (2023). A new multivariate extended homogeneously weighted moving average monitoring scheme incorporated with a support vector machine. Quality and Reliability Engineering International, 9(6), 2454-2475. https://doi.org/10.1002/qre.3356.
Rahimi, S. B., Amiri, A., & Ghashghaei, R. (2019). Simultaneous monitoring of mean vector and covariance matrix of multivariate simple linear profiles in the presence of within profile autocorrelation. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 50(6), 1791-1808. https://doi.org/10.1080/03610918.2019.1588314.
Riaz, M., Ajadi, J. O., Mahmood, T., & Abbasi, S. A. (2019). Multivariate mixed EWMA-CUSUM control chart for monitoring the process variance-covariance Matrix. IEEE Access, 7, 100174-100186. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2019.2928637.
Saghaei, A., Noorossana, R., Eyvazian, M., & Vaghefi, A. (2008). Statistical monitoring of multivariate linear profiles. 2008 IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management , 2037-2040. https://doi.org/10.1109/IEEM.2008.4738229.
Soleimani, P., Noorossana, R., & Niaki, S. (2013). Monitoring autocorrelated multivariate simple linear profiles. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 67(5-8), 1857-1865. https://doi.org/10.1007/s00170-012-4614-1.
Yousefi, S ., Maleki, M. R., Salmasnia, A., & Anbohi, M. K. (2023). Performance of multivariate homogeneously weighted moving average chart for monitoring the process mean in the presence of measurement errors. Journal of Advanced Manufacturing Systems, 22(01), 27-40. https://doi.org/10.1142/S0219686723500026.

فایل ها

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار