نوع مقاله : مقاله پژوهشی- فارسی
نویسندگان
1 استادیار گروه پژوهشی مهندسی صنایع، پژوهشکده توسعه تکنولوژی جهاد دانشگاهی، تهران، ایران
2 دانشجوی دکتری مهندسی صنایع، پژوهشکده توسعه تکنولوژی جهاد دانشگاهی، تهران، ایران
چکیده
کلیدواژهها
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
In the competitive market of perishable cargoes, determining the price of the product and making opportunities for customers to accelerate the sale of goods through discounts is crucial. Over the life of perishable goods, generally its value reduced to the customer, in this situation, to encourage the purchase, policies such as a discount or reduced price sales policies can be effective. Literature has not provided a model for determining the optimal time to announce a price reduction. While early or late prices announcement could reduce profit, the aim of this paper is to analyze such a model at the level of an enterprise. In the modeling, we assumed that by announcing price discount, tangible changes occur in demand, and demand is a function of price and time. The demand rate in the discount time is decreasing in the beginning of the time and then declining over time. The purpose of the model is determining the optimal price, discount time and order size to maximize the total profit in a single period. After modeling, concavity of the profit function is considered and optimal pricing and discounts are exclusive. Then, a heuristic algorithm derived from the literature was used in order to determine the optimal price, the optimal discount time and the optimal order quantity.
Introduction: In this article, the term "perishable" is used for goods that, due to rapid technological changes or the introduction of new products by competitors, should lose their value over a period of time. For example, fashion goods in the season will quickly fall in price, because otherwise the need for spare parts for military aircraft is one of fashion goods that would be unusable if a new aircraft model is being used (Khanlarzadeh et al., 2014). When non-perishable products approach their expiration date, they often use price discounts. Tajbakhsh et al (2011) developed an inventory model at a price of Random Discount, and numerical analysis that showed cost saving through discounts. The research conducted in the field of pricing and bidding for the aforementioned commodities, only several models have been developed that are either definitive or random models with known distributions (Wang, 2012). Rajan et al. (1992) have developed pricing policies and ordered for definitive applications. Also, if problem modeling occurs in the supply chain, competition between the members of the chain is formed to generate more profit. Zhang et al. (2015) considered a supply chain model with a producer and retailer for degraded items at a time-rate and price-dependent demand. They have designed an algorithm for obtaining price and investment protection technology strategies, and have examined both centralized and decentralized scenarios. In this article, the pricing of a perishable goods is considered under discounted conditions, and given the importance of selling these products over the life of the customer, it is essential to pursue a policy that can encourage customers to buy more. Also, the discount policy comes with the synchronization of the demand function during the discount period. In the absence of discounts, the demand rate is a function of the time and price, and in the discount period, the demand function is initially at an incremental time, and after the discount, the time is reduced. In the literature examined, the price for the final customer, which affects demand and does not change the demand for demand function, is not taken into account. For example, Meihami and Karimi (2014) show a change in demand after advertising with a coefficient in the demand function has given. While in the real world, with the announcement of a discount, the function of the rate of demand for perishable goods varies and is not mentioned in any of the previous investigations. In the following, we describe the assumptions and symbolization of problem modeling.
Materials and Methods:
It is assumed that the maximum inventory in the first period (I0) is the order quantity, and its decreasing is only affected by demand. As a price mark-down should always be applied before the expiration date of the product, the time horizon for product selling can be divided into two intervals: [0, t] and [t,T].
Notice that due to the discount after the price mark-down, the demand rate function during the time intervals [0, t] and [t, T] is different, in the interval [t, T], the product is sold out at the discount price p(1-a). Due to the discount, a moderate growth in the demand initially occurs; however, it reduces gradually (see Fig. 1.).
There is no shortage, nor surplus in the end of the time horizon, i.e., period T, so the inventory level is the demand in that period. On the other hand, the demand in the time interval [0,t] can be expressed as follows,
,
and the profit can be expressed,
(1)
(.
(2)
The methodology must be clearly stated and described in sufficient detail or with sufficient references containing the research model and tools.
Discount time (t)
T
Q=I0
Fig. 1. Inventory level in period T
Results and Discussion: The proposed algorithm is used for solving the following numerical example to illustrate the solution process and results. Mathematica 9 was used in this regard.
Example.The following parameters and functions are used.
T=2, c=200, =0.3
Table 1 show, the convergence of the algorithm, where for the quasi-optimal tolerance e, it results in p*= , t*=1.008, TP*= , Q*= , and the numerical results are obtained for the price interval [400, 1000].
