نوع مقاله : مقاله پژوهشی- فارسی
نویسندگان
1 استادیار گروه مهندسی صنایع دانشگاه شاهد
2 دانشجوی دکتری رشته مهندسی صنایع دانشگاه تربیت مدرس
3 کارشناس مهندسی صنایع، دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران شمال
چکیده
کلیدواژهها
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
Profile monitoring is a new research subject in Statistical Process Control which has been recently considered by many researchers. Profile describes the relationship between a response variable and one or more independent variables. This relationship is often modeled using regression which can be simple linear, multiple linear, polynomial or sometimes nonlinear. To monitor polynomial profiles, some methods have been developed, the best of which is the orthogonal polynomial approach. One of the disadvantages of this method is the large number of control charts which are simultaneously used. In this paper, a new approach has been proposed based on orthogonal polynomial approach, in which only two control charts are used to monitor a kth-order polynomial profile. Simulation findings and average run length (ARL) curve analysis imply better performance of the proposed approach compared to the existing approach. Also, using the proposed approach is much easier in practice.
کلیدواژهها [English]
1- مقدمه
در بسیاری از موارد کیفیت یک محصول یا عملکرد یک فرآیند به وسیله رابطه رگرسیونی خطی یا غیر خطی میان متغیر پاسخ با یک یا چند متغیر مستقل توصیف می شود. در زمینه پایش پروفایلها در فاز 1 و 2 تحقیقات زیادی انجام شده است. از جمله تحقیقات انجام گرفته در زمینه پایش پروفایلهای خطی ساده می توان به مقالات کنگ و آلباین(2000)، کیم و همکاران(2003)، گوپتا و همکاران(2006)، نورالسناء و امیری(1386)، زو و همکاران(2006)، ژنگ و همکاران (2009)، سقایی و همکاران(2009)، در فاز 2 و محمود و وودال(2004) و محمود و همکاران (2007)، در فاز 1 اشاره کرد. دو مقاله وودال و همکاران (2004) و وودال (2007) مروری بر تحقیقات انجام شده در حوزه پایش پروفایلها هستند. مقالاتی نظیر جین و شی(1999)، واکر و رایت(2002)، ویلیامز و همکاران(2007) و دینگ و همکاران(2006) در رابطه با پایش پروفایلهای غیرخطی هستند و مقالاتی نظیر نورالسناء و همکاران (2009)، نورالسناء و همکاران (2010) و ایوزیان و همکاران (2010)پایش پروفایلهای چند متغیره را بررسی کردهاند. پایش پروفایلهای خطی چندگانه در فاز 1 و 2 به ترتیب توسط محمود (2008) و زو و همکاران (2007) بررسی شده است. کاظم زاده و همکاران (2008) سه روش برای پایش پروفایلهای چندجملهای در فاز 1 پیشنهاد کردند. همچنین کاظم زاده و همکاران (2009)، روشی مبتنی بر پروفایلهای چندجملهای متعامد برای پایش پروفایلهای چندجملهای از درجه k در فاز 2 پیشنهاد دادند. در روش پیشنهادی، برآورد کنندههای پارامترهای رگرسیون از یکدیگر مستقل و با استفاده از نمودارهای کنترل مجزا کنترل می شوند. هرچه درجه رابطه چند جملهای بزرگتر باشد تعداد نمودارهای کنترل بیشتر شده و این محدودیت، استفاده از روش پیشنهادی را در عمل مشکل می سازد. روش پیشنهادی در این مقاله از تعداد نمودارهای کنترل کمتری برای پایش پروفایلهای چند جملهای استفاده میکند. همچنین عملکرد روش پیشنهادی در مقایسه با روش موجود بهتر شده که این موضوع با استفاده از مطالعات شبیه سازی و مقایسه متوسط طول دنباله اثبات شده است. تمرکز مقاله روی فاز 2 پایش پروفایلهای چند جملهای است. ساختار مقاله بدین صورت است که در بخش 2 روش چند جملهای متعامد برای پایش پروفایل چندجملهای از درجه k مرور میشود. در بخش 3 روش پیشنهادی ارائه میگردد. نتایج حاصل از شبیهسازی و مقایسات عملکرد روش پیشنهادی و روش موجود در بخش 4 ذکر می شوند و در بخش 5 نتیجهگیری ارائه خواهد شد.