Table 1- Computational results of Example 1.
k
pk
tk
TPk
1
2
3
4
5
6
Conclusion: In this paper, the pricing model for non-perishable goods was presented under discounted sales terms. In modeling the hypothesis problem by declaring a decline in sales prices, the demand rate has a tangible change, and demand is a function of price and time. In this paper, it was proved that the goal of profit is optimal and unique in terms of optimal price and discount time. With using a simple algorithm, a numerical example of a model and results are analyzed using sensitivity analysis on model parameters. The model presented in this paper is a comprehensive and complete model, and compares to different values of the parameters of the flexible demand function. The model presented in this study can be expanded in several ways; the demand rate in this paper is definite. It is considered to be time-dependent, with its probability, it is possible to define a suitable topic for future research. We can also consider the discount percentage variable. On the other hand, advertising policies, delay in payments and coordination models in the supply chain system and reviewing the results can be considered.
References
Khanlarzade, N. et. al. (2014), Inventory Control with Deteriorating Items: A State-Of-The-Art Literature Review. International journal of industrial engineering computations, 5(2): 179-198.
Maihami, R., and Karimi B., (2014), Optimizing The Pricing And Replenishment Policy For Non-Instantaneous Deteriorating Items With Stochastic Demand And Promotional Efforts. Computers & Operations Research, 51:302-312.
Rajan A., Steinberg R., Richard S., (1992), Dynamic pricing and ordering decisions by monopolist. Management Science, 38(2): 240-262.
Tajbakhsh, M., Lee, C., & Zolfaghari, S. (2011). An inventory model with random discount offerings. Omega, 39, 710–718.
Wang X., Li D., (2012), A dynamic product quality evaluation based pricing model for perishable food supply chains. Omega, 40: 906-917.
Zhang, Jianxiong et al., (2015), Coordinating A Supply Chain For Deteriorating Items With A Revenue Sharing And Cooperative Investment Contract. Omega 56: 37-49.
کلیدواژهها [English]
مقدمه
با گسترش رقابت برای جهانیشدن بازارها، سازمانها بهدنبال راههای مختلفی برای بهبود وضعیت رقابتی خود و جلب توجه بیشتر مشتریان هستند. در بسیاری از کسب وکارها، قیمتگذاری مکانیزمی مرسوم برای جذب مشتریان بیشتر و مدیریت درآمد در نظر گرفته میشود. قیمتگذاری پویا روشی مناسب برای تعیین قیمتهای مختلف در طول زمان است که در بسیاری از خردهفروشیها، صنایع تجاری و بنگاهها شکلهای گوناگونی از این نوع قیمتگذاری به کار گرفته میشود.
قیمتگذاری از عاملهای مهم و مؤثر بر سطح و نوع تقاضای کالا است. زمانی که کالا فسادپذیر باشد، مسئلۀ قیمتگذاری اهمیت دوچندانی مییابد؛ زیرا با ارائۀ راهکارهای مناسبِ قیمتگذاری تقاضای این اقلام تا حد زیادی مدیریت و مانع از اتلاف سرمایه بهدلیل فاسدشدن کالا میشود.
بهطورکلی به کالاهایی که در طول زمان ارزش خود را از دست بدهند کالای فاسدشدنی گفته میشود. کالاهایی مانند داروها، میوه و سبزیجات، کالاهای فصلی و مد[i]، وسایل الکترونیکی و غیره کالاهای فاسدشدنی در نظر گرفته میشوند. در این مقاله اصطلاح فاسدشدن برای کالاهایی بهکار میرود که بهدلیل تغییرات سریع تکنولوژی یا معرفی محصولات جدیدِ رقبا ارزش خود را در طی زمان از دست میدهند؛ برای مثال قیمت کالاهای مد باید درانتهای فصل سریعاً کاهش یابد؛ زیرا درغیر اینصورت باید دور ریخته شوند. لوازم یدکی هواپیماهای نظامی یکی از انواع کالاهای مد هستند که در صورت ارائۀ مدل جدید هواپیما غیرقابل استفاده میشوند (خانلرزاده[ii] و همکاران، 2014).
مرور ادبیات نشان میدهد مدلهای موجود بیشتر به بحث کنترل موجودی پرداخته و کمتر مباحث مربوط به قیمتگذاری و تخفیفات قیمتی برای مشتریان را بررسی میکنند (وانگ[iii]، 2012). باتوجهبه اهمیت طول عمر کالا و توجه مشتری به تاریخ انقضای محصول، پایینآوردن قیمت در زمان نزدیک به تاریخ انقضا مکانیزمی تشویقی برای خرید کالا است؛ اما سوالی که در اینجا مطرح میشود این است که زمان بهینه برای پایینآوردن قیمت و تخفیف باتوجهبه وابستگی تقاضا به قیمت و زمان چیست؟ در این مقاله برای پاسخ به این سوال، ابتدا مسئله در قالب یک مسئلۀ بهینهسازی ریاضی مدلسازی شده است و با حل این مدل، قیمت فروش و زمان بهینۀ تخفیف برای کالای فاسدشدنی تعیین شده است؛ بهطوریکه سود بنگاه حداکثر شود.
در ادامه، ادبیات موضوع بیان میشود. در بخش سوم ابتدا فرضیات و نمادگذاری مدل بیان، سپس تابع نرخ تقاضا در فاصلۀ زمانیهای مختلف در دورۀ موردنظر بررسی شده است. در ادامه، مدل ریاضی مسئله ارائه شده است و پس از اثبات وجود جواب بهینۀ سراسری و ارائۀ مثال عددی، با استفاده از الگوریتم ابتکاری مقادیر عددی قیمت بهینه و زمان بهینۀ تخفیف به دست آمده است. همچنین تحلیل حساسیت برای پارامترهای مدل درانتهای بخش سوم انجام شده است. درانتها در بخش چهارم نتیجهگیری و پیشنهادات آتی برای پژوهش ذکر شده است.
ادبیات موضوع
مدیریت درآمد، استفاده از قیمتگذاری برای افزایش سود حاصل از داراییهای محدود بنگاه است. مزیت اصلی مدیریت درآمد آن است که تغییرات در قیمتگذاری بهمراتب راحتتر از سرمایهگذاری در داراییهای بنگاه است. درصورتیکه مدیریت درآمد بهدرستی صورت گیرد، ضمن افزایش سودآوری، رضایت مشتریان ارزشمند را از طریق دسترسی بهتر محصولات ارتقاء میبخشد (چاپرا[iv]، 2006). مدیریت درآمد، فرآیندی تحلیلی است که برای مدیریت ظرفیت و حداکثرکردن سودآوری ایجاد شده است (بیسی و دادا[v]، 2007). پیشبینی و نظارت دائمی تقاضا، کارایی و اثربخشی قیمتگذاری را ارتقاء میبخشد و نقش مهمی در ارتقای سودآوری بنگاه دارد. برای روشنشدن مطلب، تقاضا فصلی در نظر گرفته میشود. اگر تقاضا فصلی باشد، در برخی از مواقع دارای اوج تقاضا است. در بسیاری از زنجیرههای تأمین، اوج تقاضا در دورهای خاص بسیار رایج است. تخفیف در دورۀ غیراوج روشی مناسب برای انتقال تقاضا به دورههای غیراوج است. این شیوه، سود فروشندگان را افزایش میدهد و هزینۀ بخشی از مشتریان را کم میکند، همچنین پتانسیل بیشتری برای ورود مشتریان در دورۀ تخفیف ایجاد میکند (پیماندوست، 1391). در این مقاله نیز برای انتقال تقاضا به دورههای غیراوج از تخفیف قیمتی استفاده شده است. همچنین تابع نرخ تقاضایی که از زمان تخفیف استفاده میشود با بخش غیرتخفیف متفاوت است.
در حوزۀ دیگری از پژوهشهای مرتبط، قیمتگذاری و کنترل موجودی محصولات فاسدشدنی، با هم ترکیب شدهاند. راماسش[vi] (2010) مقدار سفارش اقتصادی را زمانی تعیین میکند که فروشنده، قیمت را در زمان محدود کاهش میدهد. الیون[vii] (1966) از اولین کسانی بود که مدل موجودی را با در نظر گرفتن تقاضای وابسته به قیمت در نظر گرفته است. کوهن[viii] (2003) مدل قیمتگذاری و موجودی را در حالتی در نظر گرفت که نرخ فاسدشدن در طول زمان پیوسته بوده است. وی[ix] (1995) سیاست بازپرسازی و قیمتگذاری را با در نظر گرفتن تقاضای وابسته به قیمت در نظر گرفته است؛ بهنحویکه این قیمت در طول زمان کاهش مییابد. وی (1997) و وی (1999)، مدل کوهن را گسترش داد و علاوه بر در نظر گرفتن تقاضای وابسته به قیمت، فاسدشدن کالا را بهصورت تابع وایبل در نظر گرفت و مدل را در حالت تخفیف قیمت و بدون تخفیف در نظر گرفت. موخوپادهیای[x] و همکاران (2005) مدل کوهن را با در نظر گفتن وابستگی نرخ فساد به زمان، بهبود دادند. بانرجی[xi] و همکاران (2012) مدلی انعطافپذیر ارائه کردند که مسئلۀ تعیین قیمت بهینه برای کالاهای فاسدشدنی را بررسی میکند. راجان[xii] و همکاران (1992) و آباد[xiii] (1996) سیستمی ترکیبی از قیمتگذاری و موجودی را در فضایی قطعی در نظر گرفتند. آنها چنین فرض کردند که تقاضا تحت تأثیر عمر باقیماندۀ محصول قرار میگیرد. همچنین تقاضا قطعی و تابعی کاهشی از قیمت و عمر محصول است. علاوه بر این، راجان و همکاران (1992) اظهار کردند محصولات فاسدشدنی دو ویژگی دارند که آنها را از مسئلۀ رایج قیمتگذاری جدا میکند؛ این دو ویژگی، زوال فیزیکی موجودی و کاهش قیمت هر واحد موجودی هستند.