همانگونه که در مقدمه ذکر شد، کاظم زاده و همکاران(2009) روش رگرسیون چندجملهای متعامد را برای پایش پروفایلهای چندجملهای در فاز 2 توسعه دادند که در ادامه با جزئیات توضیح داده میشود. این روش، بهترین عملکرد را در پایش پروفایلهای چندجملهای در فاز 2 از خود نشان داده است. در این روش فرض بر این است که مقادیر دارای فواصل یکسانی هستند.
مدل اصلی و مدل تغییر فرم یافته پروفایل چندجملهای در فاز 2 به صورت زیر است:
در فاز 2 و تحت شرایط کنترل آماری مدلهای زیر حاصل میشوند:
در رابطه (4)، چندجملهای متعامد از رتبه است و به گونهای تعریف میشود که رابطه زیر برقرار باشد:
بنابر این، مدل هر پروفایل به تبدیل می شود که در آن ماتریس به صورت زیر است:
از آنجایی که ستون های ماتریس متعامد هستند، آنگاه:
به صورت زیر محاسبه می شود:
برآوردکننده به روش حداقل مربعات (ضرایب پارامترهای رگرسیون چندجمله ای متعامد در پروفایلهای مختلف) به صورت زیر محاسبه می شود:
ارزش انتظاری و واریانس به صورت زیر محاسبه می شود:
با جایگزین کردن رابطه(4) در رابطه(10) داریم:
در نتیجه:
از آنجایی که ها دارای توزیع نرمال هستندها نیز دارای توزیع نرمال هستند. از طرف دیگر،ها یک ترکیب خطی ازها هستند. در نتیجهنیز دارای توزیع نرمال است، بنابراین:
اکنون با مستقل شدن پارامترهای مدل رگرسیون، میتوان از نمودارهای کنترل تک متغیره [2]EWMA برای پایش ضرایب استفاده کرد. برای پایش پارامترهای مدل جدید آماره EWMA زیر پیشنهاد می شود:
در این رابطه ثابت هموارسازی و است و حدود کنترل بالا و پایین نمودار به صورت زیر است:
در رابطه بالا، به گونهای انتخاب میگردد تا [3]ARL تحت کنترل مشخصی به دست آید.
برای پایش پراکندگی خطاها آماره زیر استفاده میشود:
در این رابطه ثابت هموارسازی و است و حد کنترل بالای نمودار به صورت زیر است:
در این رابطه به گونهای انتخاب میشود تا ARL تحت کنترل مشخصی به دست آید. همچنین به صورت زیر محاسبه می شود:
استفاده از روش مذکور زمانی پیشنهاد میشود که رتبه پروفایل یا رگرسیون چندجملهای خیلی بزرگ نباشد. بزرگ بودن رتبه پروفایل باعث میشود که تعداد زیادی نمودار کنترل در هر لحظه برای پایش فرآیند استفاده شود و کار کردن با تعداد زیادی نمودار کنترل میتواند دردسر ساز باشد (کاظم زاده و همکاران، 2009).
با در نظر گرفتن پروفایل چندجملهای درجه 2 مدلهای اصلی و تغییر فرم یافته به صورت زیر هستند:
چندجملهایهای متعامدزمانی که سطوح فاصله مساوی داشته باشند، به آسانی تعریف میشوند (مونتگومری و همکاران، 2001). سه چندجملهای متعامد اول را در رابطه (23) جایگذاری کرده تا رابطه (24) به صورت زیر به دست آید:
در رابطه فوق فاصله بین سطوح و ها ثابتهایی هستند که به گونهای انتخاب میشوند تا چندجملهایها مقادیر صحیح بگیرند(مونتگومری و همکاران، 2001). در ادامه، ضرایب 1، و را در روابط (22) و (24) مساوی یکدیگر قرار می دهیم، درنتیجه:
اکنون پارامترهای رگرسیون در رابطه(24) بر حسب پارامترهای رگرسیون در رابطه (22) با استفاده از رابطه (25) به صورت زیر بدست میآید:
با استفاده از روش رگرسیون چندجملهای متعامد، شرط استقلال میان پارامترهای مدل رگرسیون برقرار خواهد شد. بنابراین، به منظور پایش یک پروفایل چندجملهای متعامد درجه در روش پیشنهادی کاظم زاده و همکاران(2009)، باید نمودار کنترل مجزا برای پایش میانگین (پایش جداگانه )و یک نمودار کنترل به منظور پایش واریانس خطاها به کار گرفته شود. در نتیجه، اگر بزرگ شود، تعداد نمودارهای کنترل مورد نیاز افزایش می یابد و مشکلاتی از قبیل عدم وجود رابطه یک به یک بین پارامترهای مدل اصلی و تغییر فرم یافته و همچنین دشواری استفاده از تعداد زیادی از نمودارهای کنترل را به دنبال خواهد داشت.