کیفیت بسیاری از محصولات قبل از خرید، عامل مهمی است که تصمیمِ خریدِ مصرفکننده را تحت تأثیر قرار میدهد. رزا دیاز[xiv] (2006) بیان میکند تأثیر قیمت بر تصمیمات مصرفکننده به شیوۀ درک و ارزیابی قیمت بستگی دارد.
وقتی محصولات فاسدشدنی به تاریخ انقضای خود نزدیک میشوند، بیشتر از تخفیف قیمت استفاده میشود. تاجبخش و همکاران (2011) یک مدل موجودی با قیمتهای تخفیفی تصادفی و با روش آنالیز عددی، طراحی کردند که صرفهجویی هزینه را از طریق ارائۀ تخفیف نشان داد. لی[xv] و همکاران (2006)، از رویکرد قیمتگذاری پویا برای بهینهسازی سود زنجیرۀ خردهفروشی استفاده کردهاند، هزینۀ تغییرات قیمت و عدمقطعیت در رفتار مصرفکننده که با تغییر قیمتها ایجاد می شود، اجرای مدل قیمتگذاری پویا را در عملیات خردهفروشی دشوار میکند.
در پژوهشهای صورتگرفته در حوزۀ ترکیبی سفارشدهی و قیمتگذاری برای کالاهای مذکور، تنها چند مدل توسعه داده شده است که یا قطعی بوده است یا مدلهایی تصادفی با توزیع شناخته شده هستند (وانگ، 2012). راجان و همکاران (1992) و آباد (1996) خطمشیهای قیمتگذاری و سفارشدهی برای تقاضاهای قطعی را توسعه دادهاند. بهاتاچارجی و رامش[xvi] (2000) مدل چندمرحلهای از موجودی انبار و قیمتگذاری را ارائه دادند که کالا دارای عمر ثابت و تقاضای قطعی است و مسئله در قالب برنامهریزی پویا مدلسازی شده است. در مدل آنها اثبات میشود حداکثر سود بهصورت پیوسته و مقعر است. بیسی و دادا (2007) سفارشدهی پویای بهینه و خطمشیهای قیمتگذاری برای خردهفروشانی با تقاضای ترکیبی و حساس نسبت به قیمت را بررسی کردهاند.
همچنین اگر مدلسازی مسئله در فضای زنجیره تأمین انجام شود رقابت بین اعضای زنجیره برای کسب سود بیشتر، شکل میگیرد. ژانگ[xvii] و همکاران (2015) مدل زنجیره تأمین با یک تولیدکننده و یک خردهفروش را برای اقلام فاسدشدنی با نرخ زمان و تقاضای وابسته به قیمت را در نظر گرفتند. آنها الگوریتمی برای به دست آوردن قیمت و استراتژیهای سرمایهگذاری فنآوری حفاظت طراحی کردهاند و هر دو سناریوی متمرکز و غیرمتمرکز را بررسی کردهاند.
در این مقاله قیمتگذاری کالای فاسدشدنی در شرایط تخفیف مدنظر قرار میگیرد و باتوجهبه اهمیت فروش این محصولات در دورۀ عمر آنها از نظر مشتری، پیگیری سیاستی ضروری است تا مشتریان به خرید بیشتر تشویق شوند. همچنین سیاست تخفیف همراه با هماهنگسازی تابع نرخ تقاضا در دورۀ تخفیف مطرح میشود؛ یعنی در بازهای که تخفیف وجود ندارد نرخ تقاضا، تابعی کاهشی از زمان و قیمت است و در دورۀ تخفیف، تابع نرخ تقاضا ابتدا نسبت به زمان افزایشی است و با گذشت زمان کاهشی میشود. در ادبیات بررسیشده، تخفیفِ قیمتی برای مشتری نهایی بهنحوی در نظر گرفته شده است که تقاضا را تحت تاثیر قرار داده و تابع نرخ تقاضا تغییر کند؛ برای مثال میهمی و کریمی[xviii] (2014) تغییر تقاضا بعد از تبلیغات را با ضریبی در تابع نرخ تقاضا نشان دادهاند؛ درحالیکه در دنیای واقعی با اعلام تخفیف، تابع نرخ تقاضایِ کالای فاسدشدنی تغییر میکند و در هیچکدام از پژوهشهای قبلی به آن اشاره نشده است. در ادامه با معرفی مفروضات و نمادگذاری، مسئله مدلسازی میشود.
مفروضات و نمادگذاری: در این قسمت مدل قیمتگذاری همراه با تخفیفِ قیمتی برای کالای فاسدشدنی توسعه داده شده است. در این مسئله فرض میشود کمبود مجاز نیست و مقداری که در ابتدای دوره سفارش داده میشود برابر با تقاضای کل دوره است؛ بنابراین درانتهای دوره نیز مازاد موجودی وجود ندارد. همچنین فرض میشود تقاضا تابعی قطعی از قیمت و زمان است که با نزدیکشدن به تاریخ انقضای محصول (انتهای دوره) تخفیفِ قیمتی برای محصول در نظر گرفته میشود.
سایر مفروضات مسئله بهشرح ذیل است:
1- همۀ پارامترهای مدل قطعی هستند؛
2- سیستم موجودی، تکمحصولی و بدون محدودیت است؛
3- مدت زمان تحویل برابر با صفر است؛
4- افق زمانی، محدود و برابر با T در نظر گرفته شده است؛
5- مدلسازی برای دورۀ T انجام میشود؛
6- کمبود مجاز نیست؛
7- محصول فاسدشدنی است و با نزدیکشدن به تاریخ انقضا ارزش آن نزد مشتری کم میشود.
نمادها و متغیرهای تصمیم: نمادهای استفادهشده در مدلسازی مسئله بهشرح زیر است:
D1(p,t): نرخ تقاضای محصول در بازۀ زمانی قبل از تخفیف که بستگی به قیمت و زمان فروش دارد؛
D2(p,t): نرخ تقاضای محصول از زمان تخفیف که بستگی به قیمت و زمان فروش دارد؛
EDt: مقدار تقاضا تا زمان t؛
C: هزینۀ خرید هر واحد کالا؛
T: طول دورۀ برنامهریزی؛
Q*: میزان سفارش بهینه در ابتدای دوره؛
a: درصد تخفیف برای کالای فاسدشدنی؛
t: زمان تخفیف؛
t*: زمان بهینۀ تخفیف؛
P: قیمت فروش هر واحد محصول فاسدشدنی؛
P*: قیمت فروش بهینۀ هر واحد کالای فاسدشدنی؛
TP*: مقدار بهینۀ سود بهازاءِ قیمت بهینه و زمان بهینۀ تخفیف (TP*=TP(p*,t*)).
تابع نرخ تقاضا: در این مقاله، نرخ تقاضای محصول تابعی از قیمت و زمان است. باتوجهبه اهمیت زمان در محصولات فاسدشدنی، تغییرات این تابع نسبت به زمان، بهصورت نمایی در نظر گرفته میشود. همچنین بهعلت اینکه قیمت عامل مهمی در خرید محصول فاسدشدنی است، این تابع نسبت به قیمت بهصورت خطی در نظر گرفته میشود. فرض میشود نرخ تقاضا بهصورت رابطۀ 1 است (تساو[xix]، 2008).
|
(1) |
و مقدار تقاضا تا زمان t از رابطۀ 2 محاسبه میشود.
|
(2) |
|
باتوجهبه تقسیم دورۀ T، تابع قیمت بهصورت رابطۀ 3 در نظر گرفته میشود.
|
(3) |
|
در دورۀ دوم با وجود تخفیف، نرخ تقاضا بهصورت صعودی افزایش مییابد و بهتدریج دوباره کاهش مییابد. این تابع بهصورت زیر تعریف شده است:
|
(4) |
مدلسازی تابع هدف: در ابتدای دوره، موجودی بهاندازۀ Q سفارش داده و بلافاصله دریافت میشود (زمان تدارک صفر در نظر گرفته میشود). تغییرات موجودی تحت تاثیر تقاضا است. با نزدیکشدن به تاریخ انقضاء برای افزایش تقاضا، تخفیفِ قیمتی برای محصول در نظر گرفته میشود و نمودار مربوط به آن در شکل (1) نیز ترسیم شده است. براساس نمودار نشان دادهشده، طول یک دوره به دو بازۀ زمانی تقسیم میشود:
الف. بازۀ زمانی [0,t]: در این بازه سرعت افزایش نرخ تقاضا بهدلیل گذشت زمان کاهش مییابد. محصول در بازۀ [0,t] با قیمت p به فروش میرسد.