روش پیشنهادی در این مقاله از تعداد نمودارهای کنترل کمتری برای پایش میانگین استفاده میکند؛ بدین صورت که به جای پایش پارامترهای فقط پارامتر را پایش میکند، زیرا تابعی از پارامترهای مدل اصلی است و هر تغییری در پارامترهای مدل اصلی روی تأثیر میگذارد، لذا میتوان با یک نمودار کنترل به جای نمودار کنترل میانگین فرآیند را پایش کرد.
برای مثال، برای پایش میانگین یک پروفایل چندجملهای متعامد درجه 2 به جای کنترل پارامترهای ،و با سه نمودار کنترل مجزا می توان فقط یک نمودار کنترل برای پایش پارامتر به کار برد، زیرا با توجه به رابطه (26)، تابعی از ،و است و کنترل به تنهایی میتواند تمامی تغییرات موجود در پارامترهای مدل اصلی را تحت پوشش قرار دهد.
بنابراین، برای پایش یک پروفایل چندجملهای متعامد درجه 2 با استفاده از روش کاظم زاده و همکاران(2009)، سه نمودار کنترل برای پایش میانگین و یک نمودار کنترل برای پایش واریانس فرآیند(در مجموع 4 نمودار کنترل مجزا) مورد نیاز است، ولیکن در روش پیشنهادی در این مقاله با استفاده از 2 نمودار کنترل(یک نمودار به منظور پایش میانگین با استفاده از نمودار کنترل مرتبط با پارامتر و یک نمودار به منظور کنترل واریانس خطاها) میتوان فرآیند را کنترل کرد.
بدیهی است که استفاده از روش پیشنهادی در این مقاله به علت کاهش تعداد نمودارهای کنترل، آسانتر از روش موجود است. همچنین، روش پیشنهادی نسبت به روش موجود عملکرد بهتری خواهد داشت، زیرا با توجه به رابطه (27) با ثابت ماندن ، کاهش تعداد نمودارهای کنترل باعث افزایش خطای نوع اول تک تک نمودارها و کاهش خطای نوع دوم و در نتیجه افزایش توان نمودار در شناسایی شیفت های موجود در فرآیند می شود.
برای انجام شبیه سازیها در این بخش مدل تحت کنترل زیر در نظر گرفته میشود:
همچنین فرض میشودها دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس 1 هستند، مقادیر ثابت و متساوی الفاصله و برابر 1،2،3،4،5،6،7،8،9،10 هستند که در ابتدا به منظور کاهش اثر هم خطی چندگانه مقادیر از مقدار میانگین آنها کم و به مقادیر 5/4،5/3،5/2،5/1،5/0،5/0-،5/1-،5/2-،5/3-،5/4- تبدیل شدهاند. در روش چندجملهای متعامد، رابطه (3) به رابطه (4) تبدیل میشود.](در رابطه (26) مقادیر،و را قرار دهید(مونتگومری و همکاران، 2001)[.
مقادیر ثابت برابر 9،7،5،3،1،1-،3-،5-،7-،9- و مقادیر ثابت برابر با 6،2،1-،3-،4-،4-،3-،1-،2،6 هستند(مونتگومری و همکاران، 2001).
کاظم زاده و همکاران(2009)، برای تعیین حدود کنترل مقادیر را در رابطه (16) برای سه نمودار کنترل مرتبط با ،و برابر 1/3 و مقدار در رابطه (18) را برابر با 59/3 قرار دادند تا ARL تحت کنترل تقریباً 200 به دست آید.
در روش پیشنهادی این مقاله، مقدار برای نمودار کنترل مرتبط با برابر با 8845/2 و مقدار برابر 2525/3 در نظر گرفته شد تا ARL تحت کنترل تقریباً 200 نیز برای این روش بدست آید.
همچنین ثابت هموارسازی در هر دو روش برابر با 2/0 در نظر گرفته شده است. برای محاسبه ARL خارج از کنترل تحت شیفتهای مختلف در عرض از مبدأ، پارامتر دوم، سوم و انحراف معیار از 50000 بار شبیهسازی استفاده شده است و شیفتهای اعمال شده ضریبی از انحراف معیار هستند.
در این بخش روش کاظم زاده و همکاران (2009)، با نام EWMA4 و روش پیشنهادی این مقاله با نام EWMA2 نمایش داده شدهاند.
نتایج شبیهسازی ها در جداول (1)،(2)،(3) و (4) که به ترتیب نمایانگر عملکرد روشهای مورد بررسی تحت شیفتهای مختلف در عرض از مبدأ، پارامتر دوم، پارامتر سوم و انحراف معیار رابطه (28) هستند، خلاصه می شوند.
نتایج به دست آمده در این بخش، صحت این ادعا را که روش پیشنهادی EWMA2 عملکرد بهتری نسبت به روش EWMA4 دارد، به اثبات میرساند. همانگونه که در این جداول مشاهده میشود در تمامی شیفتهای اعمال شده در عرض از مبدا، پارامتر دوم و سوم و انحراف معیار، ARL خارج از کنترل روش پیشنهادی کمتر از روش کاظم زاده و همکاران (2009) است. تنها در شیفت 01/0 در پارامتر سوم عملکرد روش کاظم زاده و همکاران (2009)کمی بهتر است که البته به دلیل کوچک بودن شیفت این نتیجه میتواند ناشی از خطای شبیه سازی باشد.
جدول 1: مقایسات ARL تحت شیفت در عرض از مبدأ از به
|
نمودار |
||||||||||
|
1 |
9/0 |
8/0 |
7/0 |
6/0 |
5/0 |
4/0 |
3/0 |
2/0 |
1/0 |
|
|
34/2 |
60/2 |
97/2 |
47/3 |
21/4 |
42/5 |
61/7 |
64/12 |
00/28 |
44/91 |
EWMA4 |
|
19/2 |
43/2 |
76/2 |
21/3 |
86/3 |
89/4 |
77/6 |
74/10 |
56/22 |
19/73 |
EWMA2 |
جدول 2: مقایسات ARL تحت شیفت در پارامتر دوم از به
|
نمودار |
||||||||||
|
25/0 |
225/0 |
2/0 |
175/0 |
15/0 |
125/0 |
1/0 |
075/0 |
05/0 |
025/0 |
|
|
63/1 |
83/1 |
06/2 |
37/2 |
80/2 |
46/3 |
57/4 |
86/6 |
58/13 |
86/49 |
EWMA4 |
|
52/1 |
72/1 |
94/1 |
22/2 |
61/2 |
24/3 |
28/4 |
36/6 |
42/12 |
31/44 |
EWMA2 |
جدول 3: مقایسات ARL تحت شیفت در پارامتر سوم از به
|
نمودار |
||||||||||
|
1/0 |
09/0 |
08/0 |
07/0 |
06/0 |
05/0 |
04/0 |
03/0 |
02/0 |
01/0 |
|
|
00/1 |
00/1 |
00/1 |
00/1 |
00/1 |
01/1 |
15/1 |
72/1 |
77/2 |
61/6 |
EWMA4 |
|
00/1 |
00/1 |
00/1 |
00/1 |
00/1 |
00/1 |
10/1 |
62/1 |
71/2 |
02/7 |
EWMA2 |
جدول 4: مقایسات ARL تحت شیفت در انحراف معیار از به
|
نمودار |
||||||||||
|
00/2 |
9/1 |
8/1 |
7/1 |
6/1 |
5/1 |
4/1 |
3/1 |
2/1 |
1/1 |
|
|
60/1 |
76/1 |
98/1 |
28/2 |
71/2 |
39/3 |
50/4 |
78/6 |
94/12 |
01/40 |
EWMA4 |
|
51/1 |
65/1 |
85/1 |
12/2 |
51/2 |
08/3 |
07/4 |
01/6 |
96/10 |
86/32 |
EWMA2 |
در این مقاله، روش جدیدی برای پایش پروفایلهای چندجملهای مطرح شد. در روش پیشنهادی در کنار نمودار کنترل پایش واریانس خطاها از تنها یک نمودار کنترل برای پایش پارامترهای رگرسیون استفاده میشود. نتایج حاصل از شبیه سازی، بیانگر این مطلب است که روش پیشنهادی عملکرد بهتری نسبت به روش موجود دارد؛ همچنین استفاده از آن به دلیل کمتر بودن تعداد نمودارهای کنترل آسانتر است.
)