ب. بازۀ زمانی [t,T]: در این بازه محصول با قیمت تخفیفی p(1-a) به فروش میرسد. سطح موجودی باتوجهبه قیمت تخفیفی با سرعت بیشتری نسبت به بازۀ قبل کاهش مییابد. در این بازه بهدلیل وجود تخفیف و اطلاع مشتریان، رشد ناگهانی در نرخ تقاضا به وجود آمده و سپس سرعت آن بهتدریج کاهش مییابد. باتوجهبه روند بیانشده، تابع نرخ تقاضا بهصورت شکل (1) در نظر گرفته میشود.
|
t* |
|
T |
|
نرخ تقاضا |
شکل 1- نمودار نرخ تقاضا برای محصول فاسدشدنی همراه با تخفیف قیمت
ابتدا مقدار تقاضا در دورۀ [0,t] بهصورت رابطۀ 5 محاسبه میشود.
|
(5) |
|
مقدار تقاضا در فاصلۀ [t,T] نیز بهصورت رابطۀ 6 محاسبه میشود.
|
(6) |
در این مقاله قیمت و زمان تخفیف متغیر در نظر گرفته شدهاند. درآمد حاصل از فروش محصول با قیمت p در فاصلۀ [0,t] و درآمد حاصل از فروش با قیمت تخفیفی p(1-a) در فاصلۀ [t,T] بهصورت رابطۀ 7 محاسبه میشود.
|
(7) |
هزینۀ مدل، تنها شامل خرید محصول از تأمینکننده است؛ بنابراین تابع سود بهصورت رابطۀ 8 است.
|
(8) |
نتایج و جواب بهینه: هدف اصلی این مقاله، محاسبۀ مقادیر بهینۀ t و p بهنحوی است که سود حاصل حداکثر شود. از تابع سود نسبت به p و t مشتق گرفته و برابر صفر قرار داده میشود تا متغیرهای تصمیم محاسبه شود. برای یافتن مقدار بهینۀ دستگاه معادلات همزمان 9 و 10 باید حل شود تا معادلات 11 تا 13 به دست آید.
|
(9) |
|
(10) |
|
|
(11) |
|
|
(12) |
|
قضیه: جوابی که از معادلات (11) و (12) به دست میآید دارای شرایط درجۀ دوم برای حداکثرسازی تابع هدف سود خردهفروش ( ) بهصورت سراسری است.
اثبات: برای آنکه نشان داده شود مقدار بهینۀ بهدستآمده برای تابع TP حداکثر سراسری است، باید ابتدا ماتریس هشین تابع سود نسبت به t* و p* بهینه محاسبه شود. درصورتیکه عنصر اول این ماتریس منفی و دترمینان آن بزرگتر از صفر باشد اثبات کامل میشود؛ بنابراین نشان داده میشود که این شرایط برقرار است.
|
(13) |
|
|
(14) |
|
|
(15) |
|
با سادهسازی مقدار دترمینان رابطۀ 16 به دست میآید.
|
(16) |
|
|
|
برای اثبات مثبتبودن Det(H) بهصورت زیر عمل میشود:
ابتدا از Det(H) نسبت به هریک از متغیرهای مسئله یعنی p و t مشتق دوم گرفته میشود. منفیبودن مشتق دوم نشاندهندۀ این است که تابع Det(H) در هر برش از t نسبت به p و در هر برش از p نسبت به t مقعر است. سپس نشان داده میشود این تابع دو جواب برای هرکدام از متغیرهای p و t دارد؛ بنابراین مقدار Det(H) در بازۀ بین دو جواب که بازۀ مطلوب است، مثبت و اثبات کامل میشود.
مقدار مشتق دوم Det(H) نسبت به p بهصورت زیر است. با کمی دقت مشخص میشود تکتک عبارات منفی است و درنهایت جمع آنها منفی میشود.
با حل Det(H)=0 تنها دو مقدار برای p به دست میآید و باتوجهبه منفیبودن مشتق دوم آن، واضح است تابع Det(H) بین دو ریشۀ بهدستآمده در بالای محور عمودی قرار دارد و مثبت است. مقادیر بهدستآمده برای p بهصورت شکل (2) است (بهدلیل حجم بالای محاسبات عبارات بهدستآمده مختصر نشان داده شده است).
شکل 2- محاسبات مربوط به مقادیر p در نرمافزار mathematica
بههمین ترتیب مراحل فوق برای متغیر t نیز انجام شده است. در ادامه شکل مربوط به تابع Det(H) نسبت بهp و t در بازههای مشخصشده رسم شده است. همانطورکه در شکل 3 و 4 مشاهده میشود منحنی در بالای محور افقی قرار دارد و مقدار آن مثبت است. نمودار تابع Det(H) برای مثالِ مطرحشده در بخش 3-5 در بازههای [1000، 400] p= و [2، 5/0] t= رسم شده است.
|
P |
شکل 3- نمودار تابع Det(H) نسبت به p
|
t |
شکل 4- نمودار تابع D(H) نسبت به t
برای انجام محاسبات از نرمافزار Mathematica9 استفاده شده است. باتوجهبه اثبات مثبتبودن دترمینان ماتریس هیشین در نقطۀ بهینه، جواب بهدستآمده حداکثر سراسری است. در روش دوم ارائهشده، برای هر مثال عددی مقدار دترمینان ماتریس هیشین محاسبه میشود. این روش ارزش کمتری دارد؛ ولی باتوجهبه زیادبودن تعداد پارامترها در روش نخست این روش استفاده میشود. در مثال عددی ارائهشده در این مقاله دترمینان محاسبهشده مثبت است.
مقدار جواب بهینه
الگوریتم: باتوجهبه توضیحات بیانشده، برای محاسبۀ مقادیر مدنظر از الگوریتم سادهای برگرفته از ادبیات استفاده میشود (میهمی، 1389):
1. مقدار اولیۀ p1 برای قیمت تعیین میشود و pj=p1 قرار داده میشود؛
2. برای pj از معادلۀ (11) مقدار بهینۀ زمان تخفیف به دست میآید (tj)؛
3. باتوجهبه مقدار tj بهدستآمده در مرحلۀ 2 و استفاده از معادلۀ (12) مقدار pj+1 تعیین میشود؛
4. اگر اختلاف بین pj, pj+1 (خطا) کمتر از d باشد، قرار داده میشود p*= pj+1 و =tj t* مقادیر بهینه هستند. الگوریتم متوقف میشود و به مرحلۀ 5 میرود. اما اگر اختلاف بین pj, pj+1 بزرگ باشد، pj= pj+1 و بازگشت به مرحلۀ 2 انجام میگیرد (مقدار خطای قابل گذشت 0001/0 فرض میشود یعنی اگر 0001/0< | pj- pj+1| باشد الگوریتم متوقف میشود).
5. مقدار TP* با جایگذاری p*و t* باتوجهبه معادلۀ (8) محاسبه میشود.
مثال عددی: برای محاسبۀ مقادیر عددی توابع و پارامترها بهصورت زیر در نظر گرفته میشود و نتایج در جدول 1 آمده است.
D1(p,t)=(5/0-500p)e98/0-t, D2(p,t)=(5/0-500p)t3e98/0-t, T=2, c=200, =3/0
P*=826/694, t*=008/1, TP*=612/104558, Q*=945/293
جدول 1- نتایج مثال عددی
|
گام |
pj |
t* |
TP* |
|
1 |
600 |
078/1 |
512/100182 |
|
2 |
310/690 |
012/1 |
806/104548 |
|
3 |
597/694 |
008/1 |
573/104558 |
|
4 |
813/694 |
008/1 |
611/104558 |
|
5 |
825/694 |
008/1 |
612/104558 |
|
6 |
826/694 |
008/1 |
612/104558 |
نمودار تابع هدف: تابع هدف بهصورت شکل(5) است. این تابع دارای حداکثر سراسری است و برای بازههای قیمت از 400 تا 1000 و زمان تخفیف از 5/0 تا 2 رسم شده است. محور عمودی نیز مقدار تابع هدف است. شکل (6) مقدار سود را بهازاءِ قیمتهای مختلف نشان میدهد.
شکل 5- نمودار سه بعدی تابع هدف حالت دوم
شکل 6- مقدارتابع سود به ازای مقادیر مختلف قیمت و t*
شکل (7) مقدار سود را بهازاءِ زمانهای مختلف برای تخفیف نشان میدهد.
شکل 7- مقدارتابع سود به ازای مقادیر مختلف زمان و p*
تحلیل حساسیت: در این قسمت تأثیر تغییرات پارامترهای مسئله روی t1*، p* ،TP* و Q* بررسی میشود و براساس آن نتایج مدیریتی استخراج میشود. نتایج تحلیل حساسیت برای مثال ارائهشده در جدول (1) نشان داده است.
تاثیر تغییرات در مقدار پارامترهایc, T و a بر t*، p* ،TP* و Q* براساس مثال عددی، در جدول 2 نشان داده شده است. تحلیل حساسیت بوسیلۀ تغییر در مقدار هر پارامتر بهمیزان 50%+، 25%+، 25%- و 50%- و ثابت نگه داشتن سایر پارامترها انجام شده است. نتایج مشاهدهشده از تغییرات پارامترها بهصورت جدول 2 خلاصه شده است.
جدول 2- تحلیل حساسیت باتوجهبه پارامترهای مدل
|
پارامتر |
مقدار |
p* |
t* |
TP* |
Q* |
|
C |
100 |
15/637 |
005/1 |
13465 |
328 |
|
150 |
98/665 |
007/1 |
119681 |
311 |
|
|
250 |
62/723 |
011/1 |
90287 |
277 |
|
|
300 |
36/752 |
014/1 |
76867 |
260 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
54/593 |
082/1 |
- |
- |
|
5/1 |
05/643 |
047/1 |
70246 |
191 |
|
|
5/2 |
03/734 |
98/0 |
151491 |
424 |
|
|
3 |
90/760 |
95/0 |
205423 |
567 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1/0 |
06/633 |
99/0 |
111270 |
282 |
|
2/0 |
26/665 |
000/1 |
109253 |
286 |
|
|
4/0 |
65/717 |
036/1 |
97003 |
306 |
|
|
45/0 |
33/724 |
065/1 |
92008 |
314 |
1. هنگامی که مقدار پارامترهای c، T و a افزایش مییابد، قیمت فروش بهینۀ خردهفروش p* افزایش مییابد. بهعلاوه p* نسبت به تغییر در پارامترهای c، T و a در جهت مثبت حساس است. این منطقی است؛ زیرا هزینۀ خرید و تخفیف تأثیر زیادی روی قیمت فروش دارند.
2. هنگامی که مقدار پارامتر T افزایش مییابد، زمان بهینۀ t* کاهش مییابد؛ درحالیکه با افزایش، مقدار پارامترهای c یا a افزایش مییابد؛ یعنی افزایش هزینۀ خرید و درصد تخفیف موجب میشود زمان تخفیف دیرتر شروع شود.
3. هنگامی که مقدار پارامترهای T یا a افزایش یابد، مقدار سفارش اقتصادی Q* افزایش مییابد. باتوجهبه تخفیف، افزایش بهکندی انجام میشود. همچنین با افزایش c مقدار سفارش اقتصادی کاهش مییابد؛ زیرا هزینۀ خرید موجب کاهش مقدار سفارش میشود.
4. هنگامی که مقدار پارامترهای c یا a افزایش مییابد، تابع سود بهینه بهازاءِ واحد TP* کاهش مییابد. این نشان میدهد هزینه و تخفیف دیرهنگام اثر منفی روی سود نهایی دارند. همچنین با افزایش دورۀ فروش T سود نهایی افزایش مییابد.
نتیجهگیری
در این مقاله مدل قیمتگذاری برای کالای فاسدشدنی در شرایط تخفیف فروش ارائه شد. در مدلسازی مسئله فرض شده است با اعلام کاهش قیمت فروش، نرخ تقاضا تغییر محسوس دارد و تقاضا تابعی از قیمت و زمان است. در این مقاله اثبات شد تابع هدف سود بهازاءِ مقادیر بهینۀ قیمت و زمان تخفیف، بهینه و منحصربهفرد است. درانتها با استفاده از الگوریتمی ساده مثال عددی مدل و نتایج با استفاده از تحلیل حساسیت روی پارامترهای مدل تشریح شد. مدل معرفیشده در این مقاله مدلی جامع و کامل است و نسبت به مقادیر مختلف پارامترهای تابع نرخ تقاضا منعطف مقاله است. مدل ارائهشده در این پژوهش از چند جهت میتواند گسترش یابد، نرخ تقاضا در این مقاله بهصورت قطعی و وابسته به زمان در نظر گرفته شده است؛ با احتمالیکردن آن میتوان موضوع مناسبی برای پژوهشهای آتی تعریف کرد. همچنین میتوان درصد تخفیف را متغیر در نظر گرفت. از جنبۀ دیگر در نظر گرفتن سیاستهای تبلیغات، تأخیر در پرداختها و مدلهای هماهنگی در سیستم (زنجیره تأمین) و بررسی نتایج حاصل است.
)